成偉君

摘 要數(shù)學(xué)文化是具有內(nèi)涵和外延的系統(tǒng)概念，由于數(shù)學(xué)文化是高職微積分有效教學(xué)的重要前提，同時(shí)也是促進(jìn)教師有效教學(xué)和學(xué)生高效學(xué)習(xí)的源泉，因此數(shù)學(xué)文化在理論和教學(xué)實(shí)踐中都是貫穿高職微積分有效教學(xué)的必由之路。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)文化；高職微積分；有效教學(xué)

數(shù)學(xué)文化是國(guó)內(nèi)外研究的熱點(diǎn)課題，也是目前教育界積極探索實(shí)踐的問(wèn)題。它的內(nèi)涵在于數(shù)學(xué)作為文化的一種類型，具有普遍性和特殊性，其特殊性也是作為數(shù)學(xué)所獨(dú)有的，如數(shù)學(xué)思想的高度抽象性、數(shù)學(xué)精神的深度概括性、數(shù)學(xué)語(yǔ)言的完美簡(jiǎn)潔性、數(shù)學(xué)方法的獨(dú)特靈活性。它的外延在于數(shù)學(xué)作為文化同時(shí)與經(jīng)濟(jì)、科技、人文、歷史、美學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域緊密聯(lián)系，而這種聯(lián)系都促進(jìn)人類文明的進(jìn)步與發(fā)展。

1 數(shù)學(xué)文化是貫穿高職微積分有效教學(xué)的必由之路

1.1 數(shù)學(xué)文化是高職微積分有效教學(xué)的重要前提

有效教學(xué)的理論源于20世紀(jì)上半葉西方教學(xué)科學(xué)化運(yùn)動(dòng)。通常有效教學(xué)指“教師遵循教學(xué)活動(dòng)的客觀規(guī)律，以盡可能少的時(shí)間、精力和物力投入，取得盡可能多的教學(xué)效果，從而實(shí)現(xiàn)特定的教學(xué)目標(biāo)，滿足社會(huì)和個(gè)人的教育價(jià)值需要。”同時(shí)筆者認(rèn)為所謂有效教學(xué)是教師有效的教學(xué)與學(xué)生高效的學(xué)習(xí)的完美結(jié)合，即教師的“教”與學(xué)生的“學(xué)”都達(dá)到事半功倍的效果。數(shù)學(xué)文化是微積分進(jìn)行有效教學(xué)的重要前提條件，因?yàn)閿?shù)學(xué)文化滲透高職微積分的各個(gè)方面。

數(shù)學(xué)文化貫穿于微積分發(fā)展歷史中。雖然微積分做為正式學(xué)科產(chǎn)生于近代，但是微積分的思想?yún)s始于古代。古希臘阿基米德的《圓的測(cè)量》與春秋莊子“一尺之捶，日取其半，萬(wàn)世不竭”等都體現(xiàn)了微積分的思想。17世紀(jì)偉大科學(xué)家牛頓和萊布尼茲創(chuàng)設(shè)了微積分的系統(tǒng)理論，并廣泛的應(yīng)用于天文學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域，但其中的過(guò)程細(xì)節(jié)存在邏輯矛盾，由此產(chǎn)生了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。19世紀(jì)柯西等數(shù)學(xué)家從理論上解決“無(wú)窮小量”問(wèn)題，從而結(jié)束了長(zhǎng)達(dá)兩個(gè)世紀(jì)的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。目前微積分的應(yīng)用則更加廣泛。

數(shù)學(xué)文化貫穿于微積分的思想方法中。微積分的學(xué)習(xí)不僅是知識(shí)的學(xué)習(xí)，也不僅是培養(yǎng)邏輯思維能力、綜合計(jì)算能力、創(chuàng)新發(fā)展能力，更要從思想方法的高度來(lái)正確把握微積分，理解微積分思想中蘊(yùn)涵的辯證法思想、美學(xué)思想、科學(xué)哲學(xué)思想、人類思維發(fā)展的艱辛曲折過(guò)程。微積分思想的理解不是依靠做題目解答出來(lái)的，而是必須依托數(shù)學(xué)文化的詮釋和解讀。

1.2 數(shù)學(xué)文化是促進(jìn)教師對(duì)微積分有效教學(xué)的助推劑

數(shù)學(xué)文化幫助教師更有效的使學(xué)生理解微積分。在具體的高職微積分教學(xué)實(shí)踐中，高職學(xué)生對(duì)極限、微積分的概念和符號(hào)（如“l(fā)im”、“df（x）”、“∫”）若僅從教科書來(lái)解讀，往往不理解，甚至死記硬背都記不下。而如果在教學(xué)中從數(shù)學(xué)文化的角度來(lái)解讀，則可以極大幫助學(xué)生理解微積分。如極限可以從微積分發(fā)展歷史來(lái)加以介紹；積分的概念可以適當(dāng)解讀為最早為解決不規(guī)則圖形的面積（如同學(xué)們熟知的圓面積公式來(lái)源）進(jìn)而解決體積、質(zhì)量等問(wèn)題；“∫”則是“Sum”首字母的拉長(zhǎng)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)符號(hào)的簡(jiǎn)潔概括美。

數(shù)學(xué)文化幫助教師更有效的組織教學(xué)。通過(guò)數(shù)學(xué)文化貫穿高職微積分有效教學(xué)中，可以使教師在教學(xué)手段、教學(xué)形式、教學(xué)方法等方面都有新的突破，從而更有效的組織教學(xué)。在教學(xué)手段方面，可以在傳統(tǒng)教學(xué)中適當(dāng)穿插介紹微積分發(fā)展史的多媒體資料、通過(guò)多媒體動(dòng)畫效果展示極限的“無(wú)限接近”過(guò)程、適當(dāng)運(yùn)用Matlab軟件計(jì)算微積分等。在教學(xué)形式方面，在班級(jí)授課的基礎(chǔ)上可以圍繞極限、微積分在日常生活中的應(yīng)用進(jìn)行分組討論，然后將每組的結(jié)果予全班同學(xué)分享，從而提高教學(xué)的趣味性。在教學(xué)方法方面，高職微積分教學(xué)如果僅僅使用講授法教學(xué)，其結(jié)果必然不佳。由于數(shù)學(xué)文化的博大精深，更由于數(shù)學(xué)文化與微積分的緊密聯(lián)系，數(shù)學(xué)文化給予高職微積分教學(xué)提供了多種教學(xué)方法的選擇，如討論法可以應(yīng)用在求極限的幾種方法，探究法可以應(yīng)用在從數(shù)學(xué)文化的角度探索出積分的概念。

1.3 數(shù)學(xué)文化是促進(jìn)高職學(xué)生對(duì)微積分高效學(xué)習(xí)的發(fā)動(dòng)機(jī)

數(shù)學(xué)文化激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高職微積分的興趣。學(xué)生學(xué)習(xí)興趣對(duì)于高效學(xué)習(xí)的實(shí)現(xiàn)起著重要的作用。筆者經(jīng)過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，大部分高職學(xué)生并非初始就對(duì)微積分缺乏興趣，而是認(rèn)為微積分課程缺少生動(dòng)有趣。數(shù)學(xué)文化貫穿高職微積分有效教學(xué)中可以使原本感覺乏味的課程變得生動(dòng)有趣，因?yàn)閷W(xué)生從微積分中的數(shù)學(xué)史感受人類發(fā)展道路的曲折，學(xué)生從微積分中的數(shù)學(xué)美學(xué)會(huì)欣賞自然的和諧美，學(xué)生從微積分中的數(shù)學(xué)思想領(lǐng)悟思想方法的重要性，學(xué)生從微積分中的人文價(jià)值理解學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目標(biāo)。

數(shù)學(xué)文化激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高職微積分的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)是引起和維持個(gè)體的學(xué)習(xí)行為以滿足學(xué)習(xí)需要的心理傾向。在目前激烈社會(huì)競(jìng)爭(zhēng)情況下，高職學(xué)生有著強(qiáng)烈的專業(yè)發(fā)展動(dòng)機(jī)，渴望升學(xué)成為他們最直接的目的。因此，高效學(xué)習(xí)微積分、高效學(xué)好微積分成為大部分高職學(xué)生的迫切需要。若僅僅通過(guò)題目練習(xí)，則往往在一知半解的情況下并不能達(dá)到良好的效果。高職微積分中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)文化，它的豐富的內(nèi)涵和外延往往能夠滿足學(xué)生學(xué)好微積分的需要。因?yàn)樗軌驈霓q證法的高度揭示微積分概念的本質(zhì)，它能夠從歷史美學(xué)的方向把握微積分課程的總體脈絡(luò)，它能夠從思想方法的角度啟發(fā)解決微積分問(wèn)題的思路。

2 數(shù)學(xué)文化貫穿高職微積分有效教學(xué)的實(shí)踐策略

2.1 數(shù)學(xué)史貫穿高職微積分有效教學(xué)

數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)理論的建構(gòu)發(fā)展史，同時(shí)也是人類理性思維的探索歷程史。教師通過(guò)數(shù)學(xué)史的解讀可以讓學(xué)生理解微積分是不斷進(jìn)步的生動(dòng)有趣的課程。首先，通過(guò)數(shù)學(xué)史創(chuàng)設(shè)的情境讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力。教師可以介紹微積分概念的起源和發(fā)展、數(shù)學(xué)家的趣聞逸事、古今數(shù)學(xué)思想方法的比較等。具體如：函數(shù)教學(xué)時(shí)介紹康托、集合論引起的悖論以及第三次數(shù)學(xué)危機(jī)，極限連續(xù)教學(xué)時(shí)介紹柯西、古代極限思想，導(dǎo)數(shù)微分教學(xué)時(shí)介紹符號(hào)的演變、第二次數(shù)學(xué)危機(jī)等。其次，數(shù)學(xué)歷史故事、事件、過(guò)程培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和探索精神。如可以介紹瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，在其雙目完全失明的情況下，他憑借驚人的毅力和記憶對(duì)微積分研究達(dá)17年之久，期間還口述了幾本書和幾百篇論文，使微積分有了里程碑式的發(fā)展。

2.2 數(shù)學(xué)美貫穿高職微積分有效教學(xué)

數(shù)學(xué)美具有美的特性，教師通過(guò)數(shù)學(xué)美的詮釋使學(xué)生學(xué)會(huì)感受美、欣賞美。因?yàn)閿?shù)學(xué)美更體現(xiàn)在具有簡(jiǎn)潔、對(duì)稱、和諧的特性。首先，微積分符號(hào)體現(xiàn)數(shù)學(xué)美的簡(jiǎn)潔性。微積分符號(hào)的簡(jiǎn)潔性增進(jìn)思維敏捷度，將相對(duì)復(fù)雜的含義簡(jiǎn)單的表示出來(lái)，促進(jìn)微積分的發(fā)展。如：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)只需使用f（x）即可，但若沿用極限來(lái)表示，則顯得復(fù)雜并難以理解。其次，微積分解題應(yīng)用體現(xiàn)數(shù)學(xué)美的對(duì)稱體性。微積分中數(shù)形對(duì)稱頗為常見，這也常常能給理解記憶和解題帶來(lái)幫助。如：導(dǎo)數(shù)的積的公式（uv）=uv+uv，分部積分公式∫udv = uv-∫vdu可變形為：∫udv +∫vdu=uv+C。再次，微積分公式體現(xiàn)數(shù)學(xué)美的和諧性。和諧性貫穿于微積分之中。微積分基本定理中微分的局部性質(zhì)與積分的整體性質(zhì)是統(tǒng)一的。如：由于微分與積分互為逆運(yùn)算，從基本導(dǎo)數(shù)公式可以直接推出基本積分公式；又如：羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒定理之間密切聯(lián)系體現(xiàn)了微分中值定理的統(tǒng)一與和諧。

2.3 聯(lián)系實(shí)際貫穿高職微積分有效教學(xué)

微積分是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，同時(shí)也是解決其他自然科學(xué)的基礎(chǔ)。教師通過(guò)將聯(lián)系實(shí)際貫穿微積分使學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到其解決實(shí)際問(wèn)題的價(jià)值和意義。微積分聯(lián)系實(shí)際的應(yīng)用，可以通過(guò)對(duì)物理（特別是運(yùn)動(dòng)與力學(xué)）、幾何、經(jīng)濟(jì)、生物中數(shù)量變化關(guān)系的分析，建立簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型并通過(guò)微積分計(jì)算加以解決，從而豐富教學(xué)內(nèi)容、調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性、拓寬學(xué)生思路，逐步將學(xué)生引導(dǎo)到微積分的學(xué)習(xí)中來(lái)。

2.4 強(qiáng)調(diào)過(guò)程貫穿高職微積分有效教學(xué)

筆者認(rèn)為高職微積分有效教學(xué)必須強(qiáng)調(diào)過(guò)程教學(xué)，必須強(qiáng)調(diào)微積分知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程。教師通過(guò)強(qiáng)調(diào)過(guò)程貫穿高職微積分，從而促使學(xué)生充分理解微積分的概念。如：導(dǎo)數(shù)教學(xué)中，若教師使用常規(guī)講授法，即先直接講導(dǎo)數(shù)的定義，而后給出基本導(dǎo)數(shù)公式，最后通過(guò)習(xí)題給學(xué)生練習(xí)鞏固。則學(xué)生只能是機(jī)械的記憶公式然后解題，并未真正理解導(dǎo)數(shù)。因此，強(qiáng)調(diào)過(guò)程的有效教學(xué)應(yīng)該是先例舉如自由落體瞬時(shí)速度問(wèn)題，讓學(xué)生帶著這個(gè)問(wèn)題去主動(dòng)探尋答案，而后通過(guò)極限計(jì)算簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再給出導(dǎo)數(shù)的定義，教師例舉較復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算，再給出基本導(dǎo)數(shù)公式，最后進(jìn)行鞏固練習(xí)。

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作者單位

無(wú)錫城市職業(yè)技術(shù)學(xué)院 江蘇省無(wú)錫市 214153