陳婷婷

摘要：在高中數(shù)學(xué)習(xí)題課上，教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)實(shí)際不斷創(chuàng)新教學(xué)手段和教學(xué)模式，充分發(fā)揮學(xué)生的主體價(jià)值，讓學(xué)生成為習(xí)題課真正的主人.在具體實(shí)施過程中，教師要做啟發(fā)型和探究型的老師，要重視呈現(xiàn)學(xué)生的思考過程，并鼓勵(lì)學(xué)生從不同角度分析和解決問題，以此幫助學(xué)生積累豐富的解題經(jīng)驗(yàn)，切實(shí)提高學(xué)生解題能力，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：習(xí)題課；主體價(jià)值；解題能力

習(xí)題課是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要課型，它既可以檢測(cè)學(xué)生知識(shí)、技能、方法的掌握情況，也可以幫助學(xué)生查缺補(bǔ)漏、開闊思路、積累經(jīng)驗(yàn)、建構(gòu)知識(shí)體系[1].習(xí)題課用不著面面俱到，如果每道題都講、每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都強(qiáng)調(diào)，那么習(xí)題課就上成了新授課，這樣所講知識(shí)過于繁雜，不僅影響個(gè)體知識(shí)結(jié)構(gòu)的建立與完善，而且容易造成學(xué)生思維疲勞，難以發(fā)揮習(xí)題課的育人價(jià)值，影響習(xí)題課的教學(xué)質(zhì)量.在習(xí)題課教學(xué)中，教師要重視歸類、總結(jié)，重視呈現(xiàn)學(xué)生的思考過程，引導(dǎo)學(xué)生探尋問題的本質(zhì)，以此達(dá)到會(huì)一題、通一類的效果，切實(shí)提高習(xí)題課教學(xué)的有效性.筆者以“橢圓習(xí)題課”教學(xué)為例，談?wù)剬?duì)習(xí)題課教學(xué)的幾點(diǎn)淺見，若有不足，請(qǐng)指正！

1教學(xué)簡(jiǎn)錄

問題1已知P是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求OP2的最值.

該題解法不唯一，教師鼓勵(lì)學(xué)生嘗試應(yīng)用不同的方法解決問題.問題給出后，教師預(yù)留充足的時(shí)間讓學(xué)生思考，然后充分展示學(xué)生的思考過程.

師：誰來說一說，你想利用什么方法解決這一問題呢？

生1：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），通過消元將問題轉(zhuǎn)化為主元是x的二次函數(shù)，在定義域［－a，a］上求最值.

生2：我和生1的想法基本相同，不過我通過消元將問題轉(zhuǎn)化為主元是y的二次函數(shù)，在定義域［－b，b］上求最值.

師：還有其他解決方案嗎？

生3：還可以設(shè)P（acosA，bsinA），這樣可以將問題轉(zhuǎn)化為主元為cosA或sinA的二次函數(shù)，在定義域［－1，1］上求最值.

師：非常好，以上同學(xué)給出的方法是解決此類問題常用的方法，通過消元，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求最值的經(jīng)驗(yàn)解決問題.

教師正準(zhǔn)備讓學(xué)生任選一種方法，完善解題過程時(shí)，生4又給出了另一種解法.

生4：以上都是從數(shù)的角度分析，其實(shí)該題還可以從形的角度分析，將目標(biāo)看成圓與橢圓相切的兩個(gè)狀態(tài)就是最值.（部分學(xué)生投來疑惑的眼神.）

師：是個(gè)不錯(cuò)的想法，請(qǐng)具體說說你的想法.

生4在黑板上畫出了兩個(gè)臨界狀態(tài)，學(xué)生恍然大悟.

師：你認(rèn)為哪種方法是最優(yōu)解法呢？

通過互動(dòng)交流，最終達(dá)成共識(shí)：若該題是填空題，可以選擇生4的方法來解決，借助幾何直觀，可以優(yōu)化運(yùn)算過程，提高解題效率；若該題是解答題，則需要利用前面幾位同學(xué)給出的代數(shù)法進(jìn)行推理.

教學(xué)評(píng)注：教學(xué)中，教師將課堂還給學(xué)生，鼓勵(lì)學(xué)生應(yīng)用不同方法解決問題，有利于激活思維，激發(fā)潛能，這樣學(xué)生的思維動(dòng)起來了，課堂也就活起來了，有利于提升教學(xué)有效性[2].

問題2已知點(diǎn)P在橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上（點(diǎn)P異于橢圓頂點(diǎn)），F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若∠F1PF2=60°，則這樣的點(diǎn)P有幾個(gè)？

同樣，問題給出后，教師沒有急于呈現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)答案，而是將解題主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生.學(xué)生獨(dú)立求解，教師巡視.從解題反饋來看，學(xué)生給出了不同的答案：4個(gè)；4個(gè)或2個(gè)或0個(gè)；4個(gè)或0個(gè).基于此，教師給出如下解題過程：

設(shè)橢圓的離心率為e，根據(jù)焦半徑公式，得x0=±1e3c2－b23，y0=±3b23c，由此可知，符合條件的點(diǎn)P應(yīng)該是4個(gè).

教師話音剛落，學(xué)生提出異議.

生5：不對(duì)，令a=2，b=3，c=1，顯然當(dāng)e=12時(shí)，只有兩個(gè)解.當(dāng)e<12時(shí)，無解.

師：真的嗎？

生6：兩個(gè)解時(shí)，顯然與題目中“異于頂點(diǎn)”相矛盾，應(yīng)舍去.

此時(shí)，給出兩個(gè)解的學(xué)生恍然大悟.

這樣通過師生互動(dòng)交流，最終明確，點(diǎn)P有4個(gè)或0個(gè).

師：現(xiàn)在我們將題目變一變，若將“∠F1PF2=60°”改為“∠F1PF2=90°”，你有什么發(fā)現(xiàn)？

改編后，學(xué)生聯(lián)想到圓.在此基礎(chǔ)上，教師又引導(dǎo)學(xué)生將橢圓向特殊化轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生體會(huì)離心率變化帶來的視覺沖擊.當(dāng)然，也有學(xué)生提出將角向一般化轉(zhuǎn)化，如令∠F1PF2=θ.這樣通過特殊與一般轉(zhuǎn)化，既有利于發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，拓寬學(xué)生的視野，又利于增強(qiáng)學(xué)生的解題信心.

教學(xué)評(píng)注：教學(xué)中教師要充分發(fā)揮課堂主導(dǎo)的作用，當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)分歧或困惑時(shí)及時(shí)給予引導(dǎo)，以此增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)信心.此環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生將問題進(jìn)行改編，以此通過變式使習(xí)題變得更有廣度、更有深意，有利于揭示問題的本質(zhì)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).

問題3AB是橢圓x216+y24=1的弦，點(diǎn)M（2，1）是弦AB的中點(diǎn)，求直線AB的方程.

中點(diǎn)弦問題是高考的一個(gè)重要考點(diǎn)，教師讓學(xué)生以小組為單位，共同探索解題思路.

生8：可以利用方程組法求解，設(shè)斜率，聯(lián)立方程，利用設(shè)而不求的方法解題.解題時(shí)需要注意，設(shè)斜率需要考慮斜率是否存在，該題根據(jù)已知條件可知，直線AB的斜率是存在的，所以設(shè)所求的方程為y－1=k（x－2）即可.

師：很好，方程組法是解決橢圓中點(diǎn)弦問題的常用方法，將直線方程與橢圓組成的方程組，通過消元將其轉(zhuǎn)化為一元二次方程，從而利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可以求出斜率，以此得到直線方程.還有其他方法嗎？

生9：設(shè)點(diǎn)A（x，y），則由對(duì)稱性得B（4－x，2－y），利用這兩點(diǎn)都在橢圓上，即可得到所求.

師：非常好，利用對(duì)稱性解決了問題.該方法就是我們常說的中點(diǎn)轉(zhuǎn)移法.解題時(shí)，先設(shè)弦的一個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)，然后借助中點(diǎn)坐標(biāo)，可以得到另一端點(diǎn)坐標(biāo)，將兩點(diǎn)分別代入橢圓方程，直接相減即可得到所求的直線方程.

生10：也可以分別設(shè)出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，然后將兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，兩式相減可以求得直線斜率.這樣得到直線斜率后，問題即可迎刃而解.

師：非常棒，該方法可以稱其為“點(diǎn)差法”，是解決中點(diǎn)弦問題的一個(gè)不錯(cuò)方法.

生11：其實(shí)這個(gè)題單憑看也能得到答案.

師：哦！你是怎么看的呢？

生11：直接寫出上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)的坐標(biāo)，它們的中點(diǎn)就是點(diǎn)M，這樣可以直接寫出直線方程.

學(xué)生紛紛投來羨慕的目光.

師：太厲害了，憑借直觀思考，一眼看穿！若將點(diǎn)M坐標(biāo)改為（1，2）呢？

這樣更改后，顯然利用生11的方法行不通了，由此通過對(duì)比既讓學(xué)生感知通法的通用性，也讓學(xué)生體會(huì)幾何直觀的優(yōu)越性.

教學(xué)評(píng)注：在此過程中，生11利用直覺思維，借助幾何直觀高效地解決了問題，充分展示了數(shù)形結(jié)合的魅力，不過該解法具有一定的特殊性.在日常教學(xué)中，我們不僅要強(qiáng)調(diào)通法，也要關(guān)注最優(yōu)解法，對(duì)于一些客觀題，若能用優(yōu)法解題，可以達(dá)到事半功倍的效果.對(duì)于該題，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生想一想，若點(diǎn)M不是弦的中點(diǎn)該如何求解，由此讓學(xué)生體會(huì)方程組法才是解析幾何最重要的解法.

2教學(xué)思考

習(xí)題課上，教師切勿“求多”，而是要“求精”.教學(xué)中，教師要認(rèn)真研究“課標(biāo)”和真題，結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和學(xué)生學(xué)習(xí)反饋精心挑選典型性例題，以此充分發(fā)揮典型例題的輻射功能，提高學(xué)生舉一反三的能力[3].

習(xí)題課上，教師切勿大包大攬，應(yīng)該將課堂還給學(xué)生，學(xué)會(huì)傾聽學(xué)生的想法，關(guān)注他們的思考過程，鼓勵(lì)他們合作交流，充分發(fā)揮學(xué)生的主體價(jià)值，讓不同思維碰撞出火花，以此拓寬學(xué)生的視野，激活學(xué)生的思維，促成深度學(xué)習(xí).

值得注意的是，我們強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體價(jià)值，切忌忽視教師的主導(dǎo)作用，教師作為課堂教學(xué)的組織者、引領(lǐng)者，其在教學(xué)中的地位和作用是不可替代的.在課堂教學(xué)中，教師既要做好充分的預(yù)設(shè)，又要及時(shí)捕捉各種課堂生成.當(dāng)課堂上出現(xiàn)“意外”時(shí)，要根據(jù)實(shí)際情況及時(shí)調(diào)整教學(xué)節(jié)奏和教學(xué)策略.如當(dāng)學(xué)生困惑時(shí)，教師要適當(dāng)?shù)胤怕_步，通過多角度分析幫助學(xué)生排疑解惑，以此讓學(xué)生真懂真會(huì)；當(dāng)學(xué)生提供精彩的解法時(shí)，教師要給予充分肯定，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，升華學(xué)生認(rèn)知.

總之，若想打造精彩的習(xí)題課堂，教師就要放權(quán)給學(xué)生，讓學(xué)生主動(dòng)交流各自的所思、所想、所惑，讓學(xué)生把題真正地學(xué)懂、吃透，切實(shí)提高學(xué)生解題能力.同時(shí)，在課堂教學(xué)中，教師要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)和反思，以此優(yōu)化個(gè)體認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生舉一反三的能力.

參考文獻(xiàn)：

［1］曹慧.提高數(shù)學(xué)習(xí)題課效率的策略探討[J].中文科技期刊數(shù)據(jù)庫(kù)（全文版）教育科學(xué)，2021（9）：283.

［2］雷洪春.高中數(shù)學(xué)習(xí)題課變式教學(xué)探索——以“函數(shù)的概念與基本性質(zhì)”習(xí)題課為例[J].華夏教師，2022（25）：43-45.

［3］汪本旺.例談高中數(shù)學(xué)習(xí)題課的深度教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2022（10）：8-11.