張鵠

題目 （武漢市2023屆高三調(diào)研題）已知關(guān)于x的方程ax－lnx=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)根x₁和x₂，且x₁2.（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）設(shè)k為常數(shù)，當(dāng)a變化時(shí)，若x^k₁x₂有最小值e^e，求常數(shù)k的值.

試題以考生熟悉的含參的函數(shù)方程零點(diǎn)問(wèn)題為情境進(jìn)行設(shè)計(jì).第一問(wèn)主要考查已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)a的取值范圍；第二問(wèn)以題干中兩個(gè)零點(diǎn)組合表達(dá)式存在具體最值為條件求解參數(shù)k的值.兩問(wèn)由易到難，層層遞進(jìn)，能較好的考查學(xué)生的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等方面的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力.為了有效發(fā)掘試題內(nèi)涵，積極引導(dǎo)后期復(fù)習(xí)備考，本文給出我們的若干方法，不當(dāng)之處，懇請(qǐng)指正.

以上三種解法中，方法1運(yùn)用分類討論方法，對(duì)含參數(shù)的函數(shù)存在最值展開研究，不斷地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造多個(gè)函數(shù)模型進(jìn)行分析；方法2抓住函數(shù)取極值點(diǎn)處的函數(shù)性態(tài)并結(jié)合極值存在的必要條件與充分條件入手做出分析；方法3靈活運(yùn)用分離參數(shù)方法將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題且存在取等臨界情形.通過(guò)對(duì)試題解法的深入分析，一方面加深了考生對(duì)此類函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的理解，另一方面也明確了后期數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考的方向.