王琳 陳鋒 夏馬成

摘 ?要：針對2022年無錫市中考試題中一道常規(guī)代數(shù)推理題得分率偏低的情況，文章深入剖析了學生失分的原因，并進行了典型認知錯誤的分析，提出了一系列針對性的教學策略，包括研讀課程標準與教材，夯實基礎教學;參考教材力求規(guī)范，注重規(guī)范教學;注重學生能力培養(yǎng)，彰顯核心素養(yǎng)。這些策略的實施將有助于提高學生的代數(shù)推理題得分率，進一步提升學生的整體學業(yè)水平。

關鍵詞：試題剖析;認知分析;代數(shù)推理;數(shù)學教學

數(shù)學作為中考的重要科目之一，是考查學生邏輯思維、分析能力和問題解決能力的重要工具。其中，代數(shù)推理題是數(shù)學中考中常見的一類題型，它要求學生靈活運用所學的代數(shù)知識，通過推理、分析、計算等多種手段，找出問題的解決方案。

2022年無錫市中考試卷中第26題是一道比較常規(guī)的代數(shù)推理題，而且在平時教學中，教師都作為典型例題強調過，但實際得分情況卻出乎意料，滿分10分的題，平均得分只有4.09分。針對這一情況，文章深入剖析了學生失分的原因，并提出一系列針對性的教學策略，以期提高學生的代數(shù)推理題得分率。

一、中考試題剖析

（一）試題呈現(xiàn)

某農場計劃建造一個矩形養(yǎng)殖場，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場一面靠墻（墻的長度為10m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個面積為1∶2的矩形，已知柵欄的總長度為24m，設較小矩形的寬為xm，如圖1所示。1. 若矩形養(yǎng)殖場的總面積為36m2，求此時x的值;2. 當x為多少時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大？最大值為多少？

（二）命題立意

縱觀無錫市近幾年中考數(shù)學試題的命題特點，最后三道壓軸題中必有一道方程、不等式、函數(shù)相結合的應用題。今年在“雙減”背景下，為了穩(wěn)中求變，變中求新，命題組在該試題的命制過程中，始終圍繞體現(xiàn)數(shù)學本質、凸顯學生數(shù)學核心素養(yǎng)的宗旨，以便更好地體現(xiàn)本題所承載的選拔功能?！读x務教育數(shù)學課程標準（2022版）》中的學段目標提到：第四學段（7-9年級）會用代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)等描述現(xiàn)實問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，形成合適的運算思路解決問題;形成抽象能力、模型觀念，進一步發(fā)展運算能力。在新課標的目標和理念的引領下，命題組遵循“源于教材，又高于教材”的原則，同時突出考查學生的閱讀理解能力、自主探究能力，考查學生從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，從而落實學生的學科核心素養(yǎng)。

（三）素材選取

根據(jù)雙向細目表和數(shù)學學科素養(yǎng)的要求，命題組選取了蘇科版教材九年級上冊第34頁的習題10和11進行了改編。具體素材內容如第10題：學校打算用長16m的籬笆圍成一個長方形的生物園飼養(yǎng)小兔，生物園的一面靠墻（如圖2），面積是30m2，求這個生物園的長和寬。第11題：如圖3，用長6m的鋁合金條制成“日”字形窗框，窗框的寬和高各是多少時，窗戶的透光面積為1.5m2（鋁合金條的寬度不計）？

（四）試題評析

素材上的兩道題解題思路一樣，都是設寬為xm，然后用x表示另一條邊，根據(jù)面積列方程求解。但是，從學生的解答過程來看，第11題的錯誤率會明顯高于第10題，因為第11題中的“日”字形，多了一條寬，這也是學生思維上所遇到的一個障礙。因此，此次中考第26題就將這一“障礙”融入進去，導致接近10%的學生在這道題上失誤了。另外，素材中的第10題，沒有給出墻的長度。而在中考第26題中，墻的長度決定了最后解的取舍問題。有部分學生忽略了這個條件，也導致了失分。對比原題，“高于教材”就體現(xiàn)在了兩個方面：第一，中間多了一道分隔柵欄;第二，墻的長度限定了x的取值范圍。面對這樣的問題，學生會有似曾相識的感覺，可以有效激發(fā)學生的探究欲望，促進學生的數(shù)學思考，提高思維的效率。該命題意在引領教師更加注重教材，創(chuàng)造性地運用教材;引領教師反思教學，樹立以發(fā)展學生學科核心素養(yǎng)為導向的教學意識;引領教師改變教學方式，引導學生走上熱愛數(shù)學，開發(fā)智慧的學科育人之路。

二、典型認知錯誤分析

（一）審題不夠仔細，忽略重要條件

認知失誤一：“中間再用柵欄把它分成兩個面積為1∶2的矩形”這個條件沒有注意，由面積1∶2的關系得到平行于墻的一邊長為3xm，而垂直于墻的柵欄誤以為2根，中間分隔的沒有計算在內，錯誤地將垂直于墻的一邊長表示為m。有這種失誤的學生很多，大概要占10%。

認知失誤二：“該矩形養(yǎng)殖場一面靠墻（墻的長度為10m）”這句話中括號里的一個隱藏條件沒注意，學生忘記檢驗所求得的解是否符合題意。通過列方程可求得x有兩個解2和6，而當x=6時，平行于墻的一邊長為18m，大于了墻長，不符合題意，應舍去。

認知失誤三：學生未注意“x為較小矩形的寬”這個條件，答題時根據(jù)面積1∶2進行了分類討論。若左邊與右邊的面積比為1∶2，則平行于墻的一邊表示為3xm;若左邊與右邊的面積比為2∶1，則平行于墻的一邊表示為1.5xm。學生思考了兩種情況，花了大量時間求解，卻還被扣分。

（二）基本技能不足，計算頻頻出錯

認知失誤一：將所列方程去分母，化簡為9x（24-3x）。此類學生想利用等式的性質，去掉左邊式子上的分母3，兩邊同乘以3時，左式反而多乘了3。其實，沒必要兩邊同乘以3，代數(shù)式化簡掌握得好的學生，直接可以利用左邊式子的因數(shù)3，直接進行約分化簡。

認知失誤二：一元二次方程求解不熟練。對方程x2-8x+12=0不會用十字相乘法求解。有的學生用公式法求解，在代公式時，計算出錯。有的學生用配方法求解，配方出錯，或是直接開方時出錯。

認知失誤三：有學生設垂直于墻的一邊長為ym，從而列出了方程組x+y=8

xy=12，不會消元求解，只會用整數(shù)去湊解。

（三）函數(shù)思想欠缺，性質理解不透

第2題“當x為多少時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大？最大值為多少？”這道題是借助函數(shù)思想，建立面積S與x的函數(shù)關系式，由函數(shù)的性質來求得面積的最大值。

認知失誤一：部分學生不考慮自變量x的取值范圍，直接根據(jù)函數(shù)表達式S=-3（x-4）2+48得當x=4時，S最大=48。

認知失誤二：二次函數(shù)的增減性不會描述。如“∵-3<0，∴S隨x的增大而減小”，這與一次函數(shù)的增減性混淆?！啊?3<0，∴S隨（x-4）2增大而減小”“S隨x-4增大而減小”“x越接近4，S的值越大……”雖說有一定的道理，但是并不規(guī)范。

認知失誤三：不理解函數(shù)的連續(xù)性，或者說自變量的范圍。例如，“∵0

三、改進課堂教學的策略

（一）研讀課程標準與教材，夯實基礎教學

《義務教育數(shù)學課程標準（2022版）》的修訂原則是堅持目標導向、堅持問題導向、堅持創(chuàng)新導向，對教學增強了指導性。各課程標準針對內容要求提出學業(yè)要求、教學提示，細化了評價與考試命題建議，注重實現(xiàn)“教—學—評”一致性，增加了教學、評價案例，不僅明確了“為什么教”“教什么”“教到什么程度”，而且強化了“怎么教”的具體指導。所以每位教師都需要仔細研讀新課標和教材，緊扣課程標準和教材來制訂教學目標，夯實基礎是重中之重。尤其是在面對中考的初三復習課時，教師往往把題目的難度拔得很高，而忽視了最根本的基礎教學。此外，很多教師在實際教學中固守傳統(tǒng)的教學模式、教學理念。有些教師雖然能夠學習、了解課程標準，但對課程標準的理解僅停留在基礎層面，并未對其實際的內涵進行深入挖掘。

例如，部分學生在解題過程中，因解方程計算出錯的頻率很高，但試題中的計算量并不大。一元二次方程的解法、方程組的消元法等都是課標中要求必須掌握的。作為一線教師，在課堂教學過程中，必須重視“四基”，在基礎教育時需要舍得花時間，讓學生慢慢去理解，去悟透，而不要急于求成。比如，教師在教授解方程中的去分母時，不是看到有分母就機械性地立即去，而是先引導學生觀察式子能否先化簡，化簡后如果有分母再考慮去分母。無論是解方程還是計算，教師都得讓學生放慢速度，先觀察思考，再用最優(yōu)的方案去解決問題。

（二）參考教材力求規(guī)范，注重規(guī)范教學

數(shù)學課程要培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)，主要包括三個方面：第一，會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界;第二，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界;第三，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界。數(shù)學的眼光是抽象敏銳的，數(shù)學的思維是邏輯嚴謹?shù)?，?shù)學的語言是精準簡潔的。因此，數(shù)學教師在數(shù)學課堂上除了強調解題方法外，還需關注學生數(shù)學語言的表達是否有邏輯、是否嚴謹、是否規(guī)范。從閱卷工作中可以發(fā)現(xiàn)，由于書寫不規(guī)范導致失分的情況也很普遍。作為教師得反思，平時的教學是否規(guī)范，日常的課堂語言、板書示范、學生作業(yè)的修改，教師都要參考教材，力求規(guī)范。數(shù)學是一門非常講究嚴謹?shù)膶W科，教師應在平時的教學中滲透這種思想，注重培養(yǎng)學生的規(guī)范意識，讓學生在學習過程中逐步養(yǎng)成良好的學習習慣。

（三）注重學生能力培養(yǎng)，彰顯核心素養(yǎng)

學生核心素養(yǎng)的養(yǎng)成，不是靠教師課堂上“教”出來的，而是要學生主動參與課堂上的數(shù)學活動來獲取的;不是讓學生成為“解題模仿機器”就能培養(yǎng)出來的，而是需要學生自己去感悟與思維的;不是通過強化訓練突擊出來的，而是學生經過思考后日積月累攢下來的。教師在教學時往往存在“輕過程、重結果”的錯誤做法：一是新授內容無限制地被壓縮，相關概念、原理等新知內容，課上一帶而過，甚至和盤托出;二是進行大規(guī)模機械重復的強化訓練，并加大訓練難度，導致學生在數(shù)學學習過程中出現(xiàn)了這樣一種奇怪的現(xiàn)象：雖然不知道問題是如何產生的，卻知道如何去解答，“知其然而不知其所以然”幾乎成了許多學生數(shù)學學習的真實寫照。

例如，從這次中考的第26題答題情況來看，學生在審題不仔細上失分的情況嚴重。因此，教師在教學過程中不僅要教授解題方法，還應該引導學生如何去讀題、如何去分析題目，讓學生自己思考，最終獲得最優(yōu)化的解題方案。本次中考的第26題也是旨在引導教師要關注學生自主學習、主動探究的學習方式，試題“模仿式”的教學是無法提升學生探究能力和發(fā)展學生思維的。因此，教師要執(zhí)果索因，不斷反思、優(yōu)化課堂，做到從傳授知識到傳授思維，由“授人以魚”轉變?yōu)椤笆谌艘詽O”。數(shù)學學習離不開解題，掌握數(shù)學思想方法，才能站在解題的制高點。在教學中，教師應把數(shù)學思想方法滲透每一堂課中，通過“一題多解”或“一題多變”，讓學生在多元思維碰撞中，感悟與形成思想方法。

綜上所述，深入剖析學生在考試中的失分情況，有助于教師明確課堂教學中的薄弱環(huán)節(jié)，并為今后的教學工作提供改進方向。中考答卷不僅考察了學生對知識的掌握程度，還展現(xiàn)了學生的綜合素質和學科能力。因此，教師在教育教學過程中，應當聚焦于理解、思維、思想方法和數(shù)學精神的培養(yǎng)，應潛移默化地在課堂上實現(xiàn)知識與能力的融合、方法與實踐的結合、教書與育人的統(tǒng)一，從而實現(xiàn)學生全面發(fā)展。

參考文獻：

[1]秦奮. 由一道題的解答失誤談中考幾何復習[J]. 中學數(shù)學教學參考，2020（14）：46-48.

[2]林崇德. 學生發(fā)展核心素養(yǎng)：面向未來應該培養(yǎng)怎樣的人？[J]. 中國教育學刊，2016（06）：1-2.

[3]張月媚. 提升學生數(shù)學能力的一種教學模式探索[J]. 福建教育學院學報，2008（06）：123-125.

（責任編輯：淳 ?潔）