楊曉丹 趙越 王煜晶

摘?要：在線(xiàn)性代數(shù)的教學(xué)中，矩陣乘法是一個(gè)非常重要的算法，矩陣乘法的一個(gè)應(yīng)用就是旋轉(zhuǎn)變換，本文借助GeoGebra可視化功能，動(dòng)態(tài)展示了旋轉(zhuǎn)變換的效果，使矩陣乘法的本質(zhì)得到展示，加深學(xué)員對(duì)矩陣乘法的理解，同時(shí)也增加了課堂的活躍性與趣味性，有助于提高教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：GeoGebra軟件；矩陣乘法；可視化

Abstract：In?the?teaching?of?linear?algebra，matrix?multiplication?is?a?very?important?algorithm.One?application?of?matrix?multiplication?is?selection?transformation.In?this?paper，with?the?help?of?GeoGebra's?visualization?function，the?effect?of?rotation?transformation?is?dynamically?displayed，so?that?the?essence?of?matrix?multiplication?can?be?displayed，which?can?deepen?the?students'?understanding?of?matrix?multiplication，increase?the?activity?and?interest?of?the?classroom，and?help?improve?the?teaching?effect.

Keywords：GeoGebra；Multiplication；Visualization

1?概述

“GeoGebra”動(dòng)態(tài)幾何畫(huà)板是集代數(shù)、幾何、微積分、概率統(tǒng)計(jì)功能為一體的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)，是一款免費(fèi)、開(kāi)源的數(shù)學(xué)軟件。該軟件與大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中常常使用的Matlab和Mathematica相比，具有操作簡(jiǎn)單、功能強(qiáng)大、形象直觀(guān)、可動(dòng)態(tài)展示效果等眾多優(yōu)點(diǎn)。

線(xiàn)性代數(shù)內(nèi)容抽象，計(jì)算量大，學(xué)員學(xué)完只會(huì)做題，往往不清楚線(xiàn)性代數(shù)有什么用途，覺(jué)得就是算來(lái)算去的數(shù)學(xué)人的游戲，因此學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中覺(jué)得抽象難懂枯燥乏味，對(duì)課程漸漸失去學(xué)習(xí)。比如在線(xiàn)性代數(shù)矩陣乘法的教學(xué)中，學(xué)員對(duì)矩陣乘法的意義比較迷惑，因此本文借助Geogebra的動(dòng)態(tài)演示功能，巧妙設(shè)計(jì)使用指令，動(dòng)態(tài)演示了矩陣乘法的幾何意義，幫助學(xué)員建立直觀(guān)的認(rèn)識(shí)，加深對(duì)矩陣乘法的理解。

2?矩陣乘法的定義

定義：設(shè)A=（aij）是一個(gè)m×s矩陣，B=（bij）是一個(gè)s×n矩陣，則規(guī)定矩陣A和矩陣B的乘積C=AB是一個(gè)m×n矩陣C=（cij）m×n，其中

cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj

=∑sk=1aikbkj（i=1，2，…，m；j=1，2…，n）

上述定義表明，乘積矩陣C的第i行第j列元素cij，是A的第i行的s個(gè)元素與B的第j列的s個(gè)元素一一對(duì)應(yīng)相乘的乘積之和。因此只有當(dāng)左邊矩陣A的列數(shù)等于右邊矩陣B的行數(shù)時(shí)，這兩個(gè)矩陣才可乘，我們稱(chēng)C=AB為A左乘B，或B右乘A，并且乘積矩陣的維數(shù)由A=（aij）的行數(shù)和B=（bij）的列數(shù)決定。當(dāng)矩陣B=（bij）是一個(gè)s×1矩陣時(shí)，Am×sBs×1=c11

c21

cm1，可以看出一個(gè)矩陣作用在一個(gè)向量上，將一個(gè)向量變成另一個(gè)向量，因此矩陣乘法對(duì)應(yīng)著變換，可以將一個(gè)向量轉(zhuǎn)換成另外一個(gè)向量，這就是矩陣乘以向量的本質(zhì)。乘積向量的維數(shù)有可能發(fā)生變化。

3?矩陣的旋轉(zhuǎn)變換

對(duì)于二維平面中的向量OP=xy，與x軸的夾角為θ，OP=r，將向量OP=xy逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)φ度，得到向量OP1=x1y1，如圖1。

此時(shí)x1=rcosθ+φ

y1=rsinθ+φ，即：

x1=cosφx-sinφy=rcosφcosθ-rsinφsinθ

y1=sinφx+cosφy=rsinφcosθ+rcosφsinθ

于是x1=cosφx-sinφy，

y1=sinφx+cosφy.寫(xiě)成矩陣乘法的形式則有：

x1

y1=cosφ-sinφ

sinφcosφx

y

令y→=x1

y1，A=cosφ-sinφ

sinφcosφ，x→=x

y，則矩陣A表示的是二維旋轉(zhuǎn)變換，將向量OP=x

y逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)φ度。

類(lèi)似地，我們可以寫(xiě)出三維旋轉(zhuǎn)變換矩陣：

A=100

0cosα-sinα

0sinαcosα，則Au=v表示對(duì)向量u繞x軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角度后得到向量v。

B=cosβ0-sinβ

010

sinβ0cosβ，則Bu=v表示對(duì)向量u繞y軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β角度后得到向量v。

C=cosγsinγ0

-sinγcosγ0

001則Au=v表示對(duì)向量u繞z軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)γ角度后得到向量v。

為了更好地理解乘法變換的本質(zhì)，教學(xué)中可使用GeoGebra動(dòng)態(tài)演示功能，展示向量的變化過(guò)程。

4?GeoGebra動(dòng)態(tài)演示矩陣乘法的幾何意義

現(xiàn)在以3階旋轉(zhuǎn)變換矩陣為例，解釋矩陣乘法的幾何意義。設(shè)三個(gè)三階矩陣A、B、C分別為如下形式：

A=100

0cosα-sinα

0sinαcosβ，B=cosβ0-sinβ

010

sinβ0cosβ，

C=cosγsinγ0

-sinγcosγ0

001

其中A乘向量的效果是向量繞x軸旋轉(zhuǎn)，B乘向量的效果是向量繞y軸旋轉(zhuǎn)，C乘向量的效果是向量繞z軸旋轉(zhuǎn)。

（1）分別打開(kāi)繪圖區(qū)、3D繪圖區(qū)、代數(shù)區(qū)、表格區(qū)。

（2）分別點(diǎn)擊工具欄上的，在繪圖區(qū)分別建立滑動(dòng)條a、b、c。

說(shuō)明：用于控制向量端點(diǎn)位置。

（3）指令欄中輸入：點(diǎn)A=（a，b，c）

說(shuō)明：生成向量的端點(diǎn)A。

（4）點(diǎn)擊工具欄上的，在繪圖區(qū)制作滑動(dòng)條α、β、γ，在出現(xiàn)的滑動(dòng)條編輯框中勾選角度，并輸入角度的名稱(chēng)，如α，然后在最小后輸入角度的最小值0，在最大后輸入角度的最大值360，如右圖2。

說(shuō)明：用于控制向量OA分別繞3個(gè)坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。

（5）在表格區(qū)A1、B1、C1、A2、B2、C2、A3、B3、C3位置上分別輸入矩陣A的元素。

（6）在表格區(qū)A5、B5、C5、A6、B6、C6、A7、B7、C7位置上分別輸入矩陣B的元素。

（7）在表格區(qū)A9、B9、C9、A10、B10、C10、A11、B11、C11位置上分別輸入矩陣C的元素。

（8）指令欄中輸入：列表m_1={{A1，B1，C1}，{A2，B2，C2}，{A3，B3，C3}}

說(shuō)明：生成方陣A。

（9）指令欄中輸入：列表m_2={{A5，B5，C5}，{A6，B6，C6}，{A7，B7，C7}}

說(shuō)明：生成方陣B。

（10）指令欄中輸入：列表m_3={{A9，B9，C9}，{A10，B10，C10}，{A11，B11，C11}}

說(shuō)明：生成方陣C。

（11）指令欄中輸入：u=向量（A）

說(shuō)明：生成向量OA。

（12）指令欄中輸入：u_1=m_1*u

說(shuō)明：用于表示矩陣A乘以向量u后的向量，即變換后的向量。

（13）指令欄中輸入：u_y=m_2*u

說(shuō)明：用于表示矩陣B乘以向量u后的向量，即變換后的向量。

（14）指令欄中輸入：u_z=m_3*u

說(shuō)明：用于表示矩陣C乘以向量u后的向量，即變換后的向量。

（15）指令欄中輸入：點(diǎn)XA=（x（u_1），y（u_1），z（u_1））

說(shuō)明：用于表示矩陣A乘以向量u后的向量u1的端點(diǎn)。

（16）指令欄中輸入：點(diǎn)YA=（x（u_y），y（u_y），z（u_y））

說(shuō)明：用于表示矩陣C乘以向量u后的向量uy的端點(diǎn)。

（17）指令欄中輸入：點(diǎn)ZA=（x（u_z），y（u_z），z（u_z））

說(shuō)明：用于表示矩陣C乘以向量u后的向量uz的端點(diǎn)。

當(dāng)我們完成了如上操作，就可以在教學(xué)中動(dòng)態(tài)演示旋轉(zhuǎn)變換的結(jié)果。比如我們想要觀(guān)看Au的效果，可以在3D繪圖區(qū)窗口找到向量u1，點(diǎn)擊左鍵選中，再單擊右鍵選擇跟蹤軌跡，右鍵單擊滑動(dòng)條α，選擇啟動(dòng)動(dòng)畫(huà)，隨著滑動(dòng)條的移動(dòng)，3D繪圖區(qū)窗口中的向量u1也隨之移動(dòng)，并且顯示出移動(dòng)的軌跡，如圖3、圖4所示。

在觀(guān)察矩陣對(duì)應(yīng)的選擇變換時(shí)可以在3D繪圖區(qū)窗口中單擊鼠標(biāo)左鍵不松手，并進(jìn)行隨意的滑動(dòng)，可以切換觀(guān)察者的視角，學(xué)生可以從不同的角度動(dòng)態(tài)觀(guān)察向量的變換過(guò)程，即選擇變換隨角度的變化對(duì)向量的作用效果，如圖5、圖6所示。

我們想要觀(guān)看Bu的效果，可以在3D繪圖區(qū)窗口找到向量uy，點(diǎn)擊左鍵選中，再單擊右鍵選擇跟蹤軌跡，右鍵單擊滑動(dòng)條β，選擇啟動(dòng)動(dòng)畫(huà)，隨著滑動(dòng)條的移動(dòng)，3D繪圖區(qū)窗口中的向量uy也隨之移動(dòng)，并且顯示出移動(dòng)的軌跡，如圖7中右側(cè)部分所顯示的。

類(lèi)似地，我們想要觀(guān)看Cu的效果，可以在3D繪圖區(qū)窗口找到向量uz，點(diǎn)擊左鍵選中，再單擊右鍵選擇跟蹤軌跡，右鍵單擊滑動(dòng)條γ，選擇啟動(dòng)動(dòng)畫(huà)，隨著滑動(dòng)條的移動(dòng)，3D繪圖區(qū)窗口中的向量uz也隨之移動(dòng)，并且顯示出移動(dòng)的軌跡，如圖8中上側(cè)部分所顯示的。

另外，我們也可以在繪圖區(qū)中實(shí)驗(yàn)復(fù)選框，將某些演示命令設(shè)置在復(fù)選框中，學(xué)員課下可以通過(guò)對(duì)復(fù)選框的勾選，展示相應(yīng)的動(dòng)畫(huà)。

結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)學(xué)科工具GeoGebra動(dòng)態(tài)幾何畫(huà)板的線(xiàn)性代數(shù)可視化教學(xué)設(shè)計(jì)，并將其應(yīng)用到大學(xué)線(xiàn)性代數(shù)的教學(xué)中，這對(duì)數(shù)字化教育和可視化教學(xué)具有實(shí)際意義和應(yīng)用價(jià)值的。使用GeoGebra軟件進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，只需在命令區(qū)輸入方程即可，操作起來(lái)簡(jiǎn)單、方便，產(chǎn)生的圖形逼真、形象，使抽象的問(wèn)題直觀(guān)化，增加了課堂的活躍度，對(duì)培養(yǎng)學(xué)員的探究創(chuàng)新能力有很大幫助，也為線(xiàn)性課堂帶來(lái)更好的教學(xué)效果。因此，應(yīng)當(dāng)注重GeoGebra軟件在課堂教學(xué)中的應(yīng)用以豐富課堂教學(xué)信息量，激發(fā)學(xué)員學(xué)習(xí)興趣，為更多的學(xué)員帶來(lái)優(yōu)化的學(xué)習(xí)效果。

參考文獻(xiàn)：

［1］王貴軍.GeoGebra與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2017.

［2］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.線(xiàn)性代數(shù)［M］.第六版.北京：高等教育出版社，2014.

［3］左曉明，田艷麗，贠超.基于GeoGebra的數(shù)學(xué)教學(xué)全過(guò)程優(yōu)化研究［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012（1）：99102.

作者簡(jiǎn)介：楊曉丹（1980—?），女，漢族，黑龍江依蘭人，碩士研究生，副教授，研究方向：泛函方向。