鄧 瑛 李小龍

（廣西科技師范學(xué)院 廣西 來賓 546199）

大部分經(jīng)濟(jì)學(xué)文獻(xiàn)都致力于研究股票投資組合的分散風(fēng)險，研究固定收益投資組合分散風(fēng)險的研究較為少見，但實際上許多機(jī)構(gòu)投資者的資產(chǎn)中很大一部分是固定收益證券，尤其是在歐洲和其他發(fā)達(dá)經(jīng)濟(jì)體中，投資公司的分散風(fēng)險和集中風(fēng)險很大程度上與固定收益資產(chǎn)有關(guān)。固定收益資產(chǎn)（包括抵押擔(dān)保的債券和股票等）組合的分散風(fēng)險至少與利率風(fēng)險和信貸風(fēng)險有關(guān)。本文重點(diǎn)放在研究利率風(fēng)險和信貸風(fēng)險的分散性，不考慮潛在的附加風(fēng)險，如預(yù)付風(fēng)險。

該研究的成果主要有兩點(diǎn)：一是構(gòu)建一個能幫投資者確定應(yīng)納入投資組合的最小固定收益資產(chǎn)數(shù)量的管理工具，該工具可以減少投資者在設(shè)計投資組合時需要做的金融分析數(shù)量；二是為投資者提供一種關(guān)于敏感性的分析方法，該方法能讓投資者根據(jù)影響信用和利率的主要因素的實時變化，調(diào)整債券投資組合中產(chǎn)品發(fā)行人的類型和數(shù)目。

構(gòu)建信用風(fēng)險的一般分散風(fēng)險框架時，首先要在結(jié)構(gòu)性模型和降階模型中做選擇。結(jié)構(gòu)性模型是根據(jù)公司資產(chǎn)的動態(tài)進(jìn)行建模，結(jié)構(gòu)性模型雖然可以考慮利率風(fēng)險，但有以下一些不足：無法計算固定收益資產(chǎn)投資組合的最佳分散風(fēng)險水平；很難以穩(wěn)健的方式校準(zhǔn)從股票和債券數(shù)據(jù)中得到參數(shù)；加大了利用高斯假設(shè)構(gòu)建投資組合信用風(fēng)險模型的難度；難以形成與市場一致的框架，模型缺乏解釋能力；無法得到固定收益投資組合中固定資產(chǎn)的最優(yōu)搭配與利率風(fēng)險及信用風(fēng)險參數(shù)之間的關(guān)聯(lián)公式。鑒于結(jié)構(gòu)性模型的缺點(diǎn)，認(rèn)為結(jié)構(gòu)性模型不適用于固定收益資產(chǎn)的分散風(fēng)險研究，相反，引入債券的價格信息后做出的關(guān)于利率風(fēng)險和信用風(fēng)險主要成分的降階模型更適用于本研究。另外，本文所構(gòu)建的風(fēng)險指標(biāo)是市場一致或風(fēng)險中性的，目的是能夠?qū)⑵浼{入一個更一般的償付能力框架，并與套利估值程序保持一致。

模型將投資組合折現(xiàn)收益的變異系數(shù)作為衡量風(fēng)險的指標(biāo)，該風(fēng)險指標(biāo)有不受資產(chǎn)規(guī)模和價格影響的優(yōu)點(diǎn)。當(dāng)風(fēng)險是完全可分散時，對于數(shù)量足夠多的債券，風(fēng)險收斂于零；當(dāng)利率風(fēng)險或信用風(fēng)險不能從投資組合中完全分散時，風(fēng)險收斂于一個非零常數(shù)。本文做出了一個該風(fēng)險指標(biāo)的漸近值與利率和信用主要驅(qū)動因素之間的相關(guān)函數(shù)式，還研究了固定收益資產(chǎn)的臨界數(shù)量與主要經(jīng)濟(jì)變量之間的相關(guān)性。

一、利率風(fēng)險的分散性

首先研究一下政府債券投資組合利率風(fēng)險的分散性，因為沒有研究純利率組合的情況就無法進(jìn)一步研究一般債券投資組合的風(fēng)險分散性。一般債券投資組合的風(fēng)險分散性將在下一個專門研究信貸風(fēng)險分散的部分中詳細(xì)討論。

（一）定義變量

設(shè)ZT表示在時間T 時任意到期零息債券的貼現(xiàn)收益。那么，

其中隨機(jī)變量IT等于：

在風(fēng)險中性的情況下，該債券的價格為未來收益貼現(xiàn)的風(fēng)險中性期望為：

同樣定義：

那么貼現(xiàn)收益的風(fēng)險中性方差為：

標(biāo)準(zhǔn)差為：

（二）相互獨(dú)立的政府債券投資組合

首先考慮一個由N 個不同國家發(fā)行的政府債券組成的投資組合，假設(shè)組合中所有的政府債券都有獨(dú)立且相同的未來貼現(xiàn)收益，那么整個投資組合的貼現(xiàn)收益為：

其中wi代表這個投資組合中債券i的權(quán)重。

那么有

不妨定義

投資組合貼現(xiàn)收益的風(fēng)險中性期望為：

因為前面假設(shè)了投資組合中所有債券的未來貼現(xiàn)收益是相等的。

那么有：

接下來計算投資組合貼現(xiàn)收益的風(fēng)險中性方差：

因此

利用貼現(xiàn)收益的均值和方差的表達(dá)式，就可以計算出貼現(xiàn)收益的變異系數(shù)。因為貼現(xiàn)收益的變異系數(shù)與投資組合的規(guī)模無關(guān)，所以很適合作為風(fēng)險指數(shù)。另外，因為變異系數(shù)的分母是債券投資組合的價格，所以用變異系數(shù)來衡量債券投資組合風(fēng)險的大小是從價格的角度進(jìn)行分析的。

此外，要強(qiáng)調(diào)，風(fēng)險指數(shù)使用的是風(fēng)險中性假設(shè)中的變異系數(shù)。所以作為風(fēng)險指數(shù)的風(fēng)險中性變異系數(shù)在計算時使用的應(yīng)該是機(jī)構(gòu)投資者的市場估值（也稱為風(fēng)險中性估值），同時擬合的對象應(yīng)該是風(fēng)險中性情況下發(fā)行人數(shù)量達(dá)到一定程度的公司資產(chǎn)投資組合。一般來說，公司投資組合的產(chǎn)品中經(jīng)常會帶有嵌入期權(quán)或利率期權(quán)，這種情況下，分析的背景其實就是風(fēng)險中性的。

顯然，下面所展示的基于風(fēng)險中性假設(shè)下的所有結(jié)論都可以結(jié)合實際情況靈活運(yùn)用。此外，它的推廣性還體現(xiàn)在可以運(yùn)用于研究多種影響因子與最優(yōu)產(chǎn)品發(fā)行人數(shù)量之間的相關(guān)關(guān)系。例如，可以推廣到通過信用評級決定投資組合中應(yīng)包含的產(chǎn)品發(fā)行人數(shù)目。

通過前面的論證，可以推導(dǎo)出變異系數(shù)應(yīng)為：

當(dāng)所有的權(quán)重都相同時，此表達(dá)式變?yōu)椋?/p>

可以看出，變異系數(shù)與債券數(shù)量N的平方根成反比。

在極限的情況下有：

這個結(jié)果很重要，它說明了一個獨(dú)立的政府債券投資組合風(fēng)險是完全可分散的。事實上，當(dāng)投資組合中的政府債券數(shù)量足夠多時，以變異系數(shù)衡量的風(fēng)險能夠幾近于消失。

接下來可以通過將風(fēng)險指標(biāo)控制在臨界閾值以下來計算發(fā)行人的臨界數(shù)量。

假設(shè)μ是投資者所選擇的風(fēng)險指數(shù)cvQ(ZPT)的臨界閾值，那么以μ 為臨界閾值時債券臨界數(shù)量Nμ的最小整數(shù)的計算應(yīng)如下所示。

因為μ為臨界閾值，風(fēng)險指數(shù)cvQ(ZPT)要控制在臨界閾值之下，所以有：

所以Nμ的最小值應(yīng)為：

然后再取最接近的大于這個最小值的整數(shù)作為最終債券臨界數(shù)量。

這個公式的解釋如下：任意債券數(shù)量大于或等于Nμ的投資組合，貼現(xiàn)收益的變異系數(shù)小于μ。這說明當(dāng)利率風(fēng)險較高時，投資組合需要更多數(shù)量的債券以維持組合風(fēng)險不變。

以變異系數(shù)為風(fēng)險指數(shù)能測量出固定收益投資組合單位價格的風(fēng)險，繼而可以比較成本相同的投資組合包含的風(fēng)險大小。但也可以簡單一點(diǎn)，將投資組合平均貼現(xiàn)收益的方差作為風(fēng)險指數(shù)測量固定收益投資組合單位數(shù)量的風(fēng)險（不再是投資組合單位價格的風(fēng)險）。

具體來說，假設(shè)投資者將λ 作為新風(fēng)險指數(shù)VarQ(ZPT)的臨界值，在以方差為風(fēng)險指數(shù)的方法中，債券數(shù)量的最小整數(shù)Nλ的取值過程應(yīng)如下：

所以N?λ的最小值應(yīng)為：

這個公式的解釋如下：任意債券數(shù)量大于或等于N?λ的投資組合，平均貼現(xiàn)收益的方差小于λ。

（三）相互關(guān)聯(lián)的政府債券投資組合

下面進(jìn)一步討論投資組合中的政府債券相互關(guān)聯(lián)的情況，這種情況更符合實際。

假設(shè)一個投資組合中有N 個相互有關(guān)聯(lián)的政府債券，它們的貼現(xiàn)收益仍假定是同分布的，但彼此是相關(guān)聯(lián)的而且任意兩個發(fā)行人之間的關(guān)聯(lián)債券數(shù)目相同。同樣，債權(quán)投資組合的貼現(xiàn)收益為：

與相互獨(dú)立的債券組合類似，可設(shè)貼現(xiàn)收益的風(fēng)險中性期望為：

那么投資組合平均貼現(xiàn)收益的風(fēng)險中性方差滿足:

所以有

基于假設(shè)，可以改寫為：

令投資組合中任意兩個債券貼現(xiàn)收益的風(fēng)險中性協(xié)方差為：

令

那么根據(jù)以上假設(shè)有：

當(dāng)所有債券的權(quán)重相等時有

所以

那么

從而有

由上式可知，在產(chǎn)品之間有關(guān)聯(lián)性的投資組合中，投資組合的利率風(fēng)險是不能通過增加投資產(chǎn)品的多樣性完全分散掉的，因為（31）式中的極限只能為正數(shù)。（31）式說明產(chǎn)品之間關(guān)聯(lián)性越強(qiáng)，關(guān)聯(lián)指數(shù)ζ越高時，投資組合的殘差風(fēng)險越大。

最后，目標(biāo)是要計算出滿足條件時Nμ的最小整數(shù)取值，根據(jù)條件有：

所以Nμ的取值為：

接下來，推廣（18）式和（33）式，同時考慮利率風(fēng)險和信用風(fēng)險。

二、利率風(fēng)險和信貸風(fēng)險的交互分散性

公司債券既有利率風(fēng)險也有信用風(fēng)險。為簡單起見，假設(shè)所有的公司債券都是以同一種貨幣發(fā)行的。與之前的假設(shè)一樣，假定所有債券都是期限相同的零息債券，因為息票債券可以看作是多個零息債券的組合。通過推導(dǎo)可以得到一個用于理解關(guān)聯(lián)投資組合信用風(fēng)險分散性與主要利率風(fēng)險和信用風(fēng)險相關(guān)性的含參解析式。

假設(shè)一個有信用風(fēng)險的零息債券的貼現(xiàn)收益為Zi,cT（“i”表示第i 個債券，“c”表示“信用風(fēng)險”，“T”表示債券到期時間），那么貼現(xiàn)收益Zi,cT可表示為：

其中，τi表示債券i的終止時間，0 ≤Ri≤1表示可贖回收益率，P(τi＞T)表示債券到期贖回的概率，P(τi≤T)表示債券提前終止（或發(fā)生違約）的概率。假設(shè)無論是否發(fā)生違約事件，贖回金都在原定到期時間T時支付。

對于可違約債券的投資組合：

那么，

或者

根據(jù)Cox回歸模型，債券i違約風(fēng)險λi的大小可能是一個與市場利率r 及其他債券違約風(fēng)險有關(guān)的隨機(jī)過程。假定?表示含有市場利率r、信用風(fēng)險指數(shù)λi和可贖回收益率Ri信息的濾流。根據(jù)濾流? 的條件，信用風(fēng)險指數(shù)λi可以看作是一個關(guān)于時間的確定性函數(shù)，而且債券i 的終止時間τi可以看作是這個非齊次泊松過程（隨機(jī)過程）第一次跳躍的時間。

以下兩個式子是得到普遍認(rèn)同的：

和

其中定義：

利用條件期望的塔性，可將等式（37）重新寫為：

或

當(dāng)利率風(fēng)險和信用風(fēng)險是相互獨(dú)立的時候，（42）式可以簡化如下：

如果進(jìn)一步假設(shè)可贖回收益率是不變的，那么

進(jìn)一步定義

那么有

接下來研究固定收益投資組合的方差。

首先，根據(jù)（35）式有：

或

利用條件期望的塔性，可將等式（48）重新寫為：

因為IT是信息?T的已知條件，所以又可改寫為：

（50）式可展開寫為：

因為可贖回收益率Ri是信息?T的已知條件，所以（51）式又可以寫成：

三、結(jié)論與擴(kuò)展

研究主要的成果是找到了一個新的確定機(jī)構(gòu)投資者固定收益投資組合臨界數(shù)量的模型及分析了投資組合中發(fā)行人臨界數(shù)對主要利率風(fēng)險和信用風(fēng)險影響因素的敏感性。研究得出的一個重要結(jié)論是：分析可違約資產(chǎn)的風(fēng)險分散性必須考慮利率風(fēng)險，均值回歸力（或者說央行干預(yù)市場的力度）對投資組合利率風(fēng)險的分散性影響很大，而在贖回收益率、違約相關(guān)系數(shù)或守信概率較低的情況下，信用風(fēng)險更具分散性。

本研究對投資者的幫助主要在：投資者可以通過模型確定基于投資者選定的風(fēng)險下，應(yīng)納入其投資組合的固定收益發(fā)行者的最小數(shù)量。通常投資組合中會包含10 到50 個不同的債券，不同債券的投資金額會不一樣，因此確定滿足投資者風(fēng)險期望的發(fā)行人數(shù)量的過程比較復(fù)雜，但是計算時間越快，參數(shù)越符合市場的實際情況，本研究能科學(xué)縮短投資者的計算時間，簡化計算過程，幫助投資者做出兼顧當(dāng)下市場上利率情況和信用情況的最優(yōu)投資策略，以及幫助投資者根據(jù)市場上主要信用和利率影響因素的變化，及時調(diào)整債券投資組合的結(jié)構(gòu)。

研究的局限性在于沒有給出測量利率風(fēng)險和信貸風(fēng)險的方法。Vasicek模型中對信用風(fēng)險的表達(dá)可能過于簡單，若要提升該研究的精準(zhǔn)性建議使用能更準(zhǔn)確測算信用風(fēng)險的利率模型。此外，信用風(fēng)險評估因子的選取范圍可以更廣。還有關(guān)于信用評級較低的債券，是否應(yīng)該花更大的代價以保證更高的風(fēng)險分散性，是一個值得繼續(xù)深入研究的問題。