陳思岐， 李自成， 何汶璟， 劉金婷， 張鼎軒， 文 雯

（成都理工大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院， 四川 樂(lè)山 614000）

0 引言

二階系統(tǒng)是工程中常見(jiàn)的一類系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)單且具有較好的可控性。PID 控制器作為一種經(jīng)典的控制算法，在工業(yè)控制系統(tǒng)中被廣泛應(yīng)用[1]。然而，PID 參數(shù)的選取對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和性能有著重要影響。但如何取得PID 最優(yōu)參數(shù)成為了研究的熱點(diǎn)問(wèn)題。Ziegler-Nichols 設(shè)定法，粒子群優(yōu)化算法，差分進(jìn)化算法，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法，單純形法等。本文研究的即是其中方法之一——單純形法[2]。

1 典型二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

在本文中，討論的主要是典型的二階系統(tǒng)，其一般形式的結(jié)構(gòu)圖見(jiàn)圖1。

圖1 一般形式的二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

圖中：R（s）為系統(tǒng)輸入信號(hào)；C（s）為系統(tǒng)的輸出信號(hào)；ζ 為系統(tǒng)的阻尼比；ωn為系統(tǒng)的無(wú)阻尼自然震蕩頻率。

2 PID 控制系統(tǒng)的引入

為了更好地優(yōu)化二階系統(tǒng)的控制性能，我們對(duì)PID 進(jìn)行了引入，PID 原理結(jié)構(gòu)圖見(jiàn)圖2。

圖2 PID 控制系統(tǒng)原理結(jié)構(gòu)圖

其中其數(shù)學(xué)表達(dá)式可以表示為：

通過(guò)數(shù)學(xué)表達(dá)式可以推導(dǎo)出傳遞函數(shù)：G（s）=Kp+

3 單純形法

3.1 單純形法介紹

單純形算法是一種用于求解線性規(guī)劃問(wèn)題的算法，由美國(guó)數(shù)學(xué)家丹齊克（G·B·Dantzig）在1947 年提出。他最初研究課題是針對(duì)美國(guó)空軍在第二次世界大戰(zhàn)期間的物資分配問(wèn)題。當(dāng)時(shí)，美國(guó)空軍面臨如何合理分配有限的資源以滿足不同地區(qū)需求的問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題可以表示為一個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題，即在一定的約束條件下，大化或最小化一個(gè)線性目標(biāo)函數(shù)[3]。Dantzig通過(guò)分析這個(gè)問(wèn)題，他利用性規(guī)劃問(wèn)題的特殊結(jié)構(gòu)通過(guò)不斷地移動(dòng)到相鄰的頂點(diǎn)來(lái)逐步逼近最優(yōu)解。這個(gè)過(guò)程可以用三角形的形狀來(lái)表示，因此被稱為“單純形”。單純形算法的提出，極大地推動(dòng)了線性規(guī)劃問(wèn)題的求解方法發(fā)展，成為了解決大規(guī)模線性規(guī)劃問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)方法之一。它在實(shí)際應(yīng)用中被廣泛使用，包括經(jīng)濟(jì)、工程、管理等領(lǐng)域[4]。

3.2 單純形法運(yùn)用的基本步驟

1）基本解的選擇：首先，選擇一個(gè)基本解作為初始解。基本解是指滿足等式約束條件的可行解。選擇一個(gè)合適的初始解，對(duì)算法的效率和收斂性有很大影響。

2）進(jìn)入變量的選擇：在每一次迭代中，選擇一個(gè)進(jìn)入變量。進(jìn)入變量是指在當(dāng)前基本解中，可以增加其值以使目標(biāo)函數(shù)增大的變量。

3）離開(kāi)變量的選擇：選擇一個(gè)離變量，將其從基本解中移出，以保持基本解的可行性。離開(kāi)變量是指在當(dāng)前基本解中，可以減小其值以使目標(biāo)函數(shù)增大的變量。

4）迭代計(jì)算：根據(jù)選擇的進(jìn)入變量和離開(kāi)變量，計(jì)算新的基本解。通過(guò)改變進(jìn)入變量和離開(kāi)變量的值，使目標(biāo)函數(shù)逐漸增大，直到找到最優(yōu)解。

5）收斂判斷：在每一次迭代中，判斷當(dāng)前解是否為最優(yōu)解。如果是最優(yōu)解，則算法終止。否則，繼續(xù)進(jìn)行迭代。

6）最優(yōu)性檢驗(yàn)：在每一次迭代中，檢驗(yàn)當(dāng)前解是否為最優(yōu)解。如果是最優(yōu)解，則算法終止。否則，繼續(xù)進(jìn)行迭代。

3.3 單純形法的優(yōu)點(diǎn)與不足

3.3.1 優(yōu)點(diǎn)

1）算法簡(jiǎn)單易懂：?jiǎn)渭冃嗡惴ǖ幕舅枷胧峭ㄟ^(guò)不斷迭代，找到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。算法步驟簡(jiǎn)單明了，易于理解和實(shí)現(xiàn)。

2）效率較高：在一般情況下，單純形算法能夠在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)求解線性規(guī)劃問(wèn)題。雖然在最壞情況下，單純形算法的時(shí)間復(fù)雜度達(dá)到指數(shù)級(jí)，但在實(shí)際應(yīng)用中，大部分線性規(guī)劃問(wèn)題都能夠在較短時(shí)間內(nèi)得到解。

3.3.2 不足

1）可能陷入循環(huán)：在某些情況下，單純形算可能會(huì)陷入環(huán)，無(wú)法終止或找到最優(yōu)解。這種情況下，需要采取一些措施來(lái)避免循環(huán)的發(fā)生。

2）對(duì)于非線性問(wèn)題無(wú)法直接應(yīng)用：?jiǎn)渭冃嗡惴ㄖ贿m用于線性規(guī)劃問(wèn)題，對(duì)于非線性規(guī)劃問(wèn)題無(wú)法直接應(yīng)用。對(duì)于非線性問(wèn)題，需要使用其他算法來(lái)求解。

4 二階系統(tǒng)PID 控制系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化過(guò)程

4.1 連續(xù)函數(shù)離散化

根據(jù)本文研究?jī)?nèi)容，以及在二級(jí)系統(tǒng)在實(shí)際中的廣泛應(yīng)用，試舉例傳遞函數(shù)為：

設(shè)定其采集樣本時(shí)間為1 s。

利用差分變換法得到：

4.2 PID 控制器離散

根據(jù)圖1 得到PID 的傳遞函數(shù)為：

根據(jù)后向差分的公式將傳遞函數(shù)離散化為：

4.3 性能參數(shù)

試采用以下二階系統(tǒng)的性能參數(shù)函數(shù)：

式中ζ 為大于等于0，且小于等于1 的常數(shù)。

5 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

將G（z）作為目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)仿真得到階躍圖，具體見(jiàn)圖3。

圖3 目標(biāo)函數(shù)初始階躍圖

在程序中，選擇各個(gè)頂點(diǎn)與中心點(diǎn)值的差的平方和作為誤差，即MarginErr=5e-15，其誤差收斂曲線如圖4 所示。

圖4 誤差收斂曲線圖

從圖4 可以得到，誤差曲線最終為0，達(dá)到了優(yōu)化作用。

通過(guò)對(duì)二階函數(shù)G（z）添加PID 控制系統(tǒng)初始參數(shù)進(jìn)行參數(shù)設(shè)定進(jìn)行優(yōu)化得到如圖5 所示的優(yōu)化圖，其中初始參數(shù)Kp=1，Ki=1，Kd=1。

圖5 PID 控制系統(tǒng)引入優(yōu)化圖

從初始階躍圖到引入PID 控制系統(tǒng)的整定圖，可以明顯的看到優(yōu)化后的系統(tǒng)各指標(biāo)都達(dá)到了要求，所以PID 控制系統(tǒng)對(duì)二階系統(tǒng)系統(tǒng)性能優(yōu)化可行性是相當(dāng)高的。

6 結(jié)語(yǔ)

PID 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單，因此在各個(gè)領(lǐng)域都有運(yùn)用其優(yōu)化性能。單純形法是一種常用的優(yōu)化算法，其基本思想是通過(guò)迭代搜索最優(yōu)解。在本文中，利用單純形法對(duì)PID 參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，以實(shí)現(xiàn)對(duì)二階系統(tǒng)的性能優(yōu)化。通過(guò)程序得整定參數(shù)kp,ki,kd。避免了常規(guī)時(shí)候的整定的缺點(diǎn)，使參數(shù)精確收斂，取得了較為滿意的結(jié)果，系統(tǒng)性能的提升較為明顯。