摘? 要：逆向思維是一種與常規(guī)思維相反的思維方式.在解題遇到難以突破的瓶頸時(shí)，逆向思維能夠起到出乎預(yù)料的作用.文章首先梳理了逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值，然后分別從創(chuàng)設(shè)情境，了解逆向思維；問題啟發(fā)，促進(jìn)深度思考；方法總結(jié)，掌握解題技巧；拓展訓(xùn)練，促進(jìn)鞏固遷移；綜合評(píng)價(jià)，注重歸納總結(jié)五個(gè)方面，探討了初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的有效策略.

關(guān)鍵詞：逆向思維；初中數(shù)學(xué)；應(yīng)用價(jià)值；解題；策略

中圖分類號(hào)：G632??? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A??? 文章編號(hào)：1008-0333（2024）14-0018-03

收稿日期：2024-02-15

作者簡(jiǎn)介：林雨菲（1996.4—），女，山東省臨沂人，中小學(xué)二級(jí)教師，本科，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

逆向思維可以幫助研究者另辟蹊徑，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)找到問題的解決方案［1］.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師指導(dǎo)學(xué)生合理運(yùn)用逆向思維，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)具有重要意義.基于此，筆者結(jié)合具體案例，探究初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的有效策略.

1 逆向思維在解題教學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值

1.1 拓展思維空間

回顧傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，初中生在解答問題時(shí)，因受傳統(tǒng)解題思路的影響，習(xí)慣按照條件推導(dǎo)結(jié)論的學(xué)習(xí)方式，鮮少采用先假設(shè)結(jié)論，后證明條件的逆向解題方法.長(zhǎng)此以往，不利于學(xué)生思維能力的發(fā)展.合理應(yīng)用逆向思維，可以有效拓展學(xué)生的思維空間，強(qiáng)化學(xué)生的思考能力.與傳統(tǒng)的解題思路不同，逆向思維會(huì)引導(dǎo)學(xué)生朝相反的方向思考，幫助學(xué)生深入分析問題，從中找出合乎邏輯的解決方案.在此過(guò)程中，可以改變學(xué)生解題思維僵化的情況，幫助學(xué)生跳出常規(guī)解題思路的框架，迅速求出問題的正確答案.

1.2 發(fā)展創(chuàng)造能力

通過(guò)逆向思維，不僅能幫助學(xué)生發(fā)散思考，讓解題思維變得發(fā)散，使學(xué)生的學(xué)習(xí)充滿創(chuàng)造力，還能在潛移默化中豐富學(xué)生的想象力，使其思維變得更為靈活，形成獨(dú)特的學(xué)習(xí)見解［2］.對(duì)此，教師可以精選一些適用于逆向思維的經(jīng)典例題，讓學(xué)生在思考、分析、解決的過(guò)程中打破思維的桎梏，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行靈活應(yīng)用、拓展探索.

1.3 提升學(xué)習(xí)效率

相比過(guò)去的數(shù)學(xué)題目，現(xiàn)今初中數(shù)學(xué)練習(xí)題的解析難度明顯有所提升.通過(guò)引入逆向思維，可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)其探究學(xué)習(xí)熱情，逐漸形成良好的自主學(xué)習(xí)習(xí)慣.

2 培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的有效策略

2.1 創(chuàng)設(shè)情境，了解逆向思維

在實(shí)際教學(xué)中，許多學(xué)生對(duì)于逆向思維的了解不足，在解題過(guò)程中不習(xí)慣使用這種思考方式.因此，教師需要先讓學(xué)生對(duì)逆向思維產(chǎn)生初步的學(xué)習(xí)印象，打好運(yùn)用的基礎(chǔ).針對(duì)以上目標(biāo)，教師可以采用創(chuàng)設(shè)情境的方式，讓解題教學(xué)更為直觀化、情境化，將逆向思維有效融入解題過(guò)程之中，簡(jiǎn)化題目的分析難度.在情境的渲染下，可以促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維不斷發(fā)散，在潛移默化中達(dá)成逆向思考的目的.

例1? 在一處池塘中存在某種水生植物，每生長(zhǎng)一天，它的覆蓋面積都會(huì)達(dá)到上一次的2倍，假如20天它能長(zhǎng)滿整個(gè)池塘，試問經(jīng)過(guò)多少天之后，這種水生植物能長(zhǎng)滿整個(gè)池塘的1/16？

分析? 針對(duì)這道問題，許多學(xué)生會(huì)產(chǎn)生無(wú)從下手的感覺.教師可以通過(guò)多媒體設(shè)備展示圖片模型，并結(jié)合逆推的方式，將水生植物的增減變化效果呈現(xiàn)出來(lái)，讓解題過(guò)程變得更為直觀化.根據(jù)題干條件，水生植物每生長(zhǎng)一天，覆蓋面積都會(huì)變成上一次的2倍，到20天剛好長(zhǎng)滿池塘.如果進(jìn)行逆向推導(dǎo)，第19天，水生植物會(huì)覆蓋池塘的1/2，18天覆蓋到池塘的1/4，17天覆蓋到池塘的1/8，16天覆蓋到池塘的1/16.由此即可求出答案.

例2? 在某個(gè)容器桶中裝有若干升酒精，如果第一次倒出三分之一，再倒進(jìn)40升，第二次倒出當(dāng)前酒精的一半還多43升，桶里還剩酒精37升，試問容器桶中最開始的酒精有多少升？

分析? 按照正向的解題思路，本題可以通過(guò)列一元一次方程的方式求出答案，但列式過(guò)程和運(yùn)算過(guò)程均十分繁瑣.如果采用逆推法，可以簡(jiǎn)化解析思路，迅速推導(dǎo)出正確結(jié)果.比如，如果第二次倒酒精時(shí)只倒一半，容器中所剩酒精應(yīng)當(dāng)為43+37=80（升）.因此，若第二次不倒酒精，桶里應(yīng)當(dāng)還剩80×2=160（升）.再反推一個(gè)環(huán)節(jié)，如果第一次倒出酒精之后，不倒入40升，酒精量應(yīng)當(dāng)有160-40=120（升）.這就是最開始酒精的23，所以最開始的酒精應(yīng)當(dāng)有180升.

通過(guò)情境的展示，可以提高解題教學(xué)的趣味性.將逆向思維的推導(dǎo)過(guò)程以圖片的形式展示出來(lái)，可以點(diǎn)燃學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，給予學(xué)生良好的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到逆向思維在解題中的重要作用.

2.2 問題啟發(fā)，促進(jìn)深度思考

由于逆向思維的運(yùn)用難度相對(duì)較高，初中生在剛接觸這種解題思路時(shí)，往往缺乏應(yīng)用意識(shí)或?qū)A(chǔ)知識(shí)掌握不牢固，導(dǎo)致自己仍舊采用正向思維思考問題，這會(huì)使解題過(guò)程變得十分繁瑣，還會(huì)提高學(xué)生出錯(cuò)的概率.因此，在解題教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地采用問題教學(xué)法，借助問題促進(jìn)學(xué)生的深度思考，引導(dǎo)學(xué)生積極交流互動(dòng)，分享彼此的學(xué)習(xí)心得，營(yíng)造集思廣益的學(xué)習(xí)環(huán)境.由此，可以有效激發(fā)學(xué)生的思維活力，幫助學(xué)生逐漸掌握逆向思維.

例3? 已知平面直角坐標(biāo)系中有A（1，2），B（5，n）兩個(gè)點(diǎn)，n＞0，在線段AB上存在一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，反比例函數(shù)y=kx（x＞0）的圖象剛好經(jīng)過(guò)點(diǎn)P.針對(duì)這道題，小剛說(shuō)：點(diǎn)P從A到B，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，k值會(huì)不斷增大，在點(diǎn)A最小，在點(diǎn)B最大.

根據(jù)以上題干條件，教師可以按照循序漸進(jìn)的方式，引出多個(gè)思考問題：

（1）令n=1，試求直線AB的函數(shù)表達(dá)式；

（2）你認(rèn)為小剛的說(shuō)法是否正確？說(shuō)明你的理由.如果不正確，試分析什么時(shí)候k最大，什么時(shí)候k最小，并求出對(duì)應(yīng)的最值；

（3）若小剛說(shuō)法沒有錯(cuò)誤，試求n的取值范圍.

以上幾道問題的難度依次遞增，問題（1）和問題（2）相對(duì)比較簡(jiǎn)單，通過(guò)正向思考，可以迅速列出函數(shù)表達(dá)式，證明小剛的結(jié)論是否正確.問題（3）則與常規(guī)提問有所不同.在多數(shù)情況下，題目會(huì)給出一個(gè)固定的范圍，要求學(xué)生求出對(duì)應(yīng)的值，而本題則反其道而行之，要求學(xué)生求出n的范圍.對(duì)此，教師可以通過(guò)逆向思考的方式，分別列舉n=2和n≠2這兩種不同的情況，進(jìn)行分類討論，并根據(jù)k的取值情況，推導(dǎo)出n的取值范圍.在此過(guò)程中，學(xué)生會(huì)逐漸熟悉逆向思維的運(yùn)用，理清解題思路，產(chǎn)生良好的逆向思維應(yīng)用意識(shí).

2.3 方法總結(jié)，掌握解題技巧

逆向思維在解題中的實(shí)踐應(yīng)用，并非單純地硬想硬算，其中也有一些科學(xué)的解題技巧，可以充分展現(xiàn)逆向思維的解題優(yōu)勢(shì).在實(shí)際教學(xué)中，教師可以幫助學(xué)生做好歸納總結(jié)，提煉高效的解題方法，讓學(xué)生在潛移默化中掌握良好的解題技巧，從而提高其分析問題和解決問題的能力.

例4? 已知某四邊形ABCD，存在兩個(gè)點(diǎn)M，N，二者分別為AB，CD的中點(diǎn).MN與AD、BC線段之和的一半恰好相等，求證：AD∥BC.

分析? 對(duì)于這道例題，可以通過(guò)常規(guī)的方式加以推導(dǎo).當(dāng)學(xué)生證明結(jié)論之后，教師可以趁熱打鐵，提示學(xué)生通過(guò)逆向思維進(jìn)行反證.比如，如圖1所示，假設(shè)AD與BC不屬于平行關(guān)系，如果將B，D連接，令P為線段BD的中點(diǎn)，將P點(diǎn)與M、N分別連接.在△ABD中，因?yàn)镸為AB中點(diǎn)，P為BD中點(diǎn)，則MP∥AD，MP=AD/2.同理，PN∥BC，PN=BC/2，所以MP+PN=（AD+BC）/2.根據(jù)先前的假設(shè)AD與BC不平行，可知BD中點(diǎn)不在MN上.否則，根據(jù)“三角形兩邊中點(diǎn)連線平行于第三邊”的性質(zhì)，可以推導(dǎo)出MN分別與AD、BC平行，則AD∥BC，與假設(shè)明顯矛盾.進(jìn)一步推導(dǎo)，由于M、P、N三點(diǎn)不屬于共線關(guān)系，則三點(diǎn)可以構(gòu)成三角形，其中兩邊之和大于第三邊，即MP+PN＞MN.將之前推導(dǎo)出的等式代入其中，可知（AD+BC）/2＞MN.這與題干中的條件“MN與AD、BC線段和的一半剛好相等”相互矛盾，故而假設(shè)不成立.

綜上所述，教師通過(guò)講解例題幫助學(xué)生梳理思路時(shí)，可以巧妙引入另辟蹊徑的推導(dǎo)方式——反證法，幫助學(xué)生掌握逆向思維的妙用.

2.4 拓展訓(xùn)練，促進(jìn)鞏固遷移

若想讓學(xué)生熟練掌握逆向思維，教師不能只重視課堂上的教學(xué)分析，更要加強(qiáng)課后的指導(dǎo)練習(xí).對(duì)此，教師可以通過(guò)拓展訓(xùn)練的方式，推薦一些有關(guān)逆向思維的經(jīng)典例題，為學(xué)生提供充足的實(shí)踐機(jī)會(huì).

例5? 計(jì)算（5-3）2（8+215）.

分析? 按照常規(guī)的教學(xué)思路，學(xué)生通常會(huì)按照固定的運(yùn)算順序，先計(jì)算（5-3）2，再結(jié)合多項(xiàng)式乘法法則展開，進(jìn)行合并和化簡(jiǎn).如果學(xué)生善用逆向思維，可以觀察到8+215這個(gè)式子可以轉(zhuǎn)化為（5+3）2.由此，就能將原式轉(zhuǎn)化成（5-3）2（5+3）2.再逆用積的乘方公式，就能順利求出結(jié)果.

例6? 已知三個(gè)方程x2+4ax-4a+3=0，x2+（a-1）x+a2=0，x2+2ax-2a=0至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析? 對(duì)于這道題目，若從正向思維的角度考慮，可能情況一共有七種.如果學(xué)生逐一分析，分別求出取值范圍，再取并集.不僅討論情況十分復(fù)雜，計(jì)算錯(cuò)誤的概率也會(huì)顯著提升.相反，若采用逆向思維，從三個(gè)方程均沒有實(shí)根切入思考，只需要考慮一種情況即可.

對(duì)于拓展訓(xùn)練而言，教師應(yīng)當(dāng)謹(jǐn)記，所選的題目應(yīng)盡量簡(jiǎn)練，應(yīng)當(dāng)針對(duì)所教的逆向思維解題方法，引入類型相似的練習(xí)題，開展專項(xiàng)訓(xùn)練.教師切記不要采用題海訓(xùn)練的方式，要求學(xué)生反復(fù)刷題.這樣不僅不能讓學(xué)生得到良好的練習(xí)效果，甚至弄巧成拙，給學(xué)生帶來(lái)巨大的解題負(fù)擔(dān).

2.5 綜合評(píng)價(jià)，注重歸納總結(jié)

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，教師需要實(shí)時(shí)了解學(xué)生的實(shí)際學(xué)情，判斷學(xué)生是否吃透、掌握了逆向思考的方式.對(duì)此，教師需要完善教學(xué)評(píng)價(jià)環(huán)節(jié)，通過(guò)綜合性的評(píng)價(jià)方式，加強(qiáng)歸納總結(jié)，為優(yōu)化下階段的解題提供良好的參考幫助.

3 結(jié)束語(yǔ)

在新課程改革背景下，初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容發(fā)生了較大的變動(dòng).學(xué)生不能只采用直來(lái)直往的方式解決問題，而是要學(xué)會(huì)善用逆向思維，從另一個(gè)角度切入問題.這不僅能提高學(xué)生的解題效率，強(qiáng)化學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，也有助于發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：［1］ 夏云云.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生逆向思維能力的培養(yǎng)［J］.基礎(chǔ)教育論壇，2023（15）：95-96.

［2］ 黃圣杰.逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］.數(shù)理天地（初中版），2023（13）：35-36.

［責(zé)任編輯：李? 璟］