【摘 要】圓錐曲線與方程是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一。研究圓錐曲線有兩個(gè)重要任務(wù)：一是研究它的概念及其標(biāo)準(zhǔn)方程，二是研究其性質(zhì)。在研究的過程中，教師可以基于具身認(rèn)知理念，引導(dǎo)學(xué)生通過體悟、探索、實(shí)驗(yàn)以及遷移，實(shí)現(xiàn)自主探究學(xué)習(xí)、深度學(xué)習(xí)，從而落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，打造生本課堂。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；概念數(shù)學(xué)；橢圓；具身認(rèn)知；核心素養(yǎng)

【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號(hào)】1005-6009（2024）15-0041-04

【作者簡(jiǎn)介】崔緒春，江蘇省清江中學(xué)（江蘇淮安，223001）教師，正高級(jí)教師。

“具身認(rèn)知”（Embodied Cognition）指人類思維和感知過程不僅來自于大腦神經(jīng)系統(tǒng)，還與身體的運(yùn)動(dòng)、肌肉和感知器官的活動(dòng)密切相關(guān)。具身認(rèn)知理論啟示教師要不斷創(chuàng)造條件，鼓勵(lì)學(xué)生通過多種感官訓(xùn)練手段去體悟、探索、實(shí)踐，從而促成探究學(xué)習(xí)、深度學(xué)習(xí)。［1］下面筆者以蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修一“橢圓概念”教學(xué)為例，闡述“具身認(rèn)知”理論下的高中數(shù)學(xué)生本課堂的實(shí)踐探索。

一、教學(xué)分析

（一）教學(xué)內(nèi)容分析

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，研究圓錐曲線不是用規(guī)律推理形式，而是運(yùn)用代數(shù)方法解決幾何問題，即用方程的解來表征幾何結(jié)論，這是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要體現(xiàn)?！皺E圓概念”是圓錐曲線章節(jié)起始課，由于橢圓與雙曲線、拋物線是同構(gòu)的，研究好橢圓的概念及其標(biāo)準(zhǔn)方程，對(duì)本章后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)具有基礎(chǔ)性與示范性作用。教材中直接給出橢圓定義，學(xué)生容易“知其然”但“不知其所以然”，對(duì)橢圓幾何屬性的認(rèn)知不夠透徹。因此，教學(xué)中筆者參考教材的章節(jié)導(dǎo)入內(nèi)容，嘗試依據(jù)歷史上數(shù)學(xué)家對(duì)于橢圓幾何性質(zhì)的探究，帶領(lǐng)學(xué)生從具體情境中抽象出橢圓的幾何本質(zhì)，經(jīng)歷完整的橢圓概念生成過程。

（二）教學(xué)目標(biāo)

1.初步了解橢圓等圓錐曲線的現(xiàn)實(shí)背景，感知橢圓等圓錐曲線在解決具體問題和表述現(xiàn)實(shí)世界方面的作用；

2.以具身認(rèn)知理論為指導(dǎo)，通過“旦德林雙球”實(shí)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生抽象、歸納出橢圓的定義，并能夠用恰當(dāng)?shù)淖匀徽Z言、符號(hào)語言進(jìn)行表征。

二、教學(xué)流程

（一）課堂引入：看一看

播放視頻：“天問一號(hào)”成功進(jìn)入預(yù)定軌道。

師：“天問一號(hào)”在蒼穹中劃過了一道優(yōu)美的曲線（如圖1），這條軌道曲線叫什么名字？

【設(shè)計(jì)意圖】通過觀看視頻，學(xué)生了解了我國的火星探測(cè)工程，了解了圓錐曲線的航天應(yīng)用，在引入新課的同時(shí)，激發(fā)了學(xué)生的愛國情懷和民族自豪感。

（二）問題提出：說一說

師：衛(wèi)星運(yùn)行的軌跡是橢圓。生活中還有哪些橢圓？請(qǐng)舉例說明。

生：油罐車橫截面，陽光斜照下籃球的影子，斜削火腿腸截面，雞蛋的縱截面……

師：同學(xué)們善于用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，舉的例子都很好！但是你能確定這些例子都是橢圓嗎？是不是只要把圓壓扁一點(diǎn)就是橢圓呢？究竟什么樣的圖形才是橢圓？讓我們帶著這些問題開始今天的學(xué)習(xí)。

【設(shè)計(jì)意圖】上述教學(xué)旨在引導(dǎo)學(xué)生提出問題。通過對(duì)話，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，讓學(xué)生自然而然產(chǎn)生這些問題，引導(dǎo)他們從數(shù)量關(guān)系上定量地去思考橢圓，實(shí)現(xiàn)學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)。

（三）實(shí)驗(yàn)感知：想一想

師：同學(xué)們，“跟著感覺走”明顯不行，我們必須從數(shù)量關(guān)系上定量地去思考橢圓的定義。如何從數(shù)量關(guān)系上定義橢圓？橢圓有什么性質(zhì)？為了解決這個(gè)問題，歷史上很多數(shù)學(xué)家深入探究，通過數(shù)量關(guān)系描述了橢圓上的點(diǎn)的規(guī)律。這個(gè)規(guī)律是什么呢？現(xiàn)在就讓我們一起沿著數(shù)學(xué)家走過的歷程，揭開它神秘的面紗。

1.知識(shí)預(yù)備

如圖2，在一個(gè)圓錐內(nèi)，上下放置兩個(gè)小球，容易得到：它們與圓錐側(cè)面的公共點(diǎn)形成兩個(gè)圓，我們把這兩個(gè)圓記作圓C1和圓C2。［2］

學(xué)生分小組討論研究以下問題。

【問題1】圓C1與圓C2所在平面平行嗎？

【問題2】取圓C1與圓C2之間的線段PQ，讓PQ與圓錐母線平行，請(qǐng)問PQ與兩小球相切嗎？

【問題3】若將線段PQ保持與圓錐母線平行，繞著圓錐的側(cè)面轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，線段PQ的長度變不變？為什么？

2.橢圓幾何性質(zhì)的探索

操作1：如下頁圖3，在圖2基礎(chǔ)上，用一個(gè)平面斜截圓錐得到橢圓形交線，并讓橢圓所在平面與兩個(gè)小球相切，記切點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，在橢圓上任取一點(diǎn)M，連接MF1，MF2。

操作2：如下頁圖4，現(xiàn)在過點(diǎn)M作之前那樣的PQ，由之前得到的結(jié)論：MF1，MP都與上方小球相切，所以│MF1│=│MP│（切線長相等），同理，│MF2│=│MQ│。

師：通過觀察推理可得，當(dāng)點(diǎn)M在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，MF1，MF2分別與上下兩個(gè)小球總相切?，F(xiàn)在，讓我們想一想剛才的問題“能否用數(shù)量關(guān)系表示橢圓上的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律？”請(qǐng)同學(xué)們按照小組，繼續(xù)討論以下問題。

【問題4】除了線段PQ的長度之外，在橢圓所在平面內(nèi)，還有什么幾何量是不變的嗎？

【問題5】當(dāng)點(diǎn)M在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F1，F(xiàn)2的位置不發(fā)生變化。能否用語言描述一下：橢圓上的點(diǎn)應(yīng)具有怎樣的性質(zhì)呢？

學(xué)生通過對(duì)問題的自主探究和交流討論得到橢圓的性質(zhì)：橢圓上的任意一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)，其中兩個(gè)定點(diǎn)叫作橢圓的焦點(diǎn)，焦點(diǎn)之間的距離稱為焦距，即：│MF1│+│MF2│=│MP│+│MQ│=│PQ│= 定值。

3.了解數(shù)學(xué)史

師：同學(xué)們，這個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是19世紀(jì)比利時(shí)數(shù)學(xué)家旦德林給出的，旦德林在圓的切線與圓錐等領(lǐng)域研究上取得了突出成就，聞名世界的“旦德林雙球”就是用他的名字命名的，我們要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家旦德林勇于探索的創(chuàng)新精神。正是因?yàn)橥ㄟ^一平面截圓錐面，可以得到橢圓、雙曲線、拋物線，所以橢圓、雙曲線、拋物線才被稱為圓錐曲線。

【設(shè)計(jì)意圖】通過圓錐背景下的“旦德林球”，探索并發(fā)現(xiàn)橢圓的本質(zhì)特征是本節(jié)課的難點(diǎn)。學(xué)生了解橢圓發(fā)展史上旦德林的經(jīng)典證明，體會(huì)數(shù)學(xué)家巧妙的數(shù)學(xué)方法——構(gòu)造法，并進(jìn)行數(shù)學(xué)文化滲透。

（四）數(shù)學(xué)建構(gòu)：畫一畫

師：同學(xué)們，通過剛才的實(shí)驗(yàn)，我們研究出了橢圓的幾何性質(zhì)，即橢圓上的任意一點(diǎn)滿足到兩定點(diǎn)距離之和為定值的數(shù)量關(guān)系。反過來，滿足這一數(shù)量關(guān)系的點(diǎn)的軌跡是否是橢圓呢？下面我們來畫橢圓，看看滿足條件的點(diǎn)的軌跡是否為橢圓。

活動(dòng)方案：（1）拿出準(zhǔn)備好的硬紙板、圖釘、細(xì)線；（2）用圖釘固定好F1、F2，把細(xì)線兩端固定在圖釘上，用筆撐直繩子，同桌兩人共同配合，讓筆與繩之間是自由運(yùn)動(dòng)的，這樣轉(zhuǎn)動(dòng)一周，畫出的圖形就是橢圓（如圖5）。

學(xué)生在活動(dòng)探究的基礎(chǔ)上思考以下問題。

【問題6】畫橢圓時(shí)，PF1，PF2的距離之和為什么要大于點(diǎn)F1，F(xiàn)2之間的距離？

【問題7】為什么這樣畫出來的圖形就是橢圓？

師：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)2a（2a大于│F1F2│）的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓。兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫作橢圓的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)間的距離叫作橢圓的焦距。當(dāng)2a =│F1F2│時(shí)，軌跡為線段F1F2；當(dāng)2a＜│F1F2│時(shí)，軌跡不存在。

【設(shè)計(jì)意圖】通過畫橢圓的活動(dòng)，學(xué)生對(duì)橢圓的本質(zhì)特征有了更深刻的認(rèn)知，更直觀地體會(huì)了橢圓定義，為后續(xù)研究橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程作鋪墊。

（五）知識(shí)應(yīng)用：做一做

例1：若動(dòng)點(diǎn)M（x，y）到定點(diǎn)F1（-4，0）和F2（4，0）的距離的和為10，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為（? ? ）

A.橢圓? ?B.雙曲線? ?C.線段? ?D.圓

變式1：動(dòng)點(diǎn)M（x，y）到定點(diǎn)F1（-4，0）和F2（4，0）的距離的和為8，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是? ? ? 。

變式2：動(dòng)點(diǎn)M（x，y）到定點(diǎn)F1（-4，0）和F2（4，0）的距離的和為6，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是? ? ? 。

變式3：方程[x2+（y+4）2]+[x2+（y-4）2]=10表示的曲線是? ? ? 。

【設(shè)計(jì)意圖】通過幾道題目，學(xué)生進(jìn)一步明確橢圓的定義，在概念的辨析中增強(qiáng)學(xué)生對(duì)橢圓概念的理解與記憶，為后續(xù)推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程作鋪墊。

（六）反思提煉：悟一悟

（1）同學(xué)們，請(qǐng)回顧今天的學(xué)習(xí)內(nèi)容，大家有哪些收獲？

（2）詩歌欣賞：

橢圓

偏行已是欲離轍，浩瀚星空藉此歌。

一種相思天注定，月盈之夜兩心合。

三、教學(xué)反思

（一）基于具身認(rèn)知，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)

上述教學(xué)基于“具身認(rèn)知”理論，通過橢圓性質(zhì)探究、畫橢圓等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生沿著數(shù)學(xué)家的思路探究、歸納橢圓的概念。教學(xué)以展示學(xué)生的研究成果為主，教師主要引導(dǎo)學(xué)生在探究的過程中逐漸形成觀察發(fā)現(xiàn)、積極思考的習(xí)慣。這個(gè)過程既發(fā)展了學(xué)生數(shù)學(xué)概括、抽象能力和合作意識(shí)，又落實(shí)了教學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)要求。當(dāng)視覺、聽覺、直覺、身體都共同作用時(shí)，學(xué)生腦中烙下了深刻的印象，這樣的教學(xué)很大程度上提高了學(xué)習(xí)的深度，讓學(xué)習(xí)活動(dòng)真正發(fā)生。

（二）突出主體地位，促使學(xué)生主動(dòng)發(fā)展

本節(jié)課突出學(xué)生主體，所有問題都是學(xué)生自己動(dòng)手、動(dòng)腦去探索和“再創(chuàng)造”的。在這樣的教學(xué)情境下，學(xué)生的思想是開放的、靈活的，能產(chǎn)生更多的“生成的東西”，能體驗(yàn)到更多成功感和愉悅感。這種教學(xué)法與傳統(tǒng)的以教師為中心的教學(xué)相比，有以下優(yōu)點(diǎn)：以學(xué)生為中心，有效調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性；有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力；培養(yǎng)了學(xué)生的合作學(xué)習(xí)意識(shí)；培養(yǎng)了學(xué)生的主動(dòng)探究意識(shí)與創(chuàng)新精神。［3］

（三）設(shè)計(jì)鏈?zhǔn)絾栴}，促使學(xué)生思維創(chuàng)新

根據(jù)“學(xué)生最近發(fā)展區(qū)”理論，筆者為了讓學(xué)生理解旦德林雙球?qū)嶒?yàn)，突破難點(diǎn)，精心設(shè)置了7個(gè)問題，形成了問題鏈，步步相連、逐步推進(jìn)，這不僅有利于啟迪學(xué)生的思維，還能加深學(xué)生對(duì)橢圓本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，同時(shí)通過這些問題的解決，鞏固了學(xué)生對(duì)橢圓概念的理解，有效地激發(fā)學(xué)生自己去探索、研究。筆者認(rèn)為在課堂教學(xué)中，教師提出的問題，就要像一根鏈條，每個(gè)問題都是鏈條上的一環(huán)，環(huán)環(huán)相扣，步步相依，由淺入深，拾級(jí)而上，呈現(xiàn)梯度性。這樣能夠充分暴露學(xué)生的思維過程，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思路。

【參考文獻(xiàn)】

［1］李昱蓉.具身學(xué)習(xí)：立足學(xué)科核心素養(yǎng)的學(xué)習(xí)方式［J］.當(dāng)代教育科學(xué)，2017（9）：7-10.

［2］徐迪斐.“圓錐曲線”起始課教學(xué)設(shè)計(jì)［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2015（10）：2-8.

［3］崔緒春.新課程理念下課堂上如何啟迪學(xué)生的數(shù)學(xué)思維［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2014（17）：12-13.