宋梁成 朱崇強(qiáng) 楊春暉

摘 ???要：數(shù)學(xué)模型法是一種重要的科研方法與解決實(shí)際問(wèn)題的途徑，在化工原理課程的教學(xué)中多有涉及。鑒于此，應(yīng)將數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)確定為該課程教學(xué)目標(biāo)點(diǎn)之一，在教學(xué)中系統(tǒng)地融入數(shù)學(xué)建模過(guò)程，以課程的教學(xué)內(nèi)容為載體講解數(shù)學(xué)建模方法與要點(diǎn)，以具體的實(shí)際案例訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，引導(dǎo)學(xué)生掌握科學(xué)的研究方法，培養(yǎng)并提高洞察力和想象力，從而激發(fā)出創(chuàng)造力，助力化工行業(yè)創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：化工原理；數(shù)學(xué)建模；能力培養(yǎng)；案例教學(xué)

中圖分類(lèi)號(hào)：G642 ???文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ???文章編號(hào)：1002-4107（2024）06-0046-03

一、背景

（一）數(shù)學(xué)建模的意義

數(shù)學(xué)建模是在充分認(rèn)知復(fù)雜過(guò)程的基礎(chǔ)上進(jìn)行合理簡(jiǎn)化后建立數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題的研究方法，在推動(dòng)科學(xué)技術(shù)發(fā)展的過(guò)程中起到了重要作用。2 000多年以前，歐幾里德創(chuàng)立的幾何原理與17世紀(jì)牛頓發(fā)現(xiàn)的萬(wàn)有引力定律都是科學(xué)發(fā)展史上典型的數(shù)學(xué)建模范例[1]。馬克思說(shuō)過(guò)，一種科學(xué)只有在成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才算達(dá)到了真正完善的地步[2]。數(shù)學(xué)是各學(xué)科可以共同使用的一種科學(xué)語(yǔ)言，時(shí)代發(fā)展和科技進(jìn)步的大潮推動(dòng)數(shù)學(xué)科學(xué)迅速進(jìn)入各個(gè)領(lǐng)域。以數(shù)學(xué)方法和計(jì)算機(jī)技術(shù)為核心的工藝研究與裝備制造已經(jīng)成為化學(xué)工業(yè)的主要手段[3]?；どa(chǎn)過(guò)程中的優(yōu)化過(guò)程也是通過(guò)數(shù)學(xué)建模進(jìn)行實(shí)現(xiàn)的，比如原料配比、產(chǎn)品生產(chǎn)工藝、產(chǎn)品設(shè)計(jì)、優(yōu)化過(guò)程以及化工產(chǎn)業(yè)應(yīng)急管理評(píng)價(jià)等[4]。

（二）培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的意義

數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)和實(shí)際問(wèn)題的橋梁，這個(gè)橋梁的構(gòu)建需要多方面的能力。面對(duì)一個(gè)實(shí)際的過(guò)程或現(xiàn)象，經(jīng)過(guò)仔細(xì)分析后，能夠迅速抓住問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)和主要因素，這需要的是洞察力與分析歸納能力。在掌握表觀現(xiàn)象的基礎(chǔ)上，能夠抽象地構(gòu)建出相應(yīng)的模型來(lái)描述這個(gè)過(guò)程，這需要的是想象力。數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)的本質(zhì)實(shí)現(xiàn)高階認(rèn)知，提高建模能力是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析解決實(shí)際問(wèn)題的一種有效手段。

（三）化工原理課程培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的必要性

課程教育的目的是在傳授知識(shí)的基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生的能力?；ぴ碚n程的教學(xué)目的，不僅僅在于向?qū)W生傳授化工理論與單元操作的基本知識(shí)，更重要的是讓學(xué)生掌握科研方法與培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力[5]。而數(shù)學(xué)建模研究方法是化工原理課程最為常用的兩種研究方法之一。因此，在化工原理的教學(xué)過(guò)程中應(yīng)結(jié)合課程內(nèi)容融入數(shù)學(xué)建模教學(xué)。本文以?xún)蓚€(gè)數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用案例在教學(xué)過(guò)程中進(jìn)行數(shù)學(xué)建模方法及經(jīng)驗(yàn)的介紹，以生產(chǎn)生活中的實(shí)際案例培養(yǎng)并訓(xùn)練學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)模型法解決實(shí)際問(wèn)題的能力，將數(shù)學(xué)建模教學(xué)滲透于化工原理教學(xué)的全過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生掌握科研方法，提高學(xué)生的科研能力，助力化工行業(yè)創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)[3]。

二、數(shù)學(xué)建模

（一）基本方法

數(shù)學(xué)模型一般是實(shí)際事物的一種數(shù)學(xué)簡(jiǎn)化。數(shù)學(xué)建模就是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型并在求解之后依據(jù)結(jié)果去解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程。建模方法包括機(jī)理分析法和測(cè)試分析法，機(jī)理分析法是根據(jù)對(duì)客觀事物特性的認(rèn)知找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律，建立有明確物理或現(xiàn)實(shí)意義的模型，可以看作是一個(gè)“白箱”模型。測(cè)試分析法是將研究對(duì)象看作一個(gè)“黑箱”模型，是通過(guò)對(duì)輸入輸出數(shù)據(jù)的測(cè)量與系統(tǒng)分析，按照一定的準(zhǔn)則找出數(shù)據(jù)擬合最好的模型。數(shù)學(xué)建模的成敗關(guān)鍵在于能否對(duì)真實(shí)的過(guò)程進(jìn)行合理的簡(jiǎn)化，得到一個(gè)可以用數(shù)學(xué)方程來(lái)描述的物理模型。要做到這一點(diǎn)，就需要對(duì)過(guò)程的變化規(guī)律足夠了解，并能夠抓住該過(guò)程的主要因素，進(jìn)行大膽且合理的簡(jiǎn)化，而不是將原型原封不動(dòng)地復(fù)制過(guò)來(lái)。模型只要求反映與某種研究目的相關(guān)的那個(gè)方面的特征，使得模型在研究的某一方面與實(shí)際過(guò)程保持等效。

（二）主要步驟

數(shù)學(xué)建模過(guò)程的主要步驟如下。

1.對(duì)真實(shí)的復(fù)雜過(guò)程進(jìn)行系統(tǒng)的分析。充分認(rèn)知并掌握其復(fù)雜特性，在此基礎(chǔ)上分析得出將要簡(jiǎn)化的方向。

2.對(duì)真實(shí)過(guò)程的復(fù)雜因素進(jìn)行合理的簡(jiǎn)化。確定并建立能夠用數(shù)學(xué)方程來(lái)描述的該過(guò)程的物理模型，該模型能夠真實(shí)反映各主要因素之間的定量關(guān)系。

3.對(duì)簡(jiǎn)化的物理模型進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，即進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)模型不能全面完整地描述實(shí)際過(guò)程，但能反映實(shí)際過(guò)程中主要因素間的相互關(guān)系。

4.確定模型參數(shù)。數(shù)學(xué)中的模型參數(shù)往往具有一定的物理意義，但這個(gè)參數(shù)卻很難得出，模型參數(shù)是數(shù)據(jù)擬合過(guò)程的待定參數(shù)，可通過(guò)實(shí)驗(yàn)確定；或?qū)⒛Ｐ蛥?shù)與過(guò)程中的物理量進(jìn)行關(guān)聯(lián)，通過(guò)測(cè)定實(shí)驗(yàn)物理量而確定模型參數(shù)。

5.模型求解與校驗(yàn)。數(shù)學(xué)模型求解的結(jié)果要回帶相關(guān)的過(guò)程案例，確定是否能夠在一定程度不失真的條件下解決實(shí)際問(wèn)題。

三、課程內(nèi)容中的數(shù)學(xué)模型研究案例介紹

本文以案例教學(xué)的形式介紹如何結(jié)合化工原理課程教學(xué)內(nèi)容滲透講解數(shù)學(xué)建模研究方法。以流體通過(guò)顆粒床層的阻力計(jì)算案例向?qū)W生講述數(shù)學(xué)建模過(guò)程需要深入的洞察力與分析能力；以相際對(duì)流傳質(zhì)機(jī)理的研究歷程案例向?qū)W生展示研究者是如何發(fā)揮想象力構(gòu)建不同的模型并逐步完善推進(jìn)該領(lǐng)域的研究進(jìn)展。

（一）流體通過(guò)顆粒床層阻力的計(jì)算

過(guò)濾操作過(guò)程中流體流過(guò)床層的壓降是實(shí)際工程中一個(gè)十分重要的物理量，但流體流經(jīng)如此復(fù)雜通道時(shí)的壓降卻是無(wú)法依照實(shí)際流動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行計(jì)算的，可以通過(guò)數(shù)學(xué)模型法來(lái)進(jìn)行簡(jiǎn)化求解。首先分析該問(wèn)題，流體流經(jīng)床層的壓降主要來(lái)源于兩部分：一部分是流體與顆粒表面間的摩擦所產(chǎn)生的壓降；另一部分則是流動(dòng)過(guò)程中孔道截面突然擴(kuò)大或縮小等產(chǎn)生的形體阻力壓降。觀察過(guò)濾操作的實(shí)際過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)流體流經(jīng)床層孔道的橫截面積較小且流速較慢，是處于雷諾數(shù)極低的狀態(tài)下流動(dòng)，此條件下摩擦阻力壓降起主導(dǎo)作用而形體阻力壓降可以忽略。抓住問(wèn)題的關(guān)鍵因素后，可以將流體流經(jīng)床層的壓降簡(jiǎn)化為摩擦阻力壓降進(jìn)行求解。把流體流過(guò)復(fù)雜孔道流動(dòng)狀態(tài)中壓降的求算簡(jiǎn)化成流體流經(jīng)直管時(shí)摩擦阻力的計(jì)算，這樣就建立了可以以直管摩擦阻力公式進(jìn)行數(shù)學(xué)求解的物理模型。所建立的模型雖是實(shí)際過(guò)程的簡(jiǎn)化，但在摩擦阻力計(jì)算方面要與真實(shí)過(guò)程等效，所以要根據(jù)實(shí)際過(guò)程來(lái)確定簡(jiǎn)化模型的參數(shù)。摩擦阻力主要受流體與床層之間的接觸面積及其流動(dòng)狀態(tài)兩個(gè)參數(shù)影響，簡(jiǎn)化后的模型要保證這兩個(gè)參數(shù)與實(shí)際過(guò)程一致，即簡(jiǎn)化后的直管束的流通截面積要與實(shí)際床層的平均自由截面積相等，且潤(rùn)濕周邊長(zhǎng)也與床層自由截面的平均潤(rùn)濕周邊長(zhǎng)相等。進(jìn)一步分別將流通截面積與潤(rùn)濕周邊長(zhǎng)對(duì)床層高度進(jìn)行積分，也就得到了簡(jiǎn)化后的管束模型的床層空隙率以及比表面積要與實(shí)際床層相等，據(jù)此可以求出簡(jiǎn)化后模型的床層當(dāng)量直徑，見(jiàn)公式（1）[6]。其中ε為床層的孔隙率； ??為床層的比表面積。

獲得顆粒床層的當(dāng)量直徑后，依照直管摩擦阻力公式計(jì)算出流體流經(jīng)床層的壓降，將流體在床層內(nèi)實(shí)際流速換算成空床時(shí)的表觀流速即可得到公式（2）[5]，

該公式即為流體通過(guò)顆粒床層的壓降的數(shù)學(xué)模型。這樣在講解流體通過(guò)床層的壓降知識(shí)點(diǎn)時(shí)，將數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程展現(xiàn)給學(xué)生，重點(diǎn)講解數(shù)學(xué)建模的方法與要點(diǎn)。該數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建是在觀察并掌握流體通過(guò)床層的流動(dòng)特征基礎(chǔ)上，對(duì)流體流動(dòng)阻力的特征進(jìn)行分析后忽略掉在極低雷諾數(shù)下的形體阻力而簡(jiǎn)化建立的，由此不難看出數(shù)學(xué)模型的建立需要敏銳的洞察力。

（二）相際對(duì)流傳質(zhì)機(jī)理的研究過(guò)程

化工單元操作當(dāng)中的吸收、蒸餾與萃取等都是氣液兩相間的對(duì)流傳質(zhì)過(guò)程，即相際對(duì)流傳質(zhì)過(guò)程。相際對(duì)流傳質(zhì)過(guò)程的傳質(zhì)機(jī)理非常復(fù)雜，也一直是化工領(lǐng)域的研究難題。相際傳質(zhì)過(guò)程可以分為三個(gè)步驟：某組分從一相主體擴(kuò)散到相界面，在界面中轉(zhuǎn)入另一相，由相界面擴(kuò)散到另一相的主體。依據(jù)相際傳質(zhì)過(guò)程步驟，1923年Whiteman提出了雙膜模型，即停滯膜模型[7]。該模型的要點(diǎn)在于分析相際對(duì)流傳質(zhì)過(guò)程阻力分布特征之后，將整個(gè)過(guò)程的傳質(zhì)阻力簡(jiǎn)化于相界面兩側(cè)的停滯膜內(nèi)。該模型認(rèn)為在停滯膜以外的湍流主體中濃度處于均勻狀態(tài)無(wú)傳質(zhì)阻力；同時(shí)相界面處于平衡狀態(tài)也無(wú)傳質(zhì)阻力。而停滯膜內(nèi)其傳質(zhì)的機(jī)理為分子擴(kuò)散，這樣就能夠以停滯膜內(nèi)的定態(tài)分子擴(kuò)散過(guò)程來(lái)定量描述相際對(duì)流傳質(zhì)過(guò)程，其模型參數(shù)為相界面兩側(cè)的氣膜厚度與液膜厚度。該模型的要點(diǎn)在于傳質(zhì)過(guò)程要有固定的相界面，所以其適用范圍略窄，僅適用于流速不高的兩流體之間的傳質(zhì)過(guò)程。當(dāng)兩流體流速較高無(wú)法形成穩(wěn)定相界面與停滯膜時(shí)，該模型與實(shí)際過(guò)程偏離較遠(yuǎn)。

由于雙膜模型不能很好地解釋高速流動(dòng)流體的相機(jī)傳質(zhì)過(guò)程。1935年，Higbie又依據(jù)液相相界面的結(jié)構(gòu)特征提出了溶質(zhì)滲透模型，該模型認(rèn)為液面是由無(wú)數(shù)微小的定期更新的流體微元構(gòu)成[8]。氣液兩相接觸前液相界面處的濃度與主體一致，當(dāng)氣液兩相接觸時(shí)液相界面瞬間達(dá)到與氣相平衡態(tài)的濃度，而后液滴在相界面的停留時(shí)間內(nèi)，溶質(zhì)以不定態(tài)的方式向流體微元中滲透。停留時(shí)間結(jié)束后表面得到更新，重新開(kāi)始溶質(zhì)滲透過(guò)程。如此構(gòu)建物理模型后，就能夠以停滯時(shí)間為周期內(nèi)的不穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散過(guò)程來(lái)定量描述相際對(duì)流傳質(zhì)過(guò)程。其模型參數(shù)為流體微元在相界面內(nèi)的停留時(shí)間。與雙膜模型相比，溶質(zhì)滲透模型更能準(zhǔn)確地描述對(duì)流傳質(zhì)過(guò)程，但模型參數(shù)停留時(shí)間很難確定。

溶質(zhì)滲透模型不只是模型參數(shù)難確定，而且模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)際情況的吻合程度也不夠好，因?yàn)楦髁黧w微元在相界面內(nèi)的停留時(shí)間未必是均等的。因此，在1951年，Danckwerts引入數(shù)學(xué)中的概率論將溶質(zhì)滲透模型進(jìn)一步修正為表面更新模型[9]。該模型認(rèn)為無(wú)論相界面上的液體微元暴露時(shí)間長(zhǎng)短其被置換的幾率是均等的，因此引入了相應(yīng)的模型參數(shù)單位時(shí)間內(nèi)表面被置換的分率，即表面更新率。表面更新率是一個(gè)與流體力學(xué)條件及系統(tǒng)的幾何形狀相關(guān)的量可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)定，而上述溶質(zhì)滲透模型中的參數(shù)停留時(shí)間不可測(cè)定。這使得表面更新模型比溶質(zhì)滲透模型更加前進(jìn)了一步，但仍未徹底弄清相際對(duì)流傳質(zhì)的機(jī)理，有待進(jìn)一步研究推進(jìn)認(rèn)知。雖然，目前的模型距離用于實(shí)際計(jì)算還有一定差距，但是有助于理解該過(guò)程的本質(zhì)，為提供強(qiáng)化傳質(zhì)的思路起到積極的作用。

從相際對(duì)流傳質(zhì)機(jī)理的研究過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)模型法在研究過(guò)程中起到了關(guān)鍵的推進(jìn)作用，加速了人們對(duì)其傳質(zhì)機(jī)理的認(rèn)知。研究者在對(duì)過(guò)程進(jìn)行分析認(rèn)知的基礎(chǔ)上進(jìn)行合理假設(shè)構(gòu)建出相應(yīng)的物理模型，而后采用數(shù)學(xué)模型求解。模型的逐漸前進(jìn)是源于研究者對(duì)過(guò)程認(rèn)知的不斷深入，更重要的是發(fā)揮充分的想象力，不斷完善舊有模型或構(gòu)建新的模型。不同研究者對(duì)過(guò)程的分析研究提煉的要點(diǎn)不同會(huì)創(chuàng)造出不同模型。一個(gè)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型并不是唯一的，這需要發(fā)揮研究者豐富的想象力去創(chuàng)造。因此，教師在教學(xué)過(guò)程中不僅要培養(yǎng)學(xué)生觀察洞悉的能力，更要培養(yǎng)其豐富的想象力激發(fā)其創(chuàng)造力，這是創(chuàng)新的源泉。

（三）雙層玻璃的功效

數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)包括洞察力、想象力、分析歸納能力以及邏輯思維能力的訓(xùn)練與提升。在以課程教學(xué)內(nèi)容為載體講解數(shù)學(xué)建模研究方法之后，可以以學(xué)生熟悉的生活案例或工程案例來(lái)訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。比如，在北方城市，近年來(lái)很多建筑物的窗戶(hù)用的是雙層玻璃，也就是如圖1所示的兩層玻璃之間為一定厚度的空氣。這樣設(shè)計(jì)的原因主要是減少熱量向室外流失，起到保暖節(jié)能的效果。那么這樣的設(shè)計(jì)具體能夠減少多少熱量的流失，該如何評(píng)價(jià)其保溫效果，這就需要進(jìn)行數(shù)學(xué)建模來(lái)進(jìn)行定量分析。

進(jìn)行數(shù)學(xué)建模首先要對(duì)實(shí)際過(guò)程進(jìn)行系統(tǒng)分析，雙層玻璃的傳熱過(guò)程并不復(fù)雜，機(jī)理清楚，是一個(gè)簡(jiǎn)單的“白箱”模型。熱量在固態(tài)玻璃中的傳熱機(jī)理為熱傳導(dǎo)過(guò)程，而雙層玻璃中間夾雜了一個(gè)空氣薄層，即導(dǎo)熱系數(shù)較小的物質(zhì)，在膜層較薄的條件下可以認(rèn)為該薄層內(nèi)的空氣流動(dòng)很微弱，其對(duì)流傳熱的效果可忽略不計(jì)。所以即便空氣是流體，但是因?yàn)槟虞^薄空氣流動(dòng)很微弱，此時(shí)傳熱機(jī)理依然是沒(méi)有宏觀運(yùn)動(dòng)的熱傳導(dǎo)。這樣進(jìn)行適當(dāng)合理的假設(shè)后獲得的簡(jiǎn)化模型就是，原本的單層熱傳導(dǎo)變成了三層熱傳導(dǎo)。其物理模型的數(shù)學(xué)描述就叫傅里葉定律，在溫度變化不大的條件下，材料的導(dǎo)熱系數(shù)可以認(rèn)為是常數(shù)或者使用定性溫度下的導(dǎo)熱系數(shù)。

因?yàn)閭鳠岬臋C(jī)理是熱傳導(dǎo)，所以采用傅里葉定律分別計(jì)算單層玻璃與雙層玻璃的熱量損失：（式1）單層玻璃上的熱通量計(jì)算，（式2）雙層玻璃上的熱通量計(jì)算。式中Tin應(yīng)為室內(nèi)溫度，Tout為室外溫度，ks為玻璃的導(dǎo)熱系數(shù)，kg記為氣體的導(dǎo)熱系數(shù)，d為玻璃層的厚度；l為空氣層的厚度。

式2與式1相比得到式3，其結(jié)果反映了雙層玻璃在減少熱量損失上的效果。其中，常用的玻璃在-20～30℃的導(dǎo)熱系數(shù)ks=0.756～1.0932W/m·℃，干燥空氣的導(dǎo)熱系數(shù)kg=0.0242W/m·℃，則ks /kg=31～45；常用的雙層玻璃的l /d=2.25[10]。由此可以計(jì)算出Q2 /Q1≈0.9～1.4%，也就是雙層玻璃比單層玻璃節(jié)約熱量約98.6%以上。由此可以看出，雙層玻璃的設(shè)計(jì)方案雖然工藝復(fù)雜制造成本略高一些，但能夠達(dá)到相當(dāng)可觀的節(jié)能效果。將此案例拓展為三層玻璃，教師可以試問(wèn)學(xué)生，為什么要設(shè)計(jì)三層玻璃而不是把傳熱系數(shù)較小的空氣層設(shè)計(jì)更厚一些，這就涉及了模型成立的前提條件，如果空氣層過(guò)厚空氣熱對(duì)流不可忽略，傳熱的機(jī)理不再是只有熱傳導(dǎo)而有對(duì)流傳熱，此時(shí)上述的傳熱模型不再適用，而且對(duì)流會(huì)強(qiáng)化傳熱降低保溫效果。

四、結(jié)論

數(shù)學(xué)模型法是在充分認(rèn)知復(fù)雜過(guò)程的基礎(chǔ)上進(jìn)行合理簡(jiǎn)化后建立數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題的研究方法。本文以課程教學(xué)內(nèi)容中的流體通過(guò)顆粒床層的阻力計(jì)算與相際對(duì)流傳質(zhì)機(jī)理的研究歷程兩個(gè)案例為載體系統(tǒng)講解數(shù)學(xué)建模方法的過(guò)程與要點(diǎn)；以實(shí)際生活中的雙層玻璃保溫效果計(jì)算案例來(lái)訓(xùn)練數(shù)學(xué)建模能力。在化工原理課程的教學(xué)過(guò)程中系統(tǒng)地融入數(shù)學(xué)建模過(guò)程，能夠培養(yǎng)并提高學(xué)生的洞察力與想象力，助力化工行業(yè)創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1] ?曹倩倩.新工科背景下高等數(shù)學(xué)“課程思政”教學(xué)案例的探索與實(shí)踐[J].洛陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2023（5）.

[2] ?池志陽(yáng)，謝明初，劉宇丹，等.數(shù)學(xué)價(jià)值觀的內(nèi)涵及其培養(yǎng)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2023（2）.

[3] ?李揚(yáng)，謝彥紅.基于化工專(zhuān)業(yè)需求的數(shù)學(xué)建模教學(xué)[J].化工高等教育，2009（4）.

[4] ?鄭銳澤.化工生產(chǎn)中數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用研究[J].化纖與紡織技術(shù)，2022（8）.

[5] ?秦正龍.化工原理中常用工程方法研究[J].大學(xué)教育，2017（5）.

[6] ?柴誠(chéng)敬.化工原理（上冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2010：159.

[7] ?WHITMAN W G.The Two-Film Theory of Gas Absorp-tion[J].International Journal of Heat and Mass Transfer，1924（5）.

[8] ?HIGBIE R.The Rate of Absorption of a Pure Gas into a StillLiquid During Short Periods of Exposure[J].Trans.AICHE，1935（31）.

[9] ?DANCKWERTS P V.Significance of Liquid-film Coeff-icientsin Gas Absorption[J].Industrial & Engineering Chem-istry，1951（43）.

[10] ?吳春梅，郭險(xiǎn)峰，趙勇，等.雙層玻璃窗熱性能研究[J].現(xiàn) ?代商貿(mào)工業(yè)，2011（22）.

[責(zé)任編輯 ?姜 ???雯]

收稿日期：2023-11-23

作者簡(jiǎn)介：宋梁成，哈爾濱工業(yè)大學(xué)化工與化學(xué)學(xué)院副教授，博士

基金項(xiàng)目：黑龍江省教育科學(xué)“十四五規(guī)劃”2022年度重點(diǎn)課題“一個(gè)平臺(tái)四云驅(qū)動(dòng)的工程專(zhuān)業(yè)人才培養(yǎng)方法研究”（GJB1422065）；黑龍江省教育科學(xué)“十四五規(guī)劃”2023年度重點(diǎn)課題“基于校企協(xié)同的雙創(chuàng)教育與專(zhuān)業(yè)教育融合與實(shí)踐”（GJB1423127）；哈爾濱工業(yè)大學(xué)教學(xué)發(fā)展基金項(xiàng)目“化工原理課程教育教學(xué)改革”（XSZ2023051）

通訊作者：宋梁成