我們常在幾何問(wèn)題中遇到中點(diǎn)這個(gè)條件，而解決中點(diǎn)問(wèn)題的方法又比較多，比如中位線(xiàn)、三線(xiàn)合一、倍長(zhǎng)中線(xiàn)法等。不論選擇哪種解題方法，都需要我們添加恰當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)，探究中點(diǎn)和其他條件之間的聯(lián)系，從而解決問(wèn)題。

例1 （2023·北京）在△ABC中，∠B=∠C=α（0°＜α＜45°），AM⊥BC于點(diǎn)M，D是線(xiàn)段MC上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M、C重合），將線(xiàn)段DM繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α得到線(xiàn)段DE。

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段AC上時(shí)，求證：D是MC的中點(diǎn)；

（2）如圖2，若在線(xiàn)段BM上存在點(diǎn)F（不與點(diǎn)B、M重合）滿(mǎn)足DF=DC，連接AE、EF，直接寫(xiě)出∠AEF的大小，并證明。

（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得DM=DE，∠MDE=2α。

∵∠C=α，∴∠DEC=∠MDE-∠C=α。

∴∠C=∠DEC。∴DE=DC。

∴DM=DC，即D是MC的中點(diǎn)。

（2）∠AEF=90°。

證明：如圖3，延長(zhǎng)FE到H，使EF=EH，連接CH、AH。

∵DF=DC，∴DE是△FCH的中位線(xiàn)?！郉E∥CH，CH=2DE。

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得DM=DE，∠MDE=2α?！唷螰CH=2α。

∵∠B=∠C=α，∴∠ACH=α，△ABC是等腰三角形。∴∠B=∠ACH，AB=AC。

設(shè)DM=DE=m，CD=n，則CH=2m，CM=m+n。

∴DF=CD=n。∴FM=DF-DM=n-m。

∵AM⊥BC，∴BM=CM=m+n。

∴BF=BM-FM=m+n-（n-m）=2m。

∴CH=BF。

在△ABF和△ACH中，

[AB=AC，∠B=∠ACH，BF=CH，]

∴△ABF≌△ACH（SAS）。∴AF=AH。

∵EF=EH，∴AE⊥FH，即∠AEF=90°。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、三角形中位線(xiàn)定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，而由中點(diǎn)聯(lián)想到構(gòu)造中位線(xiàn)從而作出合適的輔助線(xiàn)是本題的難點(diǎn)。

例2 （2023·山東泰安）如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△AOB的一條直角邊OB在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6，4）；Rt△COD中，∠COD=90°，OD=[43]，∠D=30°，連接BC，點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，連接AM。將Rt△COD以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線(xiàn)段AM的最小值是（ ）。

A.3 B.[62]-4 C.[213]-4 D.2

解：如圖5，延長(zhǎng)BA到E，使得AE=AB，連接OE、CE。

∵Rt△AOB的一條直角邊OB在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6，4），

∴AB=4，OB=6。

∴AE=AB=4?！郆E=8。

∵點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，點(diǎn)A為BE中點(diǎn)，

∴AM是△BCE的中位線(xiàn)。

∴AM=[12]CE。

在Rt△COD中，∠COD=90°，OD=[43]，∠D=30°

∴OC=[33]OD=4。

∵將Rt△COD以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，

∴點(diǎn)C在以O(shè)為圓心，半徑為4的圓上運(yùn)動(dòng)。

∴當(dāng)點(diǎn)C在線(xiàn)段OE上時(shí)，CE有最小值，即此時(shí)AM有最小值。

∵OE=[BE2+OB2]=10，

∴CE的最小值為10-4=6。

∴AM的最小值為3。故選A。

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理、三角形中位線(xiàn)定理、坐標(biāo)與圖形、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等。由中點(diǎn)想到構(gòu)造中位線(xiàn)從而轉(zhuǎn)換線(xiàn)段長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵。另外，由點(diǎn)M 是中點(diǎn)，還可以取OB中點(diǎn)N ，構(gòu)造中位線(xiàn)MN來(lái)求解本題。本題還能看成定點(diǎn)A 到動(dòng)點(diǎn)M的長(zhǎng)度問(wèn)題，利用瓜豆原理就能看出點(diǎn)M 的軌跡是個(gè)圓，再利用圓外一點(diǎn)到圓上距離最小的知識(shí)來(lái)解題。

（作者單位：江蘇省常熟市梅李中學(xué)）