盧恩良

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考過(guò)程中，教師如何組織課堂教學(xué)更能提高效率？較為理想的做法便是精選例習(xí)題，以一題多解的形式開(kāi)拓學(xué)生思維.通過(guò)一題多解，既能復(fù)習(xí)、鞏固基礎(chǔ)知識(shí)和基本數(shù)學(xué)思想方法，也能在一題多解的過(guò)程中提升解題能力，從而全面地發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1? 題目呈現(xiàn)

已知函數(shù)f（x）=ex+1－2x，g（x）=a+x+lnxx，a∈R.

（1）當(dāng)x∈1，+∞時(shí)，求函數(shù)g（x）的極值；

（2）若a=0，求證：f（x）≥g（x）.

第（1）問(wèn)是常規(guī)的含參函數(shù)討論，此處不詳述，下面主要展示第（2）問(wèn)的課堂教學(xué)片斷.

2? 課堂多解探究

師：對(duì)于形如“f（x）≥g（x）”的函數(shù)不等式證明問(wèn)題，我們常用的方法是什么？

生：移項(xiàng)，一邊化為零，然后構(gòu)造函數(shù).（異口同聲地回答）

師：很不錯(cuò).看來(lái)同學(xué)們對(duì)這類(lèi)基本問(wèn)題的處理方法已經(jīng)很熟悉了.我們可以把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明

ex+1－2+lnxx－1≥0成立.那么接下來(lái)應(yīng)該干嘛呢？

生1：把不等式左邊構(gòu)造函數(shù)，證明這個(gè)函數(shù)的最小值大于等于零.

師：很棒.下面，我們一起來(lái)研究所構(gòu)造函數(shù)的最小值.

視角1? 函數(shù)最值法+隱零點(diǎn)

解法一：設(shè)h（x）=ex+1－2+lnxx－1x>0，求導(dǎo)得h′（x）=ex+1+1+lnxx2=x2ex+1+1+lnxx2.設(shè)t（x）=x2ex+1+1+lnx，易知t（x）在0，+∞上單增.又因?yàn)閠1e2<0，t1e>0，所以必有x0∈e－2，e－1，使得tx0=0.

當(dāng)x∈0，x0，t（x）<0，h′（x）<0，h（x）單減；當(dāng)x∈x0，+∞，t（x）>0，h′（x）>0，h（x）單增，所以h（x）min=h（x0）=ex0+1－2+lnx0x0－1.

師：到這里，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)這是什么問(wèn)題類(lèi)型了嗎？

生：隱零點(diǎn).（異口同聲）

師：很好.那你能把函數(shù)的最小值進(jìn)行代換化簡(jiǎn)嗎？

（經(jīng)過(guò)幾分鐘觀察，并動(dòng)手嘗試后，不少同學(xué)紛紛搖頭，表示束手無(wú)策.）

師：大家仔細(xì)觀察一下，方程tx0=x02ex0+1+1+lnx0=0中指、對(duì)同時(shí)存在，正所謂“指對(duì)跨階想什么？”

生：同構(gòu).

師：對(duì).指對(duì)跨階想同構(gòu).下面我們從同構(gòu)的角度進(jìn)行代換化簡(jiǎn).

由x02ex0+1+1+lnx0=0，整理得x0ex0=1ex0ln1ex0=ln1ex0eln1ex0.因?yàn)楹瘮?shù)y=xex在區(qū)間0，+∞單調(diào)遞增，且ln1ex0>0，所以x0=ln1ex0，x0+lnx0=-1，ex0+1=1x0.h（x）min=ex0+1－2+lnx0x0－1=1x0－1－x0x0－1=0.所以h（x）≥0成立，即ex+1－2+lnxx－1≥0成立，原問(wèn)題f（x）≥g（x）得證.

師：同學(xué)們，同構(gòu)化簡(jiǎn)思維要求高，技巧性強(qiáng)，對(duì)大家有一定的挑戰(zhàn).我們需要思考的問(wèn)題是“為什么所構(gòu)造的函數(shù)求導(dǎo)后這么復(fù)雜？”、“是否可以構(gòu)造其他函數(shù)進(jìn)行證明呢？”.

生2：求導(dǎo)復(fù)雜是由對(duì)數(shù)部分引起的，可以把對(duì)數(shù)前的變量x消掉，這樣求導(dǎo)就可能會(huì)簡(jiǎn)單些.

師：很好.想法與我們平時(shí)的學(xué)習(xí)總結(jié)不謀而合，其實(shí)就是我們所說(shuō)的“對(duì)數(shù)單身狗”.下面，我們?cè)俅螌?wèn)題轉(zhuǎn)化，將解法一進(jìn)行優(yōu)化.

視角2? “對(duì)數(shù)單身狗”+隱零點(diǎn)

解法二：要證ex+1－2+lnxx－1≥0，等價(jià)于證明xex+1－2－x－lnx≥0.

設(shè)h（x）=xex+1－2－x－lnx，求導(dǎo)得h′（x）=x+1ex+1－1x.易知函數(shù)y=ex+1－1x在0，+∞單調(diào)遞增，且ye－2=ee－2+1－e2<0，ye－1=ee－1+1－e>0，所以必有x0∈e－2，e－1，使得yx0=0.

當(dāng)x∈0，x0，h′（x）<0，h（x）單減；當(dāng)x∈x0，+∞，h′（x）>0，h（x）單增，所以h（x）min=h（x0）=x0ex0+1－2－x0－lnx0.又因?yàn)閥x0=0，即ex0+1=1x0，整理得x0ex0+1=1，x0+1=－lnx0.代入，有h（x）min=hx0=1－2－－1=0.所以h（x）≥0成立，即ex+1－2+lnxx－1≥0成立，原問(wèn)題f（x）≥g（x）得證.

師：將解法一優(yōu)化后發(fā)現(xiàn)，雖然問(wèn)題仍然是隱零點(diǎn)，但是代換化簡(jiǎn)非常簡(jiǎn)單，化簡(jiǎn)結(jié)果與解法一中的同構(gòu)化簡(jiǎn)是完全一致的.觀察式子xex+1－2－x－lnx≥0的結(jié)構(gòu)，同學(xué)們還有其他想法嗎？

生3：可以將xex+1中的x放上去，化為ex+1+lnx.

師：很好.其實(shí)這與2022年高考全國(guó)甲卷導(dǎo)數(shù)壓軸題極其類(lèi)似.對(duì)于xex和exx結(jié)構(gòu)，都可以指對(duì)互換，把ex前的量放上去.因此，我們可以把xex+1－2－x－lnx≥0的證明轉(zhuǎn)化為證明ex+lnx+1≥x+lnx+2.

視角3? 同構(gòu)代換+切線放縮

解法三：由解法二要證xex+1－2－x－lnx≥0，等價(jià)于證明ex+lnx+1≥x+lnx+1+1.令t=x+lnx+1，問(wèn)題等價(jià)于證明et≥t+1，顯然成立（此處證明略，學(xué)生考場(chǎng)上需要嚴(yán)格證明）.

師：通過(guò)換元，問(wèn)題即化為常見(jiàn)的不等式證明，是我們熟知的切線不等式.通過(guò)對(duì)本題進(jìn)行多角度的解答，同學(xué)們要學(xué)會(huì)分析問(wèn)題，結(jié)合已有的數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗(yàn)，合理地轉(zhuǎn)化.

3? 課后鞏固訓(xùn)練

題目? （九江市2022年模擬題）若關(guān)于x的不等式ax+lnx+1≤xexa∈R，求a的取值范圍.

解：原不等式化為a≤xex－lnx－1x，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)xex－lnx－1x的最小值.

（方法一）設(shè)h（x）=xex－lnx－1x，求導(dǎo)得h′（x）=x2ex+lnxx2.令g（x）=x2ex+lnx，易得g（x）在（0，+∞）上單增，且當(dāng)x→0+時(shí)，g（x）→－∞，g（1）=e>0，所以必有唯一的x0∈（0，1），使g（x0）=0.當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，g（x）<0，h′（x）<0，h（x）單減，當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，g（x）>0，h′（x）>0，h（x）單增，所以h（x）min=h（x0）=x0ex0－lnx0－1x0.

因?yàn)間（x0）=0，所以x0ex0=1x0ln1x0=ln1x0·eln1x0.由y=xex在（0，+∞）單增，得x0=ln1x0，x0+lnx0=0，即x0ex0=1，所以h（x）min=x0ex0－lnx0－1x0=－lnx0x0=1，a≤1.

（方法二）對(duì)于求解xex－lnx－1x的最小值，考慮指對(duì)互換，有ex+lnx-lnx-1x.根據(jù)經(jīng)典切線不等式ex≥x+1及不等式中的同構(gòu)代換思想，有ex+lnx－lnx－1x≥x+lnx+1－lnx－1x=1（當(dāng)且僅當(dāng)x+lnx=0時(shí)，等號(hào)成立）.

4? 教學(xué)思考

（1）注重一題多解，發(fā)展數(shù)學(xué)思維

高三復(fù)習(xí)課中教師要精選題目，通過(guò)一題多解的研究，可以很好地挖掘各部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)和方法間的聯(lián)系，全面構(gòu)建和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，從而讓學(xué)生解題能力的提高發(fā)展為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.文中試題的證明并沒(méi)有上來(lái)就講解解法三，而是基于學(xué)生已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，逐步引導(dǎo)學(xué)生，在解決的過(guò)程中合理優(yōu)化，精準(zhǔn)施策，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維分析世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述世界.

（2）尊重學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，構(gòu)建數(shù)學(xué)生態(tài)課堂

高三復(fù)習(xí)課要以學(xué)生為主體，尊重學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，避免滿堂灌的教學(xué).特級(jí)教師文衛(wèi)星老師提倡的數(shù)學(xué)生態(tài)課堂，就是要尊重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.文中三種不同方法的得出是循序漸進(jìn)的，遵循由難到易，由繁雜到簡(jiǎn)單，這是學(xué)生在已有數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，通過(guò)教師的引導(dǎo)，逐步優(yōu)化得出的.