平國強

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡稱“2022 年版課標(biāo)”）以結(jié)構(gòu)化為主要的課程理念，并在“課程實施”中明確提出“整體把握教學(xué)內(nèi)容”的教學(xué)建議，強調(diào)要注重教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化，注重教學(xué)內(nèi)容與核心素養(yǎng)的關(guān)聯(lián)。可見，“教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化”是提升學(xué)生核心素養(yǎng)的有效途徑，體現(xiàn)了對學(xué)生高階思維的關(guān)注和數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)。

結(jié)構(gòu)化的本質(zhì)在于強化知識的聯(lián)系。2022 年版課標(biāo)指出：“在教學(xué)中要重視對教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識體系?！币虼?，在設(shè)計結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)時，教師需要提供具有現(xiàn)實背景和內(nèi)在關(guān)聯(lián)，符合學(xué)生認(rèn)知特點的學(xué)習(xí)內(nèi)容，且這些內(nèi)容應(yīng)蘊含學(xué)科思想、學(xué)科特征與結(jié)構(gòu)。

那么，結(jié)構(gòu)化教學(xué)的設(shè)計與落實具有哪些基本特點呢？通過觀摩和總結(jié)相關(guān)主題的課堂教學(xué)，筆者提煉出以下四個方面。

一、實施單元整體設(shè)計，突出知識融合教學(xué)

2022 年版課標(biāo)在多個方面體現(xiàn)了“整體觀念”。從內(nèi)容的角度，它提出要“整體把握教學(xué)內(nèi)容”，具體策略是“注重教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化”；從教學(xué)方法的角度，它提出要“選擇能引發(fā)學(xué)生思考的教學(xué)方式”，最重要的策略是“重視單元整體教學(xué)設(shè)計”。這表明：要在教學(xué)內(nèi)容組織與教學(xué)方法層面實現(xiàn)結(jié)構(gòu)化，就要實施單元整體教學(xué)設(shè)計。

這一特點涉及整體設(shè)計與整體教學(xué)兩個方面。整體設(shè)計的核心在于探究各類知識之間的聯(lián)系，并通過教學(xué)實施，引導(dǎo)學(xué)生感知和感悟這種聯(lián)系，構(gòu)建出豐富且具有關(guān)聯(lián)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。整體教學(xué)要求教師通過問題引領(lǐng)和任務(wù)驅(qū)動，將整體設(shè)計具體化，幫助學(xué)生在整體中探究關(guān)系，通過關(guān)系主動獲取知識。因此，教師應(yīng)基于知識間的內(nèi)在關(guān)系與結(jié)構(gòu)，對學(xué)習(xí)內(nèi)容進行優(yōu)化調(diào)整，將其以一個有聯(lián)系的整體的方式進行呈現(xiàn)，而不是簡單地按照例題或知識點孤立教學(xué)。

基于整體設(shè)計的教學(xué)單元構(gòu)建有兩種基本類型。一是在核心素養(yǎng)指導(dǎo)下，對現(xiàn)行教材的教學(xué)單元進行結(jié)構(gòu)化調(diào)整，主要包括教學(xué)序列的優(yōu)化和教學(xué)內(nèi)容的調(diào)整。以人教版教材五年級上冊《用字母表示數(shù)》一課為例，教材從例1 開始，分別安排了“用字母表示數(shù)量關(guān)系中的加減關(guān)系”“用字母表示數(shù)量關(guān)系中的乘除關(guān)系”“用字母表示運算律和計算公式”“用字母表示數(shù)量關(guān)系中的較復(fù)雜關(guān)系，求字母式的值”以及“用字母表示數(shù)學(xué)規(guī)律”五個例題。盡管教材內(nèi)容設(shè)計詳盡，但仍暴露出一個明顯的問題，即過度關(guān)注用字母表示數(shù)和運算，而對用字母表示數(shù)量之間的關(guān)系關(guān)注不足。此外，五個例題的教學(xué)容易使教師簡單地按課時劃分教學(xué)過程，從而割裂“用字母表示數(shù)”相關(guān)知識的整體性和關(guān)聯(lián)性。

在教學(xué)《用字母表示數(shù)》一課①來自浙江省杭州綠城育華小學(xué)徐嚴(yán)兵老師執(zhí)教的《用字母表示數(shù)》。時，教師巧妙地將教材中的五個例題整合為一組材料，呈現(xiàn)出整體設(shè)計的特點，值得借鑒。具體而言，教師先讓學(xué)生在圖1中找到每個情境圖中數(shù)量之間的關(guān)系，用字母表示出來。再引導(dǎo)他們思考：找到了怎樣的關(guān)系？應(yīng)該怎么表示？還有其他表示方法嗎？

圖1

這一學(xué)習(xí)材料的設(shè)計旨在引導(dǎo)學(xué)生分析并表征各個情境中數(shù)量之間的一般關(guān)系，同時賦予學(xué)生較大的自主表達空間。針對②號情境圖中的總價，學(xué)生可以有4a、4x等多種表達方式；針對③號情境圖中的球員得分，學(xué)生的表達有3a+2b、3x+2y等；針對④號情境圖中小棒總數(shù)的表達方式則更為豐富，包括4+3（x-1）、3a+1、x=4+3（a-1）等。在表征這些數(shù)量關(guān)系的過程中，學(xué)生實際上實現(xiàn)了兩次水平的提升：第一次從簡單關(guān)系的表達提升到較復(fù)雜關(guān)系的表達，第二次從對數(shù)的表達提升到用等式完整表達關(guān)系。盡管對數(shù)的表達也反映了數(shù)量關(guān)系，但當(dāng)采用等式進行完整表達時，數(shù)量關(guān)系更為清晰。由此，促使學(xué)生從用字母表示數(shù)自然過渡到表示各種數(shù)量關(guān)系，實現(xiàn)從例1到例5的完整建構(gòu)，避免知識被人為割裂。

二是突破現(xiàn)行教材的教學(xué)單元格局，跨單元甚至跨年級整合有內(nèi)在聯(lián)系的知識，促進學(xué)生構(gòu)建具有學(xué)科結(jié)構(gòu)的知識關(guān)系，優(yōu)化學(xué)習(xí)結(jié)果。例如，長度單位、面積單位、體積單位和質(zhì)量單位分別是不同年級學(xué)習(xí)的不同內(nèi)容，但本質(zhì)上都是對數(shù)學(xué)度量標(biāo)準(zhǔn)和度量方法的學(xué)習(xí)。在這一點上，它們具有共性，具備縱橫溝通、相互聯(lián)系、整體設(shè)計的基礎(chǔ)和必要性。

二、把握數(shù)學(xué)基本關(guān)系，實現(xiàn)知識有序轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。數(shù)學(xué)教學(xué)的目的不僅僅是使學(xué)生獲得知識、形成技能，更重要的是讓學(xué)生理解和把握數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，實現(xiàn)知識的融通與轉(zhuǎn)化，是知識結(jié)構(gòu)化的重要體現(xiàn)。隨著年級的升高，學(xué)生需要學(xué)習(xí)的數(shù)量關(guān)系從基本到復(fù)合、由并列到嵌套逐漸復(fù)雜，解決問題的步驟也從一步到多步逐漸增加。這是學(xué)習(xí)的必然過程，也是知識豐富和水平提升的體現(xiàn)。從教學(xué)角度來看，這些變化均具有有序性和結(jié)構(gòu)性，而結(jié)構(gòu)化教學(xué)的目的就是讓學(xué)生理解與把握這種變化的有序性和結(jié)構(gòu)性，理解復(fù)雜知識是基于何種方向和路徑進行演繹的，以及其背后的基本關(guān)系是什么，從而將知識之間的關(guān)系進行回歸或延伸，實現(xiàn)多向轉(zhuǎn)化。以下是一位教師設(shè)計的《校園里的數(shù)學(xué)故事（多步計算解決問題）》②來自浙江省杭州市紫金港小學(xué)倪啦老師執(zhí)教的《校園里的數(shù)學(xué)故事》。一課的教學(xué)內(nèi)容。

1.呈現(xiàn)核心材料一，建構(gòu)基本關(guān)系

教師呈現(xiàn)三幅情境圖（如圖2），讓學(xué)生獨立思考，并列式計算。

圖2

（1）學(xué)生思考：如何解決這些問題？

（2）匯報交流：學(xué)生列出算式，并闡述自己的思考過程。

（3）討論明確：這些問題都采用乘法計算，因為它們都是求幾個幾是多少。

提煉數(shù)量關(guān)系：每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)。

我國酒店業(yè)的發(fā)展始于20世紀(jì)80年代初期，90年代以后發(fā)展更加迅速，但這些酒店有很大一部分源于諸如招待所等較為抵擋的居住設(shè)施，還有一部分是因為避免房地產(chǎn)的閑置而改做酒店營業(yè)。初始條件的限制，必然使我國酒店業(yè)在經(jīng)營起點與思路方面和有上百年歷史的國外酒店管理集團相比有較大差距。雖然經(jīng)過20多年的發(fā)展，我國酒店管理人員的素質(zhì)得到了較大提高，但與發(fā)達國家比仍有較大差距，酒店業(yè)職業(yè)經(jīng)理人才、職業(yè)化員工整體缺乏的現(xiàn)狀，仍未有效改變。中國內(nèi)資酒店管理人素質(zhì)偏低、人才結(jié)構(gòu)不合理、管理人才專業(yè)結(jié)構(gòu)單一，缺少專業(yè)化人才的局面仍然沒有從根本上得到改變［2］。

2.呈現(xiàn)核心材料二，感悟問題從簡單到復(fù)雜的變化

將上述求“一共有多少間教室”問題中的一個條件變成兩個條件（如圖3），把這個問題轉(zhuǎn)化為兩步計算的問題。

圖3

（1）學(xué)生列出算式，并用三張卡片解釋解題思路與意義：第一步求的是什么？

（2）匯報交流：展示自己的算式，并解釋第一步求的是什么。

3.練習(xí)將問題從簡單變到復(fù)雜

（1）將另外兩幅情境圖中的問題，由一步計算的問題轉(zhuǎn)化為兩步計算的問題。

（2）全班交流后，提煉變化的策略：改造信息、改造問題、添加信息。

（3）通過微課，梳理數(shù)量關(guān)系的變與不變（如圖4）。

圖4

上述教學(xué)過程基于基本關(guān)系，展示有序變化，強調(diào)基本結(jié)構(gòu)。2022年版課標(biāo)提出，要“強化對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，關(guān)注數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實背景，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)概念、原理及法則之間的聯(lián)系出發(fā)，建立起有意義的知識結(jié)構(gòu)”。這里的“從數(shù)學(xué)概念、原理及法則之間的聯(lián)系出發(fā)，建立起有意義的知識結(jié)構(gòu)”就是指引導(dǎo)學(xué)生感悟反映數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的基本關(guān)系。

三、基于學(xué)生認(rèn)知經(jīng)驗，實現(xiàn)知識主動遷移

教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的目標(biāo)是促使學(xué)生形成良好的、具有整體理解的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以便在后續(xù)的學(xué)習(xí)中實現(xiàn)知識的主動遷移。知識主動遷移的發(fā)生是有條件的。當(dāng)學(xué)生具有結(jié)構(gòu)清晰、穩(wěn)定有序的認(rèn)知基礎(chǔ)和知識經(jīng)驗，并能夠運用已有知識經(jīng)驗解決新問題時，遷移才能實現(xiàn)。也就是說，只有存在內(nèi)在聯(lián)系的知識才能實現(xiàn)遷移轉(zhuǎn)化。若課堂教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生主動學(xué)習(xí)，就必須設(shè)計結(jié)構(gòu)化的教學(xué)內(nèi)容和任務(wù)型的教學(xué)進程，這是結(jié)構(gòu)化任務(wù)設(shè)計的又一特征。

圖5

速度是“速度×?xí)r間＝路程”這個數(shù)量關(guān)系中的核心和重點，本身就是時間和路程之間關(guān)系的表達。因此，教師應(yīng)把理解速度作為教學(xué)的突破口。雖然學(xué)生的這些回答尚不夠精準(zhǔn)，但清楚地顯示出了他們對速度認(rèn)識的前概念或直覺經(jīng)驗，即他們已經(jīng)意識到“速度與時間、路程有關(guān)”“速度是物體運動快慢的一種表達”。這些經(jīng)驗完全可以為教學(xué)所用。教師只需要在課內(nèi)稍加改造和提煉，即可幫助學(xué)生建構(gòu)起數(shù)學(xué)化的“速度”概念。

第二個階段是應(yīng)用知識，解決數(shù)學(xué)問題。應(yīng)用的實質(zhì)是遷移，是遷移的外在表征。在新知學(xué)習(xí)之后，僅僅用于鞏固知識和熟悉技能的練習(xí)，不能被視為結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)材料，也不具備遷移的屬性。因此，教師應(yīng)設(shè)計有聯(lián)系和層次的練習(xí)材料，促進學(xué)生從運用遷移獲得新知向運用遷移解決問題發(fā)展，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的水平，發(fā)展數(shù)學(xué)能力和核心素養(yǎng)。在“數(shù)量關(guān)系：速度、時間、路程”這一內(nèi)容的教學(xué)中，教師可在學(xué)生理解了速度，完成數(shù)量關(guān)系的建構(gòu)后設(shè)計題目：三人同時從學(xué)校出發(fā)去往西溪濕地，你能解決如下問題嗎？（如圖6）

圖6

教師設(shè)計這一練習(xí)材料旨在引導(dǎo)學(xué)生用所學(xué)的數(shù)量關(guān)系解決簡單問題和較復(fù)雜的問題，提升能力，實現(xiàn)知識的第二次遷移。在完成這一練習(xí)之后，教師可提供圖7所示的學(xué)習(xí)材料，引導(dǎo)學(xué)生進行第三次類比遷移，從而實現(xiàn)對知識的結(jié)構(gòu)化理解。

圖7

四、立足數(shù)學(xué)學(xué)科觀念，關(guān)注知識核心要素

數(shù)學(xué)知識豐富多樣，表現(xiàn)為繁雜的概念、技能、性質(zhì)和方法。然而，僅從這一層面認(rèn)識數(shù)學(xué)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。數(shù)學(xué)知識背后擁有學(xué)科觀念主導(dǎo)下的關(guān)系、結(jié)構(gòu)和核心要素，只有感悟并理解這些公式和方法背后的思想與聯(lián)系，才能真正理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，形成正確的數(shù)學(xué)觀。

“尺規(guī)作圖”是2022年版課標(biāo)在小學(xué)階段新增的學(xué)習(xí)內(nèi)容，實質(zhì)上是數(shù)學(xué)知識和原理的綜合應(yīng)用。小學(xué)階段的“尺規(guī)作圖”主要涉及復(fù)制（長度相等的線段）。教學(xué)時若僅局限于知識與技能訓(xùn)練，學(xué)生將難以理解它的本質(zhì)。因此，有必要結(jié)合操作活動，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)學(xué)科觀念：（1）直尺可以確定直線；（2）圓規(guī)兩腳可確定線段長度，用圓規(guī)可以畫出圓（到固定點等于固定長度的點的軌跡）；（3）尺規(guī)作圖的本質(zhì)是“關(guān)鍵點”位置的確定。

例如，用直尺和圓規(guī)畫一個邊長與線段AB相等的等邊三角形。作圖時，先將AB作為等邊三角形的一條邊，確定兩個頂點A和B，再確定第三個頂點C的位置。頂點C需滿足以下兩個條件：（1）從C點到A點的距離等于AB的長度；（2）從C點到B點的距離等于AB的長度。以A為圓心，以AB為半徑畫圓（?。?，可得到滿足第（1）個條件的所有點；以B為圓心，以AB為半徑畫圓（?。?，可得到滿足第（2）個條件的所有點。它們的交點即為同時滿足兩個條件的C點（如圖8），只要連接AC和BC即可畫出等邊三角形。這個過程可以概括為“用直尺和圓規(guī)分別確定符合條件的所有點，它們的交點即為符合所有條件的點”。這便是尺規(guī)作圖確定“關(guān)鍵點”位置的策略。教師這樣組織與設(shè)計教學(xué)內(nèi)容，才有助于學(xué)生感悟尺規(guī)作圖的觀念和原理，體現(xiàn)教學(xué)的結(jié)構(gòu)化。

圖8

平面圖形的面積計算也是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。然而，學(xué)生學(xué)習(xí)了這些知識后，往往只掌握了計算公式，而缺乏對整體觀念和基本原理的把握。在這種情況下，學(xué)生只有通過具體計算才能進行思考和判斷，這不符合素養(yǎng)為本的數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)。面積計算是一種間接度量，旨在表達平面圖形的大小。而平面圖形的大小由其包含的面積單位的數(shù)量來表示，與水平維度（底）和垂直維度（高）有關(guān)。其中，只有長方形是兩個維度上面積單位的數(shù)量與長、寬的長度“數(shù)”完全一致的平面圖形，其他平面圖形都需要經(jīng)過轉(zhuǎn)化才能度量，這導(dǎo)致了計算公式的復(fù)雜性。

因此，為了讓學(xué)生感悟影響面積大小的核心要素是什么，教師有必要設(shè)計結(jié)構(gòu)化的教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)。以《百變四邊形》④來自浙江省杭州采荷第二小學(xué)教育集團許麒能老師執(zhí)教的《百變四邊形》。一課為例，教師教學(xué)時可以啟發(fā)學(xué)生思考：一個四邊形通過變化可以得到什么？教學(xué)過程如下。

在學(xué)生自由表達的基礎(chǔ)上，教師運用課件改變四邊形的頂點位置和邊與邊的關(guān)系，得到一系列四邊形（如圖9），并引導(dǎo)學(xué)生思考：它們的面積變了嗎？面積可能和什么有關(guān)？

圖9

針對任務(wù)一，學(xué)生可以通過數(shù)或計算方格數(shù)得到每個圖形的面積。針對任務(wù)二，學(xué)生需要運用數(shù)學(xué)的思維與方法，有策略地進行思考與比較，如比較②號與③號圖形或②號與④號圖形，從而發(fā)現(xiàn)面積的差異是由什么因素造成的。通過討論與交流，學(xué)生發(fā)現(xiàn)影響平行四邊形面積的要素是底和高。接著教師出示另一系列四邊形（如圖10），并提出問題：那么梯形的面積又和什么有關(guān)？

圖10

有了對平行四邊形的研究經(jīng)驗，學(xué)生對任務(wù)三有了明確的猜想，并有策略地選擇相關(guān)的圖形進行對比研究，如比較①號與③號圖形、②號與④號圖形，發(fā)現(xiàn)梯形的面積也與底（底的和）和高有關(guān)，從而對平面圖形面積的意義和影響面積的核心要素有了更一般的理性認(rèn)識。

這些學(xué)習(xí)材料之所以能讓學(xué)生獲得豐富的高層次的認(rèn)知感悟，是因為它們關(guān)注的是知識背后的核心觀念與本質(zhì)。通過對這樣有結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)材料的學(xué)習(xí)，學(xué)生最終領(lǐng)悟到?jīng)Q定平面圖形面積大小的核心要素是底和高，這是重要的學(xué)科觀念和素養(yǎng)，而面積計算公式僅僅是獲得面積具體大小的工具。

總之，設(shè)計結(jié)構(gòu)化教學(xué)，需要對結(jié)構(gòu)化的內(nèi)涵有深刻的理解，對數(shù)學(xué)能力和核心素養(yǎng)的發(fā)展有深刻的認(rèn)同。在設(shè)計教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法時，則應(yīng)體現(xiàn)整體性，關(guān)注基本關(guān)系、主動遷移以及知識的核心要素。