徐志剛

平面向量是高考命題的重要考點(diǎn)，尤其是平面向量模的問(wèn)題，時(shí)常出現(xiàn)在高考題的填空題中.我們知道，向量既有大小又有方向，這里的大小就是指向量的模，也叫向量的長(zhǎng)度.計(jì)算向量的?；蚰５淖钪担ㄈ≈捣秶┦且活?lèi)?？碱}型.那么這類(lèi)問(wèn)題該如何破解，本文從一道高考真題談起.

真題（2023年新課標(biāo)Ⅱ卷第13題）已知向量，滿(mǎn)足－=3，+=2－，則=．

本題題干中的兩個(gè)向量滿(mǎn)足的條件都是以向量模的形式出現(xiàn)，無(wú)論是已知條件還是所求結(jié)論都統(tǒng)一到向量的模這個(gè)“焦點(diǎn)”上，主題十分明確.可以說(shuō)，本題是一道語(yǔ)言精煉，考點(diǎn)明確不可多得的好題.那么這道題該如何解呢？

首先，我們都知道向量模的運(yùn)算往往與兩類(lèi)的數(shù)量積有關(guān)，于是出現(xiàn)了一下兩種思路：

思路1直接利用向量數(shù)量積的律運(yùn)算求解

解法1：[HT]因?yàn)?=2－，即+2=2－2，則2+2·+2=42－4·+2，整理得2－2·=0，又因?yàn)椋?3，即－2=3，則2－2·+2=2=3，故=3.

思路2換元再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求解

解法2：設(shè)=－，則=3，+=+2，2－=2+，由題意可得+22=2+2，則2+4·+42=42+4·+2，整理得2=2，即==3.

上述兩種解法只是表述上的不同，實(shí)質(zhì)是一致的，有時(shí)應(yīng)用了向量的數(shù)量積運(yùn)算的有關(guān)公式.其實(shí)，在求解向量問(wèn)題時(shí)，還有一種方法不可忽視，那就是坐標(biāo)法.

思路3引入向量坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為方程組

解法3：不妨將已知條件特殊化，把向量，的起點(diǎn)都放在原點(diǎn)上，且它們的終點(diǎn)都在x軸上，令=（m，0），=（n，0），則||=|n|.由－=3得|m－n|=3m－n=±3；由+=2－得|m+n|=|2m－n|m=2n或m=0，所以由m－n=3，

m=2n 得n=3；由m－n=－3，

m=2n 得n=－3；由m－n=3，

m=0 得n=－3；m－n=－3，

m=0 得n=3.

綜上可知n=±3，故||=|n|=3.

解答高考題，直接法固然是最常用的方法，但對(duì)于單選題與填空題來(lái)說(shuō)，特殊化法有時(shí)省時(shí)又省力，值得嘗試.

思路4應(yīng)用特殊化思想

解法4：當(dāng)=0時(shí)，+=2－恒成立，于是由－=3得=3.

點(diǎn)評(píng)：從以上四種解法中不難看出，處理向量模的問(wèn)題，一般有兩種方法，一種是依據(jù)向量的數(shù)量積與向量的模之間的關(guān)系式：||2=·；另一種方法就是將向量坐標(biāo)化，把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解析幾何或代數(shù)問(wèn)題求解.

為了更好的研究這類(lèi)問(wèn)題，我們不妨將上述高考真題加以變式后再作研究.

變式1已知平面內(nèi)非零向量，，滿(mǎn)足<+，>=π3，||=2，|+|=1，則－=.

分析：由已知條件可求得||=3，2·=－6，將－平方展開(kāi)代入求值即可得答案.

解析：因?yàn)?+，>=π3，||=2，|+|=1，

所以［（+）－］2=|+|2+||2－2|+|·||cosπ3=3，所以||=3，

又因?yàn)閨+|=1，兩邊平方得||2+||2+2·=1，解得2·=－6，所以－2=||2+||2－2·=4+3+6=13，所以－=13.

點(diǎn)評(píng)：本題中含有“<+，>=π3”的條件，不適宜用坐標(biāo)法，只需應(yīng)用向量的數(shù)量積運(yùn)算的定義和相關(guān)運(yùn)算法則.

變式2已知平面向量，，中，||=3，||=1，－·－=0，且－=－，則的最大值為 ．

分析：根據(jù)題意可設(shè)－=x，y，－=－y，x，再利用||=3，||=1可得x2+y－32=1，寫(xiě)出的表達(dá)式利用幾何意義即可求得≤6+1.

解析：由（－）·（－）=0且－=－，不妨設(shè)－=x，y，－=（－y，x），又因?yàn)閨|=3，||=1，不妨設(shè)=3，0，則=（x+3，y），=3－y，x，又=3－y2+x2=1，即x2+y－32=1.所以（x，y）的軌跡是以（0，3）為圓心，半徑r=1的圓，而=x+32+y2表示x，y與－3，0之間的距離，顯然圓心0，3與－3，0之間的距離為d=6，所以d－r≤≤d+r，即的最大值為6+1.

點(diǎn)評(píng)：本題屬于模的最值問(wèn)題，最后的方法是數(shù)形結(jié)合，揭示向量的幾何意義，所以坐標(biāo)法是首選.

變式3已知平面向量、、滿(mǎn)足·=0，=1，－=－=5，則12+12－的取值范圍為.

分析：設(shè)=1，0，=x1，y1，=x2，y2，作OA=，OB=，OC=，則C1，0，求出線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為x－122+y2=494，可得出12+12－=CM，設(shè)點(diǎn)D12，0，由CM=DM－DC結(jié)合向量模的三角不等式可求得12+12－的取值范圍.

解析：如圖1，設(shè)=1，0，=x1，y1，=x2，y2，作OA=，OB=，OC=，則C1，0，則－2=x1－12+y21=25，－2=x2－12+y22=25，·=x1x2+y1y2=0.

令OM=12+=x，y，即x1+x22，y1+y22=x，y， x2+y2=x1+x22+y1+y224=x21+y21+x22+y224=x1－12+y21+x2－12+y22+2x1+x2－24=4x+484=x+12，整理得x－122+y2=494， 故點(diǎn)M的軌跡方程為x－122+y2=494，又12+12－=OM－OC=CM.設(shè)點(diǎn)D12，0，圓D的方程為x－122+y2=494，半徑r=92，因?yàn)镃M=DM－DC，且DM=72，DC=12，所以CM=DM－DC≥DM－DC=3，CM=DM－DC≤DM+DC=4.

即3≤CM≤4，即3≤12+12－≤4.

故12+12－的取值范圍是3，4.

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量模的取值范圍的求解，對(duì)于較為復(fù)雜的題型，一般可以考慮將向量特殊化、坐標(biāo)化來(lái)處理，利用解析法結(jié)合平面幾何的相關(guān)知識(shí)、向量模的三角不等式來(lái)求解.