白舸

本節(jié)課從現(xiàn)實需求出發(fā)，帶領(lǐng)學(xué)生親歷數(shù)的產(chǎn)生與發(fā)展歷程，嘗試從數(shù)學(xué)歷史、動手操作、理性驗證、計算機輔助等方面引導(dǎo)學(xué)生自主探究。針對近似值的求法，使用夾逼法、二分法進行求解，并設(shè)計算法、編寫程序、驗證結(jié)論，對該問題進行了詳細(xì)闡述，體現(xiàn)了信息技術(shù)在數(shù)學(xué)方面的重要應(yīng)用。

環(huán)節(jié)一：初識無理數(shù)

先讓學(xué)生觀看視頻，了解《九章算術(shù)》中的開方術(shù)問題，感知無理數(shù)。

設(shè)計意圖：通過《九章算術(shù)》中的開方術(shù)讓學(xué)生感受到我國古代數(shù)學(xué)在世界上處于遙遙領(lǐng)先的地位，幫助學(xué)生了解和感悟中華民族獨特的數(shù)學(xué)智慧，增強學(xué)生的民族自豪感。

然后，讓學(xué)生動手操作，初步探知無理數(shù)。選擇兩個面積為1的小正方形，讓學(xué)生嘗試拼成一個面積為2的大正方形，探究小正方形與大正方形的邊長。

設(shè)計意圖：通過上面問題，激發(fā)學(xué)生對核心問題“面積為2的正方形的邊長是多少”進行思考。實現(xiàn)了問題對探究的引領(lǐng)和思維的啟迪。

環(huán)節(jié)二：對無理數(shù)的認(rèn)識

任務(wù)一是思考面積為2的正方形的邊長a是不是整數(shù)。學(xué)生從特殊整數(shù)入手，逐個驗證，可以知道1×1=1，2×2=4，面積為2的正方形的邊長應(yīng)該介于1和2之間，所以，a不是整數(shù)。

任務(wù)二是思考面積為2的正方形的邊長a是不是分?jǐn)?shù)。仍從特殊化思考，介于1和2之間的分?jǐn)?shù)可以列舉為，，，，，…，因為×=>2，所以，a≠；因為×=<2，×=>2， 所以，a≠，a≠…可以大膽猜想：a不是分?jǐn)?shù)。

猜想結(jié)果不一定正確，對于結(jié)論還需要一般化理性證明：令a=（m、n是沒有公因數(shù)的整數(shù)，且n≠0），則a·a=·，又a·a=2，所以，·=2，故m·m=2n·n，所以，m為偶數(shù)。設(shè)m=2s（s是整數(shù)），則2s·2s=2n·n，2s·s=n·n，可知n也為偶數(shù)，則m、n存在公因數(shù)2，與已知相矛盾，故a≠（m、n 是沒有公因數(shù)的整數(shù)，且n≠0），所以，a不是有理數(shù)。

任務(wù)三是思考面積為2的正方形的邊長a是多大的數(shù)。已知a介于1和2之間，又不是分?jǐn)?shù)，那么是1點幾呢？如何確定它的十分位、百分位？放手讓學(xué)生獨立思考，合作交流。學(xué)生不難想到還是要從特殊入手，因為1.4×1.4=1.96，1.5×1.5=2.25，所以，1.4＜a＜1.5。

為了計算方便，利用Excel表格，由小到大依次輸入a的不同值，利用求平方的公式代碼計算S=a2的對應(yīng)值，同時鼓勵學(xué)生利用計算器進行探索，體會無限逼近的思想，然后教師與學(xué)生共同整理數(shù)據(jù)，可以得到a的近似值為1.4142…它是一個無限不循環(huán)小數(shù)，我們把這樣的數(shù)稱為無理數(shù)。

設(shè)計意圖：認(rèn)識無理數(shù)，不但需要用直觀刻畫抽象，讓學(xué)生在真實情境中認(rèn)識其客觀存在性；還需要用具體刻畫一般、近似刻畫精確，讓學(xué)生體會到有根據(jù)的數(shù)的“感覺”。

環(huán)節(jié)三：通過計算機得到無理數(shù)的近似取值

經(jīng)過上面的探究，學(xué)生已經(jīng)知道“面積為2的正方形的邊長a是一個無限不循環(huán)小數(shù)”，這個數(shù)可以用逐漸逼近的方法得到其近似值，但是“手算”計算量顯然太大，需要尋求其他解決方法。學(xué)生查閱網(wǎng)絡(luò)，學(xué)習(xí)二分法，并通過實例，闡述對二分法的理解。

教師給出任務(wù)：利用二分法思想求的近似值，給出算法程序。教師引導(dǎo)學(xué)生把以上問題轉(zhuǎn)化成“求函數(shù)f（x）=x2-2在區(qū)間（1，2）內(nèi)的近似零點問題”，剖析二分法解決本問題的一般流程，設(shè)計程序框圖，然后教師演示編寫計算機程序。

設(shè)計意圖：二分法在生活中有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用，如線路的排查、猜數(shù)游戲等。這些生活中的例子并不難理解，但是把其抽象成數(shù)學(xué)算法，進而變成計算機可以理解的程序語言對學(xué)生來說是難點。為此，教師要給學(xué)生充分的時間和空間進行學(xué)習(xí)和討論，同時教師還要起到引領(lǐng)示范作用。

齊龍新老師點評

本節(jié)課從初中知識入手，逐漸拓展到高中知識，以算法和編程輔助數(shù)學(xué)教學(xué)，可以提高學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生解決實際問題的能力。本節(jié)課打破了學(xué)段壁壘，著眼于學(xué)段、學(xué)科融合，將數(shù)學(xué)與信息技術(shù)巧妙地融合到一起，體現(xiàn)了跨學(xué)科的理念。

編輯 _ 于萍