侯 曉，李晨松

（內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼 028043）

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一門(mén)新興的邊緣交叉學(xué)科［1］。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的動(dòng)態(tài)由時(shí)滯動(dòng)態(tài)方程刻畫(huà)時(shí)，構(gòu)成了時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。此外，時(shí)滯動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)由拓?fù)溥B接決定。在現(xiàn)有的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)研究中，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)一般以切換的形式變化。文獻(xiàn)［2-3］研究了切換拓?fù)湎碌臅r(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)無(wú)源性。

無(wú)源性作為耗散性的特例，它可以保持系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性。文獻(xiàn)［4］提出了有限時(shí)間無(wú)源性的概念。文獻(xiàn)［5］研究了切換非線性系統(tǒng)的有限時(shí)間無(wú)源性。文獻(xiàn)［6］研究了多智能體的有限時(shí)間無(wú)源性。文獻(xiàn)［7-8］研究了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間無(wú)源性。受文獻(xiàn)［5］的啟發(fā)，在文獻(xiàn)［7］的基礎(chǔ)上研究切換拓?fù)湎碌臅r(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有限時(shí)間無(wú)源性。主要工作如下：1）通過(guò)設(shè)計(jì)切換信號(hào)和控制器得到在切換拓?fù)湎聲r(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有有限時(shí)間無(wú)源性，進(jìn)而得到有限時(shí)間鎮(zhèn)定；2）當(dāng)2個(gè)時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)都具有有限時(shí)間無(wú)源性時(shí)，證明它們的系統(tǒng)也具有有限時(shí)間無(wú)源性。

1 預(yù)備知識(shí)

符號(hào)說(shuō)明：Rn為n維歐幾里得空間；Rm×n為m×n階實(shí)數(shù)矩陣空間；?表示非負(fù)整數(shù)集；表示向量x=(x1,x2,…,xn)T范數(shù)；表示矩陣A=(aij)n×n范數(shù)；diag(·)表示對(duì)角矩陣；?表示克羅內(nèi)克積；Jn表示元素都為1 的n×n階矩陣；In表示單位矩陣；K類(lèi)函數(shù)α:[0,+∞)→[0,+∞)是連續(xù)的，具有嚴(yán)格遞增性，且滿(mǎn)足α(0)=0。

引理1［5］對(duì)于切換非線性系統(tǒng)

假設(shè)存在C1正定函數(shù)Vi(x):Rn→R≥0，函數(shù)βij:Rn×Rm×Rm→(-∞,0]和K類(lèi)函數(shù)γi(z):R≥0→R≥0，i,j=1,2,…,l，其中l(wèi)為子系統(tǒng)的個(gè)數(shù)，對(duì)所有的x和u滿(mǎn)足以下條件

并且對(duì)于一些εi＞0，使得＜+∞，則在狀態(tài)依賴(lài)型切換信號(hào)，即σ(x)=i，的條件下，系統(tǒng)（1）有限時(shí)間無(wú)源。

引理2［5］如果系統(tǒng)（1）是有限時(shí)間無(wú)源的，當(dāng)u=0 時(shí)，它是有限時(shí)間穩(wěn)定的。此外，如果Vi(x(t)),i=1,2,…,l是徑向無(wú)界的，那么它是全局有限時(shí)間穩(wěn)定的。

引理3［9］對(duì)于任意向量x,y∈Rn，正數(shù)ε和正定矩陣Q∈Rn×n，有

引理4［10］對(duì)每一個(gè)x∈Rn，有θ1xTQ1x+…+θmxTQmx≤0 成立，其中θk≥0，k=1,2,…,m，Qk為對(duì)稱(chēng)矩陣，則Ω1?…?Ωm=Rn，其中Ωk={x∈Rn:xTQkx≤0}。

引理5［11］對(duì)任意的xk∈R，k=1,2,…,n，0＜p≤1，則有

2 問(wèn)題描述

考慮由N個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

其中xi(t)=(xi1(t),xi2(t),…,xin(t))T∈Rn為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)，N表示網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)。Ci=diag(c1,…,cn)＞0，Ai=(aij)n×n，Bi=(bij)n×n和Ei=(eij)n×n為n×n階常數(shù)矩陣。Ci和Ai是第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的神經(jīng)元連接權(quán)重矩陣，Bi和Ei是相應(yīng)的延遲神經(jīng)元連接矩陣。d(t)和τ(t)是時(shí)變連續(xù)函數(shù)，0 ≤d(t)≤τ，0 ≤τ(t)≤τ。第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的外部輸入為ωi(t)=(ωi1(t),ωi2(t),…,ωin(t))T。輸出為yi(t)=(yi1(t),yi2(t),…,yin(t))T，Li與Hi為相應(yīng)n×n階常數(shù)矩陣。切換信號(hào)σ(t):[0,∞)→M={1,2,…,m}是一個(gè)分段常值函數(shù)，m是子系統(tǒng)的個(gè)數(shù)，切換控制輸入為uiσ(t)。神經(jīng)元激活函數(shù)為f(xi)=(f1(xi1),f2(xi2),…,fn(xin))T：Rn→Rn和g(xi)=(g1(xi1),g2(xi2),…,gn(xin))T：Rn→Rn，并且f和g滿(mǎn)足下列假設(shè)1的條件。

假設(shè)1［9］對(duì)于神經(jīng)元激活函數(shù)fk，gk，滿(mǎn)足fk(0)=gk(0)=0，k=1,2,…,n，且存在正的常數(shù)μk，ρk使得|fk(θ1)-fk(θ2) |≤μk|θ1-θ2|，|gk(θ1)-gk(θ2) |≤ρk|θ1-θ2|都成立。

3 主要結(jié)果

3.1 切換時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間無(wú)源性

下面研究切換拓?fù)湎聲r(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間無(wú)源問(wèn)題，設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器為

其中：常數(shù)ki＞0，b＞0，0＜α＜1；U=diag(μ1,μ2,…,μn)，P=diag(ρ1,ρ2,…,ρn)，符號(hào)函數(shù)sign(xi(t))=diag。

將式（3）代入式（2）可得

下面研究設(shè)計(jì)切換信號(hào)σ(t)后系統(tǒng)（4）關(guān)于輸入ω與輸出y有限時(shí)間無(wú)源及有限時(shí)間鎮(zhèn)定問(wèn)題。

定理1對(duì)于系統(tǒng)（4），若成立，其中，且。設(shè)計(jì)狀態(tài)依賴(lài)型切換信號(hào)

則該系統(tǒng)（4）在切換信號(hào)（5）下是關(guān)于輸入ω與輸出y有限時(shí)間無(wú)源的，其中，ω(t)=(ω1(t)T,ω2(t)T,…,ωN(t)T)T，y(t)=(y1(t)T,y2(t)T,…,yN(t)T)T。此外，當(dāng)ω=0 時(shí)，系統(tǒng)（4）是有限時(shí)間鎮(zhèn)定的。

證明選取李雅普諾夫函數(shù)為V=。它沿著系統(tǒng)（4）的軌線導(dǎo)數(shù)為

根據(jù)引理3，有

根據(jù)假設(shè)1有

將式（8）代入式（7）得

再根據(jù)假設(shè)1可得

同理可得

將式（9）、式（10）、式（11）代入式（6）整理可得

又由引理5得

故通過(guò)引理1可得系統(tǒng)（4）在切換信號(hào)（5）下具有有限時(shí)間無(wú)源性。根據(jù)引理2，令ω(t)=0，故可以得到系統(tǒng)（4）在切換信號(hào)（5）的條件下有限時(shí)間鎮(zhèn)定。定理1得證。

3.2 反饋互聯(lián)系統(tǒng)的有限時(shí)間無(wú)源性

下面考慮當(dāng)2個(gè)時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)都具有有限時(shí)間無(wú)源性時(shí)，它們的反饋互聯(lián)系統(tǒng)也具有有限時(shí)間無(wú)源性。

考慮2個(gè)變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)

對(duì)系統(tǒng)Hl設(shè)計(jì)控制器為

系統(tǒng)H1與系統(tǒng)H2的反饋互聯(lián)形成反饋互聯(lián)系統(tǒng)H。其中ω1=r1-y2，ω2=r2+y1。系統(tǒng)H的輸入與輸出為。

假設(shè)2［5］對(duì)于系統(tǒng)H，有dimω1=dimr1=dimy2，dimω2=dimr2=dimy1。，即σ*(t)：[0,+∞)→M1×M2。下面考慮反饋互聯(lián)系統(tǒng)H的有限時(shí)間無(wú)源性。

定理2若具有控制器（14）的系統(tǒng)Hl(l=1,2)滿(mǎn)足定理1的條件，則在切換信號(hào)σ*(t)下，反饋互聯(lián)系統(tǒng)H是關(guān)于輸入r與輸出y有限時(shí)間無(wú)源的。

證明根據(jù)定理1可知，具有控制器（14）的系統(tǒng)Hl在切換信號(hào)σl(t)下是關(guān)于輸入ωl和輸出yl有限時(shí)間無(wú)源的，選取V(x1,x2)=V1(x1)+V2(x2) ，其中

成立。定義b3=min{b1,b2} ，故有

通過(guò)式（15）、式（16）、式（17）和引理4，引理5與切換信號(hào)σ?(t)可得

所以根據(jù)引理1，反饋互聯(lián)系統(tǒng)H在切換信號(hào)σ?(t)下是關(guān)于輸入r與輸出y有限時(shí)間無(wú)源的。定理2得證。接下來(lái)在參考文獻(xiàn)［13］的基礎(chǔ)上，進(jìn)行數(shù)值仿真分析。

4 數(shù)值仿真分析

例考慮一個(gè)由5個(gè)節(jié)點(diǎn)組成的具有切換拓?fù)涞臅r(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)（4），假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)是一個(gè)2維的時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其中xi(t)=(xi1(t),xi2(t))T，i=1,2,3,4,5。當(dāng)i=1時(shí)，C1=，A1=，B1=，E1=；當(dāng)i=2 時(shí)，C2=，A2=，B2=，E2=；當(dāng)i=3 時(shí)，C3=，A3=，B3=，E3=；當(dāng)i=4 時(shí)，C4=，A4=，B4=，E4=；當(dāng)i=5 時(shí)，C5=，A5=，B5=，E5=。

選擇激活函數(shù)為f(x)=sinx，g(x)=(|x+1|-|x-1|)，時(shí)滯函數(shù)為d(t)=1-sint，τ(t)=2-2 sint。為滿(mǎn)足假設(shè)1 的條件，故取U=diag(1,1)，P=diag(1,1)。當(dāng)i=1 時(shí)，k1=0.148 2；當(dāng)i=2 時(shí)，k2=0.163 5；當(dāng)i=3時(shí)，k3=0.110 1；當(dāng)i=4 時(shí)，k4=0.144 6；當(dāng)i=5 時(shí)，k5=0.038 0。

對(duì)于控制器（3），取α=0.5，b=1.5，并且當(dāng)i=1時(shí)=1.9=1.4；當(dāng)i=2 時(shí)，=2.8=1；當(dāng)i=3 時(shí)，=3.5=4.5；當(dāng)i=4 時(shí)，=1.7=4.2；當(dāng)i=5 時(shí)，=0.9=1。

對(duì)于系統(tǒng)輸出yi(t)=Lixi+Hiωi，當(dāng)i=1 時(shí)，L1=，H1=；當(dāng)i=2 時(shí)，L2=，H2=；當(dāng)i=3 時(shí)，L3=，H3=；當(dāng)i=4 時(shí)，L4=，H4=；當(dāng)i=5 時(shí)，L5=，H5=。

切換信號(hào)σ(t)=arg{xT(Gk?Γ)x} ，令θ1=2，θ2=1.5，Γ=diag(2,1)。拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為

初始值選擇為x1(0)=(-5,-1)T，x2(0)=(-3,-4)T，x3(0)=(6,2)T，x4(0)=(4,-5)T，x5(0)=(4,2)T。狀態(tài)向量第一個(gè)分量的仿真結(jié)果見(jiàn)圖1，第二個(gè)分量的仿真結(jié)果與圖1一致。切換信號(hào)的仿真結(jié)果見(jiàn)圖2。

圖1 當(dāng)ω(t)=0 時(shí)狀態(tài)x(t)的軌跡Fig. 1 The trajectories of the state x(t) while ω(t)=0

圖2 切換信號(hào)Fig. 2 The switching signal

5 結(jié)論

研究了切換拓?fù)湎碌臅r(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有限時(shí)間無(wú)源性。1）通過(guò)設(shè)計(jì)控制器與切換信號(hào)，證明了切換拓?fù)湎碌臅r(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有限時(shí)間無(wú)源性，并在此基礎(chǔ)上得到了有限時(shí)間鎮(zhèn)定。2）當(dāng)2個(gè)時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)都具有有限時(shí)間無(wú)源性時(shí)，它們構(gòu)成的反饋互聯(lián)系統(tǒng)也具有有限時(shí)間無(wú)源性。在接下來(lái)的工作中，將繼續(xù)研究切換時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的其他問(wèn)題。