周順鈿

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)包含數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象與數(shù)據(jù)分析等基本要素.核心素養(yǎng)的落地，不僅依靠教師在課堂上的精準(zhǔn)切入，還需要教師在作業(yè)上巧妙設(shè)計，以實現(xiàn)知識的鞏固融合.預(yù)習(xí)作業(yè)作為課前的鋪墊，要引導(dǎo)學(xué)生帶著問題進(jìn)入課堂；課后作業(yè)作為課堂教學(xué)的延伸，是學(xué)生鞏固課堂所學(xué)知識、反饋教學(xué)效果的重要手段；鞏固復(fù)習(xí)作業(yè)可以很好的幫助學(xué)生整合單元所學(xué)知識，形成完備的知識體系.因此，教師應(yīng)認(rèn)真研究數(shù)學(xué)作業(yè)的價值和功能，結(jié)合課前、課后和復(fù)習(xí)階段的實際需要，分層設(shè)計有針對性的作業(yè)，加深學(xué)生對知識的認(rèn)知和理解，感受數(shù)學(xué)的魅力.

本文以2019年人教A版新教材中《函數(shù)奇偶性》為例，結(jié)合課前、課后和復(fù)習(xí)階段三個層次設(shè)計作業(yè)，讓學(xué)生聚焦概念的本質(zhì)屬性，感受數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)從概念生成、內(nèi)涵揭示到外延拓展的過程.

1．設(shè)置課前作業(yè)，聚焦概念的本質(zhì)屬性

預(yù)習(xí)是指學(xué)生在正式進(jìn)入課堂教學(xué)之前的準(zhǔn)備活動.如能在課前設(shè)置一組有針對性的作業(yè)，讓學(xué)生了解學(xué)習(xí)內(nèi)容的重點和難點，了解新舊知識之間的聯(lián)系，找出自己的疑問和困惑，可以激發(fā)學(xué)生自主探索的求知欲望，為他們接下來的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備.

問題1? 畫出函數(shù)f（x）=x2、f（x）=1－x2、f（x）=x、f（x）=2－x的圖象，觀察這些圖象的共同特征，探究函數(shù)值f（－x）與f（x）之間的關(guān)系，抽象出偶函數(shù)的定義.

問題2? 畫出函數(shù)f（x）=x、f（x）=1x、f（x）=x3的圖象，觀察這些圖象的共同特征，探究函數(shù)值f（－x）與f（x）之間的關(guān)系，抽象出奇函數(shù)的定義.

設(shè)置意圖：從具體的函數(shù)出發(fā)，通過列表、描點、作圖，形數(shù)對照、直觀感知、聚焦目標(biāo)，在熟悉的情境中，抽象出函數(shù)奇偶性的概念和規(guī)則.

預(yù)設(shè)學(xué)生經(jīng)抽象概括得到如下定義：

（1）設(shè)函數(shù)的定義域為I，對x∈I，都有－x∈I，且f（－x）=f（x），稱f（x）為偶函數(shù)．

（2）設(shè)函數(shù)的定義域為I，對x∈I，都有－x∈I，且f（－x）=－f（x），稱f（x）為奇函數(shù)．

問題3? 判斷下列函數(shù)的奇偶性：

（1）f（x）=x2n（n∈Z）；（2）f（x）=x2n－1（n∈Z）；

（3）f（x）=（1－x）1+x1－x；（4）f（x）=x2－1+1－x2；

（5）f（x）=x+kx（k>0）；（6）f（x）=ax2+1x（a∈R）.

設(shè)置意圖：預(yù)設(shè)通過概念辨析，能揭示函數(shù)奇偶性概念蘊(yùn)含的以下特征：

（1）冪函數(shù)f（x）=xnn∈Z的奇偶性.當(dāng)n為偶數(shù)時，f（x）為偶函數(shù);當(dāng)n為奇數(shù)時，f（x）為奇函數(shù)，感受“奇偶函數(shù)”稱謂的合理性.

（2）判斷一個函數(shù)是奇（偶）函數(shù)，需要嚴(yán)格的證明，而判斷一個函數(shù)不是奇（偶）函數(shù)，只需要舉出一個反例，感受“演繹推理”對于理性思維的重要意義.

（3）奇偶函數(shù)分為四類，即奇函數(shù)但不是偶函數(shù)、偶函數(shù)但不是奇函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，感受“邏輯劃分”的標(biāo)準(zhǔn)和規(guī)則.

（4）既奇又偶函數(shù)的表達(dá)式可簡化為f（x）=0，但它不是唯一的，因為關(guān)于原點對稱的定義域可以有無窮多個.

（5）f（x）=x+kxk>0是經(jīng)常用到的 “對勾”函數(shù)，配合教材P85綜合運(yùn)用8（3）討論函數(shù)f（x）=x+kxk>0在0，+∞上的單調(diào)性，可以讓學(xué)生更好地了解“對勾”函數(shù)的圖象和性質(zhì).

問題4? 若函數(shù)f（x）=x+a，x∈［－m－2，2m］是奇函數(shù)，求a，m的值.

簡析：由函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱，可得－m－2+2m=0，即m=2；由奇函數(shù)滿足f（－x）+f（x）=0，可得a=0.

設(shè)置意圖：聚焦奇（偶）函數(shù)定義的兩個關(guān)鍵信息.一是共性：對x∈I，都有－x∈I，說明定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)f（x）為奇（偶）函數(shù)的必要條件；二是個性：滿足f（－x）=f（x）的f（x）為偶函數(shù)，滿足f（－x）=－f（x）的f（x）為奇函數(shù)．

奇偶性是函數(shù)在它的定義域上的整體性質(zhì)，所以判斷它的奇偶性應(yīng)先明確它的定義域，體現(xiàn)定義域優(yōu)先原則，其次，再判斷f（－x）與f（x）的關(guān)系.

概念形成實質(zhì)上可以概括為兩個階段：從完整的表象蒸發(fā)為抽象的規(guī)定；使抽象的規(guī)定在思維過程中導(dǎo)致具體再現(xiàn)．課前預(yù)習(xí)作業(yè)的設(shè)計要把握這兩個階段的基本要求：如何讓學(xué)生產(chǎn)生完整的表象，并從中抽象出概念的內(nèi)涵，以及如何使概念成為思維中的具體．

2．設(shè)置課后作業(yè)，形成良好的知識結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)概念是進(jìn)行推理、判斷、證明的依據(jù)，是建立定理、法則、公式的基礎(chǔ)，也是形成數(shù)學(xué)思想方法的出發(fā)點．概念課教學(xué)后，作業(yè)的設(shè)計應(yīng)很好的延續(xù)課堂的教學(xué)內(nèi)容，需要在總結(jié)數(shù)學(xué)思想和方法的基礎(chǔ)上，進(jìn)行變式訓(xùn)練，歸納數(shù)學(xué)模型，達(dá)到做一題通一類、舉一反三、觸類旁通的效果.

問題5? （1）已知定義域是R的偶函數(shù)f（x）在

［0，+∞）

上單調(diào)遞增，求不等式f2x－1≤f（x）的解集.

簡析：因為f（x）是偶函數(shù)，所以原不等式等價于f2x－1≤fx，又f（x）在［0，+∞）上單調(diào)遞增，不等式等價于2x－1≤x，兩邊平方化簡得3x2－4x+1≤0，解得x∈13，1.這個解法避免了分類討論.

（2）定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x>0時，f（x）=x－1.

①求f（x）的表達(dá)式；②解不等式f（x）>0；③解不等式f（x）<12；④求fx－1的表達(dá)式；⑤解不等式x·f（x－1）<0.

簡析：f（x）=x－1，x>0，

0，x=0，

x+1，x<0， 特別注意f（0）=0.

設(shè)置意圖：掌握奇偶函數(shù)的性質(zhì)，須從“形”和“數(shù)”兩個角度理解.偶函數(shù)滿足f（－x）=f（x）（數(shù)的特征），它的圖象關(guān)于y軸對稱（形的特征）；奇函數(shù)滿足f（－x）=－f（x）（數(shù)的特征），它的圖象關(guān)于原點中心對稱（形的特征）.預(yù)設(shè)從這兩個方面入手，能歸納出奇偶函數(shù)的以下性質(zhì)：

性質(zhì)1? 如果一個奇函數(shù)f（x）在x=0處有意義，那么f0=0.

性質(zhì)2? 如果一個奇函數(shù)f（x）有最值，那么f（x）max+f（x）min=0.

性質(zhì)3? 偶函數(shù)f（x）滿足fx=f（x）．

性質(zhì)4? 奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性一致，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反.

問題6? （1）判斷函數(shù)f（x）=x－2－21－x2的奇偶性.

簡析：f（x）的定義域為－1，1，此時f（x）=－x1－x2，易知f（x）為奇函數(shù).

（2）若函數(shù)f（x）=xx+a是奇函數(shù)，求a的值.

簡析：要使f（x）=xx+a是奇函數(shù)，只需g（x）=x+a是偶函數(shù)，從而a=0.

（3）已知f（x），g（x）分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f（x）－g（x）=x3+x2+x+1，求f（x），g（x）的表達(dá)式.

簡析：以－x代x得f（－x）－g（－x）=－x3+x2－x+1，即f（x）+g（x）=－x3+x2－x+1，解得f（x）=x2+1，g（x）=－x3－x.

設(shè)置意圖：探索函數(shù)的和差積商的奇偶性規(guī)律，預(yù)設(shè)能歸納出以下性質(zhì).

性質(zhì)5? 已知函數(shù)f（x）和g（x）有公共的定義域，且g（x）≠0.

①若函數(shù)f（x）和g（x）都是奇函數(shù)，則f（x）±g（x）是奇函數(shù)，f（x）·g（x）、f（x）g（x）是偶函數(shù)；

②若函數(shù)f（x）和g（x）都是偶函數(shù)，則f（x）±g（x）、f（x）·g（x）、f（x）g（x）都是偶函數(shù)；

③若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）·g（x）、f（x）g（x）是奇函數(shù).

性質(zhì)6? 定義域關(guān)于原點對稱的函數(shù)可分拆為一個奇函數(shù)與偶函數(shù)之和.

簡析：關(guān)于原點對稱的函數(shù)f（x），都可以表示為f（x）=f（x）+f（－x）2

+f（x）－f（－x）2，其中g(shù)（x）=f（x）+f（－x）2為偶函數(shù)，h（x）=f（x）－f（－x）2為奇函數(shù)，即任一定義域關(guān)于原點對稱的函數(shù)f（x），總可以表示為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和．

特別地，任意一個多項式函數(shù)f（x）=a0+a1x+a2x2+…+anxn，總可以表示為f（x）=（a0+a2x2+…）+（a1x+a3x3+…），顯然f（x）中所有偶次項合在一起構(gòu)成偶函數(shù)，所有奇次項合在一起構(gòu)成奇函數(shù)．這也與奇偶函數(shù)的稱謂相呼應(yīng)．

學(xué)生對概念本質(zhì)內(nèi)涵的把握是一個緩慢有序的過程．因此，概念教學(xué)階段的作業(yè)設(shè)計，要揭示概念的本質(zhì)屬性，讓學(xué)生清楚概念的來龍去脈，深刻理解概念的本質(zhì)涵義，促使學(xué)生將所學(xué)的概念融合到自己相應(yīng)的知識結(jié)構(gòu)中．

3．設(shè)置階段復(fù)習(xí)作業(yè)，形成完備的知識體系

牢固的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想和方法、提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基石.平時的作業(yè)，知識點往往是分散的，因此，階段復(fù)習(xí)的作業(yè)設(shè)計，需要對課本問題演繹推廣、變式探究，幫助學(xué)生梳理知識、拓展結(jié)論、提煉方法、感悟思想，進(jìn)而形成完備的知識體系.

問題7? 若函數(shù)f（x）=（x+a）（|x－a|+|x－4|）的圖像是中心對稱的圖形，求a的值．

簡析1： 由函數(shù)g（x）=x+a關(guān)于點－a，0對稱， h（x）=x－a+x－4關(guān)于直線x=a+42對稱，要使函數(shù)f（x）的圖像是中心對稱的圖形，只需a+42=－a，即a=－43時函數(shù)f（x）關(guān)于點43，0對稱．

簡析2：由已知，函數(shù)f（x）右平移a個單位應(yīng)為奇函數(shù)，于是g（x）=fx－a=x（|x－2a|+x－a－4），即h（x）=x－2a+x－a－4為偶函數(shù)，即2a+a+4=0，從而a=－43，則函數(shù)f（x）關(guān)于點43，0對稱．

問題8? 已知函數(shù)f（x）=x2-2x，若關(guān)于x的方程|f（x）|+|f（a-x）|-t=0有4個不同的實數(shù)根，且所有實數(shù)根之和為2，求實數(shù)t的取值范圍．

圖１

簡析： 設(shè)g（x）=f（x）+f（a－x），則g（x）=ga－x，可知g（x）的圖象關(guān)于直線x=a2對稱．如圖1，設(shè)g（x）=t的四個根從小到大依次為x1，x2，x3，x4，則x1+x4=x2+x3=a，可得a=1．于是

g（x）=x2－2x+x2－1=2x2－2x－1，x<－1，x>2，

1－2x，－1≤x<0，

－2x2+2x+1，0≤x<1，

2x－1，1≤x≤2，由圖可知， t∈1，32．

評注：結(jié)合函數(shù)圖象的對稱性，確定a=1是解決本題的關(guān)鍵．

設(shè)置意圖：著名數(shù)學(xué)家波利亞曾說過，“一般化就是從考慮一個對象過渡到考慮包含該對象的一個集合，或者從考慮一個較小的集合過渡到考慮一個包含該較小集合的更大的集合．”數(shù)學(xué)的一般化或普遍化主要表現(xiàn)在對命題的推廣過程中.將奇（偶）函數(shù)的圖象進(jìn)行平移，就得到中心對稱（或軸對稱）圖形，奇（偶）函數(shù)的圖象是中心對稱（或軸對稱）圖形的特殊情況．

奇函數(shù)f（x）的圖像向右平移a個單位，再向上平移b個單位，得g（x）=fx－a+b，由f（－x）+f（x）=0可導(dǎo)出ga－x+ga+x=2b．于是，我們得到：

性質(zhì)8? 若函數(shù)g（x）的圖像關(guān)于點a，b中心對稱，則ga－x+ga+x=2b；反之亦然．

偶函數(shù)f（x）的圖像向右平移a個單位，得g（x）=fx－a，由f（－x）=f（x）可知ga－x=ga+x．于是，我們得到：

性質(zhì)9? 若函數(shù)g（x）的圖像關(guān)于直線x=a對稱，則ga－x=ga+x；反之亦然.

教材第87頁拓廣探索第13題，就是上述結(jié)論的實際應(yīng)用，由于新教材增加了拓廣探索欄目，所配備習(xí)題的難度有所增加.把數(shù)學(xué)的共同本質(zhì)屬性推廣到同類事物中，可以達(dá)到舉一反三的目的，但概念的推廣要把握一個度，要循序漸進(jìn)，切忌超出學(xué)生的可接受程度.

4．高中數(shù)學(xué)概念課作業(yè)設(shè)計的分層要求

數(shù)學(xué)作業(yè)是數(shù)學(xué)教師了解學(xué)生知識和技能掌握的重要途徑，高中數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)、抽象的特點，使得數(shù)學(xué)作業(yè)的布置與評價方式的探索與研究變得至關(guān)重要.高中數(shù)學(xué)概念課的作業(yè)一般按課前、課后和鞏固復(fù)習(xí)的層次設(shè)置.課前作業(yè)要關(guān)注情境和問題的創(chuàng)設(shè)，有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)；課后作業(yè)要注意針對性和層次性，幫助學(xué)生在掌握知識技能的同時，進(jìn)一步感悟數(shù)學(xué)的基本思想，積累數(shù)學(xué)思維的經(jīng)驗；鞏固復(fù)習(xí)作業(yè)要關(guān)注單元知識的系統(tǒng)性，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)，增進(jìn)復(fù)習(xí)的有效性.

（1）課前作業(yè)的設(shè)計要求

課前作業(yè)是教師在教學(xué)新知識之前將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容作為一項課外作業(yè)布置給學(xué)生，既可以是學(xué)生對新知識的整體預(yù)習(xí)，也是學(xué)生把握下一節(jié)課內(nèi)容的主要脈絡(luò)，是對某些相關(guān)問題的思考.課前作業(yè)設(shè)計應(yīng)根據(jù)教學(xué)的重點難點，以課堂教學(xué)中需要進(jìn)一步鞏固、應(yīng)用的重點內(nèi)容與方法設(shè)計作業(yè)，以使學(xué)生在“腳手架”的問題設(shè)計幫助下，完成學(xué)習(xí)任務(wù)，感悟概念實質(zhì)，體會通解通法，逐步使最近發(fā)展水平轉(zhuǎn)化為實際發(fā)展水平.

（2）課后作業(yè)的設(shè)計要求

課后練習(xí)是教學(xué)反饋的重要手段，是課堂教學(xué)的延伸，也是師生信息交流的一個窗口.課后作業(yè)設(shè)計要基于教材的內(nèi)容，使作業(yè)設(shè)計具有恰當(dāng)?shù)膶哟危瑔栴}與問題之間要基于知識間的聯(lián)系.要把一個復(fù)雜的、難度較大的問題分解成若干個相互聯(lián)系的小問題，便于學(xué)生有效把握，從而引發(fā)對教材內(nèi)容或問題更深層次的思考.

（3）復(fù)習(xí)課作業(yè)的設(shè)計要求

復(fù)習(xí)課作業(yè)不能簡單地理解為把總復(fù)習(xí)里的題目做完就算，而是要讓學(xué)生把所學(xué)知識進(jìn)行系統(tǒng)的整理歸納，使所學(xué)知識得到進(jìn)一步的鞏固延伸， 能最大限度開拓學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的思考能力，加深學(xué)生對知識的理解.復(fù)習(xí)課作業(yè)要尋找與課本習(xí)題的聯(lián)系，探討課本習(xí)題背景與解題方法，通過對課本問題演繹推廣、變式探究引導(dǎo)學(xué)生梳理知識、拓展結(jié)論、提煉方法、感悟思想，使學(xué)生在解決問題的過程中獲得解題智慧，提高分析問題與解決問題的能力.

總之，作業(yè)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要一環(huán)，要通過坡度適合、排列有序、環(huán)環(huán)相扣的作業(yè)設(shè)計，讓學(xué)生形成有層次結(jié)構(gòu)的思維鏈條.通過高效的作業(yè)設(shè)計，激發(fā)學(xué)生積極思維，引導(dǎo)學(xué)生逐步深入，使學(xué)生的數(shù)學(xué)知識技能、思想方法和活動經(jīng)驗水到渠成，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的良性發(fā)展.