檀結慶

(合肥工業(yè)大學 數學學院,合肥 230601)

0 引 言

數值分析是一門重要的專業(yè)基礎課程,該課程所涵蓋的內容、方法和思想在工業(yè)、農業(yè)、國防和科學技術各領域都具有顯著的應用價值,該課程也是幾乎所有高校數學學院本科生觸及科學計算方法的第一門課程.通過該課程的學習,主要培養(yǎng)學生科學的思維方法、良好的計算修養(yǎng)以及較強的分析問題和解決問題的能力.數值分析的理論、方法和思想無疑將為人工智能時代的大數據分析與處理奠定堅實的算法基礎.

黨的二十大報告強調,要全面提高人才自主培養(yǎng)質量,著力造就拔尖創(chuàng)新人才.要強化國家戰(zhàn)略科技力量,提升國家創(chuàng)新體系整體效能,形成具有全球競爭力的開放創(chuàng)新生態(tài).[1]

大變局時代使我國科技創(chuàng)新的外部環(huán)境變得更加嚴峻,補短板強弱項的時代任務變得更加艱巨,壯大國家戰(zhàn)略科技力量的崇高使命也變得更加迫切.如何創(chuàng)建與國際接軌的基礎學科課程體系,如何使學生不出國門就能達到知識的世界級標準,已成為廣大教育工作者思考的時代命題.

“夫事未有不生于微而成于著,圣人之慮遠,故能謹其微而治之,眾人之識近,故必待其著而后救之;治其微則用力寡而功多,救其著則竭力而不能及也.”這是出自《資治通鑒》[2]的名言,意思是,見微知著,著眼長遠,才能防患于未然.未雨綢繆,加快基礎學科核心課程的國際化建設步伐,助力高層次高素質創(chuàng)新型國際化專業(yè)人才的自主培養(yǎng),無疑應納入我們的戰(zhàn)略考量.

數值分析課程采用雙語教學,旨在使學生在系統(tǒng)學習專業(yè)基礎知識的同時,還能較好地學習專業(yè)英語,既涵養(yǎng)家國情懷,又兼具國際視野,做到一箭雙雕,使學生具備跨文化的專業(yè)交流能力,提升國際競爭力,為將來走向國際舞臺,深度參與全球創(chuàng)新治理打下良好基礎.因此,數值分析雙語課程建設無疑是基礎學科核心課程國際化建設的一種有益嘗試,也是創(chuàng)新型國際化人才自主培養(yǎng)的一種積極探索.

1 數值分析雙語課程教學改革

1.1 教材建設

多年來,筆者所在學院一直選用高等教育出版社出版的影印版全英文教材《Numerical Analysis》(Seventh Edition),該教材由Burden R L和Faires J D編寫,已在美國、英國、澳大利亞、墨西哥、加拿大、新加坡以及西班牙等國家的大學中普遍采用,也是國家教育部推薦的優(yōu)秀教材之一.該影印版教材內容較豐富,而實際課堂教學課時有限,沒有足夠的時間講授完教材中的所有內容,教學內容的取舍成為一個不得不面對的現實問題.通過十余年的雙語教學實踐,深深感受到,編寫一本契合實際需要的數值分析雙語教材,顯得很有必要.雙語教材主要內容擬定為數學基礎知識,包括常見數學公式及數學表達式的英語讀法、微積分回顧、誤差與有效數字等;求解線性方程組的直接方法,包括Gauss 消元法、選主元策略、矩陣分解法等;矩陣代數迭代技術,包括向量范數與矩陣范數、特征值與特征向量、解線性方程組的迭代法、收斂性分析與SOR迭代法、條件數和迭代優(yōu)化等;一元方程求根,包括二分法、不動點迭代與誤差分析、Newton法、弦截法等;多項式插值,包括Lagrange插值、Neville插值、Newton插值、Hermite插值、三次樣條插值等;逼近論,包括離散最小二乘逼近、正交多項式、最小平方逼近、Chebyshev多項式、冪級數的約化等;數值微分與數值積分,包括數值微分、Richard外推、數值積分、復化求積公式、Romberg積分、Gauss求積等;常微分方程初值問題,包括初值問題基本理論、Euler方法、Runge-Kutta方法、多步方法等.

考慮到數值分析雙語教材應盡可能體現出雙語特色,因此,該教材既不能編撰成國外出版的英文版教材的注釋版,也不能編寫成像某些英語文學作品那樣的英漢對照版,而要對教材的組織架構重新進行設計,使其達到既“利于學”,又“便于教”的雙重效果.有鑒于此,雙語教材的編寫邏輯體現在以下兩個方面:一是使學生能夠在規(guī)定的學時內順利地完成該教程的系統(tǒng)學習;二是完成本教程的學習后,學生的學科專業(yè)知識將得到進一步夯實,專業(yè)英語應用能力也將有較大程度的提高.雙語教材的編寫思路是,盡力促使學生在學習該課程時,能心無旁騖地將注意力集中在對課程內容的理解、消化和吸收上,而不是面對專業(yè)英語,感到一臉茫然,一籌莫展,將大量時間和精力花費在對英語語言的理解上.雙語教材的主要特色體現在以下八個方面:一是每個章節(jié)標題均有中英文對照,方便學生了解章節(jié)內容概貌;二是在每一章具體內容之前,均用中文列出該章的學習目標,使學生懷著明確的目的去學習;三是正文內容用英語陳述,對關鍵詞或關鍵術語用中文進行標注,從而減少語言阻尼時間;四是每章后面均配置豐富的Matlab算法程序與計算實例,幫助學生鞏固所學知識,感受算法的魅力與樂趣;五是每章后面均用中文概括出該章的要點,幫助學生強化所學內容,達到去粗取精的目的;六是每章后均配置若干與該章內容相關的問題供學生思考與討論,進一步激發(fā)學生的學習興趣,培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力,實現內涵與外延的有機統(tǒng)一;七是每章后均以英漢對照的方式列出該章出現的關鍵術語,使學生輕松熟悉專業(yè)英語詞匯和習慣表達;八是每章最后設計“延伸閱讀”模塊,該模塊用中文撰寫,主要內容包括:數學家傳記、非線性方程組求解方法、有理函數插值、連分式插值、Padé逼近、最佳一致逼近、高斯求積公式的收斂性、Radau求積公式與Lobatto求積公式、Euler-Maclaurin展開、常微分方程邊值問題等,作為對課堂教學內容的自然延伸和補充,供學生課外閱讀,籍此拓展學生的視野.

編寫的《數值分析雙語教程》[3](六十余萬字)已入選工業(yè)與信息化部“十四五”規(guī)劃教材,并于2023年9月由科學出版社出版.

1.2 教學改革

本團隊十余年來的數值分析雙語教學實踐表明,課程教學改革常常被盲點、痛點、堵點、難點這“四點”所困擾,其中,雙語教學理念的創(chuàng)新是盲點,雙語教學模式的創(chuàng)新是痛點,雙語教學方法的創(chuàng)新是堵點,雙語教學環(huán)境的創(chuàng)新是難點.去盲點、治痛點、疏堵點、破難點,一直伴隨著艱辛的數值分析雙語教學改革過程.創(chuàng)新雙語教學理念,首先,要從“國之大者”和“民之關切”兩個層面將雙語教學的目的和意義講清楚.胸懷“國之大者”應具備寬廣的政治視野和深遠的戰(zhàn)略思維,理性引導學生的價值追求;情系“民之關切”應激發(fā)學生自勵的學習動機和強烈的求知欲望,合理引導學生的心理預期,努力做到精于傳道、勤于授業(yè)、敏于解惑.其次,要將數值分析的內容、方法和思想道明白.數值分析的本質就是科學計算方法,“讓所有對象可聯(lián)接”“讓所有應用可模型”“讓所有決策可計算”,已成為人工智能時代的標簽.打造堅實的算力底座,護航人工智能的迭代升級,需要堅實的數值分析基礎和強大的科學計算能力.創(chuàng)新雙語教學模式,應注重因材施教,從全英文教材逐漸過渡到自編的雙語特色教材,樹立科學的教學觀、質量觀,堅持傳授知識、塑造能力、提高素質、涵養(yǎng)情懷協(xié)調發(fā)展,打破傳統(tǒng)教學模式,充分發(fā)揮教師和學生的雙主體作用.創(chuàng)新雙語教學方法,應充分運用啟發(fā)式、探究式、討論式、參與式等教學方法,調動學生學習的積極性、主動性、能動性,使學生實現從被動接受到主動進取的方式轉變,從消極懈怠到積極思考的態(tài)度轉變,從“要我學”到“我要學”的情懷轉變.為推進學生知識能力素質的有機融合,培養(yǎng)學生解決復雜問題的綜合能力和高級思維,我們設計了看似簡單實則不平凡的教學案例.例如,在課堂教學中以無理數的計算為切入點,學生利用所學到的知識給出盡可能多的解決方案,并對不同的數值計算方法進行分析、比較和評價.管中窺豹,見微知著,既可籍此講述數學史上的第一次數學危機,又可介紹一些課本中沒有涉及到的新方法,從而開啟心智,致廣大而盡精微.通過討論與反思來提高思維能力和情感智慧,學生領悟科學計算魅力的同時,揭示小切口蘊藏著大視野,我們目前所掌握的方法可能是科學計算海洋中的滄海一粟,激勵學生秉持“惟進步,不止步”的學習態(tài)度,恪守“沒有最好,只有更好”的執(zhí)著追求.又如,在講授Hermite插值時,可考慮兩個方面的自然延伸.一是,在簡要介紹Hermite學術貢獻的同時,順便提及,Hermite培養(yǎng)了一個杰出學生,他的名字叫做Poincaré(龐加萊),由此引出著名的龐加萊猜想(Poincaré conjecture)以及與此猜想證明相關聯(lián)的數學家傳奇故事;二是,通過對兩點三次Hermite插值的幾何描述,順理成章地切入到計算機輔助幾何設計(Computer Aided Geometric Design 簡稱CAGD)領域基于控制多邊形的幾何建模思想方法,并啟發(fā)同學們思考,控制多邊形滿足什么條件時,兩點三次Hermite插值對應的控制多邊形內切三次曲線與三點五次Hermite插值對應的控制多邊形內切五次曲線均退化為同一條二次曲線(拋物線)?創(chuàng)新雙語教學環(huán)境,應善于引經據典講述與課程內容相關的數學家成長成才故事,營造輕松活潑、守正創(chuàng)新的優(yōu)秀文化氛圍,通過闡述本課程所蘊含的科學計算思想,讓學生感知和領悟“算例、算法、算力”驅動的新一代人工智能技術[4]如何與數值分析方法密切關聯(lián).教師因與學生分享自己的知識而快樂,學生因向教師反饋他們的見解而滿足,從而雙向賦能,相互成就.

1.3 團隊建設

數值分析教學團隊結構優(yōu)化、力量較雄厚,團隊成員中享受國務院政府特殊津貼1人,安徽省2023年高端人才引育行動項目杰出人才1人、領軍人才1人,安徽省教學名師3人,安徽省教壇新秀4人,合肥工業(yè)大學教學名師4人,合肥工業(yè)大學最受歡迎老師5人.青山載月素履往,不啻微芒化炬陽.主要成員多年從事數值分析課程教學,積累了豐富的教學經驗,他們立德樹人、教書育人、愛崗敬業(yè)、默默奉獻,在高質量完成本科生和研究生教學任務的同時,還身體力行,積極參與教學研究和科學研究活動,取得了大批教研成果和科研成果,以自我心底之光,為青年教師點起微芒,照亮他們前行的方向.

團隊圍繞能力導向一體化教學體系,對照國家級一流本科課程建設標準“兩性一度”的要求,在課程的高階性、創(chuàng)新性、挑戰(zhàn)度上不斷探索,培養(yǎng)學生解決復雜問題的綜合能力和高級思維,不斷改革和創(chuàng)新教學方案設計,在三個“相統(tǒng)一”上做文章.首先,在課程內容上追求前沿性和時代性相統(tǒng)一,例如,在講授多項式回歸這個知識點時,穿插介紹數據挖掘、知識發(fā)現、云計算、機器學習等相關人工智能領域知識,使學生將所學內容與當代前沿熱點緊密關聯(lián)起來.其次,在教學形式上追求先進性和互動性相統(tǒng)一,每一次課堂教學中,都會設計一些問題向學生提問,增添了課堂的熱烈氣氛.最后,在學習結果上追求探究性與個性化的統(tǒng)一,這方面的主要舉措體現在課堂測試上,代之于千人一卷的傳統(tǒng)測試模式,按學號對學生進行分組,各組通過抽簽方式獲取測試題,測試題具有一定的探究性和開放性,學生在規(guī)定時間內完成測試題的解答后,在每一組隨機請一位成員代表其所在的小組進行匯報.考評不拘泥于細節(jié),而側重于解題思路,設計這樣的測試環(huán)節(jié)旨在有意識地培育團隊意識、責任意識和協(xié)作精神,從而實現互學互鑒、共同進步.團隊成員不斷探索課程思政新方法新途徑,堅持文化引領,堅持科研驅動,堅持創(chuàng)新導向,不斷提高課程教學質量和團隊的整體教學水平.

在數值分析雙語示范課程建設過程中,積極吸納新生代教師加入團隊,致力于培養(yǎng)年輕的后備人才,努力建設一支學術造詣深、教學水平高、師德高尚、年齡結構和知識結構合理、充滿活力和朝氣的教學團隊.

團隊致力于改進和完善具有自我特色的教學方法,在保證高質量課堂教學質量的同時,通過指導學生參加各類創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練計劃項目、互聯(lián)網+大賽、挑戰(zhàn)杯等途徑來不斷提升團隊的實踐教學水平,多名本科生在團隊成員指導下主持了國家級、省級和校級大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練計劃項目,并在國際知名學術期刊上發(fā)表了英文論文.團隊成員指導本科生的研究成果“基于高維分段線性插值函數的油藏參數反演”參加“挑戰(zhàn)杯”比賽,獲得了安徽省挑戰(zhàn)杯一等獎、國家級挑戰(zhàn)杯三等獎,該研究成果已集成到自主研發(fā)的軟件中,得到了大慶油田的高度評價.

2 數值分析雙語課程建設成效

數值分析雙語課程經過十余年的建設,取得了一些可喜成效和值得分享的經驗,形成的特色及教學改革創(chuàng)新點具體體現在以下“五個導向”.一是明確的雙語導向.堅持使用英文教材,因材施教,注重營造良好的專業(yè)英語環(huán)境,不因面臨困難而退卻,不因環(huán)境變化而影響.在課堂教學過程中,靈活運用語言切換技巧,合理調控中英文的講授比例;課后,通過QQ群適時地推送國外著名高校本課程對應內容的短視頻,作為調味品,既可溫故知新,又能滿足好奇,不使學生因恐懼專業(yè)英語而對這門課程望而生畏.二是合理的目標導向.通過課堂提問等方式,引導學生心無旁騖地將注意力集中在對課程內容的理解、消化和吸收上,而不是將大量時間和精力花費在對英語語言的理解上,進而迷失方向.三是巧妙的問題導向.精心設計與課程內容密切相關的數值計算問題,定期開展課堂討論活動和學術沙龍活動.例如,在學生學完多項式插值后,可針對諸如“如何計算π和ln2的近似值?”之類的問題,開展課堂討論,教師在作點評時,可引導學生思考一些尚未學過的新方法,從而為后續(xù)相關內容的講授巧妙地做好了鋪墊.通過開展該項活動,不僅能夠活躍課堂教學氣氛,也能使學生更好地理解所學的數值分析內容,掌握必備的知識要點,增加學習的主動性,激發(fā)學習數值分析的濃厚興趣,對學習后續(xù)內容充滿期待,有利于培養(yǎng)學生的獨立思考能力和創(chuàng)新精神,助力構建能力導向的知識體系.四是科學的方法導向.在課堂教學中,強調要以繼承和發(fā)展的觀點去學習、去思考.為此,必須在消化內容的基礎上掌握方法,在掌握方法的基礎上力圖洞察方法背后的思想.經常給學生灌輸“三要”理念,要把內容記在腦海里,要把方法銘刻在心中,要把思想融化在血液里.特別注重培養(yǎng)學生的批判性思維、創(chuàng)造性思維和開拓創(chuàng)新精神,引導學生多疑、多問、多思.告誡學生,學習數值分析不能僅僅滿足于對內容的消化和對一些常規(guī)方法的掌握上,而應力圖洞悉深層次的思想,思想應成為追求的最高境界.五是堅定的育人導向.不僅注重培養(yǎng)學生的國際視野,更注重厚植學生的家國情懷,引導學生樹立正確的歷史觀、民族觀、國家觀、世界觀、人生觀、價值觀和文化觀.課程思政力求做到春風化雨、潤物無聲.例如,在講授契比雪夫正交多項式時,首先,會闡明下述基本事實:契比雪夫是俄羅斯數學家、彼德堡學派創(chuàng)始人、莫斯科大學杰出校友,在莫斯科大學標志性主樓前的廣場上矗立著十二座著名科學家和哲學家的雕像,契比雪夫位列其中.然后,以莫斯科大學標志性主樓作為切入點,沿著時光隧道追溯至一個閃光的歷史瞬間,1957年11月17日,一代偉人毛澤東在莫斯科大學主樓大禮堂對數千名中國留學生發(fā)表了著名的演講:“世界是你們的,也是我們的,但是歸根結底是你們的.你們青年人朝氣蓬勃,正在興旺時期,好像早晨八九點鐘的太陽.希望寄托在你們身上.”鼓勵同學們珍惜韶華,不負青春,在努力學習掌握專業(yè)知識的同時,注重自己能力、人格、修養(yǎng)、意志等內在品質的塑造,使自己的思維視野、思想觀念、認識水平跟上越來越快的時代發(fā)展,理解和適應快速變化的國際環(huán)境.

數值分析課程2009年被遴選為國家級雙語示范課程,2021年被遴選為安徽省一流本科課程,2023年被遴選為國家級一流本科課程.“數值分析課程建設成果”2020年獲安徽省教學成果獎一等獎,數值分析教學團隊2020年被評為安徽省教學團隊.

3 結 論

生如芥子,心藏須彌.歷經十余載雙語課程建設的探索與實踐,數值分析教學團隊在教材建設、教學改革、能力塑造等方面取得了一些初步成效,但距離課程建設目標依然任重道遠.“千里不辭行路遠,時光早晚到天涯”.課程團隊堅定胸懷天下啟智潤心的執(zhí)著,堅守言為士則行為世范的品質,堅持海納百川弘道追求的信念,勤學篤行,和光同塵,砥礪深耕,履踐致遠,全心打磨雙語合璧融合生輝的精品教材,全意建設追求卓越登高望遠的一流團隊,全力弘揚思接千載心游萬仞的創(chuàng)新精神.“迎得春來非自足,百花千卉共芬芳”.但愿數值分析雙語課程建設的探索與實踐能為基礎學科其他核心課程的國際化建設提供有益的借鑒.

致謝作者非常感謝審稿專家提出的寶貴意見.