摘 要：數(shù)學(xué)建模課《硬筆楷書的量化評價》，選取課題內(nèi)容時，努力尋找“無數(shù)學(xué)處”，即關(guān)注人文藝術(shù)這個看起來離數(shù)學(xué)很遠的領(lǐng)域，基于學(xué)生的數(shù)形結(jié)合基礎(chǔ)，想到用數(shù)學(xué)研究畫面（視覺）的藝術(shù)，從而激發(fā)學(xué)生的研究興趣，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界的能力；設(shè)計研究過程時，努力讓學(xué)生“見數(shù)學(xué)”，即重點引導(dǎo)學(xué)生分析影響硬筆書法好壞的大小、結(jié)構(gòu)、筆畫等多級因素，確定量化各影響因素的長度、面積、角度及其比例（包括斜率）等多種方式，從而激發(fā)學(xué)生的研究潛能，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界的能力。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模；硬筆書法；數(shù)形結(jié)合

本文系江蘇省揚州市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度立項課題“多元思維驅(qū)動下高中數(shù)學(xué)建?；顒拥慕虒W(xué)研究”（編號：2020/P/103）的階段性研究成果。

由于沒有規(guī)定的教學(xué)內(nèi)容（教材也只提供了幾個例子），作為高中數(shù)學(xué)課程一條主線的“數(shù)學(xué)建模活動與數(shù)學(xué)探究活動”^［1］，一直是教學(xué)的難點，甚至常常被忽視。在我校承辦的一次省數(shù)學(xué)課程基地教研活動中，我們設(shè)計、實施（由薛堯老師執(zhí)教）了一節(jié)題為“硬筆楷書的量化評價”的數(shù)學(xué)建模課，給聽課教師留下了深刻印象。本文談?wù)勥@節(jié)課的教前思考與教學(xué)實踐，供大家參考。

一、教前思考

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》指出，數(shù)學(xué)建模活動與數(shù)學(xué)探究活動以課題研究的形式開展（課題可以由教師給定，也可由學(xué)生與教師協(xié)商確定）^［2］，具有多樣性和靈活性^［3］；教師應(yīng)通盤考慮、整體設(shè)計、分步實施^［4］，引導(dǎo)學(xué)生（個體或者小組）積極參與研究過程。本節(jié)數(shù)學(xué)建模課在選取課題內(nèi)容和設(shè)計研究過程時，立足于“于無數(shù)學(xué)處見數(shù)學(xué)”的想法。

（一）選取課題內(nèi)容：努力尋找“無數(shù)學(xué)處”

數(shù)學(xué)建模活動是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)的語言表達問題、用數(shù)學(xué)的方法構(gòu)建模型解決問題的過程。^［5］在現(xiàn)代社會，數(shù)學(xué)的應(yīng)用已滲透到日常生活和科學(xué)研究的各個領(lǐng)域。因此，教師在選取數(shù)學(xué)建模活動的課題時，要拓寬視野，用數(shù)學(xué)的眼光廣泛地關(guān)注現(xiàn)實世界，從數(shù)學(xué)的視角在真實現(xiàn)象或情境中發(fā)現(xiàn)問題并提出問題。在此基礎(chǔ)上，還要考慮學(xué)生的學(xué)習基礎(chǔ)與收獲，評估教學(xué)的可行性與有效性。

本節(jié)數(shù)學(xué)建模課，我們有意識地跳出日常生活和科學(xué)研究領(lǐng)域，而關(guān)注人文藝術(shù)這個看起來離數(shù)學(xué)很遠的領(lǐng)域——“無數(shù)學(xué)處”。早在1987年，復(fù)旦大學(xué)李賢平教授就帶領(lǐng)他的學(xué)生，用統(tǒng)計分析的方法研究了《紅樓夢》前80回和后40回中虛詞出現(xiàn)的次數(shù)，從而獲得了《紅樓夢》前后并非同一個人所寫的結(jié)論。^［6］這是在用數(shù)學(xué)工具研究文學(xué)這種語言的藝術(shù)。蘇教版高中數(shù)學(xué)教材中有《鋼琴與指數(shù)曲線》的問題探究，有《G大調(diào)與正弦函數(shù)》的閱讀材料，這些都是用數(shù)學(xué)工具研究音樂這種聲音（聽覺）的藝術(shù)。那么，能否用數(shù)學(xué)工具研究畫面（視覺）的藝術(shù)？考慮到幾何學(xué)研究的圖形其實也是可視的“畫面”，而學(xué)生在高中比較深入地學(xué)習了函數(shù)圖像和解析幾何的知識，有了很好的數(shù)形結(jié)合基礎(chǔ)（比如，用函數(shù)的奇偶性研究圖像整體的對稱性，用函數(shù)的單調(diào)性以及導(dǎo)數(shù)或切線的斜率研究圖像局部的增減性以及增減程度，用二元方程研究平面上的曲線，乃至用連續(xù)變量的函數(shù)擬合離散數(shù)據(jù)的關(guān)系等），我們覺得這完全是可行的。

在進一步考慮研究何種畫面（視覺）的藝術(shù)時，我們首先排除了比較復(fù)雜的繪畫，確定了稍微簡單一些的書法；然后排除了學(xué)生缺乏經(jīng)驗基礎(chǔ)的毛筆行書、隸書、草書等，確定了學(xué)生比較熟悉的硬筆楷書。相對而言，硬筆書法藝術(shù)成分比較簡單，寫的好壞容易量化，用數(shù)學(xué)建模的方法進行評價的可行性比較高，可以在學(xué)生學(xué)完高中數(shù)學(xué)中有關(guān)的數(shù)形結(jié)合內(nèi)容后教學(xué)。這個選題將看似風馬牛不相及的書法和數(shù)學(xué)聯(lián)系在一起，可以很好地激發(fā)學(xué)生的研究興趣，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界的能力。

（二）設(shè)計研究過程：努力讓學(xué)生“見數(shù)學(xué)”

數(shù)學(xué)建?；顒又卦谶^程的體驗，而非結(jié)果的獲取。確定課題后，教師要引導(dǎo)學(xué)生基于“分類”和“分步”思想，經(jīng)歷分析問題、建構(gòu)模型，確定參數(shù)、計算求解，檢驗結(jié)果、改進模型等研究過程，最終解決問題（完成課題）。特別是，現(xiàn)實問題的相關(guān)因素通常比較多，很難一下子考慮周全，因此，數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)很難一步到位，需要反復(fù)檢驗論證、不斷改進完善，從而充分挖掘現(xiàn)實問題中的數(shù)學(xué)因子，將問題數(shù)學(xué)化。

確立“硬筆楷書的量化評價”這一課題后，首先可以引導(dǎo)學(xué)生分析硬筆書法好壞的影響因素，從而細化評價對象；其次可以引導(dǎo)學(xué)生確定各影響因素的量化方式，從而形成評價方法，初步建立數(shù)學(xué)模型；再次可以引導(dǎo)學(xué)生對范字做量化，從而獲得評價標準，進一步建立數(shù)學(xué)模型；最后可以利用量化評價標準，評價硬筆書法作品，提出改進建議。在這一過程中，最難的就是分析影響因素和確定量化方式。它需要研究者具有一定的書法鑒賞力，又能夠聯(lián)想到恰當?shù)臄?shù)學(xué)工具。這是教師引導(dǎo)的重點：影響因素可能不止于一級指標（如大小、結(jié)構(gòu)、筆畫等），還有二級指標（如獨體字或合體字、是否含有特殊筆畫、偏旁部首是什么等），即需要對一級指標再次細分；量化方式除了比較簡單的長度、面積、角度及其比例（包括斜率）等，還有比較復(fù)雜的函數(shù)（可以擬合）、導(dǎo)數(shù)等，故需要對書法作品及數(shù)學(xué)工具進行深入挖掘。這個過程便是“見數(shù)學(xué)”的體現(xiàn)，可以很好地激發(fā)學(xué)生的研究潛能，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界的能力。

當然，受制于學(xué)生的數(shù)學(xué)知識與能力基礎(chǔ)以及課堂教學(xué)的時間，可以做必要的簡化處理以及分段、分層處理。比如，課上重點引導(dǎo)學(xué)生統(tǒng)一研究幾個影響因素，并利用簡單的數(shù)學(xué)工具建模；課后“留白”，鼓勵學(xué)生自由研究更多的影響因素，并利用復(fù)雜的數(shù)學(xué)工具建模。此外，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習基礎(chǔ)，作為評價標準的范字最好由教師給出。我們選擇的是湖北美術(shù)出版社2019年出版的《通用規(guī)范漢字3500字：教學(xué)版楷書》中荊霄鵬的硬筆楷書。

二、教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

師 "（出示圖1）我們學(xué)校今年將舉行硬筆書法比賽，這是三位參賽同學(xué)的字，請大家說一說：哪位同學(xué)的字較好？好的原因又是什么？

生 第三個同學(xué)的字較好，大小適中；第一個同學(xué)的字偏大；第二個同學(xué)的字偏小。

師 很好！除了大小的區(qū)別，它們還有什么區(qū)別？

生 第二個同學(xué)的捺偏短，不夠舒展；前兩個同學(xué)斜鉤的長度和弧度都不太恰當。

師 不錯，筆畫的長短、弧度有區(qū)別。還有嗎？

（學(xué)生遲疑。）

本環(huán)節(jié)創(chuàng)設(shè)硬筆書法比賽的情境，提出評價硬筆書法好壞的問題。同時，讓學(xué)生基于感性認識，比較三組硬筆書法作品的好壞，為后面理性地分析硬筆書法好壞的影響因素，確定其量化方式做好鋪墊。

（二）分析影響因素，確定量化方式

師 在比賽中，我們需要確立一些評價細則，從而更客觀、準確地比較不同作品的好壞。那么，可以從哪些方面評價，怎樣評價呢？（出示表1）這是某次硬筆書法比賽的評價細則，從中我們可以得到什么啟發(fā)，作出哪些改進？

（學(xué)生小組討論。）

生 這個評價細則，主要是從大小、結(jié)構(gòu)、筆畫三個方面進行評價的。結(jié)合我們對之前展示的三位同學(xué)的字的比較，我覺得，從這三個方面進行評價是比較合理的。

生 是的，大小要適中，結(jié)構(gòu)要合理，筆畫要美觀。但是，怎樣才算適中、合理、美觀？需要有更精確的量化標準。

師 很好！量化是這個評價細則最需要改進的地方。那么，如何將這三個方面量化呢？

生 中國字是方塊字，它的大小就應(yīng)該是框住它最外圍的矩形框的面積。

生 我覺得，字的大小適中是相對于所在的格子而言的，我們應(yīng)該計算框住字最外圍的矩形框（或者說字的外接矩形）的面積與字所在格子的面積之比。

生 關(guān)于字的結(jié)構(gòu)，我覺得可以考慮各部分大小的比例關(guān)系。當然，結(jié)構(gòu)的種類比較多，有些不太好研究。但是，左右、上下這兩種結(jié)構(gòu)的字比較常見，也比較好研究，它們左右或上下兩部分大小的比例關(guān)系應(yīng)該合理。

生 筆畫的長度和傾斜度等是可以測量，即可以量化的；而筆畫的輕重，如懸針豎與垂露豎等，則較難測量。

師 很好，同學(xué)們找到了比較可行的量化方法！不過，這樣量化的結(jié)果是關(guān)于字本身的，而字的好壞是比較出來的。所以，我們還需要找一些公認的好的字作為標準，用來確定量化結(jié)果的好壞。那么，標準在哪里？

生 可以選擇硬筆書法家的字作為標準。

師 很好！老師幫你們選擇了硬筆書法家荊霄鵬的硬筆楷書作為標準。

考慮到分析影響因素、確定量化方式對學(xué)生而言有一定的困難，本環(huán)節(jié)給出了一次硬筆書法比賽的評價細則作為學(xué)習支架，使學(xué)生獲得啟發(fā)、作出改進。這一過程中，學(xué)生感受到數(shù)學(xué)建模時，常常需要對復(fù)雜的現(xiàn)實問題做簡化處理。比如，筆畫的量化主要考慮長度和傾斜度，不考慮更復(fù)雜的弧度和角度，如斜鉤的特定弧度、平捺的“一波三折”等。受到教學(xué)時間的限制，教師順應(yīng)學(xué)生的思考，不將問題復(fù)雜化，而讓學(xué)生課后考慮更多的數(shù)學(xué)工具。

（三）采集范字數(shù)據(jù)，確定評價標準

教師將學(xué)生分為三大組，分別研究荊霄鵬硬筆楷書中字的大小、結(jié)構(gòu)和筆畫，采集有關(guān)數(shù)據(jù)，從而確定評價標準。

第一組學(xué)生采集了荊霄鵬硬筆楷書中字“面積占比”的數(shù)據(jù)（如圖2所示），從中發(fā)現(xiàn)硬筆楷書大小的標準不是一成不變的，受到兩個因素的影響：一是獨體字還是合體字，獨體字較小，合體字較大；二是是否含有長橫、斜撇、斜捺、豎彎鉤等特殊筆畫，含有的字較大，不含有的字較小。進一步得到各類字大小數(shù)據(jù)的適中區(qū)間：一般獨體字，0.12-0.18；含有特殊筆畫的獨體字，0.24-0.38；一般合體字，0.30-0.43；含有特殊筆畫的合體字，0.39-0.45。

第二組學(xué)生采集了荊霄鵬硬筆楷書中左右和上下結(jié)構(gòu)字“部首占比”的數(shù)據(jù)（部首寬度比格子寬度或部首高度比格子高度的數(shù)據(jù)，如圖3所示），從中發(fā)現(xiàn)各個部首的占比都是比較穩(wěn)定的，由此得到各個部首字結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)的合理區(qū)間：提手旁，0.19±0.02；三點水，0.16±0.02；絞絲旁，0.22±0.02；木字旁，0.24±0.02；單人旁，0.21±0.02；雙人旁，0.23±0.02；言字旁，0.19±0.02；女字旁，0.32±0.02；火字旁，0.27±0.02；豎心旁，0.18±0.02；左耳刀，0.15±0.02；石字旁，0.27±0.02；馬字旁，0.24±0.02；寶蓋頭，0.17±0.02；草字頭，0.21±0.02；雨字頭，0.32±0.02；日字底，0.27±0.02；月字底，0.38±0.02；心字底，0.25±0.02；木字底，0.35±0.02；王字底，0.3±0.02；羽字底，0.35±0.02。

第三組學(xué)生主要采集了荊霄鵬硬筆楷書中橫、豎、撇、捺、鉤等筆畫的長度占比、斜率等數(shù)據(jù)（如圖4所示），從中得到各個筆畫數(shù)據(jù)的美觀區(qū)間：長橫的長度占比，0.40-0.60；長豎的長度占比，0.45-0.55；長橫的斜率，0.12-0.28；斜撇的斜率，1.8-2.2；豎撇的斜率，2.5-5；斜捺的斜率，（-0.5）-（-0.7）；平捺的斜率，（-0.15）-（-0.25）；斜鉤的斜率，（-1.5）-（-2.7）。

采集范字數(shù)據(jù)、確定評價標準的活動以學(xué)生為主體展開。通過對作為標準的硬筆書法家的字的具體研究，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)影響因素（評價維度）的二級指標，如字的大小受獨體字或合體字、是否含有特殊筆畫因素的影響，字的結(jié)構(gòu)受到偏旁部首因素的影響。這能夠讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)建模不是一蹴而就的，需要反復(fù)提煉融合、不斷改進完善。

（四）利用評價標準，評價書法作品

教師讓三組學(xué)生分別研究課始出示的三位參賽同學(xué)字的大小、結(jié)構(gòu)和筆畫，采集有關(guān)數(shù)據(jù)，與剛剛確定的評價標準進行比較，作出更客觀、準確的評價。

第一組學(xué)生采集了三位參賽同學(xué)字（一般獨體字、含有特殊筆畫的獨體字、一般合體字、含有特殊筆畫的合體字各選了一個）的大小數(shù)據(jù)（如圖5所示，同一個字依次為三位同學(xué)所寫），由此得到評價結(jié)果：第一位同學(xué)所有字都不符合標準，第二位同學(xué)僅獨體字符合標準，第三位同學(xué)僅合體字符合標準。

第二組學(xué)生采集了三位參賽同學(xué)字（提手旁的字、絞絲旁的字各選了一個）的結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)（如圖6所示，同一個字依次為三位同學(xué)所寫），由此得到評價結(jié)果：前兩位同學(xué)兩種偏旁的字都不符合規(guī)范，第三位同學(xué)兩種偏旁的字都符合規(guī)范。

第三組學(xué)生采集了三位參賽同學(xué)字（有長橫的字、有斜鉤的字各選了一個）的筆畫數(shù)據(jù)（如圖7所示，同一個字依次為三位同學(xué)所寫），由此得到評價結(jié)果：第一位同學(xué)長橫的長度占比符合標準，長橫的斜率、斜鉤的斜率都不符合標準；第二位同學(xué)長橫的長度占比不符合標準，長橫的斜率、斜鉤的斜率都符合標準；第三位同學(xué)長橫的長度占比、斜率和斜鉤的斜率都符合標準。

綜合分項評價，教師引導(dǎo)學(xué)生對三位參賽同學(xué)的字作出整體評價，并提出改進建議：（1）第一位同學(xué)是硬筆楷書的初學(xué)者。他的作品字體偏大，偏旁的比例也偏大，長橫的長度占比比較合理，但是傾斜程度較大，斜鉤的傾斜程度也較大。所以，后續(xù)練習中，先要將字體的比例、偏旁的比例、撇捺的傾斜程度控制在一個合理的范圍內(nèi)，再進一步的學(xué)習書法。（2）第二位同學(xué)是硬筆楷書的熟練書寫者。他的作品獨體字大小合理，合體字大小偏小，主要原因是長橫習慣短寫；偏旁部首的比例時大時小，但是總體合理；長橫和斜鉤的傾斜程度都把握得很好。所以，后續(xù)練習中，需要適當注意長橫的長度和偏旁部首的比例。 （3）第三位同學(xué)是硬筆書法的初步入門者。他的作品合體字大小合適，只是獨體字有時會偏大或偏小，偏旁部首的比例較為合理，長橫的長度占比、傾斜程度和斜鉤的傾斜程度都較為合理。所以，可以在其他評價指標的指引下提高書法水平。

利用評分標準評價書法作品，既是數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用過程，又是數(shù)學(xué)模型的檢驗過程，可為數(shù)學(xué)模型的改進完善做好鋪墊。

（五）課堂小結(jié)，研究展望

教師引導(dǎo)學(xué)生反思總結(jié)本節(jié)課的研究過程，進一步展望后續(xù)可能的研究：（1）僅從大小、結(jié)構(gòu)、筆畫三個方面對硬筆書法作品進行量化評價，顯然是粗糙的，可以量化的因素還有很多，如整個字在格子中的居中程度、三點水的平面布局、絞絲旁兩個折部的大小與方向、田字的梯形結(jié)構(gòu)、三橫或三豎的等距性，等等。（2）如果借助函數(shù)（可以擬合）、導(dǎo)數(shù)等更多的數(shù)學(xué)工具，充分考慮影響因素，設(shè)置合理的參數(shù)范圍，則后續(xù)研究可以開發(fā)一套集作品掃描、數(shù)據(jù)分析、反饋建議功能于一體的數(shù)字化系統(tǒng)，書法學(xué)習者（尤其是寫法不穩(wěn)定的初學(xué)者）可以利用這個系統(tǒng)對自己的書法學(xué)習進行監(jiān)控。

本環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生反思課堂建立的數(shù)學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)可以用更多的數(shù)學(xué)工具完善對硬筆楷書作品的評價，從而讓學(xué)生“帶著問題走出課堂”，課后繼續(xù)開展研究。

參考文獻：

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［6］李賢平.《紅樓夢》成書新說［J］.復(fù)旦學(xué)報（社會科學(xué)版），1987（5）：3-16.