樊春健

［摘? 要］ 初中數(shù)學(xué)實驗是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式. 初中數(shù)學(xué)實驗?zāi)艹浞职l(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能，彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值. 初中數(shù)學(xué)實驗教學(xué)范式主要有切片式、并列式、階梯式和混合式四種類型. 在初中數(shù)學(xué)實驗教學(xué)中，教師可以采用一種“教結(jié)構(gòu)—學(xué)結(jié)構(gòu)—用結(jié)構(gòu)”的范式，充分發(fā)揮學(xué)生數(shù)學(xué)實驗的主體性作用，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)實驗從他組織走向自組織，從單一走向立體、多維.

［關(guān)鍵詞］ 初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)實驗；實驗類型；教學(xué)范式

實驗是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式. 數(shù)學(xué)實驗?zāi)艹浞职l(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能，彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要激發(fā)學(xué)生的實驗興趣，調(diào)動學(xué)生的數(shù)學(xué)實驗積極性，發(fā)掘?qū)W生的數(shù)學(xué)實驗創(chuàng)造性，引導(dǎo)學(xué)生借助實驗去探索、建構(gòu)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識. 數(shù)學(xué)實驗是學(xué)生知識建構(gòu)、技能和智慧形成的根源，是學(xué)生數(shù)學(xué)經(jīng)驗建構(gòu)的重要方式，也是數(shù)學(xué)思想的源泉［1］. 教師必須深入研究數(shù)學(xué)實驗的類型及其教學(xué)范式，并不斷探尋數(shù)學(xué)實驗類型及其相對應(yīng)的實驗范式，才能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)實驗更科學(xué)、更高效，才能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效能.

切片式實驗活動設(shè)計

初中生的數(shù)學(xué)實驗活動，從組織范式上來看，主要可以分為兩大類：一類是通過一個實驗活動解決問題的切片式實驗；另一類是通過多個實驗活動解決問題的復(fù)合式實驗. 切片式實驗，往往是針對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的某個學(xué)習(xí)重點、難點、疑點和盲點內(nèi)容而開展的單一性實驗；而復(fù)合式實驗（復(fù)雜式實驗）往往是針對復(fù)雜的內(nèi)容或內(nèi)容群等而開展的多重性實驗. 切片式實驗的基本范式就是“實驗→結(jié)論”. 在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，切片式實驗往往更契合現(xiàn)實，更有助于數(shù)學(xué)實驗的常態(tài)化開展.

由于切片式實驗是一種單一性的實驗，因此它往往是嵌入課堂教學(xué)之中的，或者是課堂教學(xué)的一個環(huán)節(jié). 根據(jù)實驗?zāi)繕恕嶒瀸ο?、實驗?nèi)容等的不同，切片式實驗可以分為概念型切片實驗、方法型切片實驗等. 比如教學(xué)“勾股定理”這一部分內(nèi)容時，為了讓學(xué)生能在數(shù)學(xué)活動中感受“數(shù)形結(jié)合”，筆者設(shè)計了這樣一個“切片式實驗”：在數(shù)軸上表示無理數(shù). 在活動中，學(xué)生從問題出發(fā)，開展自主研究、合作交流. 在實驗過程中，學(xué)生充分地觀察、思考，將勾股定理的學(xué)習(xí)與已有知識經(jīng)驗結(jié)合起來，擴大了數(shù)學(xué)視野，增強了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動性、積極性.

切片式實驗是教師在數(shù)學(xué)課堂上經(jīng)常開展的數(shù)學(xué)活動. 教師要根據(jù)學(xué)生自身特質(zhì)及具體學(xué)情，引導(dǎo)學(xué)生開展動態(tài)性、生成性的實驗活動. 動態(tài)性、生成性的數(shù)學(xué)實驗不僅能激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，還有助于促進學(xué)生的數(shù)學(xué)認知、理解，更有助于化數(shù)學(xué)知識的抽象為形象，從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)探究深入淺出.

并列式實驗活動設(shè)計

與切片式實驗活動不同，并列式實驗活動往往是教師引導(dǎo)學(xué)生針對同一個數(shù)學(xué)問題開展不同視角的數(shù)學(xué)探究. 并列式數(shù)學(xué)實驗活動，有助于學(xué)生充分發(fā)揮自身的主體性作用. 教師要鼓勵學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中開展多樣化探索，尤其要鼓勵學(xué)生開展個性化探索. 并列式實驗活動的范式是“數(shù)學(xué)實驗1（數(shù)學(xué)實驗2……）→結(jié)論”. 換言之，在同一個時空下，學(xué)生針對同一個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標、內(nèi)容等開展不同的數(shù)學(xué)實驗，但殊途同歸都能得出相同的數(shù)學(xué)結(jié)論. 對于學(xué)生的并列式實驗，教師要引導(dǎo)學(xué)生互動、交流，從而讓學(xué)生的實驗設(shè)計策略、方法、路徑得到分享、共享［2］.

比如教學(xué)“多邊形的內(nèi)角和”這一部分內(nèi)容時，教師基于學(xué)生的已有知識經(jīng)驗（主要是三角形的內(nèi)角和），引導(dǎo)學(xué)生開展自主性、自能性的數(shù)學(xué)實驗. 學(xué)生基本上采用一種“將多邊形分割成三角形”求內(nèi)角和. 為了探索的方便，學(xué)生大都采用的“以小見大找規(guī)律”的方法，也就是學(xué)生從探索四邊形內(nèi)角和、五邊形內(nèi)角和、六邊形內(nèi)角和等入手，歸納、概括、總結(jié)出多邊形的內(nèi)角和. 在具體的實驗過程中，有些學(xué)生從多邊形的內(nèi)部取一點，然后依次連接這個點和多邊形的頂點；有些學(xué)生從多邊形的邊上取一點，然后連接這個點和多邊形的頂點；還有些學(xué)生從多邊形的一個頂點出發(fā)，依次連接這個頂點和其他的頂點，等等. 不同的學(xué)生，在各自的小組開展了不同的實驗活動. 在分組實驗之后，教師引導(dǎo)學(xué)生進行實驗互動、交流，從而引導(dǎo)學(xué)生進行實驗后的對比分析，讓學(xué)生總結(jié)各自實驗活動的相同點和不同點. 通過去除實驗過程中的非本質(zhì)屬性內(nèi)容，讓學(xué)生經(jīng)歷去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的過程，進而引導(dǎo)學(xué)生得出相同的數(shù)學(xué)結(jié)論. 并列式實驗活動可以在同時空下開展，它們之間沒有優(yōu)劣之分，而僅僅是視角不同、方法不同等. 并列式實驗活動設(shè)計中，教師基于同一個問題，采用不同的實驗路徑、策略、方式和方法，但最終都能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)、建構(gòu)數(shù)學(xué)新知.

并列式實驗活動沒有主次、輕重之分. 實驗與實驗的關(guān)系是并列的. 教師要善于賦權(quán)、放權(quán)，要善于讓學(xué)生擁有自主實驗的時空，讓學(xué)生在自主實驗過程中習(xí)得數(shù)學(xué)知識，提升數(shù)學(xué)活動能力. 如在上述“多邊形的內(nèi)角和”的探索過程中，學(xué)生通過比較并列式實驗，能有效歸納、總結(jié)出多邊形的內(nèi)角和公式. 在并列式實驗過程中，教師不宜給予學(xué)生過多的條條框框，而應(yīng)當引導(dǎo)學(xué)生開展個體性的實驗. 個體性的實驗充分彰顯了學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的主體性、獨特性，是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的確證與表征.

階梯式實驗活動設(shè)計

學(xué)生的數(shù)學(xué)實驗過程需要經(jīng)過“猜想—驗證—實驗—結(jié)論”的過程，但這個過程往往不是一帆風(fēng)順的，也不是一蹴而就的，而是需要一個循序漸進、螺旋式上升的過程. 換言之，學(xué)生的數(shù)學(xué)實驗是一種“實驗—再實驗—又實驗—……”的過程. 這些實驗不是重復(fù)性的，而是呈階梯式的. 階梯是一個形象的比喻，是指學(xué)生的數(shù)學(xué)實驗活動處于一個不斷進階的過程. 前一個實驗是后一個實驗的基礎(chǔ)，后一個實驗是前一個實驗的延伸、拓展、提升. 通過階梯式的實驗，學(xué)生往往從“初步發(fā)現(xiàn)”到“逐步完善”再到“得出結(jié)論”的全過程. 階梯式實驗活動，針對的是學(xué)生通過一個數(shù)學(xué)實驗活動不能有效解決問題，而只有依托多個數(shù)學(xué)實驗活動才能有效解決問題的現(xiàn)象.

比如教學(xué)“三角形的內(nèi)角和”這一部分內(nèi)容時，教師首先引導(dǎo)學(xué)生開展操作性的探索，主要是讓學(xué)生借助剪角、撕角、折角、拼角等相關(guān)的活動，讓學(xué)生增強對“三角形的內(nèi)角和”的感性認知. 但這種感性認知不能滿足學(xué)生的理性訴求，學(xué)生認為這樣的實驗方式是一種外在的甚至是非數(shù)學(xué)的證明方式，因而就會產(chǎn)生一種嚴格證明、嚴密推理的實驗訴求. 為此，在學(xué)生操作性的實驗活動的基礎(chǔ)上，教師要引導(dǎo)學(xué)生開展思維性的數(shù)學(xué)實驗. 思維性的實驗主要是頭腦實驗，也就是要求學(xué)生借助輔助線，利用“兩直線平行、內(nèi)錯角相等”“兩直線平行、同位角相等”以及“等量代換”等相關(guān)的數(shù)學(xué)知識、方法和思想進行思維性的推理、推導(dǎo). 相較于第一層次的外顯的操作性實驗活動，這一層次的思維推理性的實驗活動就是一種學(xué)習(xí)進階，能助推學(xué)生的數(shù)學(xué)認知從低階走向高階. 如學(xué)生對“三角形的內(nèi)角和”的認知不再模糊，不再停留在大約是180°的層面上，而是證明了“三角形的內(nèi)角和就是180°”. 通過這一層次的思維性實驗，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維更加嚴謹、嚴密. 有了這種階梯式實驗活動，學(xué)生就會對“三角形的內(nèi)角和”形成本質(zhì)性的認知. 這種階梯式實驗活動范式，層次清晰、結(jié)構(gòu)清晰、脈絡(luò)清晰，具有可操作性，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要范式.

階梯式實驗活動設(shè)計，要求教師謀劃好學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的步驟，引導(dǎo)學(xué)生循序漸進地開展數(shù)學(xué)實驗，促進學(xué)生在數(shù)學(xué)實驗過程中展開深度思考、深度探究，促進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的轉(zhuǎn)型升級. 在階梯式實驗活動過程中，學(xué)生能不斷突破自我的認知局限，對數(shù)學(xué)知識的認知能走向本質(zhì).

混合式實驗活動設(shè)計

所謂混合式實驗活動，也就是指“教師在引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)實驗的過程中融合了并列式、階梯式實驗活動，是一種各式實驗活動融合、交織在一起的實驗方式”. 在混合式實驗活動過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用多種實驗方法，比如模擬法、模型法、對比法等. 通過混合式實驗活動，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型. 混合式實驗活動，在初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中有著廣泛的應(yīng)用，能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

比如教學(xué)“特殊的平行四邊形”這一部分內(nèi)容時，教師引導(dǎo)學(xué)生通過剪、疊、折等方法去制作平行四邊形紙片、菱形紙片、正方形紙片等. 教師首先引導(dǎo)學(xué)生制作平行四邊形紙片，這一數(shù)學(xué)實驗活動相對比較簡單. 在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生借助長方形制作菱形紙片. 教師首先引導(dǎo)學(xué)生觀看微視頻，讓學(xué)生認識到長方形的對角線相等，得出連接長方形四條邊的中點所構(gòu)成的圖形就是菱形；接著引導(dǎo)學(xué)生動手操作，讓學(xué)生依據(jù)觀看微視頻得到的原理折疊制作出一個菱形. 這一過程激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生產(chǎn)生了“制作菱形”的愿望. 為此，學(xué)生積極地運用折、剪、疊、拼等多種方式，創(chuàng)造出多樣化的制作菱形的方法，這是并列式實驗活動. 通過豐富多彩的并列式實驗活動，學(xué)生不僅學(xué)會了折、疊、剪的方法，還學(xué)會了拼的方法. 在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生進一步開展數(shù)學(xué)實驗，讓學(xué)生制作正方形. 有學(xué)生根據(jù)矩形的特質(zhì)，對菱形予以加工；有學(xué)生直接將四邊形加工成正方形，培養(yǎng)了創(chuàng)新意識. 如有一些學(xué)生認為，任意的一張紙（無論是什么四邊形），最多只要操作三次就可以形成一個正方形，第一次可以通過任何四邊形創(chuàng)造出平行四邊形，第二次可以借助平行四邊形創(chuàng)造出菱形或矩形，第三次就可以借助菱形或矩形創(chuàng)造出正方形. 這樣的一種實驗過程，不能不說是學(xué)生的發(fā)現(xiàn). 在這個過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)實驗活動既有并列式的，又有階梯式的，因而它是混合式的. 如果說，并列式實驗活動是從不同切口開展的，那么，階梯式實驗活動就是切口的一種承接，下一個數(shù)學(xué)實驗活動的切口就是上一個數(shù)學(xué)實驗活動的結(jié)論. 混合式實驗活動既讓學(xué)生的數(shù)學(xué)實驗多樣化，又讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有一種連續(xù)性、發(fā)展性、進階性.

在“制作圖形”的過程中，學(xué)生不僅掌握了平行四邊形、矩形、菱形、正方形等圖形的特征，而且掌握了它們之間的關(guān)系. 借助“制作圖形”活動，學(xué)生還能積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，感悟相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法. 教師要積極地謀劃學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)步驟，引導(dǎo)學(xué)生循序漸進地開展數(shù)學(xué)實驗，促進學(xué)生的數(shù)學(xué)思考、探究不斷升級.

學(xué)生的數(shù)學(xué)實驗是一個多層次、結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化的活動過程. 對學(xué)生數(shù)學(xué)實驗范式的實踐研究不僅能提升教師的教學(xué)力，還能增進學(xué)生數(shù)學(xué)實驗活動的理性自覺. 在初中數(shù)學(xué)實驗教學(xué)中，教師可以采用一種“教結(jié)構(gòu)—學(xué)結(jié)構(gòu)—用結(jié)構(gòu)”的范式，充分發(fā)揮學(xué)生在數(shù)學(xué)實驗中的主體性作用，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)實驗從他組織走向自組織，從單一走向立體、多維，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)實驗煥發(fā)出生命的活力.

參考文獻：

［1］翟斌. 數(shù)學(xué)實驗，讓數(shù)學(xué)課堂更精彩［J］. 初中生世界，2018（48）：42-44

［2］孫朝仁，朱桂鳳. 基于學(xué)習(xí)觀支持的數(shù)學(xué)實驗教學(xué)實踐理路［J］. 教學(xué)與管理，2021（28）：43-46.