陶勇勝

圓錐曲線問題是考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算和邏輯推理核心素養(yǎng)的重要抓手之一，在近幾年高考及各地模擬考試中，此類問題因在求解過程中含多個變量，往往具有較大且復(fù)雜的運算量，讓學(xué)生束手無策、望而生畏，是學(xué)生解題過程中的一個“痛”點.對于高考中的這一熱點和難點，如果能根據(jù)已知條件，選擇合適的直線參數(shù)方程，將會使得解題過程更為簡潔、高效.本文先介紹直線參數(shù)方程的相關(guān)概念，再以2023年圓錐曲線高考題為例，運用直線參數(shù)方程對其進(jìn)行探究，回歸教材尋求突破之法.

1.直線參數(shù)方程的相關(guān)概念

如圖1，若直線l經(jīng)過點P0x0，y0，斜率為k，則直線l的點斜式方程為y－y0=kx－x0，其中k=tanα（α為直線的

傾斜角，α≠π2）.若將k=tanα代入點斜式方程，得到y(tǒng)－y0=sinαcosαx－x0，即x－x0cosα=y－y0sinα，設(shè)上式的比值為t，整理后得到直線l的參數(shù)方程x=x0+tcosα

y=y0+tsinα （t為參數(shù)），當(dāng)α=π2時，上式也成立.其中，直線參數(shù)方程中t是指在直線上過定點P0x0，y0與直線上任意一點Px，y構(gòu)成的有向線段P0P的數(shù)量，t的絕對值t就是點P0與點Px，y之間的距離.當(dāng)點P在點P0上方時，t＞0；當(dāng)點P在點P0下方時，t＜0.

一般地，若過定點P0x0，y0直線l與二次曲線相交于P1、P2兩點，P1，P2對應(yīng)參數(shù)分別為t1，t2，則根據(jù)參數(shù)方程中的t幾何意義，有以下性質(zhì)：

（1）P1P2=t1－t2，P0P+P1P=t1+t2，P0P+P1P=t1+t2；

（2）若P0在線段P1P2內(nèi)，則t1t2＜0且PP1PP2=－t1t2；若P0在線段P1P2外，則t1t2＞0且PP1PP2=t1t2；

（3）P1P2的中點P的對應(yīng)參數(shù)值tP=t1+t22，若P0是線段P1P2的中點，則t1+t2=0，反之亦然；

（4）若點P分線段P1P2所成的比為λ，則點P對應(yīng)的參數(shù)值tP=t1+λt21+λ.

根據(jù)上述性質(zhì)，當(dāng)直線與圓錐曲線相交時，靈活運用參數(shù)t的幾何意義，可優(yōu)化解題過程、減少計算量.需要特別注意的是，由于直線的傾斜角α的范圍為0，π，因此經(jīng)過點P0x0，y0，傾斜角為α的“標(biāo)準(zhǔn)形式”的參數(shù)方程x=x0+at，

y=y0+bt 需滿足三個條件：①－1＜a≤1；②0≤b≤1；③a2+b2=1.

2.直線參數(shù)方程在圓錐曲線中的應(yīng)用

例1（2023年全國數(shù)學(xué)理科甲卷第20題）已知直線x－2y+1=0與拋物線C：y2=2px（p＞0），交于A，B兩點，AB=415.（1）求p；（2）

設(shè)F為C的焦點，M，N為C上兩點，MF·NF=0，求ΔMNF面積的最小值.

解：（1）易得p=2.

（2）如圖2，設(shè)直線MF的參數(shù)方程為x=1+tcosα，

y=tsinα （t為參數(shù)），點M，N對應(yīng)參數(shù)分別為t1，t2，則M（1+t1cosα，t1sinα），N（1－t2sinα，t2cosα），因為點M在拋物線y2=4x上，所以sin2α·t21－4cosα·t1－4=0，解得t1=21－cosα，同理t2=21+sinα，根據(jù)參數(shù)t的幾何意義，MF=t1，NF=t2，從而ΔMNF面積S=12t1t2=21－cosα1+sinα.由基本不等式，（1－cosα）（1+sinα）≤2+sinα－cosα22=2+2sinα－π424=3+222，當(dāng)且僅當(dāng)sinα－π4=1，即α=3π4時取得最大值，所以S=21－cosα1+sinα≥43+22=12－82.

點評：該題推陳出新，以求三角形的面積為背景，融合函數(shù)、不等式和圓錐曲線性質(zhì)等知識，主要存在兩個難點：①合理引入?yún)?shù)；②用其表示三角形的面積.與引入點參或線參等方法相比，根據(jù)參數(shù)t的幾何意義可以直接得到三角形兩條直角邊MF與NF的表達(dá)式，從而巧妙化解本題的難點——三角形的面積的表示問題.

例2（2023年全國Ⅰ卷第22題）在直角坐標(biāo)系xOy中，點P到x軸的距離等于點P到點0，12的距離，記動點P的軌跡為W．（1）求W的方程；（2）已知矩形ABCD有三個頂點在W上，證明：矩形ABCD的周長大于33．

解：（1）易得W的方程為y=x2+14.

（2）如圖3，不失一般性，將W向下平移14個單位，設(shè)Ax0，x20，直線AB的參數(shù)方程為x=x0+tcosα，

y=x20+tsinα

（t為參數(shù)），點A，B對應(yīng)參數(shù)分別為t1，t2，將直線AB的方程代入W的方程y=x2中，得到cos2α·t2+2x0cosα－sinα·t=0，則t2=sinα－2x0cosαcos2α，且判別式Δ=2x0cosα－sinα2＞0，即2x0≠tanα，根據(jù)參數(shù)t的幾何意義，AB=t1－t2=sinα－2x0cosαcos2α.因為ABCD是矩形，所以直線AD的傾斜角為α+π2，故AD=cosα+2x0sinαsin2α，且2x0≠tanα+π2，即2x0≠－1tanα，從而矩形ABCD的周長L=2AB+AD=2sinα－2x0cosαcos2α+cosα+2x0sinαsin2α（＊），由于上述（＊）式分子和分母都為非負(fù)數(shù)，所以當(dāng)2x0=tanα或2x0=－1tanα?xí)r，L取得最小值.當(dāng)2x0=tanα?xí)r，L=2sin2αcosα=2cosα－cos3α≥2239=33，同理當(dāng)2x0=－1tanα?xí)r，L=1sinαcos2α≥33.

又因為2x0≠tanα且2x0≠－1tanα，所以L＞33.

點評：該題設(shè)計巧妙、新穎，以一個邊長變化的矩形“搭”在拋物線上為載體，考查矩形在滑動過程中求矩形周長的最值問題，需要學(xué)生有一定的動態(tài)思維能力，又需要在變化過程中找到不變量的邏輯推理能力.本題選擇合適的直線參數(shù)方程，利用上述中的性質(zhì)（1），簡潔地得到矩形兩邊的邊長，進(jìn)而得到矩形周長L的表達(dá)式，突破本題的難點.由于（＊）式中各項均為正，周長L的最小值只有當(dāng)分子為零時取得，整個解題過程簡潔、高效，避免了繁雜的運算.

例3（2023年全國數(shù)學(xué)理科乙卷第20題）已知橢圓C：y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）的離心率為53，曲線C過點A－2，0.（1）求曲線C的方程；（2）過點－2，3的直線交曲線C于P，Q兩點，直線AP，AQ與y軸的交點分別為M，N，證明：MN的中點為定點.

解：（1）易得曲線C的方程為x24+y29=1.

（2）如圖4，設(shè)直線PQ的參數(shù)方程為x=－2+tcosα，

y=3+tsinα

（t為參數(shù)），點P，Q對應(yīng)參數(shù)分別為t1，t2，則P－2+t1cosα，3+t1sinα，Q－2+t2cosα，3+t2sinα.將直線PQ的方程代入橢圓C的方程中，得到5cos2α+4t2+64sinα－6cosα·t+36=0，故t1+t2=66cosα－4sinα5cos2α+4，t1t2=365cos2α+4.因為A－2，0，P－2+t1cosα，3+t1sinα，所以直線AP的方程為y=3+t1sinαt1cosαx+2，令x=0，則yM=6+2t1sinαt1cosα，同理yN=6+2t2sinαt2cosα，所以線段MN中點的縱坐標(biāo)yM+yN2=1cosα·3+t1sinαt1+3+t2sinαt2=1cosα·2sinα+3t1+t2t1t2=3，故MN的中點為定點0，3.

點評：該題以“若kAM+kAN為定值，則直線MN過定點”的定點問題為背景，其背景熟悉、表達(dá)簡練、切入口寬.本題的關(guān)鍵點是由直線AP、AQ的方程得到點M、N的坐標(biāo).設(shè)直線PQ的參數(shù)方程后，便捷得到點P、Q的坐標(biāo)，再結(jié)合點A的坐標(biāo)，得到直線AP、AQ的方程，突破本題的關(guān)鍵點.顯然，除了解決圓錐曲線中與長度有關(guān)的問題，直線的參數(shù)方程對于解決定點問題仍是一種十分高效的方法.實際上，此題與2022年全國數(shù)學(xué)理科乙卷第20題背景相似，也可以用直線的參數(shù)方程求解，讀者可以進(jìn)行嘗試.

例4（2023年全國Ⅱ卷第21題）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點，左焦點為－25，0，離心率為5.（1）求C的方程；（2）記C的左、右頂點分別為A1，A2，過點－4，0的直線與C的左支交于M，N兩點，點M在第二象限，直線MA1與NA2交于點P.證明：點P在定直線上.

解：（1）易得C的方程為x24－y216=1.

（2）如圖5，設(shè)直線MN的參數(shù)方程為x=－4+tcosα，

y=tsinα （t為參數(shù)），點M，N對應(yīng)參數(shù)分別為t1，t2，則M（－4+t1cosα，t1sinα），N（－4+t2cosα，t2sinα）.將直線MN的方程代入雙曲線C的方程中，得4cos2α－sin2α·t2－32cosα·t+48=0，故t1+t2=32cosα4cos2α－sin2α①，t1t2=484cos2α－sin2α②，由①÷②可得cosα=3t1+t22t1t2（＊）.又因A1（－2，0），M（－4+t1cosα，t1sinα），所以直線A1M的方程為y=t1sinαt1cosα－2x+2，同理，直線A2N的方程為y=t2sinαt2cosα－6x－2，聯(lián)立直線A1M和A2N的方程并將（＊）式代入，得到（2t2－6t1）x=－4t1t2cosα+4t2+12t1=6t1－2t2，解得x=－1，故點P在定直線x=－1上.

點評：該題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，可以從多個角度理解直線MN，點M、N可以看成直線MA1、NA2與雙曲線的交點，也可以看成直線MN與雙曲線的交點，即選擇直線MN的初始參變量不同，將導(dǎo)致解題過程的運算量大小不同.本題把點M、N看成直線MN與雙曲線的交點，巧設(shè)直線MN的參數(shù)方程，整個解題過程中始終將t作為初始參變量，大大減少了運算量.與例3相比，例4出現(xiàn)了非對稱韋達(dá)結(jié)構(gòu)，常將sinα或cosα用t1、t2表示，轉(zhuǎn)化為關(guān)于t1、t2的一次式進(jìn)行化簡運算，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和化歸的數(shù)學(xué)思想.

3.教學(xué)啟示

3.1深究教材，為教學(xué)活動多元化奠定基礎(chǔ)

直線的參數(shù)方程這一部分內(nèi)容在新人教A版教材中以“探索與發(fā)現(xiàn)”的形式出現(xiàn)，似乎在高考中直接考查并不多，故在平時教學(xué)中容易忽視，但高三復(fù)習(xí)時，教師應(yīng)充分挖掘新教材的思想，滲透新教材的方法，利用直線的參數(shù)方程開展多元化的教學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生多題一解，拓寬學(xué)生的解題思路，在提高解題正確率的同時有助于學(xué)生擺脫解題慣性，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.

3.2尋法教材，為破解高考真題提供良策

從近幾年圓錐曲線的高考試題來看，基于教材中的數(shù)學(xué)思想和方法為出發(fā)點的命制試題不在少數(shù)，教材是教師和學(xué)生學(xué)習(xí)知識的共同載體，也是高考命題的重要依據(jù)，命題專家根據(jù)教材挖掘有價值的材料，進(jìn)行命題設(shè)計，能起到良好的導(dǎo)向作用，教師可與學(xué)生一起在教材中“尋法”，通過教材尋求破解方法，幫助學(xué)生實現(xiàn)“遷移數(shù)學(xué)知識、類比解題方法，從具體的教學(xué)情境中抽象出共性、方法和體系”［1］，突破機械式“刷題”，使得“減負(fù)增效”落到實處.

3.3回歸教材，為落實依標(biāo)施教精準(zhǔn)定位

章建躍博士認(rèn)為：“回歸教材、依標(biāo)施教是高考命題改革的大勢所趨，教材是從課標(biāo)到教學(xué)的橋梁紐帶，教學(xué)中注重用好教材，切實做到依標(biāo)施教”［2］.如果教師脫離教材教學(xué)，一味追求教輔上的“二級結(jié)論”，熱衷“秒殺大招”，將導(dǎo)致學(xué)生在知識和方法遷移上捉襟見肘，遇到新的面孔，不能套路化，不會思考，長期以往，師生苦教苦學(xué)，教學(xué)效果甚微.唯有在課堂中注重教材中的通性通法，幫助學(xué)生在教師指導(dǎo)下，超越具體特技、特法深入到思維層面，注重學(xué)習(xí)的遷移運用和問題解決，在相似的情境中能夠做到“舉一反三”，才能使得學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人.

3.4立足教材，為試題命制和解題教學(xué)把握方向

試題命制和解題教學(xué)都是教師在教學(xué)活動中不可缺少的重要技能，從教材中的數(shù)學(xué)思想和方法研究出發(fā)的試題命制和解題教學(xué)，既能幫助教師把握命題邏輯的正確性，確保命題試題的廣度和深度，也能幫助教師從不同角度對高考試題引申、類比和拓展，把高考試題價值最大化，還能幫助教師能從數(shù)學(xué)的本質(zhì)出發(fā)，呈現(xiàn)知識的生成過程，使得復(fù)習(xí)備考真正做到“精準(zhǔn)高效”.

參考文獻(xiàn)

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)［M］.北京：人民教育出版社，2018；

［2］章建躍.高考命題嚴(yán)格“依標(biāo)”，教學(xué)該怎么辦［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)，2023（07）：129-129.