于正軍

根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》的要求，在進行“數(shù)與運算”主題的教學(xué)時，要讓學(xué)生經(jīng)歷算理和算法的探索過程，理解算理，掌握算法，從而感悟數(shù)的運算以及運算之間的關(guān)系，體會數(shù)的運算本質(zhì)上的一致性。感悟數(shù)的運算本質(zhì)上的一致性，不只是讓學(xué)生簡單地實現(xiàn)計算方法的遷移和自主嘗試，還要從學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”出發(fā)，設(shè)計符合學(xué)生學(xué)習(xí)的認(rèn)知思維的應(yīng)然過程，使學(xué)生經(jīng)歷豎式書寫、理解算理、掌握算法的學(xué)習(xí)過程。因此，教師教學(xué)時，要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“零起點”的認(rèn)知過程、“裸視圖”的思維過程以及“應(yīng)變化”的內(nèi)化過程，促使學(xué)生在知識形成過程中主動參與、自主探究，進而真正感悟數(shù)的運算的本質(zhì)內(nèi)涵，建立算理的聯(lián)系，形成算法的遷移，體會數(shù)的運算本質(zhì)上的一致性，實現(xiàn)學(xué)生核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的協(xié)同發(fā)展。本文以蘇教版教材一年級下冊第四單元的“兩位數(shù)加、減兩位數(shù)（不進位、不退位）”的教學(xué)內(nèi)容為例，從學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”視角探討數(shù)的運算本質(zhì)上的一致性。

教材采用乘車情境圖引入加法算式45+31（如圖1），引導(dǎo)學(xué)生自主探索兩位數(shù)加兩位數(shù)的計算方法，力求借助小棒圖和計數(shù)器，啟發(fā)學(xué)生通過直觀觀察或動手操作理解算理、掌握算法。在教學(xué)67-34 時，教材則直接采用“試一試”的方法，讓學(xué)生獨立進行計算。教師若直接按照教材的編排結(jié)構(gòu)進行教學(xué)，不但無法推進學(xué)生體會加、減法運算之間的聯(lián)系以及數(shù)的運算本質(zhì)上的一致性，還會影響學(xué)生對減法算理的積極探索和對減法算法的自主建構(gòu)。這是因為減法運算中擺小棒和撥計數(shù)器的活動所蘊含的算理在思維水平的要求上要明顯高于加法運算，僅僅依靠主題圖中加法算理提供的直觀圖式，無法實現(xiàn)從加法運算向減法運算的思維遷移。因此，加、減法運算間的思維遷移應(yīng)從學(xué)生的認(rèn)知現(xiàn)實出發(fā)，針對加、減法運算的豎式書寫、算理探索及算法應(yīng)用展開“現(xiàn)實化”的學(xué)生實踐，促進他們對加、減法運算本質(zhì)上的一致性的體會與感悟。

圖1

一、豎式書寫的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”一致性：需要經(jīng)歷“零起點”的認(rèn)知過程

“零起點”認(rèn)知指學(xué)生尚未接觸新知領(lǐng)域時的思維認(rèn)知狀態(tài)。在“兩位數(shù)加、減兩位數(shù)（不進位、不退位）”的筆算教學(xué)中，學(xué)生首次接觸豎式的概念，其書寫應(yīng)呈現(xiàn)“零起點”的認(rèn)知狀態(tài)。計算教學(xué)固然要以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有知識經(jīng)驗為基礎(chǔ)，但新概念的自然生長還依賴于學(xué)生的“零起點”認(rèn)知，以促進基于“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”的運算概念的建構(gòu)，從而幫助學(xué)生實現(xiàn)對概念的理解?？梢姡嬎憬虒W(xué)的“零起點”認(rèn)知過程，是一種基于計算知識的結(jié)構(gòu)性、生長性和應(yīng)用性的學(xué)生認(rèn)知活動，凸顯學(xué)生對已有知識的再建構(gòu)、已有經(jīng)驗的再利用以及已有認(rèn)知的再突破，以使學(xué)生體會豎式書寫本質(zhì)的一致性。

（一）激活學(xué)生經(jīng)驗，激發(fā)自主思維

教師創(chuàng)設(shè)“45+31怎樣算”的自主交流活動，激活學(xué)生經(jīng)驗，激發(fā)學(xué)生思考：兩個數(shù)相加除了寫成橫式進行計算，還可以如何書寫？教學(xué)時，教師應(yīng)引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，鼓勵他們大膽嘗試并表達自己的想法。只有借助豎式書寫的創(chuàng)造過程，學(xué)生才能充分暴露豎式書寫過程中的意圖、想法及問題。這也為學(xué)生規(guī)范、正確地書寫豎式積累認(rèn)知經(jīng)驗、奠定思維基礎(chǔ)，有效避免機械地要求學(xué)生模仿教材中的“可以用豎式計算”的灌輸式教學(xué)方法，有助于學(xué)生主動體會和理解豎式計算與豎式書寫的意義、價值及效用。

（二）引發(fā)直觀思維，生發(fā)知識經(jīng)驗

在教學(xué)過程中，教師基于學(xué)生認(rèn)知方式的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”，引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建豎式計算的過程。

師：豎式應(yīng)該如何書寫呢？45加31，應(yīng)先寫哪個數(shù)？再寫哪個數(shù)？

生：先寫45，再寫31。

生：45和31要上下對齊。

師：那“加31”中的加號寫在哪里？

生：寫在31的前面。

師：為什么？

生：因為在橫式計算中，加號寫在31 的前面，所以在豎式計算中，加號也要寫在31的前面。

上述教學(xué)過程揭示了學(xué)生對豎式書寫格式現(xiàn)實意義的建構(gòu)，體現(xiàn)了學(xué)生與成人理解上的差異。

（三）啟發(fā)學(xué)生認(rèn)知，啟迪數(shù)學(xué)感悟

教師在學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)上構(gòu)建豎式書寫的意義，引導(dǎo)學(xué)生進一步理解豎式計算的作用和價值。

師：你們覺得相加的兩個數(shù)是豎向書寫成豎式還是橫向書寫成橫式更合適呢？

（學(xué)生在課堂上紛紛發(fā)表意見，觀點各異）

生：橫式寫起來方便，且不占用過多位置。

生：豎式計算更為簡便。

師：為什么用豎式更簡便？

生：在橫式中，兩位數(shù)加兩位數(shù)有時可能難以直接口算出結(jié)果或容易算錯。而在豎式中，我們可以分別計算每個數(shù)位上的和，這樣只需計算一位數(shù)加一位數(shù)就可以了。

上述教學(xué)過程引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“零起點”的認(rèn)知過程，并開展相關(guān)的探究、討論和交流，使學(xué)生體會橫式計算和豎式計算的異同，初步感知兩種書寫形式隱含的算理和算法的聯(lián)系與區(qū)別。同時，借助加法豎式的計算過程，使學(xué)生深刻感悟到，無論是橫式書寫還是豎式書寫，其計算過程表示的都是小棒圖中整捆與整捆、單根與單根的相加，進而進一步認(rèn)識到橫式計算與豎式計算運算本質(zhì)上的一致性。

二、算理理解的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”一致性：需要經(jīng)歷“裸視圖”的思維過程

“裸視圖”的思維過程指基于學(xué)生“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”的算理“可視化”過程。這種思維方式使學(xué)生能夠在靜態(tài)思維中自然感知計算算理，在動態(tài)思維中自主感悟計算算理，從而實現(xiàn)加、減法計算算理的理解與意義建構(gòu)，推動加法運算向減法運算的自然遷移，初步感悟加、減法運算本質(zhì)上的一致性。

教師借助圖1 中的小棒圖，引導(dǎo)學(xué)生把4 捆和5 根小棒與3 捆和1 根小棒看作一個整體，用整體的數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)在一共有多少根小棒。學(xué)生通過觀察、思考，在頭腦里自然地把整捆與整捆合并、單根與單根合并，直觀地看出小棒的總數(shù)，從而初步感悟加法的算理，即相同計數(shù)單位數(shù)量的累加。然而，減法運算無法像加法運算那樣直接從靜態(tài)的小棒圖中感悟算理，從而限制了學(xué)生對計算方法的自主建構(gòu)。因此，能表示67-34 算理的直觀圖，需要在小棒圖中表示“原有67 根小棒，去掉34 根小棒，還剩33 根小棒”的動態(tài)過程，引導(dǎo)學(xué)生動手操作或動態(tài)演示，以暴露他們的認(rèn)知思維過程。只有開展這樣的數(shù)學(xué)探究，才能滿足學(xué)生的認(rèn)知需求和情感需求，激發(fā)他們主動參與計算算理的探索過程，從而感悟減法運算與加法運算在計算方法上的本質(zhì)一致性。

觀察、分析學(xué)生探索45+31的算理和算法的過程可以發(fā)現(xiàn)，若機械地遵循教材“試一試”中的教學(xué)方式，直接要求學(xué)生獨立計算67-34，并不符合學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，且違背知識遷移的認(rèn)知規(guī)律。此外，加、減法的運算意義在學(xué)生的認(rèn)知思維中存在差異。加法表示把兩個分量合并成一個總量，即把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算叫作加法。教師在教學(xué)加法時，只要在學(xué)生面前直觀地呈現(xiàn)兩個分量，他們就能夠直接感知總量的客觀存在。減法表示從總量中去掉一分量求另一分量，即已知兩個數(shù)的和與其中一個加數(shù)求另一個加數(shù)的運算叫作減法。教師在教學(xué)減法時，若靜態(tài)展示總量，學(xué)生無法直接感知“去掉量”與“剩余量”兩個分量的直觀存在，導(dǎo)致減法算理的思維視圖無法自然“裸露”與直觀呈現(xiàn)，要通過動態(tài)演示或動手操作才能直接感知。

因此，要讓學(xué)生形成對加、減法運算一致性的理解與感悟，應(yīng)從學(xué)生的思維現(xiàn)實和運算方法的遷移現(xiàn)實出發(fā)，基于“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”對教材的編排結(jié)構(gòu)進行重組，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷理解加、減法算理的過程。只有通過動手操作小棒或數(shù)珠，經(jīng)歷“正向”與“反向”的運算過程，學(xué)生才能直接感知諸如小棒“整捆”或“單根”合并、去掉的運算過程，體會加、減法運算之間的內(nèi)在聯(lián)系，理解加、減法運算本質(zhì)上的一致性。

三、算法建構(gòu)的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”一致性：需要經(jīng)歷“應(yīng)變化”的內(nèi)化過程

“應(yīng)變化”的內(nèi)化過程指學(xué)生對運算算理和算法的再加工、再認(rèn)知過程。在計算過程中，由于運算類型發(fā)生變化，學(xué)生對算理的理解和算法的運用會出現(xiàn)認(rèn)知上的“缺口”。而要突破這些“缺口”，學(xué)生需要基于自身的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”，對計算方法進行遷移。只有在不同類型的運算中經(jīng)歷“應(yīng)變化”的內(nèi)化過程，學(xué)生才能對某一運算的算理和算法形成意義建構(gòu)，將對數(shù)的運算本質(zhì)上的一致性的感悟內(nèi)化為自身認(rèn)知，形成“數(shù)學(xué)化”理解。

“兩位數(shù)加、減兩位數(shù)（不進位、不退位）”的教學(xué)內(nèi)容不僅首次引入了豎式計算，還涵蓋“兩位數(shù)與一位數(shù)、整十?dāng)?shù)相加減”的筆算內(nèi)容。在豎式計算中，學(xué)生需要通過不同類型的運算理解和掌握豎式書寫、計算方法等運算概念，并在不同情境中實現(xiàn)遷移和內(nèi)化，從而形成計算技能。

為促進學(xué)生對加法筆算的算理理解和算法掌握，在學(xué)生探究了兩位數(shù)加兩位數(shù)這一計算類型后，教師應(yīng)啟發(fā)他們將習(xí)得的方法遷移運用至其他計算類型中。例如，基于45+31 的豎式計算，教師可引出45+30、30+45、45+3、3+45等“兩位數(shù)與整十?dāng)?shù)、一位數(shù)相加”的計算類型，進而引導(dǎo)學(xué)生探索兩位數(shù)加整十?dāng)?shù)或一位數(shù)的豎式書寫和計算法則。其中，兩位數(shù)與一位數(shù)相加的豎式計算是學(xué)困生學(xué)習(xí)的難點。在計算45+3、3+45 時，學(xué)生會形成“數(shù)位如何對齊？沒有數(shù)和十位上的4相加，它應(yīng)該如何算、如何書寫？”等認(rèn)知“缺口”。對于這些在計算過程中自然生成的問題，教師應(yīng)及時引導(dǎo)學(xué)生基于“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”進行數(shù)學(xué)探究，理解其數(shù)學(xué)意義。可以說，每一種計算類型對學(xué)生而言都是一次新的思維探索與認(rèn)知突破，學(xué)生唯有經(jīng)過自主探索、合作交流以及同伴引導(dǎo)的思維過程，才能實現(xiàn)計算方法的自然遷移和內(nèi)化應(yīng)用。

對于減法運算中的不同計算類型，教師同樣需要引導(dǎo)學(xué)生對其進行意義建構(gòu)和方法探究，感悟其計算方法的一致性。例如，由減法計算67-34可衍生出67-60、67-7 等“兩位數(shù)減整十?dāng)?shù)、一位數(shù)”的計算類型，其中皆隱含一定的認(rèn)知“缺口”。如：計算67-7時，數(shù)位如何對齊？個位上減下來的0需要不需要寫？計算67-60 時，十位上減下來的0 需要不需要寫？從這些不同計算類型中衍生出來的“應(yīng)變化”的計算技能，既是學(xué)生對計算方法的一次新的認(rèn)知突破，又是學(xué)生自主內(nèi)化計算方法的過程。這種“應(yīng)變化”的內(nèi)化過程是學(xué)生理解算理、掌握算法的認(rèn)知難點，教師理應(yīng)引領(lǐng)學(xué)生在課堂上進行自主探究、獨立感悟。

綜上所述，學(xué)生只有經(jīng)歷運算中不同計算類型的“應(yīng)變化”過程，才能應(yīng)對計算中所生成的豎式書寫、數(shù)位對齊等問題，從而逐步理解算理，掌握算法和抽象法則，從單一的計算思維走向多元的運算思維，實現(xiàn)計算方法的內(nèi)化與應(yīng)用。因此，教師應(yīng)從學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”出發(fā)，鼓勵學(xué)生在不同的計算類型中遷移應(yīng)用計算方法，使學(xué)生在經(jīng)歷“應(yīng)變化”的內(nèi)化過程中，進一步感悟計數(shù)單位在運算中的作用，感悟運算的一致性。

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)遵循學(xué)生的已有知識與思維習(xí)慣，避免放任學(xué)生隨意嘗試。只有依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，跨越學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”，才能實現(xiàn)計算方法的有效遷移。雖然學(xué)生可以在教師的指導(dǎo)或外部的幫助下學(xué)會“兩位數(shù)加、減兩位數(shù)（不進位、不退位）”的知識，但他們在內(nèi)心深處難以理解和感悟?qū)W習(xí)“兩位數(shù)加、減兩位數(shù)（不進位、不退位）”的數(shù)學(xué)思想方法。這一現(xiàn)象導(dǎo)致學(xué)生僅知其然，卻不知其所以然，偏離了發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)，阻礙了核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的教學(xué)改進，違背了學(xué)生的自主發(fā)展和數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展的規(guī)律。因此，教師需要在運算概念本質(zhì)內(nèi)涵的感悟、思維方法的啟發(fā)以及學(xué)生經(jīng)驗的積累方面，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷基于“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”的認(rèn)知過程，使學(xué)生真正積累經(jīng)驗、形成方法、感悟思想，從而在課堂上實現(xiàn)知識掌握和素養(yǎng)發(fā)展的目標(biāo)。