楊洪莊 吳冬梅

一、問題提出

已知函數(shù)f（x）=x－lnx－2.

（1）求函數(shù)的最小值；

（2）若方程f（x）=a有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x1，x2，證明：x1+x2>2.

由（1）知，f′（x）=1－1x，故易知當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，所以x=1為函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn).

對(duì)于第（2）問，顯然是學(xué)生學(xué)過導(dǎo)數(shù)之后遇到的偏極值問題型，此類問題的處理，常常是通過構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）－f（2－x）（01，令F（x）=f（x）－f（2－x）（0F（1）=0，即f（x）>f（2－x），又x1∈（0，1），則f（x1）>f（2－x1），又f（x1）=f（x2），所以f（x2）>f（2－x1），因?yàn)閤2>1，2－x1>1，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，故x2>2－x1，即x1+x2>2.

對(duì)于上述教學(xué)解答思路，是怎么想到構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）－f（2－x）（0

二、問題解決

我們知道，當(dāng)從題設(shè)條件去尋找解題思路達(dá)到目標(biāo)有困難時(shí)，我們就要采用“分析法”入手，即從欲證的結(jié)論入手，去尋找求解目標(biāo)成立的充分條件，這才是提升學(xué)生解決問題的思維之道.如本問題第（2）問，由題意條件f（x1）=f（x2）=a，去論證x1+x2>2成立，顯然思路不清晰，此時(shí)，我們只能從求解目標(biāo)x1+x2>2上去分析其成因，故可以將欲證的不等式x1+x2>2施行變換，以得到一個(gè)我們熟悉的數(shù)學(xué)模型，從而就找到了解題目標(biāo)的形成思路.針對(duì)此題，具體分析如下：欲證x1+x2>2成立，即證x1>2－x2，可考慮f（x1）>f（2－x2）或f（x1）f（2－x2）或f（x2）1，這樣就轉(zhuǎn)化為f（x2）>f（2－x2）或f（x2）1上是否成立的問題，即證f（x2）－f（2－x2）>0或f（x2）－f（2－x2）<0在x2>1上是否成立的問題，這樣一來構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）－f（2－x）（0

當(dāng)然，構(gòu)造函數(shù)的方式不唯一，此題也可通過構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（1+x）－f（1－x）（x>1）也可解答.

三、教學(xué)反思

平時(shí)，不少教師感嘆，講過幾遍的問題，學(xué)生還是掌握不住，出現(xiàn)這種現(xiàn)象，作為教師要反思自己的教學(xué)理念與行為，切勿將原因一味歸結(jié)于學(xué)生身上.實(shí)際上，有些問題不是學(xué)生的問題，而是我們的教學(xué)出了問題，主要表現(xiàn)在我們教師對(duì)欲求解的問題理解和把握沒有達(dá)到一定的深度，難以將問題解決的原理呈現(xiàn)在學(xué)生面前，僅停留在操作的層面，從而學(xué)生聽了之后也只能囫圇吞棗，這是培養(yǎng)“解題機(jī)器”的教學(xué)行為，而不是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的教學(xué)，應(yīng)該摒棄.

由于核心素養(yǎng)在教育教學(xué)目標(biāo)結(jié)構(gòu)中是一個(gè)“居中”層面的目標(biāo)，它上接宏觀的教育方針和目標(biāo)，下接微觀的教學(xué)目標(biāo)，所以做好“核心素養(yǎng)”的培育工作至關(guān)重要，當(dāng)然數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)并不是無源之水、無本之木，而是“接地氣”的，其中良好的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)與具體教學(xué)過程目標(biāo)是核心素養(yǎng)培育的兩大支柱.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，其結(jié)構(gòu)比過去的“雙基”更為科學(xué)、合理.其中，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能主要體現(xiàn)為結(jié)構(gòu)性的知識(shí)、客觀性的事實(shí)，而數(shù)學(xué)思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)則是在學(xué)習(xí)過程中學(xué)生學(xué)習(xí)主體獲得的主觀性體驗(yàn)和感悟，這樣一個(gè)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的結(jié)果與過程、客觀與主觀、靜態(tài)與動(dòng)態(tài)，外在與內(nèi)化有機(jī)地結(jié)合起來，無疑為學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ).

如，本案例中的問題第（2）題的求解，如果教師不幫助分析構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）－f（2－x）（0

當(dāng)然，數(shù)學(xué)解題是有規(guī)律的，所以教學(xué)也需要講套路的，但解題套路的揭示不可少，如果只介紹解題“規(guī)律”，而不讓學(xué)生明晰解題規(guī)律的由來，則極易造成學(xué)生“機(jī)械刷題”的發(fā)生.但是教師在解題教學(xué)中，注重引導(dǎo)解題套路或規(guī)律的形成過程，讓學(xué)生看到、感受到解題套路來得自然、合理，明白解題思路從何來又去何方，這樣一來，學(xué)生就從打心眼里掌握了解題套路與規(guī)律，再遇到類似問題就能做到靈活運(yùn)用了，則這樣的教學(xué)就不僅僅是套路的教學(xué)，更為重要的是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的教學(xué).