徐蓉霞, 高建雄, 朱鵬年, 吳志峯

(新疆大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,烏魯木齊 830017)

纖維增強(qiáng)復(fù)合材料(Fiber Reinforced Polymer, FRP)具有比強(qiáng)度高、比剛度大、壽命長(zhǎng)、結(jié)構(gòu)可設(shè)計(jì)[1-3]等諸多優(yōu)點(diǎn),因此其在近幾十年來(lái)應(yīng)用較為廣泛[4]. 在工程實(shí)際應(yīng)用中,導(dǎo)致其結(jié)構(gòu)破壞的重要原因包括疲勞損傷造成的斷裂,但FRP有多種形式的損傷,且疲勞破壞機(jī)理十分復(fù)雜[5-6]. 在疲勞過(guò)程中,各種形式的損傷互相影響,不斷累積,FRP的機(jī)械性能也隨之發(fā)生退化[7]. FRP的疲勞壽命模型一般是根據(jù)應(yīng)力-壽命曲線(S-N曲線)或Goodman疲勞壽命曲線來(lái)預(yù)測(cè)特定載荷下的疲勞壽命. 這種方法不考慮疲勞損傷的微觀機(jī)理、材料的性能退化、損傷之間的耦合和損傷的累積,而且往往需要大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)建立疲勞壽命曲線. 或者通過(guò)漸進(jìn)疲勞損傷分析模型來(lái)預(yù)測(cè)其疲勞壽命,該方法涵蓋疲勞加載過(guò)程中應(yīng)力分析、疲勞失效準(zhǔn)則和材料性能退化模型3部分. 因此,FRP層壓板的疲勞壽命,可以基于經(jīng)典層壓板理論分析單層板的應(yīng)力來(lái)預(yù)測(cè),但該計(jì)算過(guò)程繁瑣,且認(rèn)為同一單層板的受力均勻,因此預(yù)測(cè)誤差較大. 基于以上問(wèn)題,本文提出了單向板的載荷水平-疲勞壽命曲線(q-N曲線),與層壓板的有限元分析緊密結(jié)合來(lái)預(yù)測(cè)FRP層壓板的疲勞壽命方法.

目前用于表征復(fù)合材料疲勞損傷擴(kuò)展的參量有疲勞模量、剩余強(qiáng)度、應(yīng)變等物理量,基于這些物理量,可以構(gòu)造出多種疲勞損傷和疲勞壽命模型[8-9]. 本文用疲勞模量來(lái)描述碳纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的損傷演化規(guī)律,從而建立疲勞壽命的函數(shù)表達(dá)式. 以單向板在單軸循環(huán)應(yīng)力加載下載荷比與疲勞壽命的試驗(yàn)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ),利用灰色系統(tǒng)等間距GM(1, 1)模型[10],構(gòu)造單向板的疲勞壽命和損傷函數(shù)模型.

復(fù)合材料的疲勞過(guò)程從本質(zhì)上講是損傷不斷累積,材料性質(zhì)不斷退化,應(yīng)力重新分布的動(dòng)態(tài)過(guò)程[11-12]. 本文將FRP層壓板的疲勞失效過(guò)程簡(jiǎn)化為:在應(yīng)力加載下,單層板的危險(xiǎn)單元失效,導(dǎo)致該單層的材料性質(zhì)發(fā)生改變,從而對(duì)該層材料進(jìn)行剛度退化,隨之應(yīng)力分布改變的循環(huán)過(guò)程. 利用Abaqus對(duì)層壓板建模分析,獲取每單層的應(yīng)力分布,進(jìn)而提取危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力,通過(guò)Hashin損傷失效準(zhǔn)則[13],判斷該層的失效模式,然后對(duì)失效單層進(jìn)行剛度退化,循環(huán)該過(guò)程,確定單層的失效強(qiáng)度以及層壓板的拉伸強(qiáng)度. 通過(guò)該有限元分析過(guò)程中所得的應(yīng)力分布,與灰色系統(tǒng)建立的單向板的疲勞壽命計(jì)算公式結(jié)合,以此來(lái)預(yù)測(cè)FRP層壓板的疲勞壽命. 通過(guò)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)以及其他文獻(xiàn)方法的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比,來(lái)驗(yàn)證該方法的有效性.

1 基于灰色系統(tǒng)GM(1, 1)模型建立 單向板的q-N函數(shù)

灰色系統(tǒng)理論是一種研究“小樣本”“貧信息”不確定性問(wèn)題的方法,主要提取“部分”已知信息,實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)演化規(guī)律的正確描述[14]. 灰色預(yù)測(cè)建模方法種類繁多,其中等間距GM(1, 1)模型具有樣本需求小、建模過(guò)程簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn). 當(dāng)建立單向板的疲勞壽命預(yù)測(cè)模型時(shí),在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)較少的情況下,若用最小二乘法擬合函數(shù)曲線,將導(dǎo)致誤差較大. 因此,借助灰色系統(tǒng)建立單向板的疲勞壽命函數(shù),首先引入疲勞模量衰減的雙參數(shù)模型.

1.1 疲勞模量的概念

Hwang等[15]首先引入疲勞模量的概念,提出通過(guò)疲勞模量來(lái)預(yù)測(cè)疲勞壽命. 文獻(xiàn)[16]中以碳纖維為研究對(duì)象,給出了循環(huán)應(yīng)力最大值與應(yīng)力循環(huán)次數(shù)n有關(guān)的疲勞模量的定義:

(1)

式中:σmax為外加循環(huán)應(yīng)力的最大值;En為第n個(gè)循環(huán)時(shí)的疲勞模量;載荷比q表征應(yīng)力水平,q=σmax/σu,σu為極限強(qiáng)度;εn為第n個(gè)循環(huán)后的累積應(yīng)變,包含了第n次循環(huán)時(shí)的彈性應(yīng)變.

En的初值、終值條件為

(2)

式中:E0為材料的靜態(tài)彈性模量,在工程上,假定n=0時(shí)的疲勞模量等于E0;EN為經(jīng)過(guò)N個(gè)循環(huán)后,材料發(fā)生疲勞破壞時(shí)的疲勞模量,N即為疲勞壽命.因此,E0是常數(shù),EN取決于外載荷. Hwang等[17]提出了疲勞模量衰減三參數(shù)模型以及可以簡(jiǎn)化的雙參數(shù)模型. 其中,如下式所示的雙參數(shù)模型的疲勞壽命預(yù)測(cè)值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合較好,而且簡(jiǎn)單,因此本文選用此模型預(yù)測(cè)疲勞壽命:

(3)

式中:A、B均為材料常數(shù).

1.2 FRP單向板的疲勞壽命分析

以單向板受縱向拉-拉循環(huán)載荷為例,來(lái)說(shuō)明單軸循環(huán)應(yīng)力下單向板疲勞壽命的計(jì)算方法. 定義如下物理量[18]:

(4)

式中:Xt為單向板的縱向拉伸強(qiáng)度;εut為縱向靜態(tài)極限應(yīng)變;E11為縱向靜態(tài)彈性模量;εN表示疲勞破壞時(shí)的極限應(yīng)變.將式(3)從第n1個(gè)循環(huán)到第n2個(gè)循環(huán)進(jìn)行積分:

(5)

令nn=n,n1=1,式(5)可以簡(jiǎn)化為

(6)

(7)

假設(shè)單向板在承受N次循環(huán)載荷后發(fā)生疲勞破壞,那么EN便可作為疲勞模量的臨界值.令k1=εN/εut,則N可以表示為

(8)

(9)

式中:a1、k1均為材料參數(shù).當(dāng)B=1時(shí),式(9)簡(jiǎn)化為N=exp[a1(k1-q)].

1.3 損傷函數(shù)的構(gòu)成

假設(shè)復(fù)合材料無(wú)初始損傷,疲勞損傷函數(shù)的定義Dn=(εn-ε0)/(εN-ε0)應(yīng)滿足下列初值、終值條件:

(10)

以單向板受縱向單軸循環(huán)應(yīng)力作用為例,以應(yīng)變和疲勞模量為中間量,建立損傷函數(shù),其過(guò)程如下:

(11)

同樣的方法,可以建立單向板在其他兩個(gè)主軸方向上(橫向和面內(nèi)剪切)形如式(11)所示的疲勞損傷函數(shù). 因此三參數(shù)和雙參數(shù)疲勞損傷累積公式分別如下所示:

(12)

(13)

根據(jù)式(12)和式(13)所示的損傷累積公式,計(jì)算單向板在3個(gè)主軸方向上循環(huán)應(yīng)力加載造成的損傷,分別表示為:D1、D2、D12.考慮多向應(yīng)力的綜合作用效果,定義復(fù)合型損傷:

(14)

式中:D11表示多軸循環(huán)應(yīng)力加載下纖維的損傷程度;D22則反映基體的損傷程度. 只要其中任何一個(gè)首先達(dá)到1,單向板就發(fā)生了疲勞失效. 但疲勞極限本身存在模糊性,因此當(dāng)復(fù)合型損傷很接近1時(shí)單向板也有可能發(fā)生了疲勞失效.

(15)

式中:Yt為橫向拉伸強(qiáng)度;Sin為面內(nèi)剪切強(qiáng)度;σ1,max、σ2,max表示縱向和橫向兩個(gè)方向上的最大主應(yīng)力;τ12,max為剪切方向最大應(yīng)力;νij表示應(yīng)力作用在i方向時(shí),在j方向引起的橫向變形的泊松比,i,j=1, 2.將等效載荷比代入建立的q-N函數(shù)表達(dá)式中,計(jì)算對(duì)應(yīng)的疲勞壽命.

1.4 灰色系統(tǒng)等間距GM(1, 1)建模

灰色系統(tǒng)模型通過(guò)序列的累加生成,揭示系統(tǒng)的發(fā)展趨勢(shì),累加生成處理后的序列呈現(xiàn)單調(diào)遞增的規(guī)律. 設(shè)X(0)為原始序列,X(1)為一次累加生成序列,Z(1)為均值序列,表達(dá)式為X(0)=[x(0)(1)x(0)(2) …x(0)(n)],X(1)=[x(1)(1)x(1)(2) …x(1)(n)],Z(1)=[z(1)(1)z(1)(2) …z(1)(n)].

其中,累加序列當(dāng)序列數(shù)k=1時(shí),x(1)(1)=x(0)(0),當(dāng)k為其他值時(shí),如下式所示:

x(1)(k)=(x(0)(k)+x(1)(k-1))

(16)

k=2,3,…,n

均值序列為

z(1)(k)=0.5(x(1)(k)+x(1)(k-1)),

k=2,3,…,n

(17)

則x(1)上的灰微分方程為x(0)(k)+az(1)(k)=b,其白化方程為dx(1)/dt+ax(1)=b.其中,參數(shù)a和b根據(jù)下式計(jì)算:

(18)

(19)

參數(shù)C、D、E、F可以根據(jù)原始序列、一次累加序列以及均值序列得到:

(20)

(21)

(22)

(23)

白化方程式的解為x(1)(t)=(x(1)(1)-b/a)exp(-at)+b/a,其中t表示時(shí)間,則灰色系統(tǒng)GM(1, 1)模型的時(shí)間響應(yīng)序列為x(1)(k+1)=(x(0)(1)-b/a)exp(-ak)+b/a,其中k=1,2,…,n.因此,該模型的預(yù)測(cè)結(jié)果計(jì)算式如下:

x(0)(k+1)=x(1)(k+1)-x(1)(k)=

(24)

k=1,2,…,n

設(shè)單層板在單軸循環(huán)應(yīng)力作用下,不同載荷比下的疲勞壽命視為一個(gè)灰色系統(tǒng)中,疲勞壽命構(gòu)成一個(gè)原始序列,根據(jù)灰色等間距GM(1, 1)建模,擴(kuò)展實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),然后擬合q-N函數(shù)曲線.

1.5 基于灰色系統(tǒng)建立FRP單層板在單軸循環(huán)應(yīng) 力作用下的q-N曲線和損傷函數(shù)

對(duì)于T300/QY8911復(fù)合材料單向板[0]16, 文獻(xiàn)[19]中給出了應(yīng)力比R=0.1時(shí)的縱向拉-拉疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù),如表1所示.

表1 [0]16單向板在縱向應(yīng)力作用下疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)

首先,用最小二乘法擬合雙參數(shù)和三參數(shù)q-N曲線的函數(shù)表達(dá)式如下所示:

q=-0.035lnN+1.189

(25)

q=(1.778×10-5lnN+2.132)-6.597

(26)

建立灰色等間距模型時(shí),需要等間距載荷比下的疲勞壽命,根據(jù)插值法,計(jì)算q=0.75時(shí)的N=2.71×105. 因此灰色等間距GM(1, 1)模型原始序列可以設(shè)為X(0)=[2.50×1032.40×1041.43×1052.71×1054.57×105],根據(jù)式(16)～(23),計(jì)算一次累加序列和均值序列,C=1.086 5×106,D=8.95×105,E=4.027 5×1011,F=5.504×1011,a=-0.625 4,b=53 882.根據(jù)式(24)計(jì)算當(dāng)q=0.65,0.6,0.55,0.5時(shí),N=9.40×105,1.76×106,3.28×106,6.14×106.在灰色系統(tǒng)建模時(shí),發(fā)現(xiàn)q=0.85時(shí)曲線突變,因此將該曲線分段,擬合的雙參數(shù)和三參數(shù)q-N函數(shù),分別如下所示:

(27)

(28)

將4種方法進(jìn)行誤差對(duì)比分析,結(jié)果如表2所示.

表2 擬合[0]16單向板q-N函數(shù)不同方法的精度對(duì)比Tab.2 Precision comparison of different methods for fitting q-N function of [0]16 uni-directional plates

由表2可知,最小二乘法擬合三參數(shù)q-N函數(shù)的方法誤差太大, 因此不再做函數(shù)曲線圖.其他3種方法的q-lgN函數(shù)曲線如圖1所示.

圖1 3種建模方式擬合[0]16單向板的q-lg N曲線Fig.1 Fitting of q-lg N curves of [0]16 uni-directional plates of three modeling methods

通過(guò)表2和圖1可以發(fā)現(xiàn),通過(guò)灰色系統(tǒng)建立的q-N函數(shù),精度明顯得到了提高. 本文在計(jì)算縱向損傷量時(shí),選用擬合曲線與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相對(duì)誤差最小的灰色系統(tǒng)擬合的三參數(shù)q-N函數(shù). 因此損傷函數(shù)為

(29)

橫向拉-拉建模數(shù)據(jù)根據(jù)[90]20單向板拉-拉疲勞實(shí)驗(yàn)獲得[19],如表3所示.

表3 [90]20單向板在橫向應(yīng)力作用下的疲勞實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(R=0.1)

首先,用最小二乘法擬合q-N函數(shù). 擬合雙參數(shù)q-N曲線的函數(shù)表達(dá)式如下所示:

q=-0.036 4lnN+1.128

(30)

擬合三參數(shù)q-N函數(shù)的發(fā)展趨勢(shì)不符合復(fù)合材料q-N函數(shù)發(fā)展趨勢(shì),因此暫不考慮該方法. 根據(jù)插值法,計(jì)算出q=0.95,0.85,0.75時(shí),N=550.5, 2.245×103, 8.124×104. 灰色等間距模型原始序列設(shè)為X(0)=[550.5 1.01×1032.245×1033.48×1038.124×1041.59×105]. 根據(jù)式(16)～(23)計(jì)算一次累加序列和均值序列,C=225 215,D=246 975,E=3.063 4×1010,F=3.056 7×1010,a=-0.955 3.根據(jù)式(24),計(jì)算當(dāng)q=0.65,0.6,0.55時(shí),N=1.369 1×106,3.559×106,9.251 4×106.將這9組數(shù)據(jù),用最小二乘法擬合雙參數(shù)和三參數(shù)q-N函數(shù),結(jié)果如下所示:

q=-0.034 1lnN+1.111

(31)

q=(0.27lnN-0.519)-0.391

(32)

將基于橫向拉-拉疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)的3種擬合方法的誤差進(jìn)行對(duì)比分析,結(jié)果如表4所示.

表4 擬合[90]20單向板q-N函數(shù)不同方法的精度對(duì)比Tab.4 Precision comparison of different methods for fitting q-N function of [90]20 uni-directional plates

3種方法擬合的q-lgN函數(shù)曲線,如圖2所示.

灰色系統(tǒng)擬合的q-N三參數(shù)方法的誤差最小,根據(jù)損傷函數(shù),計(jì)算3個(gè)參數(shù)時(shí)發(fā)現(xiàn),參數(shù)k不是實(shí)數(shù),不能計(jì)算本文運(yùn)用的損傷函數(shù). 因此,選用灰色系統(tǒng)擬合的雙參數(shù)q-N函數(shù). 所以損傷函數(shù)為

(33)

面內(nèi)剪切疲勞實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),根據(jù)[0/90]4s剪-剪疲勞實(shí)驗(yàn)獲得[19],如表5所示.

根據(jù)這5組數(shù)據(jù),用最小二乘法擬合雙參數(shù)和三參數(shù)q-N函數(shù),結(jié)果如下所示:

圖2 3種建模方式擬合[90]20單向板的q-lg N曲線Fig.2 Fitting of [90]20 uni-directional plates q-lg N of three modeling methods

表5 [0/90]4s層壓板在面內(nèi)剪切應(yīng)力作用下的疲勞實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(R=0.1)

q=-0.051 1lnN+1.117

(34)

q=(-0.042 0lnN+1.108)1.354

(35)

根據(jù)插值法,計(jì)算q=0.75,0.65,0.55時(shí),N=1 874, 14 075, 101 400. 設(shè)原始序列為X(0)=[2293981 8743.35×1031.407 5×1042.48×1041.014×1051.59×105]. 根據(jù)式(16)～(23),計(jì)算一次累加序列和均值序列,C=381 930,D=323 897,E=5.252 9×1010,F=6.562 2×1010,a=-0.778 3.根據(jù)式(24)計(jì)算q=0.45,0.4,0.35時(shí),N=1.399 7×106,3.048 4×106,6.638 8×106.基于這9組數(shù)據(jù),用最小二乘法擬合雙參數(shù)和三參數(shù)q-N函數(shù),結(jié)果如下所示:

q=-0.046 2lnN+1.081

(36)

q=(-0.030 8lnN+1.082)1.956 9

(37)

將4種方法進(jìn)行誤差對(duì)比分析,結(jié)果如表6所示.

4種方法擬合q-lgN函數(shù)曲線,擬合結(jié)果如圖3所示.

通過(guò)表6和圖3可以發(fā)現(xiàn),雙參數(shù)q-N曲線的誤差較小. 因此,本文在計(jì)算剪切損傷量時(shí),選用雙參數(shù)q-N曲線. 所以損傷函數(shù)為

(38)

圖3 4種建模方式擬合[0/90]4s層壓板q-lg N曲線Fig.3 Fitting of q-lg N curves of the [0/90]4s laminate of four modeling methods

表6 擬合[0/90]4 s層壓板q-N函數(shù)不同方法的精度對(duì)比Tab.6 Precision comparison of different methods for fitting [0/90]4 s laminate q-N function

2 FRP多向?qū)訅喊宓钠趬勖?/h2>

本文FRP層壓板疲勞壽命預(yù)測(cè)的步驟為兩大部分,第1部分是通過(guò)應(yīng)力分析和失效分析,計(jì)算該層壓板的拉伸強(qiáng)度. 第2部分是基于FRP層壓板的拉伸強(qiáng)度和典型FRP單向板的疲勞壽命預(yù)測(cè)函數(shù)以及損傷函數(shù)來(lái)計(jì)算層壓板的疲勞壽命. 對(duì)FRP層壓板的疲勞壽命預(yù)測(cè)過(guò)程作如下假設(shè):

(1) 多向?qū)訅喊逯械母鲉蜗虬寰哂邢嗤钠谛阅?且層壓板沒(méi)有初始損傷[18].

(2) 把層壓板的疲勞失效看成是不同單層逐次發(fā)生失效的間斷過(guò)程,把材料性質(zhì)的連續(xù)退化過(guò)程簡(jiǎn)化為單層的危險(xiǎn)部位失效后,材料性質(zhì)退化,應(yīng)力分布改變.

2.1 FRP多向?qū)訅喊宓膽?yīng)力分析和失效分析

假設(shè)FRP層壓板處于平面應(yīng)力狀態(tài),利用Abaqus建模對(duì)層壓板進(jìn)行應(yīng)力分析. 具體步驟如下.

(1) 通過(guò)Abaqus仿真拉伸實(shí)驗(yàn),在加載外力P時(shí),設(shè)定循環(huán)周期增量P,僅對(duì)Δn、Δ2n、Δ3n循環(huán)周期下的層壓板進(jìn)行應(yīng)力分析和單元失效判斷. 在Δn內(nèi)只進(jìn)行材料性能漸降,忽略性能突降. 選擇合適的面內(nèi)強(qiáng)度準(zhǔn)則,判斷是否失效. 本文選用Tsai-Hill強(qiáng)度準(zhǔn)則[20]判定:

(39)

式中:σ11、σ22、τ12分別表示縱向、橫向及剪切方向的應(yīng)力.

(2) 計(jì)算單向板的失效強(qiáng)度.首先計(jì)算各單層的強(qiáng)度比RL,

(40)

找出最小強(qiáng)度比RLmin,強(qiáng)度比最小的單層為最先失效層. 然后計(jì)算該層的失效強(qiáng)度FS,

FS=PRLmin

(41)

根據(jù)Hashin失效準(zhǔn)則,判斷失效模式:

(42)

(43)

式中:S12為xy面內(nèi)切應(yīng)力.

若滿足式(42)則為纖維拉伸失效,若滿足式(43)則為基體拉伸失效. 若根據(jù)式(40)判斷出該層已失效,判斷失效模式時(shí),兩個(gè)都未達(dá)到失效,則根據(jù)相對(duì)大小判斷失效模式,造成這種現(xiàn)象的原因是本文沒(méi)考慮層間應(yīng)力的影響.

(3) 對(duì)失效的單層進(jìn)行剛度退化.本文采用Tsai提出的0.4Em剛度退化準(zhǔn)則[21]:纖維斷裂后,該層便不起作用了,其正軸模量矩陣Q退化為零矩陣,即Q11=Q22=Q12=Q66=0;基體的破壞退化規(guī)則為:縱向拉伸模量E11,泊松比ν12保持不變,橫向拉伸模量E22下降至0.56E22,面內(nèi)切變模量G12下降至0.

(4) 重復(fù)該過(guò)程,直到層壓板失效,以單向板的失效強(qiáng)度最大值作為層壓板的拉伸強(qiáng)度.

應(yīng)力分析和失效分析的具體過(guò)程如圖4所示.

2.2 FRP多向?qū)訅喊宓钠趬勖?/h3>

(1) 根據(jù)第1部分的結(jié)果得知層壓板的極限拉伸強(qiáng)度SE,確定循環(huán)載荷的最大外載荷Pb:

Pb=SEq

(44)

(2) 復(fù)合材料層壓板在載荷加載時(shí),失效層的破壞可能是靜強(qiáng)度破壞或者疲勞破壞. 如果Pb>FS,屬于靜力破壞,發(fā)生靜力破壞的單層也消耗了一定數(shù)量的疲勞壽命,計(jì)算等效的疲勞累積損傷. 如果發(fā)生纖維斷裂,則將該層的累積損傷量D1、D2、D12均置為1,如果發(fā)生基體破壞, 將面內(nèi)橫向應(yīng)力引起的累積損傷量D2置為1[18]. 若Pb

(4) 分別根據(jù)q-N函數(shù)表達(dá)式(28)、(31)、(36)計(jì)算其壽命n1、n2、n12,選擇三者中最小的記為nmin,再根據(jù)損傷函數(shù)式(29)、(33)、(38)以nmin為初值進(jìn)行迭代.

(5) 根據(jù)式(14)計(jì)算復(fù)合損傷D11、D22,判斷D11、D22其中之一是否滿足大于0.999,滿足時(shí)迭代結(jié)束,若不滿足,進(jìn)行循環(huán)迭代,具體迭代方法如圖5 所示. 迭代終值N為該單向板的疲勞壽命. 隨后對(duì)該單向板根據(jù)其失效模式,進(jìn)行剛度退化,即對(duì)材料屬性進(jìn)行改變. 因?yàn)椴牧系钠跇O限存在模糊性,累積損傷也不一定為1,所以當(dāng)循環(huán)迭代時(shí),n增加的緩慢時(shí)迭代結(jié)束,根據(jù)本文算例結(jié)果,將本文迭代終值復(fù)合損傷定義為0.999.

圖5 層壓板疲勞壽命計(jì)算Fig.5 Calculation of fatigue life of laminate

(6) 重復(fù)上述步驟,直到層壓板失效.各單向板的累積壽命和為層壓板的疲勞壽命.

3 實(shí)例驗(yàn)證與對(duì)比分析

材料T300/QY8911的彈性常數(shù)[22]縱向拉伸模量E11=135 GPa,橫向拉伸模量E22=8.8 GPa,法向拉伸模量E33=8.8 GPa;泊松比ν12=0.33,ν23=0.48,ν13=0.33;Gij表示i-j面內(nèi)切變模量,G12=4.47 GPa,G23=3.2 GPa,G13=4.47 GPa;強(qiáng)度參數(shù)[23]Xt=1 627.5 MPa,縱向壓縮強(qiáng)度Xc=1 226 MPa,Yt=68.4 MPa,橫向壓縮強(qiáng)度Yc=218 MPa,Sin=89.9 MPa.

3.1 算例1

層壓板的鋪層方式為[0/90]4s,長(zhǎng)40 mm,寬20 mm,單層厚度為0.125 mm[23].根據(jù)材料的彈性參數(shù)和強(qiáng)度參數(shù),采用Abaqus建立分析計(jì)算模型,R=0.1,q=0.85.為了提高計(jì)算精度,網(wǎng)格沿寬度方向從邊界向中間由密變疏,對(duì)網(wǎng)格劃分進(jìn)行收斂性分析以及網(wǎng)格無(wú)關(guān)性檢查,最終確定有限元模型的網(wǎng)格大小是:兩端是邊長(zhǎng)為0.5 mm的正方體,中間是邊長(zhǎng)為1 mm的正方體. 單元所用類型為Continum shell: SC8R,單元數(shù)量為 9 600,所建有限元模型如圖6所示,鋪層方式如圖7所示.圖中:Angle=0表示該單向板鋪層角為0°,即單向板鋪層的縱向與層壓板參考坐標(biāo)X軸之間的夾角為0°,Angle=90表示該單向板鋪層角為90°;Ply-1—Ply-16分別表示該層壓板的鋪層,共有16層.

圖6 [0/90]4s層壓板的模型Fig.6 Model of [0/90]4s laminate

圖7 [0/90]4s的鋪層方式Fig.7 Laying method of [0/90]4s laminate

在層壓板左側(cè)端面施加完全約束,在層壓板右側(cè)端面施加均布力載荷. 然后施加載荷,當(dāng)P逐漸增加到560 MPa時(shí):90°鋪層危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力分布為σ11=-6.271 MPa,σ22=68.34 MPa,τ12=4.644 MPa. 根據(jù)式(39)判斷該層是否失效:

1.001 1>1

(45)

根據(jù)式(45)結(jié)果大于1,所以90° 鋪層失效,該層的失效強(qiáng)度比RL(90°)=0.999 5,失效強(qiáng)度FS(90°)=559.72 MPa. 根據(jù)失效準(zhǔn)則判斷該層的失效模式為基體失效. 0° 鋪層危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力分布為σ11=1 096 MPa,σ22=19.93 MPa,τ12=13.93 MPa. 判斷該層是否失效:

0.554 2<1

(46)

根據(jù)式(46)結(jié)果小于1,因此0°鋪層未失效. 所以對(duì)90°鋪層根據(jù)本文選定的剛度退化準(zhǔn)則進(jìn)行剛度退化. 然后施加載荷,當(dāng)載荷增加到738 MPa時(shí):0°鋪層危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力分布為σ11=1 464 MPa,σ22=29.8 MPa,τ12=12.27 MPa. 判斷該層是否失效:

1.001 1>1

(47)

由式(47)計(jì)算結(jié)果大于1,因此0°鋪層失效,該層的失效強(qiáng)度比RL(0°)=0.999 4,失效強(qiáng)度FS(0°)=737 MPa,失效模式為纖維斷裂. 極限強(qiáng)度SE=737 MPa,根據(jù)式(44),計(jì)算循環(huán)載荷的最大外載荷,Pb=SEq=626.5 MPa. 因?yàn)镕S(90°)Pb,因此,0°鋪層因?yàn)槠谄茐亩?

(48)

D11>1,則該單向板的壽命為2.330 6×105. 因此,該層壓板的疲勞壽命為2.331 06×105. 根據(jù)文獻(xiàn)[23],該層壓板的疲勞壽命實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為 2.33×105,將本文預(yù)測(cè)結(jié)果、多個(gè)文獻(xiàn)方法與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算相對(duì)誤差,結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,如表7所示.

表7 不同方法預(yù)測(cè)[0/90]4s層壓板的疲勞壽命結(jié)果對(duì)比

3.2 算例2

層壓板的鋪層方式為[-60/0/60]3s,其在Abaqus建模時(shí),材料屬性、模型尺寸、網(wǎng)格劃分、單元類型以及加載方式均與算例1一致,q=0.8. 施加載荷,當(dāng)P逐漸增加到320 MPa時(shí):-60° 鋪層危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力分布為σ11=-160.3 MPa,σ22=64.17 MPa,τ12=29.98 MPa. 判斷該層是否失效:

1.004 9>1

(49)

根據(jù)式(49)的計(jì)算結(jié)果大于1,因此-60°鋪層失效,失效強(qiáng)度比RL(-60°)=0.997 5,失效強(qiáng)度FS(-60°)=319.2 MPa,失效模式是基體破壞. 60°鋪層危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力分布為σ11=-160.9 MPa,σ22=64.14 MPa,τ12=29.92 MPa. 判斷該層是否失效:

1.003 8>1

(50)

根據(jù)式(50)的計(jì)算結(jié)果大于1,因此60°鋪層失效,失效強(qiáng)度比RL(60°)=0.998 1,失效強(qiáng)度FS(60°)=319.4 MPa,失效模式是基體破壞. 0°鋪層危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力分布為σ11=1 235 MPa,σ22=8.705 MPa,τ12=20.93 MPa. 判斷該層是否失效:

0.642 2<1

(51)

根據(jù)式(51)的計(jì)算結(jié)果小于1,因此0° 鋪層未失效. 對(duì) -60° 和60° 鋪層,根據(jù)本文選定的剛度退化準(zhǔn)則進(jìn)行剛度退化,然后施加載荷,當(dāng)載荷增加到350 MPa時(shí):0° 鋪層危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力分布為σ11=1 558 MPa,σ22=10.06 MPa,τ12=26.25 MPa. 判斷該層是否失效:

1.017 4>1

(52)

表8 不同方法預(yù)測(cè)[-60/0/60]3s層壓板的疲勞壽命結(jié)果對(duì)比

4 結(jié)論

復(fù)合材料層壓板內(nèi)部損傷會(huì)引起剛度退化,而損傷不斷累積會(huì)導(dǎo)致其疲勞破壞. 以疲勞模量為參量,借助灰色系統(tǒng)構(gòu)造FRP單向板的損傷函數(shù)和疲勞壽命函數(shù),通過(guò)建模對(duì)FRP層壓板有限元分析,對(duì)其疲勞破壞過(guò)程模擬. 這種理論與仿真結(jié)合預(yù)測(cè)FRP多向?qū)訅喊迤趬勖姆椒梢缘玫揭韵陆Y(jié)論:

(1) 通過(guò)灰色系統(tǒng)GM(1, 1)模型建模,擬合了q-N函數(shù)表達(dá)式以及損傷函數(shù)表達(dá)式,且擬合結(jié)果與最小二乘法擬合的結(jié)果相比提高了預(yù)測(cè)精度,擬合的疲勞壽命和損傷函數(shù)可直接用于同種材料任意鋪層的多向?qū)訅喊宓膲勖A(yù)測(cè).

(2) 基于Abaqus模擬仿真,對(duì)多層板進(jìn)行應(yīng)力分析和失效分析,然后與建立的q-N函數(shù)結(jié)合,以此來(lái)預(yù)測(cè)FRP多層板的疲勞壽命. 該方法與傳統(tǒng)的經(jīng)典層壓板理論做應(yīng)力分析的方法相比減小了誤差. 因?yàn)榻?jīng)典層壓板理論認(rèn)為,單層板的應(yīng)力分布是均勻的,但事實(shí)上,受力點(diǎn)與受力方向都會(huì)使單層板存在危險(xiǎn)點(diǎn),而通過(guò)Abaqus建模,可以解決這個(gè)問(wèn)題.

(3) 本文理論與模擬仿真緊密結(jié)合的方法突破了以往完全依賴試件疲勞試驗(yàn)或者只有仿真的預(yù)測(cè)方法. 通過(guò)算例驗(yàn)證,證明了該方法的有效性,具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值.

附錄

圖1 PANI/CF電極紅外光譜圖Fig.1 FTIR spectra of PANI/CF electrodes

表1 PANI/CF電極紅外特征峰位置Tab.1 FTIR characteristic peaks of PANI/CF electrodes

圖2 PANI/CF電極XPS測(cè)試結(jié)果Fig.2 XPS test results of PANI/CF electrodes

表2 PANI/CF電極實(shí)測(cè)幅值Tab.2 Actual measurement amplitude of PANI/CF electrodes mV