鄭義富，黃甫全

數(shù)學(xué)的眼光：指向“三會”素養(yǎng)目標的數(shù)學(xué)抽象思想

鄭義富1，2，黃甫全2

（1．中山市西區(qū)中心小學(xué)，廣東 中山 528400；2．華南師范大學(xué)，廣東 廣州 510631）

“數(shù)學(xué)的眼光”是人類理性認識手段的必然選擇，是科學(xué)思維的最實用的一般方法，是數(shù)學(xué)教育價值的核心體現(xiàn)．“數(shù)學(xué)的眼光”不僅可引導(dǎo)人們?nèi)绾慰创澜?、認識世界，更重要的是能形成主體的認識取向或價值觀念．中小學(xué)教學(xué)中，教師首先要深刻認識“數(shù)學(xué)抽象”的本質(zhì)，并要能準確把握“數(shù)學(xué)抽象”的一般特征，還要精準掌握數(shù)學(xué)抽象的基本方法，從而有的放矢地開展思維能力的提升、抽象思想的培育，并逐步使學(xué)生形成“數(shù)學(xué)的眼光”．

數(shù)學(xué)眼光；抽象思想；抽象方法；抽象特征；理性精神

1 問題提出

2022年新修訂的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》中明確把數(shù)學(xué)學(xué)科培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的目標定位為“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界”．史寧中認為“三會”的概述基于數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)邏輯、數(shù)學(xué)建模這三大數(shù)學(xué)基本思想，又高于這些數(shù)學(xué)思想[1]．

“三會”作為高度精煉概括的數(shù)學(xué)學(xué)科育人總目標，對中小學(xué)一線教師來講尚顯“新穎”且“神秘”，迫切需要更為深入地探究．特別是對“數(shù)學(xué)的眼光”，也就是“數(shù)學(xué)抽象思想”更應(yīng)多角度、多層面深入剖析．教育部中小學(xué)教材審定委員會委員孫曉天在解釋用“數(shù)學(xué)的眼光”而不是“抽象思想”表達核心素養(yǎng)目標的原因時，這樣闡述：數(shù)學(xué)的眼光可以看作數(shù)學(xué)抽象的門檻，更接近一種從數(shù)學(xué)出發(fā)看問題的角度，用“眼光”而不用“數(shù)學(xué)抽象”這種人人都理解的說法，比較容易讓學(xué)習(xí)者產(chǎn)生親近感，有利于引導(dǎo)教師站在學(xué)習(xí)者的立場思考教學(xué)問題，也能啟發(fā)教材編寫者認真對待內(nèi)容題材的真實性問題．用“數(shù)學(xué)的眼光”作為未來公民的“社會責任、必備品格和關(guān)鍵能力”，完全滿足核心素養(yǎng)的要求，也容易被大眾接受[2]．這一“用詞”風格的轉(zhuǎn)換，體現(xiàn)出課標修訂組專家面向中小學(xué)教師群體，以生為本的“良苦用心”．

“新課標”進一步明確：（學(xué)生）通過數(shù)學(xué)的眼光，可以從現(xiàn)實世界的客觀現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與空間形式，提出有意義的數(shù)學(xué)問題；能夠抽象出數(shù)學(xué)的研究對象及其屬性，形成概念、關(guān)系與結(jié)構(gòu)；能夠理解自然現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)原理，感悟數(shù)學(xué)的審美價值；形成對數(shù)學(xué)的好奇心與想象力，主動參與數(shù)學(xué)探究活動，發(fā)展創(chuàng)新意識．課標修訂后，數(shù)學(xué)眼光實際上成為一個“硬”杠杠，也就是每一個學(xué)生都要有“剝離”或“去掉”真實對象中的“真實”，發(fā)現(xiàn)抽象數(shù)量關(guān)系和空間形式的經(jīng)歷[2]．這就亟待在基礎(chǔ)教育中加強“抽象思想的培育”，包括抽象意識的培養(yǎng)、抽象能力的提升、抽象觀念的形成等，雖然在不同的學(xué)段培養(yǎng)任務(wù)重點不同，但指向終點一致．其核心的作用就是增強學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)力．史寧中認為：“在基礎(chǔ)教育階段，一個好的數(shù)學(xué)教育，應(yīng)當更多地傾向于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的習(xí)慣，（通過數(shù)學(xué)教育使學(xué)生）會在錯綜復(fù)雜的事物中把握本質(zhì)，進而增強抽象能力．”[3]“數(shù)學(xué)眼光”作為核心素養(yǎng)目標，有助于彌補中國數(shù)學(xué)教育長期以來的弱項，這個弱項就是抽象．數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容一般與3個要素相關(guān)：抽象、推理和模型．它們通常以具體的定義、方法和技能的形式存在，推理和模型有規(guī)律可循，通過訓(xùn)練能迅速提高，已成為中國學(xué)生的強項．相比之下，抽象則是中國學(xué)生明顯的弱項[2]．

“數(shù)學(xué)抽象”既是數(shù)學(xué)閃亮的寶藏，又是數(shù)學(xué)教育價值核心體現(xiàn)．然而不可否認的是，數(shù)學(xué)一直以來被人詬病的一點恰恰也是“抽象性”過強，因此數(shù)學(xué)教育的難點和痛點就必然聚焦于對數(shù)學(xué)抽象“過程”的認識和理解．中小學(xué)教學(xué)中，教師首先要深刻認識“數(shù)學(xué)抽象”的本質(zhì)，并能準確把握“數(shù)學(xué)抽象”的一般特征，還要精準掌握數(shù)學(xué)抽象的基本方法，從而才可以有的放矢地開展思維能力的提升、抽象思想的培育，并逐步使學(xué)生形成“數(shù)學(xué)的眼光”．

2 “數(shù)學(xué)的眼光”的本質(zhì)——“抽象”的理性認識

2.1 抽象

對“抽象”這一概念進行界定，恐怕會如同其內(nèi)涵本身一樣顯得很“抽象”．當人們把“抽象”作為形容詞使用時，它與直觀和形象相對，表示客觀事物很難直接感悟領(lǐng)會．有學(xué)者這樣描述：“抽象即以其抽象性而與具體事物的具體性相對立．”[4]當抽象作為動詞時則指向思維運動的形式，屬于基本智力操作之一，是在思想上把各種對象或現(xiàn)象的共同屬性、本質(zhì)特征抽取出來，舍棄其它屬性的過程．《實用百科全書》中定義：抽象有肯定與否定兩個方面，所肯定的是從各種事物中抽取出來的共同屬性，這種肯定是通過概括實現(xiàn)的，是在思想上把抽象出來的各種對象或現(xiàn)象的共同屬性、本質(zhì)特征結(jié)合起來；初級形式是把對象或現(xiàn)象的共同屬性按照其偶然的共同特點聯(lián)合起來的過程；高級形式則是把對象或現(xiàn)象的次要特征與非本質(zhì)特征舍棄，而確定其共同本質(zhì)特征的過程．所否定的是事物的具體特征．人們通過抽象，可以從具體中把握一般，從個性中把握共性，透過現(xiàn)象把握本質(zhì)[5]．

在科學(xué)發(fā)展進程中，“抽象”則作為一種認識手段，也即從感性認識飛躍到理性認識的一種方法．主要指在思維中拋開客體的個別的、表面的、非本質(zhì)的方面而抽取出一般的、內(nèi)部的、本質(zhì)的方面的過程．這是以感性直觀為基礎(chǔ)的一種高級的、創(chuàng)造性的思維認識過程，是達到思維具體，即在思維中從整體上再現(xiàn)客體的必經(jīng)階段．科學(xué)抽象在人類認識過程中具有重大的作用，人們只有運用科學(xué)抽象，才能創(chuàng)立并不斷地豐富和發(fā)展各門科學(xué)理論，以有效地指導(dǎo)改造世界的實踐活動[5]．列寧說：“物質(zhì)的抽象，自然規(guī)律的抽象，價值的抽象及其它等，一句話，那一切科學(xué)的（正確的、鄭重的、不是荒唐的）抽象，都更深刻、更正確、更完全地反映著自然．”[6]

2.2 數(shù)學(xué)抽象

人們一提到“數(shù)學(xué)”，總是會自然而然地關(guān)聯(lián)到“抽象”．的確，數(shù)學(xué)所呈現(xiàn)出來的、以及數(shù)學(xué)所要研究的無一不是“抽象”了的東西．徐利治認為：凡“數(shù)學(xué)事物”（如數(shù)量關(guān)系、空間形式以及與之關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)公理、概念、命題、公式、方法等），都是符合科學(xué)抽象規(guī)律的經(jīng)由人腦對實在關(guān)系的反映形式[7]．數(shù)學(xué)的發(fā)展所依賴的最重要的基本思想也是抽象．孫曉天在接受浙江教學(xué)月刊社訪談時指出：“數(shù)學(xué)并不以真實為研究對象，而是以真實世界里并不存在的抽象的數(shù)量關(guān)系和空間形式為研究對象．數(shù)學(xué)通過一種間接的方式，達到認識真實世界、解決真實問題的目的．”[2]

若說“數(shù)學(xué)即抽象”可能并十分不準確，但“抽象”對于數(shù)學(xué)來講具有其它任何詞匯無法比擬的意義．馬克思就講過，全部所謂純數(shù)學(xué)都是研究抽象的，它的一切數(shù)量嚴格來說都是想象的數(shù)量[8]．鄭毓信等也曾斷言：一切數(shù)學(xué)對象都是抽象思維的產(chǎn)物，數(shù)學(xué)抽象就是由具體事物中抽取其量的方面、屬性或關(guān)系[4]．亞歷山大洛夫說：“數(shù)學(xué)的第一特征就是它的抽象性，全部數(shù)學(xué)都具有抽象的特征，數(shù)學(xué)本身幾乎完全周旋于抽象概念和它們的相互關(guān)系的圈子之中．”[9]

在數(shù)學(xué)教育以及數(shù)學(xué)研究中，人們通常將數(shù)學(xué)抽象與抽象思維等同使用．這是從思維形式或認知心理活動角度對數(shù)學(xué)抽象的一種概括．《實用百科全書》對“抽象思維”的定義是：指與形象思維相對的抽象思維，是運用概念進行判斷、推理的思維活動．這種思維需要遵循邏輯規(guī)律，故又稱為邏輯思維，這是人類所特有的高度發(fā)達的思維．抽象思維的特點包括：以概念為思維活動的首要因素，所提出的任務(wù)具有理論性，解決任務(wù)必須依賴抽象概念與理論知識．抽象思維在人們認識事物的本質(zhì)和規(guī)律的過程中起著特別重要的作用，發(fā)展規(guī)律、形成科學(xué)假設(shè)等是抽象思維的高級形式[5]．

“抽象”在數(shù)學(xué)中到底是怎樣體現(xiàn)的呢？著名數(shù)學(xué)家亞歷山大洛夫認為：“抽象性在簡單的計算中就已經(jīng)表現(xiàn)出來，我們運用抽象的數(shù)字，卻并不打算每次都把它們同具體的對象聯(lián)系起來，我們在學(xué)校中學(xué)的是抽象的數(shù)字乘法表，而不是蘋果的數(shù)目相乘，或者蘋果的數(shù)目乘上蘋果的價錢等．”“同樣地，在幾何中研究的是直線，而不是拉緊了的繩子，并且在幾何線的概念中舍棄了所有性質(zhì)，只留下在一定方向上可延伸的屬性．”[9]數(shù)學(xué)抽象的特點在于：第一，在數(shù)學(xué)的抽象中首先保留量的關(guān)系和空間形式而舍棄了其它一切；第二，數(shù)學(xué)的抽象是經(jīng)過一系列階段而產(chǎn)生的，它們達到的抽象程度大大超過了自然科學(xué)中一般的抽象[9]．從數(shù)學(xué)抽象的對象來看，既有對數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象，也有對圖形與圖形關(guān)系的抽象；從數(shù)學(xué)抽象的形式來看，既有概括定義形式的抽象，也有邏輯論證形式的抽象，還有關(guān)系模型形式的抽象．

當然，作為數(shù)學(xué)的眼光的抽象并不僅為數(shù)學(xué)所特有，但是沒有哪一個學(xué)科如數(shù)學(xué)這樣是從始至終都依賴于抽象的建構(gòu)．抽象是數(shù)學(xué)的靈魂．其它科學(xué)感興趣的首先是自己的抽象公式同某個完全確定的現(xiàn)象領(lǐng)域的對應(yīng)問題，研究已經(jīng)形成的概念系統(tǒng)對給定現(xiàn)象領(lǐng)域的運用界限問題和所采用的抽象系統(tǒng)的相應(yīng)更換問題，并把這些作為最重要的任務(wù)之一．而數(shù)學(xué)則完全舍棄了具體現(xiàn)象去研究一般性質(zhì)，在抽象的共性中考察這些抽象系統(tǒng)本身，而不管它們對個別具體現(xiàn)象的應(yīng)用界限，可以說，數(shù)學(xué)抽象的這樣絕對化才是數(shù)學(xué)所特有的[9]．

3 “數(shù)學(xué)的眼光”的特征——“抽象”的基本特征（性）

3.1 一般化特征

克萊因在闡述“數(shù)學(xué)精神的誕生”時講到：“顯然，思考抽象事物要比思考具體事物困難得多，但可以獲得一個最突出的優(yōu)點——獲得了一般性．”這促使人們追求最普遍和最永恒的東西，而不是個別的轉(zhuǎn)瞬即逝的東西[10]．數(shù)學(xué)抽象活動的目的絕不是對事物個體的摹寫，也不是為了某個個例問題的解決，而是為了一類事物的本質(zhì)的概括，為了一類問題的解決，甚至是為了有可能與此相關(guān)的它者的或未來的那些事物的探究和問題的解決．所以，所有抽象活動以及抽象活動的結(jié)果都具有一般化的特征．正因為此，人類探索自然的能力得到充分的激發(fā)，觀察世界、認識世界的手段和途徑前所未有地變得高效，使得人類智慧得到超乎想象的升華．數(shù)學(xué)抽象的一般化既有數(shù)學(xué)概念的一般化，又有數(shù)學(xué)定理、法則的一般化，還包括數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)分支學(xué)科的一般化等．

3.2 理想化特征

數(shù)學(xué)的眼光——即“數(shù)學(xué)抽象”的對象來源于感性具體，但抽象不是對具體的原樣復(fù)制，而是經(jīng)過簡化、剝離、調(diào)整等活動，使得抽象對象對于接下來的抽象進程來講非常的“理想”，這就是數(shù)學(xué)抽象的理想化特征．比如現(xiàn)實世界中的“正午太陽、十五的月亮、葉片上的水滴、水中的漣漪”等都有著類似的“圓”的形狀，人們就把對這些事物的感知以“一中同長”的“理想化”的圓形作為抽象的圖形代表所有圓狀物的空間形式，盡管現(xiàn)實中根本不可能存在絕對的圓，但是這并不影響人們進一步地以“數(shù)學(xué)的眼光”進行探究，這就是“理性化”給“抽象認識”帶來的便利．所以，數(shù)學(xué)中的很多概念、定理和模型都是理想化的，特別是幾乎所有幾何概念都是理想化的產(chǎn)物．如沒有長短、不占空間的幾何端點，只有長度、沒有寬度的直線、曲線，以及永不相交的平行線……

3.3 模式化特征

“數(shù)學(xué)的眼光”視閾中的世界不是雜亂無章的，而是要按照數(shù)學(xué)的樣子以各種抽象的模式存在．平面幾何、立體幾何、解析幾何，函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、微分、方程……所見的任一數(shù)學(xué)知識、方法或思想，都是以某種“模式”呈現(xiàn)．這是因為數(shù)學(xué)家在探索世界時無一例外地要以“模式”作為最終的結(jié)論呈現(xiàn)方式．數(shù)學(xué)抽象的這種“模式化”的傾向，則要歸功于“模式化”的高度概括、精準表達、簡捷高效等特性．徐利治等認為：“在純粹數(shù)學(xué)的研究中，應(yīng)當借助于明確的定義去構(gòu)造出相應(yīng)的量化模式，并以此為直接對象從事純形式的研究；也正因為此，作為數(shù)學(xué)抽象物的量化模式在概念意義上就應(yīng)具有一定層次上的普遍性和概括性，在表述形式上則應(yīng)具有無歧義的邏輯精確性和簡潔性．”[4]

3.4 廣泛應(yīng)用性

“數(shù)學(xué)的眼光”始終都要面向?qū)嵺`與應(yīng)用，否則無論建立了多么美輪美奐的數(shù)學(xué)大廈，都將因為沒有實踐和應(yīng)用的滋養(yǎng)而枯萎消亡．林夏水認為：“各種其它科學(xué)也存在抽象性和理想性，但是在那里沒有給它們以獨立自在的意義，它們是始終離不開現(xiàn)實的．而數(shù)學(xué)的抽象是無條件的；它的概念，一經(jīng)產(chǎn)生和定義之后，就穩(wěn)定下來并且被看作是已知的，它們與現(xiàn)實的比較不是數(shù)學(xué)本身，而是它的應(yīng)用問題．數(shù)學(xué)的威力就在于它的抽象性，越撇開內(nèi)容，就越有廣泛應(yīng)用的可能．”[11]歸根到底，數(shù)學(xué)生命力的源泉在于它的概念和結(jié)論盡管極為抽象，但卻如人們所堅信的那樣，它們是從現(xiàn)實中來的，并且在其它科學(xué)中、在技術(shù)中、在全部生活實踐中都有廣泛的應(yīng)用；這一點，對于了解數(shù)學(xué)是最主要的[9]．

4 “數(shù)學(xué)的眼光”的方式——“抽象”的基本方法

“數(shù)學(xué)的眼光”可不是感性層面的“觀察”．作為數(shù)學(xué)的眼光的核心——“數(shù)學(xué)抽象”，其運行的方式實質(zhì)是人類心智的一種運算．應(yīng)該說“抽象”是迄今為止人類所擁有的最有用的思考方式．這種思考方式最高要求和最突出的作用就是“理性”，為了實現(xiàn)理性，就要形成一系列的良好的思維機制或思考習(xí)慣．人是依靠什么來達到這個目的呢？就是一種穩(wěn)定的神經(jīng)回路，也即心智計算模塊系統(tǒng)．數(shù)學(xué)抽象則是人類心智計算系統(tǒng)中最為簡約高效的一種運算功能．“心智”不是大腦，而是大腦所做的事情．“心智”是指向人類基因繁殖的自然選擇的結(jié)果．心智系統(tǒng)的“原件”大部分區(qū)別不是很大，這些心智系統(tǒng)組塊來自于基因圖譜．數(shù)學(xué)抽象的發(fā)生過程是否有跡可循？沒有暢通無阻適用一切的“抽象大法”，但可概括梳理基本的“抽象”方法，作為“數(shù)學(xué)的眼光”的一般方式．

4.1 剝離與簡化——數(shù)學(xué)抽象運行前的準備

數(shù)學(xué)研究的對象并非是直接的客觀世界實體，而是經(jīng)過抽絲剝繭式的解構(gòu)與取舍．剝離、去掉并簡化客觀實體的“眾多屬性”，找到并留取與數(shù)學(xué)研究相關(guān)的、客觀事物所屬的本質(zhì)性的東西，構(gòu)成數(shù)學(xué)的研究對象．這“對象”不是憑空產(chǎn)生的，它必然建立在對客觀事物的觀察并產(chǎn)生直觀經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，由直觀表象轉(zhuǎn)化為“抽象”的對象，這一過程就是“剝離與簡化”，如果沒有“抽絲剝繭”的這一過程，人腦將無法應(yīng)對客觀現(xiàn)實紛繁復(fù)雜的海量信息．

“剝離與簡化”還可以是對紛繁復(fù)雜的信息進行分離和精簡，摒棄那些與問題解決無關(guān)的或非主要關(guān)聯(lián)的信息，保留關(guān)鍵的信息．針對問題解決的思考過程亦是由“剝離與簡化”開啟抽象思考的進程．如客觀世界中含有“3個的量”的屬性的事物千千萬萬，3個人、3只羊、3個蘋果……但為了計量，就要把所有非必要的屬性都剝離，并簡化到只用一個數(shù)字“3”來解釋這些事物共同的“量”的本質(zhì)的屬性．同樣地，自然世界中具有“三角形”這一特性的事物俯拾皆是，但如果要研究形狀與空間的問題，那就將所有的顏色、質(zhì)地等非必要的屬性，剝離簡化到用“三條邊首尾相連”這一本質(zhì)屬性來表征這一類物體的性質(zhì)．再如小學(xué)數(shù)學(xué)“沏茶問題”的解決策略探究中，面對“問題情境”中諸如“人物、事件、條件、問題”等眾多的信息，首先要把非“數(shù)學(xué)”的信息剝離掉．比如，來的客人是誰、為什么來、什么時候來、要喝什么茶等．留下什么呢？與問題解決息息相關(guān)的信息，如喝茶的工序、每道工序的時間、具體的問題等．這些都是與問題解決相關(guān)的信息，接下來還要再對這些“相關(guān)”的信息進行篩選，根據(jù)解決問題的方向和思路選取有用的信息進行整理．這一步就是數(shù)學(xué)問題解決的“抽象”的發(fā)端．

腦科學(xué)研究表明，人的“抽象”活動是大腦神經(jīng)細胞集群對數(shù)量以及空間信息的選擇性、簡約化的激活反應(yīng)．通常情況下，人們會將“剝離與簡化”這一“激活反應(yīng)”直接等同為“抽象”全過程，然而這只是抽象的準備，真正體現(xiàn)抽象神奇作用的還在于這之后的一系列心智操作．

4.2 符號與命名——為數(shù)學(xué)抽象高效運行蓄力

任何事物在進入人的頭腦中參與思維運作前都會被“命名”，對任一事物命名的行為基本上都屬于抽象化，只不過這一抽象的過程往往是自動化了的，極易忽略．但若沒有“命名”，接下來的思維就無法實現(xiàn)．若要使“抽象”高效運行，必須對這些“信息”進行概括性地命名，并以“符號”的形式進行表達，以便在語言的運載下進行思維，這是“抽象”繼續(xù)運轉(zhuǎn)起來的前提，也是抽象的鮮明特征之一，是抽象發(fā)生的較早期的行為．在此意義上，幾乎所有數(shù)學(xué)詞匯和符號都是抽象進程中“符號與命名”的產(chǎn)物，如“和、差、倍、比”以及“5、0.5、＋、－、×、÷、m3、cos、∈、Δ”等．同樣地，任何圖形的命名也都毫無例外是抽象了的產(chǎn)物．就如“圓形”，生活中并沒有叫做“圓形”的實物存在，它只是一類有著共同幾何意義上的特性的抽象概念．有學(xué)者指出：命名是不可或缺的步驟和條件，科學(xué)的獨特工作就是建立在這種明確限定的行為基礎(chǔ)之上[12]．“命名”是數(shù)學(xué)想象與創(chuàng)造性的體現(xiàn)，充分地展現(xiàn)了思考的自由．在思維的進程中“命名”，是為思維高效運行蓄力，也是為后續(xù)深入抽象中的概括與定義奠定基礎(chǔ)．

4.3 一一對應(yīng)——開啟數(shù)學(xué)抽象認識的大門

丹齊克在《數(shù)——科學(xué)的語言》一書中描述：“我們走進會堂，面前兩個集合，一個是會堂的座位，一個是出席的人．我們不用計數(shù)，就可以知道兩個集合是否相等，以及哪個大些．這種能力就是從一個支配著全部數(shù)學(xué)的稱為一一對應(yīng)的方法推演而來．”[13]實際上，人類原初數(shù)覺之所以比鳥類的最多3個或4個的數(shù)覺要多一些，也是得益于人類有比“3”“4”的量多的10個手指，而這種原始的數(shù)覺依靠的就是手指集合與所要計數(shù)集合的一一對應(yīng)，并由此建立起數(shù)概念．在隨后的千百年數(shù)學(xué)演化史中，“一一對應(yīng)”也是數(shù)學(xué)思維活動的基本保障，一方面使得思考具有確定性，另一方面也成功實現(xiàn)了具象與抽象的“同構(gòu)”及轉(zhuǎn)換．一一對應(yīng)幾乎在每一處數(shù)學(xué)知識或數(shù)學(xué)活動中都能找到影子，有些思維活動已經(jīng)成為心智自動化的部分，而更多的則是確定無疑的思考過程，甚至依然需要明確地表達出來．

其實早在洞穴中生活的古人類就已經(jīng)會使用抽象的幾何圖形來記事和傳遞信息．一種圖形與其所記錄的事件和傳遞的信息應(yīng)是一一對應(yīng)的，絕不能是混亂的、不確定的，否則這一“創(chuàng)造”就不會存續(xù)．時至今日，任一圖形或幾何概念依然都有其確定的含義與之一一對應(yīng)．如歐幾里得關(guān)于二維圖形點、線、面的定義：“點”是不可再分為部分的圖形；“線”是只有長度而沒有寬度的圖形，“面”是只有長度和寬度的圖形．

掌握“一一對應(yīng)”方法對于人類自身抽象能力的獲得與心智發(fā)展的重要意義也許遠超人們現(xiàn)在的認知．正是因為在自然選擇的進化中，人類獲得了以10個手指或用石子畫出的線條來一一地對應(yīng)各種所需計數(shù)的物品，還可用圖形來對應(yīng)不同的物品，從而把這種“對應(yīng)”從無數(shù)次“計數(shù)”中剝離出來，成為恒定的“參照”，進而開始了漫長而無窮無盡的“抽象”歷程，抽象以及由此建立的數(shù)學(xué)大廈便一點一點搭建起來了．可以說，一一對應(yīng)既是“抽象”活動的發(fā)端，亦是數(shù)學(xué)史的序幕．

不同于集合運算中的“一一映射”，兒童所要建立起的“一一對應(yīng)”意識是能將觀察到的客觀事物與其抽象后的形式對應(yīng)起來，從而開啟初步的數(shù)學(xué)化的思考，這種思考顯然不是混沌的，也不是高度綜合的或者是系統(tǒng)化的，但卻是開啟有條理的理性認識大門的關(guān)鍵一環(huán)．皮亞杰曾指出：“最基本的心理學(xué)觀察揭示一一對應(yīng)是一種最原始的運算．”[14]

4.4 有序排列——數(shù)學(xué)抽象精密化的手段

數(shù)學(xué)的發(fā)展實在應(yīng)歸功于人類知道了數(shù)的一一對應(yīng)原則與數(shù)的有序原則的可統(tǒng)一性．根據(jù)“對應(yīng)原則”產(chǎn)生了基數(shù)概念，基于“有序原則”生成了“序數(shù)”概念．序數(shù)原則實際上是一種抽象的假定，即假定總是可以由一個數(shù)數(shù)到它的后繼數(shù)，這個假定就是序數(shù)概念的本質(zhì)．丹齊克認為：“若不是我們能夠?qū)⑹挛锱帕谐捎许樞虻拇蔚冢M步就是不大可能的．”

有序排列在圖形研究中體現(xiàn)為構(gòu)成圖形元素的有序性．希爾伯特提出的幾大幾何公理都反映了圖形的有序性，如“順序公理”就規(guī)定了直線上點的位置順序關(guān)系，“關(guān)聯(lián)公理”規(guī)定了概念范疇的順序關(guān)系，“合同公理”核心就是概念的相等（順序）關(guān)系．史寧中認為：幾乎在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的各個分支中，順序關(guān)系（包括大小關(guān)系、前后關(guān)系）都是非常重要的，這是數(shù)學(xué)研究對象的一個根本性的關(guān)系[15]．

對應(yīng)和序列，這兩大原理已經(jīng)深深滲透進全部數(shù)學(xué)．不只是數(shù)學(xué)，實際上已然進入精密思想的全部領(lǐng)域之中，交錯地編織在數(shù)系的錦繡天衣之上[13]．“次序化和序列化思維”或者稱之為“有序思考”，是優(yōu)秀思維品質(zhì)必不可少的要素．抽象思維之所以能充分體現(xiàn)出全面性、嚴謹性，與序列化的處理信息以及有序思考的思維習(xí)慣密切相關(guān)．皮亞杰認為：“在兒童思維中有一種非常原始的關(guān)于次序的結(jié)構(gòu)——序列化結(jié)構(gòu)，它像分類結(jié)構(gòu)一樣原始．”[14]

4.5 比較與分類——數(shù)學(xué)抽象深化的關(guān)鍵環(huán)節(jié)

“比較”是“抽象”過程中必不可少的一環(huán)，通過比較才能找出“異同”，才能認識到“共性”，才有抽取共同性質(zhì)后發(fā)現(xiàn)的“本質(zhì)”特征的可能，“抽象”也就因此而有了“意義”．在比較之后進行的區(qū)分其實就是“分類”，有學(xué)者認為：“邏輯分組和分類是數(shù)學(xué)的核心組成部分．”分類也是“集合”思維的基礎(chǔ)，集合又是最基本的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之一．分類的依據(jù)則是抽象集合的物體所共有的性質(zhì)．皮亞杰認為：“分類既為邏輯概念也為數(shù)學(xué)概念的發(fā)展提供了基礎(chǔ)．”“一個類不能由知覺構(gòu)造而只能由邏輯構(gòu)造，因為必須以一系列抽象和概括為前提，類的意義才從哲學(xué)抽象和概括中得出．”[16]

比較與分類是抽象的進程得以深化的保障，無論是對數(shù)量的研究，還是對圖形的研究，沒有比較與分類的這一關(guān)鍵環(huán)節(jié)，深度的抽象將寸步難行．事實上，很多兒童之所以對數(shù)學(xué)難以有“感覺”，甚至經(jīng)常深陷困境，大部分是緣于他們頭腦中始終無法清晰地進行分類，難以發(fā)現(xiàn)事物之間的共性與區(qū)別．因此，作為“抽象”的重要環(huán)節(jié)，教師還是應(yīng)該適時提醒學(xué)生有意識地進行“比較與分類”的數(shù)學(xué)抽象化思考，從而強化“抽象”意識與能力．

4.6 數(shù)量刻畫——數(shù)學(xué)抽象的獨特標簽

數(shù)學(xué)抽象思想最為鮮明的特征就是對客觀事物或直觀表象進行“數(shù)量刻畫”．將具體的事物用相應(yīng)的“數(shù)據(jù)”或“數(shù)量”進行抽象的表達，繼而進行符號化、形式化的分析，以便更進一步進行邏輯推理．即包括用“數(shù)”來刻畫具體對象的量的多少，如3米、4噸、5升、6公頃等；也包括用“數(shù)”來刻畫“圖形”的長短與大小．如“圓的直徑長度是半徑的2倍”“三角形內(nèi)角和是180度”，又如用勾股定理刻畫直角三角形三邊關(guān)系等．笛卡兒和費馬創(chuàng)造性地以數(shù)量刻畫的形式對圖形進行研究，從而發(fā)明了解析幾何，開啟了近代數(shù)學(xué)研究的神圣之門，這其中“數(shù)量刻畫”功不可沒．

以上“方法”既是抽象的基本方法，又是抽象的一般運行過程．當然，“抽象”的各種方法不是嚴格區(qū)分開來的，也并非一成不變地按步驟進行的，有時可能是多種方法交替或同時運行，對此大腦是完全可以輕松應(yīng)對并操作的．在上面“六道工序”之后，抽象也并沒有停止，只不過進入到更具推理意義和模型意義的深度抽象之中．如將抽象出來的各種對象或現(xiàn)象的共同屬性、本質(zhì)特征結(jié)合起來，歸納提煉并形成概念、定義；通過對數(shù)學(xué)研究對象之間關(guān)系的“抽象”，并以表示邏輯關(guān)系的術(shù)語得到科學(xué)合理的結(jié)論，形成相關(guān)的判斷、定義、法則、定理等；通過構(gòu)造“模型”將高度綜合的“抽象對象”進行具體化運用……可以想見，對于完整的“抽象”活動而言，數(shù)學(xué)模型才應(yīng)該是一段數(shù)學(xué)抽象旅程的終點和歸宿．

“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”是數(shù)學(xué)抽象思想所承載的學(xué)生素養(yǎng)發(fā)展的主旨、內(nèi)涵和目標．“數(shù)學(xué)的眼光”是人類理性認識手段的必然選擇，是科學(xué)思維的最實用的一般方法，是數(shù)學(xué)教育價值的核心體現(xiàn)．正如鄭毓信所指出的：無論是數(shù)學(xué)教育或是其它各科的教育，都是整個教育事業(yè)的組成成分，應(yīng)很好地落實“立德樹人”這一教育的根本任務(wù)，也即應(yīng)當“通過核心素養(yǎng)來落實立德樹人根本任務(wù)”[17]．“數(shù)學(xué)的眼光”所“擔負”的立德樹人使命，不僅在于可引導(dǎo)人們?nèi)绾慰创澜?、認識世界，更重要的是能形成主體的認識取向或價值觀念[18-21]．“數(shù)學(xué)的眼光”的涵育促進學(xué)生抽象思維的發(fā)展，增強思維的清晰性、合理性、有效性、深刻性、嚴密性，甚至還可增強靈活性、綜合性與創(chuàng)新性等，而最重要的則是逐步樹立起理性精神．

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[21] 張莉，伊?xí)悦溃率兰o以來小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中“分數(shù)”習(xí)題難度分析——以3套人教版為例[J]．數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2023，32（1）：47-54．

Mathematical Vision: Mathematical Abstract thought Pointing to the Goal of “Three Learn”

ZHENG Yi-fu1, 2, HUANG Pu-quan2

(1. West District of ZhongshanCentral Primary School, Guangdong Zhongshan 528400, China;2. South China Normal University, Guangdong Guangzhou 510631, China)

“Mathematical vision” is the inevitable choice of human rational understanding means, the most practical general method of scientific thinking, and the core embodiment of the value of mathematics education. “Mathematical vision” can not only guide people how to view the world and understand the world, but more importantly, it can form the subject’s cognitive orientation or values. Mathematical teaching in Primary and secondary schools, teachers must first deeply understand the nature of “mathematical abstract”, and be able to accurately grasp the general characteristics of “mathematical abstract”, and accurately master the basic methods of mathematical abstract, so as to carry out targeted improvement of thinking ability, the cultivation of abstract thoughts, and gradually enable the students to form a “mathematical vision”.

mathematical vision; abstract thought; abstract method; abstract characteristics; rational spirit

G623.5

A

1004–9894（2024）01–0059–05

鄭義富，黃甫全．數(shù)學(xué)的眼光：指向“三會”素養(yǎng)目標的數(shù)學(xué)抽象思想[J]．數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2024，33（1）：59-63．

2023–10–01

2022年廣東省哲學(xué)社會科學(xué)規(guī)劃一般項目——新唯物主義智能化學(xué)習(xí)技術(shù)代理主體論（GD22CJY13）

鄭義富（1974—），男，山東棗莊人，正高級教師，中山市西區(qū)中心小學(xué)校長，華南師范大學(xué)博士生，主要從事數(shù)學(xué)教育研究．

[責任編校：陳漢君、張楠]