幾何中的最值問題是中考常見考點，常作為壓軸題出現(xiàn)。要解決此類問題，我們可以利用幾何元素的變化特征構(gòu)建幾何模型去解決，也可以根據(jù)變量特征構(gòu)建函數(shù)模型來解決。下面結(jié)合一些中考題，具體探究圖形中最值問題的解法。

一、化“隱”為“實”，構(gòu)建點圓模型

例1 （2023·山東菏澤）如圖1，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=5，AD=4，AD＜BC，點E在線段BC上運動，點F在線段AE上，∠ADF=∠BAE，則線段BF的最小值為 。

【解析】設(shè)AD的中點為O，以AD為直徑畫圓，連接OB，交⊙O于點F'。由∠ABC=∠BAD=90°，根據(jù)“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”可證得AD∥BC，從而有∠DAE=∠AEB；結(jié)合條件∠ADF=∠BAE，根據(jù)“有兩個角相等的兩個三角形相似”，可以證得△ADF～△EAB。所以∠DFA=∠ABE=90°。根據(jù)“直徑所對的圓周角是直角”，于是得到點F在以AD為直徑的半圓上運動。當(dāng)點F運動到OB與⊙O的交點F'時，線段BF有最小值，此時BF=OB?OF?！袿的半徑OF=OA=[12]AD=2；由勾股定理，得OB=[OA2+AB2]=[22+52]=[29]。所以線段BF的最小值為[29]?2。

【點評】本題考查了勾股定理、平行線的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理。動點問題中，明晰動點的路徑非常重要。綜合運用平行線和相似三角形的知識，根據(jù)圓周角定理，化“隱”為“實”，確定點F的運動軌跡是以AD為直徑的半圓，從而構(gòu)建點圓模型。

二、引“數(shù)”入“形”，構(gòu)建函數(shù)模型

例2 （2023·江蘇無錫）如圖3，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=30°，∠ADC=60°，BC=CD=2，若線段MN在邊AD上運動，且MN=1，則BM2+2BN2的最小值是（ ）。

A.[132] B.[293] C.[394] D.10

【解析】根據(jù)所求含有平方，聯(lián)想到要構(gòu)建直角三角形。如圖4，過點C作CE⊥AD于點E，過點B作BF⊥AD于點F。解直角三角形，得CE=CD?sin60°=[3]。根據(jù)AD∥BC，可以證得∠BFE=∠CEF=∠CBF=90°，即四邊形BCEF是矩形，從而得到BF=CE=[3]。需使BM2+2BN2最小，即要使得BM和BN越小越好，則點F應(yīng)在線段MN的內(nèi)部。設(shè)MF=x，則FN=1?x，所以BM2+2BN2=x2+3+2［（1?x）2+3］=3x2?4x+11=3（x?[23]）2+[293]。由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x=[23]時取得最小值[293]。故選B。

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、解直角三角形等相關(guān)知識。確定點F的位置后，抓住MF這一變量特征，引“數(shù)”入“形”，構(gòu)建二次函數(shù)模型，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值。

三、洞察圖形變化，構(gòu)建三角模型

例3 （2023·江蘇徐州）如圖5，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=3，點D在邊BC上。將△ACD沿AD折疊，使點C落在點C'處，連接BC'，則BC'的最小值為 。

【解析】根據(jù)勾股定理，得AB=[AC2+BC2]=[32]。由折疊性質(zhì)，可知AC'=AC=3。根據(jù)三角形三邊的不等關(guān)系，可知BC'≥AB?AC'。所以當(dāng)A、C'、B三點在同一條直線時，BC'取最小值，最小值為[32]?3。

【點評】本題主要考查勾股定理、折疊的性質(zhì)及三角形不等關(guān)系的綜合應(yīng)用。根據(jù)圖形翻折過程中各部分的變化特征，將長度變化的BC'與長度不變的AC'、AB聯(lián)系，構(gòu)建三角形模型。熟練運用三角形三邊不等關(guān)系，利用三點共線的特殊情況求邊的最小值是解題的難點所在。

（作者單位：江蘇省常熟市梅李中學(xué)）