謝小平

題目? 已知函數(shù)f（x）=x－lnx，若f（x1）=f（x2）=a，其中x1≠x2.

（1）求a的取值范圍；

（2）證明：x1+x1x2+x2>3.

這是2023年湖北六校新高考聯(lián)盟學(xué)校高三11月聯(lián)考的壓軸題，此題得到了老師的好評(píng)，該題題干設(shè)置精煉，設(shè)問(wèn)精巧.突出考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，多變量不等式的處理，解法凸現(xiàn)了通性通法，標(biāo)答可在網(wǎng)上進(jìn)行查詢.筆者通過(guò)研究，得到以下優(yōu)解.

優(yōu)解：先證明對(duì)一切不相等的正實(shí)數(shù)x1，x2，都有x1·x2

不妨設(shè)x2>x1>0，要證：x2－x1lnx2－lnx12（x2－x1）x1+x2=2（x2x1－1）x2x1+1，再令t=x2x1，（t>1），即證lnt>2（t－1）t+1，（t>1）.

記g（t）=lnt－2（t－1）t+1，（t>1），則g′（t）=（t－1）2t（t+1）2>0，（t>1），所以g（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，故g（t）>g（1）=0，即當(dāng)? t>1時(shí)，有l(wèi)n? t>2（t－1）t+1.

由題知x1－lnx1=x2－lnx2，即得1=x2－x1lnx2－lnx1

由1=x22－x12lnx22－lnx121=（x2－x1）（x2+x1）2（lnx2－lnx1）x2－x1lnx2－lnx1=2x2+x1，

再由對(duì)數(shù)平均值不等式可得x2－x1lnx2－lnx1=2x2+x1

即得（x2+x1）22>2，即x1+2x1x2+x22>2，又x1+x22>1，從而有x1+x1x2+x2>3，證畢.

題目的結(jié)構(gòu)是容易聯(lián)想到對(duì)數(shù)平均值不等式，此法是在充分觀察式子結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，對(duì)式子進(jìn)行代數(shù)變形，即x1+x1x2+x2=x1+x22+（x1+x2）22，巧用對(duì)數(shù)平均值不等式，即用x1，x2代替對(duì)數(shù)不均值不等式中的x1，x2，一氣呵成.且在求證的過(guò)程中，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想，運(yùn)算量明顯減小，充分體現(xiàn)了多思少算的考查要求.所以我們平時(shí)的教學(xué)要注重學(xué)生知識(shí)的儲(chǔ)備，提升學(xué)生的觀察能力、代數(shù)結(jié)構(gòu)變形能力，即培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力和鉆研精神，落實(shí)核心素養(yǎng).