專題復(fù)習(xí) 三角形和四邊形

領(lǐng)" 銜" 人：施曉丹

組稿團(tuán)隊(duì)：江蘇省常熟市鄉(xiāng)村初中數(shù)學(xué)骨干教師培育站

在三角形與四邊形這一部分內(nèi)容中，我們從一般到特殊，學(xué)習(xí)了三角形、特殊三角形（等腰三角形、等邊三角形、等腰直角三角形）、平行四邊形、特殊平行四邊形（矩形、菱形、正方形）的定義、性質(zhì)、判定，在解決相關(guān)問(wèn)題時(shí)要把握?qǐng)D形特性，厘清圖形關(guān)系。

一、結(jié)合整體與局部，把握?qǐng)D形性質(zhì)

例1 出入相補(bǔ)原理是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要成就之一，最早是由三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)建?！皩⒁粋€(gè)幾何圖形任意切成多塊小圖形，幾何圖形的總面積保持不變，等于所分割成的小圖形的面積之和”是該原理的重要內(nèi)容之一。如圖1，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分別為點(diǎn)F、G，則EF+EG= 。

【解析】本題先介紹“出入相補(bǔ)法”，啟發(fā)我們關(guān)注圖形的面積。如圖2，連接OE，根據(jù)矩形性質(zhì)，得BO=CO=[12]BD=[132]，所以S△BOC=S△COE+S△BOE=[12]CO·EF+[12]BO·EG=[12]BO·（EF+EG），如此只需再求出△BOC的面積即可。這里有兩種思路：一是過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BD于點(diǎn)H，根據(jù)面積相等，得CH=[BC·CDBD]=[12×513]=[6013]，又因?yàn)镾△BOC=[12]BO·CH=[12]BO·（EF+EG），所以EF+EG=CH=[6013]；二是由矩形知AO=CO，得S△AOB=S△BOC，同理可得S△AOB=S△BOC=S△COD=S△AOD=[14]S矩形ABCD=[14]×12×5=15，即S△BOC=[12]BO·（EF+EG） =15，解得EF+EG=[6013]。

【點(diǎn)評(píng)】研究圖形性質(zhì)，既要有整體的眼光，又要著眼于具體的幾何元素。從整體看，考慮圖形的對(duì)稱性，圖形間的全等、相似等關(guān)系；從局部看，考慮圖形的邊、角、對(duì)角線、高等元素之間的數(shù)量和位置關(guān)系。此題求△BOC面積的兩種方法，一種著眼于底和高，一種是基于整體。

二、關(guān)聯(lián)定義與性質(zhì)，理解圖形概念

例2 對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)四邊形，若存在點(diǎn)O，使得該四邊形的一條對(duì)角線繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一定角度后能與另一條對(duì)角線重合，則稱該四邊形為“可旋四邊形”，點(diǎn)O是該四邊形的一個(gè)“旋點(diǎn)”。例如，在矩形MNPQ中，對(duì)角線MP、NQ相交于點(diǎn)T，則點(diǎn)T是矩形MNPQ的一個(gè)“旋點(diǎn)”。

（1）若菱形ABCD為“可旋四邊形”，其面積是4，則菱形ABCD的邊長(zhǎng)是 ；

（2）如圖3，四邊形ABCD為“可旋四邊形”，邊AB的中點(diǎn)O是四邊形ABCD的一個(gè)“旋點(diǎn)”，求∠ACB的度數(shù)；

（3）如圖4，在四邊形ABCD中，AC=BD，AD與BC不平行。四邊形ABCD是否為“可旋四邊形”？請(qǐng)說(shuō)明理由。

【解析】（1）根據(jù)“可旋四邊形”定義，該四邊形對(duì)角線相等，由對(duì)角線相等的菱形是正方形，可得四邊形ABCD是正方形。由于其面積是4，則邊長(zhǎng)為2。

（2）如圖5，連接OC，根據(jù)四邊形ABCD是“可旋四邊形”，O為“旋點(diǎn)”，可得OC=OB=OA，故∠OCB=∠OBC，∠OCA=∠OAC。因?yàn)椤螼CB+∠OBC+∠OCA+∠OAC=180°，即2（∠OCB+∠OCA）=180°，所以∠ACB=90°。

（3）如圖6，根據(jù)定義，若四邊形ABCD為“可旋四邊形”，則存在點(diǎn)O，使得OA=OD，OC=OB，∠AOD=∠BOC，故點(diǎn)O在AD和BC的垂直平分線上。由于AD與BC不平行，則AD和BC的垂直平分線有唯一交點(diǎn)，此時(shí)△AOC≌△DOB（SSS），從而∠AOC=∠BOD，所以∠AOD=∠BOC，故四邊形ABCD是“可旋四邊形”。

【點(diǎn)評(píng)】本題為新定義閱讀理解題，3個(gè)問(wèn)題都抓住了“可旋四邊形”定義，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得到相等的線段與角，進(jìn)一步利用三角形相關(guān)知識(shí)進(jìn)行解決。第（3）題需要運(yùn)用逆向思維，先假設(shè)這是“可旋四邊形”，再對(duì)圖形性質(zhì)進(jìn)行推理，找出旋點(diǎn)位置，這與尺規(guī)作圖的思路類似。

三、區(qū)分共性與差異，梳理圖形關(guān)系

例3 小惠自編一題：“如圖7，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，AC⊥BD，OB=OD。求證：四邊形ABCD是菱形?！彪S后，小惠將自己的證明過(guò)程與同學(xué)小潔交流。

小惠：

證明：因?yàn)锳C⊥BD，OB=OD，

所以AC垂直平分BD。

所以AB=AD，CB=CD。

所以四邊形ABCD是菱形。

小潔：這個(gè)題目還缺少條件，需要補(bǔ)充一個(gè)條件才能證明。

你贊成誰(shuí)呢？若贊成小潔的說(shuō)法，試補(bǔ)充一個(gè)條件，并證明。

【解析】我贊成小潔的說(shuō)法。根據(jù)“對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形”，在已知AC⊥BD、OB=OD的條件下，需添加一個(gè)條件使四邊形ABCD是平行四邊形，最簡(jiǎn)便的是添加AO=CO。

證明：∵OA=OC，OB=OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形。又∵AC⊥BD，∴平行四邊形ABCD是菱形。

本題添加∠DAC=∠ACB或AB∥CD也可以，同學(xué)們不妨自己嘗試證明。如果結(jié)合垂直平分線性質(zhì)，可以根據(jù)“四邊相等的四邊形是菱形”，添加AB=BC或AD=CD。

【點(diǎn)評(píng)】本題知識(shí)層面考查菱形的判定、垂直平分線性質(zhì)等，具有一定的開放性。矩形、菱形、正方形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形的一切性質(zhì)。同時(shí)它們又是平行四邊形的特例，具有自己的特性，判定所需的條件也在不斷強(qiáng)化。

平行四邊形、矩形、菱形、正方形從定義的角度來(lái)看，它們之間的關(guān)系與我們之前學(xué)習(xí)的三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形之間的關(guān)系類似。從本文例題也可以看出，有的問(wèn)題以特殊四邊形為背景，利用其性質(zhì)，還能夠得到直角三角形、等腰三角形、有特殊關(guān)系的三角形等，進(jìn)一步利用三角形相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題，體現(xiàn)了化繁為簡(jiǎn)的思想。

（作者單位：江蘇省常熟市常清中學(xué)）