舒奧博

【摘要】當(dāng)前，新課程標(biāo)準(zhǔn)改革如火如荼，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中更加重視知識點本身的學(xué)習(xí)，二次函數(shù)就是其中的典型.在初中階段的學(xué)習(xí)中，二次函數(shù)知識點是一大難點，甚至于在中考中屬于壓軸大題.而在高中階段，二次函數(shù)只能算是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起點，但是其在整個函數(shù)板塊中的地位是至關(guān)重要的.本文整合二次函數(shù)的五大問題，探究其定義域與值域、單調(diào)性、奇偶性、韋達(dá)定理、特殊點，深入研究如何更好地教學(xué)以及反思教學(xué)中會出現(xiàn)的問題.

【關(guān)鍵詞】新課標(biāo)；高中數(shù)學(xué)；二次函數(shù)

1? 定義域與值域

高中二次函數(shù)的一般形式為f（x）=ax2+bx+c，其中a，b，c 為常數(shù)，且a≠0.

定義域：二次函數(shù)的定義域是在題目范圍規(guī)定下，所有有定義的 x 的整體取值范圍.對于一般形式的二次函數(shù)，定義域為實數(shù)集R，即 x 可以是任意實數(shù).

值域：二次函數(shù)的值域，是指所有的關(guān)于x的定義域輸出到函數(shù)得到值的一個集合.對于一般形式的二次函數(shù)，值域為h′，+∞（當(dāng)a＞0時）或－∞，c（當(dāng)a＜0時），其中h′=f（－b2a）.這是因為二次函數(shù)的圖象是一個拋物線，而h′是拋物線頂點的縱坐標(biāo)值.當(dāng)a＞0時，函數(shù)開口向上；當(dāng)a＜0時，函數(shù)開口向下.

可以說定義域與值域是二次函數(shù)的基礎(chǔ)，也是函數(shù)問題的根基.

2? 單調(diào)性

對于函數(shù)來說，單調(diào)性表現(xiàn)了函數(shù)的因變量伴隨著自變量的增大而增大（或減小）.在高中數(shù)學(xué)中，單調(diào)性知識點貫穿整個函數(shù)的始終，即使是在難度最高的導(dǎo)數(shù)中，也占有著極高的地位.

探究二次函數(shù)的單調(diào)性，要了解其的對稱軸以及頂點.因為二次函數(shù)的單調(diào)性只有兩種情況，一種是伴隨著x值增大，f（x）值先遞增再遞減；另一種是伴隨著x值增大，f（x）值先遞減再遞增.而從遞增（遞減）到遞減（遞增）的轉(zhuǎn)折點就是二次函數(shù)的頂點.

可以分兩種情況討論，以標(biāo)準(zhǔn)二次函數(shù)方程f（x）=ax2+bx+c為例.

（1）a＞0

在這種情況下，函數(shù)圖象開口向上，而頂點在整個二次函數(shù)圖象的最低谷處，整個函數(shù)的趨勢是先下降后上升，函數(shù)對稱軸為x=-b2a，二次函數(shù)頂點為－b2a，4ac－b24a.

可得，當(dāng)x＜－b2a時，函數(shù)單調(diào)遞減；而當(dāng)x≥－b2a時，函數(shù)單調(diào)遞增.

（2）a＜0

在這種情況下，函數(shù)圖象開口向下，二次函數(shù)的頂點是最高峰處，其頂點的因變量值是整個函數(shù)值域中最大的值.函數(shù)圖象趨勢是先上升后下降，函數(shù)對稱軸為x=-b2a，二次函數(shù)頂點為－b2a，4ac－b24a.

可得，當(dāng)x＜－b2a時，函數(shù)單調(diào)遞增；而當(dāng)x≥－b2a時，函數(shù)單調(diào)遞減.

（3）a=0

這種情況無需討論，因為當(dāng)a=0時，函數(shù)的二次項ax2由于系數(shù)為0，所以二次項整體為0，這樣二次函數(shù)會變?yōu)橐淮魏瘮?shù)或常數(shù)函數(shù)（b=0的情況）.

3? 奇偶性

在探究二次函數(shù)的奇偶性之前，我們需要先探究奇偶性的本質(zhì).

奇偶性可以說是函數(shù)的基本性質(zhì)之一，函數(shù)在符合一定條件下可以被稱作奇函數(shù)或偶函數(shù).

（1）偶函數(shù)：在函數(shù)f（x）中，在其定義域內(nèi)任取一個x值，都滿足f（－x）=f（x）這一條件，那么函數(shù)f（x）就叫作偶函數(shù).

（2）奇函數(shù)：在函數(shù)f（x）中，在其定義域內(nèi)任取一個x值，都滿足f（－x）=－f（x）這一條件，那么函數(shù)f（x）就叫作奇函數(shù).

對于二次函數(shù)奇偶性的探究，可以伴隨著圖象特征讓學(xué)生理解.

從圖象中得知，奇函數(shù)的圖象是一個關(guān)于原點成中心對稱的圖形，偶函數(shù)的圖象則關(guān)于y軸對稱.對于二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c來說，其何種情況下也不可能是奇函數(shù)，因為二次函數(shù)是一個軸對稱函數(shù)，其關(guān)于對稱軸兩邊對稱，不可能關(guān)于原點成中心對稱；同時二次函數(shù)頂點左右兩側(cè)單調(diào)性相反，而奇函數(shù)在其的對稱區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性一致，所以二次函數(shù)永遠(yuǎn)不可能是奇函數(shù).

而由于二次函數(shù)圖象是關(guān)于對稱軸兩邊對稱，當(dāng)其對稱軸為y軸時，二次函數(shù)便為偶函數(shù).可以用頂點中橫坐標(biāo)的值x=－b2a判斷，函數(shù)對稱軸為y軸，則頂點中的橫坐標(biāo)x值為0，因為二次函數(shù)中a≠0，可得b=0.即當(dāng)二次函數(shù)中一次項系數(shù)為0時，其便是偶函數(shù).

4? 韋達(dá)定理

對于韋達(dá)定理，其本質(zhì)是探究一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.也就是當(dāng)f（x）=0時，探究ax2+bx+c=0這個一元二次方程的解.亦可以說是在二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c中，探究函數(shù)與x軸交點的情況，

在初中數(shù)學(xué)中，探究方程求根的主要方法是配方法，通過未知量系數(shù)的變換以及配比一次項系數(shù)的步驟，可以得到x1=－b+b2－4ac2a，x2=－b－b2－4ac2a.將兩者相加，得出x1+x2=－ba.將兩者相乘，得到x1·x2=ca.

而在考試中，會增加難度，可能會涉及到x1－x2等之類的問題讓學(xué)生求解，這種就需要將x1+x2及x1－x2都進(jìn)行平方，以此來進(jìn)行計算并得出結(jié)果.所以韋達(dá)定理是基礎(chǔ)，打好基礎(chǔ)可以延伸許多不同的方向.

5? 特殊點

以最為標(biāo)準(zhǔn)的二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c為例.

若要討論二次函數(shù)的特殊點，可以考慮函數(shù)本身與x軸、y軸相交得到的點，這樣的點可以稱為特殊點，同時特殊點也是考試的重點.

需要討論在不同情況下，函數(shù)中可值得深入研究的特殊點.同時需要排除a＝0的情況.因為若a＝0，函數(shù)為一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù)，這樣與我們探究的二次函數(shù)不符.

本文重點探究二次函數(shù)開口向上的情況，即a＞0的條件下，不同情況下的不同特殊點.

（1）b=0，c=0，可得函數(shù)式子為f（x）=ax2.

可以從公式探究入手，這種情況下的的函數(shù)與坐標(biāo)軸只相交于原點.所以特殊點為0，0.

（2）b=0，c＞0，可得函數(shù)為f（x）=ax2+c.

根據(jù)初中學(xué)過的判別根的存在性知識Δ=b2－4ac來判斷，由于Δ＜0，可得知方程無根，所以函數(shù)不與x軸相交.

方程關(guān)于y軸對稱，與y軸相交的點為函數(shù)頂點，此函數(shù)的特殊點為0，c.

（3）b=0，c＜0，可得函數(shù)為f（x）=ax2+c.

從而可以推導(dǎo)出特殊點是（0，c），

－－ca，0，－ca，0這三個點.

（4）b＞0，c=0，可得函數(shù)為f（x）=ax2+bx.

由于c=0，可以求得函數(shù)與坐標(biāo)軸相交于原點.同時二次函數(shù)對稱軸為x=－b2a，由于a、b均大于0，可得其對稱軸在x軸的負(fù)半軸上.運用Δ=b2－4ac判斷出，在f（x）=0的情況下，方程有兩個根.而函數(shù)圖象開口向上，可以判斷出另一個根必在x的負(fù)半軸上.

求解方程，推導(dǎo)出特殊點是0，0，－ba，0.

（5）b＞0，c＞0，可得函數(shù)為f（x）=ax2+bx+c.

此函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)的二次函數(shù)，首先考慮函數(shù)與y軸的交點，易推出.

再考慮與x軸的相交情況，運用Δ=b2－4ac進(jìn)行判斷，因為a、b、c均為正數(shù)，無法判斷出Δ的范圍，也就是無法判斷出方程是否有根，所以需要分不同情況來進(jìn)一步探討.

當(dāng)Δ=0時，方程有一個根，經(jīng)過常數(shù)代換求解可得x=－b2a，此值便是函數(shù)與x軸相交的橫坐標(biāo)值.函數(shù)特殊點為0，c，－b2a，0.

當(dāng)Δ＜0時，方程無根，函數(shù)與x軸不相交.函數(shù)特殊點為0，c.

當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個根，求解ax2+bx+c=0，有兩個解.函數(shù)特殊點為0，c，－b-b2－4ac2a，0，－b+b2－4ac2a，0.

（6）b＞0，c＜0，可得函數(shù)為f（x）=ax2+bx+c.

首先因為c＜0，可以知道函數(shù)與y軸負(fù)半軸相交于一點.再運用Δ=b2－4ac判斷，因為a＞0，c＜0，可推斷出－4ac必大于0，從而Δ＞0，方程有兩個根，即函數(shù)與x軸有兩個交點.同時二次函數(shù)對稱軸為x=－b2a，由于a＞0且b＞0，可知函數(shù)對稱軸在x軸的負(fù)半軸上.通過二次函數(shù)的圖象特征以及函數(shù)與y軸負(fù)半軸相交，可推斷出函數(shù)與x軸的正半軸和負(fù)半軸各交于一點.

最終求解方程，函數(shù)特殊點為0，c，－b-b2－4ac2a，0，－b+b2－4ac2a，0.

（7）b＜0，c=0，可得函數(shù)為f（x）=ax2+bx.

在c=0的情況下，可求得二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交于原點處.而二次函數(shù)對稱軸為x=－b2a，由于a＞0且b＜0，可知對稱軸在x軸的正半軸上.根據(jù)Δ=b2－4ac，可知方程ax2+bx=0有兩個根.根據(jù)對稱軸，可判斷出另一個根必在x軸的正半軸上.

求解方程，推導(dǎo)出特殊點為0，0，－ba，0.

（8）b＜0，c＞0，可得函數(shù)為f（x）=ax2+bx+c.

此函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)的二次函數(shù)，考慮函數(shù)與y軸的交點，由于c＞0，在x=0的情況下，f（x）=c，可知函數(shù)與y軸交于0，c.

再考慮函數(shù)與x軸是否相交，用Δ=b2－4ac判斷，由于b2＞0且4ac＞0，無法判斷出Δ的大小，即無法判斷出方程是否有根，所以需要進(jìn)一步探討根的存在情況.

當(dāng)Δ=0時，方程有一個根，與x軸交于一點，求解可得x=－b2a，此值便是函數(shù)與x軸相交點的橫坐標(biāo)值.函數(shù)特殊點為0，c，－b2a，0.

當(dāng)Δ＜0時，方程無根，函數(shù)只與y軸相交，與x軸不相交.函數(shù)特殊點為0，c.

當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個根，函數(shù)與x軸相交于兩個點，求解ax2+bx+c=0后得兩個解，且可知相交的兩個點都在x軸的正半軸上.函數(shù)特殊點為0，c，－b-b2－4ac2a，0，－b+b2－4ac2a，0.

（9）b＜0，c＜0，可得函數(shù)為f（x）=ax2+bx+c.

運用公式Δ=b2－4ac判斷，因為a＞0且c＜0，可推斷出－4ac必大于0，從而求得Δ＞0，方程有兩個根，即二次函數(shù)與x軸有兩個交點.因為a＞0且b＜0，根據(jù)函數(shù)對稱軸x=－b2a，可知函數(shù)對稱軸在x軸的正半軸上.通過二次函數(shù)圖象開口向上以及與y軸負(fù)半軸相交，可推斷出函數(shù)與x軸的正半軸和負(fù)半軸各交于一點.

求解方程，函數(shù)特殊點為0，c，

－b-b2－4ac2a，0，－b+b2－4ac2a，0.