王新璇，包圖雅，張 宇

（內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼 028043）

漸近線在數(shù)學(xué)和物理學(xué)的研究與應(yīng)用中充當(dāng)重要角色。PCHELINTSEV［1］采用了一種數(shù)值方法，該方法利用高精度計(jì)算來(lái)構(gòu)造混沌型動(dòng)態(tài)系統(tǒng)吸引子的近似解，并求出爆炸型系統(tǒng)解的垂直漸近線。MAKKI［2］研究了如何利用漸近線在四維伽利略空間中構(gòu)造超曲面。

研究漸近線在曲面論中有著重要的意義，曲面上每個(gè)具有負(fù)高斯曲率的點(diǎn)，有2個(gè)漸近方向，曲面上每個(gè)高斯曲率為零的點(diǎn)有一個(gè)漸近方向（2個(gè)漸近方向重合在一起）。研究高斯曲率為負(fù)（或零）的曲面上漸近線，可以確定曲面的走向與形狀，進(jìn)而分析曲面的特征。關(guān)于漸近線的研究方法方面，有利用漸近線與曲面上其他曲線的關(guān)系討論漸近線的性質(zhì)。如，黃瑞［3］對(duì)隱函數(shù)形式的曲面進(jìn)行研究，給出曲面上漸近線和測(cè)地線的若干性質(zhì)，包括存在性、方程、幾何特征、曲率和撓率等。王韶麗等［4］對(duì)曲面上漸近線、測(cè)地線和平面曲線之間的關(guān)系進(jìn)行分析，得到這幾類特殊曲線的幾何特征和內(nèi)在關(guān)系。筆者基于吳鈺瑩等［5］利用等距對(duì)應(yīng)研究測(cè)地線的方程，研究等距對(duì)應(yīng)下的漸近線：1）研究正螺面上漸近線成為測(cè)地線的條件；2）利用正螺面和懸鏈面之間的等距對(duì)應(yīng)關(guān)系，研究正螺面上漸近線等距對(duì)應(yīng)到懸鏈面上的像曲線；3）計(jì)算懸鏈面上像曲線的測(cè)地曲率與法曲率之間的關(guān)系以及測(cè)地?fù)下逝c法曲率之間的關(guān)系。

1 基礎(chǔ)知識(shí)

給出C2類空間曲線C和C上一點(diǎn)P，設(shè)曲線C的自然參數(shù)表示為r=r(s)，其中，s是自然參數(shù)，可知α(s) =r?(s) =，是一單位向量，α稱為曲線C上P點(diǎn)的單位切向量。由于 |α|=1，即α2=1，可以得到α⊥α?，即r?⊥r?，在α?上取單位向量為曲線C在P點(diǎn)的主法向量。再作單位向量γ=α×β，γ稱為曲線C在P點(diǎn)的副法向量。若曲線C的一般參數(shù)表示為r=r(t)，其中，t是一般參數(shù)，有［6］

空間曲線C在P點(diǎn)的曲率為，其中，Δs為P點(diǎn)及其鄰近點(diǎn)P1間的弧長(zhǎng)，Δψ為曲線在點(diǎn)P和P1的切向量的夾角，再由微商的模的幾何意義，可知。對(duì)于空間曲線，曲線不僅彎曲而且還要扭轉(zhuǎn)，所以，在研究空間曲線時(shí)還要有刻畫(huà)曲線扭曲程度的量——撓率?？臻g曲線C在P點(diǎn)的撓率為，撓率的絕對(duì)值是曲線的副法向量對(duì)于弧長(zhǎng)的旋轉(zhuǎn)速度，這是撓率定義式的幾何意義。上述是曲線以弧長(zhǎng)s為自然參數(shù)時(shí)的曲率與撓率的表達(dá)式，下面給出以t為一般參數(shù)的曲線曲率和撓率的表達(dá)式

其中滿足曲線撓率τ=0 的曲線稱為平面曲線［6］。

空間曲線C在一點(diǎn)的密切圓是過(guò)曲線C上一點(diǎn)Q(s) 的主法線的正側(cè)取線段PO，使PO長(zhǎng)為，以O(shè)為圓心，以為半徑在密切平面上確定一個(gè)圓，這個(gè)圓稱為曲線C在Q(s) 點(diǎn)的密切圓（曲率圓），曲率圓的中心為曲率中心。由上述可知曲率中心的矢徑（曲率中心軌跡），可以表示為

其中β是主法向量［6］。

給出曲面S：r=r(u,v)上曲線C：r=r[u(t),v(t)]。對(duì)于曲線C有dr=rudu+rvdv。若以s表示曲線上的弧長(zhǎng)，則

令E=ru·ru，F(xiàn)=ru·rv，G=rv·rv則有ds2=Edu2+2Fdudv+Gdv2為曲面S的第一基本形式，用Ⅰ表示。它們的系數(shù)E、F、G稱為曲面的第一基本量。設(shè)曲面S的單位法向量為n，則

令L=n·ruu，M=n·ruv，N=n·rvv，則有n·d2r=Ldu2+Mdudv+Ndv2為曲面S的第二基本形式，用Ⅱ表示，它們的系數(shù)L、M、N稱為曲面的第二基本量［6］。

2個(gè)曲面之間的一個(gè)變換是等距對(duì)應(yīng)的充要條件是選擇適當(dāng)參數(shù)后，它們具有相同的第一基本形式。如正螺面r={ucosv,usinv,v} 與懸鏈面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t} 可建立等距對(duì)應(yīng)u=sinht，v=θ［7］。

當(dāng)曲面S上的坐標(biāo)曲線網(wǎng)為正交網(wǎng)（F=0）時(shí)，曲線C在點(diǎn)P處的測(cè)地曲率kg，測(cè)地?fù)下师觛，法曲率kn分別為

（φ是曲線的切向量與ru的夾角，0 ≤φ≤π）［8-9］。

引理1［10-12］懸鏈面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t} 上曲線的測(cè)地曲率kg，測(cè)地?fù)下师觛，法曲率kn分別為

（φ是曲線的切向量與rt的夾角，0 ≤φ≤π）。

引理2［13］正螺面r={ucosv,usinv,v} 上漸近線方程為u=C1或v=C2（C1、C2是常數(shù)）。

引理3［5］拋物柱面上測(cè)地線方程

（其中k、b為常數(shù)）。當(dāng)拋物柱面的測(cè)地線方程中u＞0，p=1，k=2，b=0 時(shí)，其撓率不為零。

證明當(dāng)u＞0，p=1，k=2，b=0時(shí)，拋物柱面上測(cè)地線方程為

代入式（3）得

由引理3知，曲面上測(cè)地線的撓率有不為零的情況。

2 正螺面上漸近線等距對(duì)應(yīng)到懸鏈面上像曲線的研究

命題1正螺面r={ucosv,usinv,v} 上方程為u=0 或v=C2的漸近線為測(cè)地線。

證明由引理1知正螺面r={ucosv,usinv,v} 上漸近線的方程為u=C1或v=C2（C1、C2是常數(shù)）。

下面關(guān)于u分2種情況計(jì)算。

當(dāng)u=C1=0 時(shí)，曲線為{0,0,v} ，即是直線（z軸），則這條曲線是正螺面上測(cè)地線。

當(dāng)u=C1≠0 時(shí)，曲線為正螺面上v-曲線，且方程為{C1cosv,C1sinv,v} ，即不是直線。下面計(jì)算它的測(cè)地曲率。

正螺面r={ucosv,usinv,v} 中ru={cosv,sinv,0} ，rv={-usinv,ucosv,1} 且E=1，F(xiàn)=0，G=u2+1。v-曲線的切向量rv與ru的夾角φ=π 2，cosφ=0，sinφ=1。將上述第一基本量E、F、G和rv與ru的夾角φ代入測(cè)地曲率公式（5）得。由于u≠0，故kg≠0，即方程為u=C1≠0 的漸近線不是正螺面上測(cè)地線。

當(dāng)v=C2時(shí)，曲線為{ucosC2,usinC2,C2} 是直線，則這條曲線是正螺面上測(cè)地線。

綜上所述，正螺面r={ucosv,usinv,v} 上方程為u=0 或v=C2的漸近線為測(cè)地線。

定理1正螺面r={ucosv,usinv,v} 上的漸近線等距對(duì)應(yīng)到懸鏈面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t} 上的像曲線如下：

1）當(dāng)漸近線是測(cè)地線時(shí)，像曲線為撓率為零的測(cè)地線；

2）當(dāng)漸近線不是測(cè)地線時(shí)，像曲線既是坐標(biāo)曲線θ-曲線（t≠0）又是曲率為常數(shù)的平面曲線。

證明1）由命題1知，正螺面r={ucosv,usinv,v} 上的漸近線是測(cè)地線時(shí)方程為u=0 或v=C2（C2是常數(shù)），通過(guò)正螺面r={ucosv,usinv,v} 與懸鏈面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t} 之間的等距對(duì)應(yīng)u=sinht，v=θ，則懸鏈面上像曲線的方程為t=0 或θ=C2（C2是常數(shù)）。

2 個(gè)曲面成等距對(duì)應(yīng)時(shí)，與測(cè)地線相對(duì)應(yīng)的曲線也是測(cè)地線［14］，所以像曲線t=0 或θ=C2（C2是常數(shù)）是懸鏈面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t} 上的測(cè)地線。

首先，計(jì)算像曲線t=0 的撓率。

當(dāng)t=0 時(shí)，曲線方程為r(θ)={cosθ,sinθ,0} ，則有

代入式（2）、式（3）得，

下面給出當(dāng)t=0 即u=t=0 時(shí)，正螺面上漸近線等距對(duì)應(yīng)到懸鏈面上像曲線的示意圖見(jiàn)圖1。

圖1 t=0 時(shí)，正螺面上漸近線等距對(duì)應(yīng)到懸鏈面上像曲線的示意圖Fig. 1 When t=0，the image curve on the catenary surface of the asymptote of the positive spiral surface under the isometric correspondence

其次，計(jì)算像曲線θ=C2（C2是常數(shù)）的撓率。

當(dāng)θ=C2（C2是常數(shù)）時(shí)，曲線方程為r(t)={coshtcosC2,coshtsinC2,t} ，則有

代入式（2）、式（3）得

即漸近線是測(cè)地線。

下面給出當(dāng)C2=±1 即v=θ=C2=±1 時(shí)，正螺面上漸近線等距對(duì)應(yīng)到懸鏈面上像曲線的示意圖見(jiàn)圖2。

圖2 C2=±1時(shí)，正螺面上漸近線等距對(duì)應(yīng)到懸鏈面上像曲線的示意圖Fig. 2 When C2= ±1，the image curves on the catenary surface of the asymptotes of the positive spiral surface under the isometric correspondence

2）由命題1知，正螺面r={ucosv,usinv,v} 上的漸近線不是測(cè)地線時(shí)方程為u=C1（C1是不為零的常數(shù)），通過(guò)正螺面r={ucosv,usinv,v} 與懸鏈面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t} 之間的等距對(duì)應(yīng)u=sinht，v=θ，則懸鏈面上像曲線的方程為t=arsinhC1，即懸鏈面上坐標(biāo)曲線θ-曲線（t≠0）。

懸鏈面上像曲線t=arsinhC1（t≠0）的方程為

代入式（2）、式（3）得

故懸鏈面上像曲線t=arsinhC1（t≠0）是曲率為常數(shù)的平面曲線。

下面給出當(dāng)C1=±1 即u=C1=±1,t=arsinh(C1) =arsinh( ±1) 時(shí)，正螺面上漸近線等距對(duì)應(yīng)到懸鏈面上像曲線的示意圖見(jiàn)圖3。

圖3 C1=±1時(shí)，正螺面上漸近線等距對(duì)應(yīng)到懸鏈面上像曲線的示意圖Fig. 3 When C1= ±1，the image curves on the catenary surface of the asymptotes of thepositive spiral surface under the isometric correspondence

定理2正螺面r={ucosv,usinv,v} 上漸近線等距對(duì)應(yīng)到懸鏈面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t} 上的像曲線有如下性質(zhì)：

1）像曲線的測(cè)地曲率和法曲率的比值為常數(shù)；

2）像曲線的測(cè)地?fù)下逝c法曲率的比值為常數(shù)；

3）正螺面r={ucosv,usinv,v} 上非測(cè)地線的漸近線等距對(duì)應(yīng)到懸鏈面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t} 上的像曲線的主法線的方向向量與z軸的方向向量垂直；

4）正螺面r={ucosv,usinv,v} 上非測(cè)地線的漸近線等距對(duì)應(yīng)到懸鏈面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t} 上的像曲線的曲率中心軌跡是直線。

證明1）由定理1 知正螺面上漸近線是測(cè)地線時(shí)，等距對(duì)應(yīng)到懸鏈面上的像曲線方程為t=0 或θ=C2（C2是常數(shù)）。

當(dāng)t=0 時(shí)，代入式（6）、式（8）得

當(dāng)θ=C2（C2是常數(shù)）時(shí)，曲線是懸鏈面上t-曲線，dθ=0 即φ=0°，代入式（6）、式（8）得

由定理1知正螺面r={ucosv,usinv,v} 上非測(cè)地線的漸近線等距對(duì)應(yīng)到懸鏈面上的像曲線是坐標(biāo)曲線θ-曲線（t≠0），dt=0 即φ=，代入式（6）、式（8）得

故正螺面r={ucosv,usinv,v} 上漸近線等距對(duì)應(yīng)到懸鏈面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t} 上的像曲線的測(cè)地曲率和法曲率的比值為常數(shù)。

2）由定理1知正螺面上漸近線是測(cè)地線時(shí)，等距對(duì)應(yīng)到懸鏈面上的像曲線方程為t=0 或θ=C2（C2是常數(shù)）。

當(dāng)t=0 時(shí)，代入式（7）、式（8）得

當(dāng)θ=C2（C2是常數(shù)）時(shí)，曲線是懸鏈面上t-曲線，dθ=0 即φ=0°，代入式（7）、式（8）得，

由定理1知正螺面r={ucosv,usinv,v} 上非測(cè)地線的漸近線等距對(duì)應(yīng)到懸鏈面上的像曲線是坐標(biāo)曲線θ-曲線（t≠0），dt=0 即φ=，代入式（7）、式（8）得

故正螺面r={ucosv,usinv,v} 上漸近線等距對(duì)應(yīng)到懸鏈面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t} 上的像曲線的測(cè)地?fù)下逝c法曲率的比值為常數(shù)。

3）由定理1、式（1）、式（10）-（15）得，正螺面r={ucosv,usinv,v} 上非測(cè)地線的漸近線，等距對(duì)應(yīng)到懸鏈面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t} 上像的主法向量為

將式（9）和式（16）代入到主法線方程R-r=λβ，其中R={X,Y,Z}［6］，即

因?yàn)閦軸的方程為

對(duì)任意的θ，有

即主法線的方向向量與z軸的方向向量垂直。

4）由定理1 知正螺面r={ucosv,usinv,v} 上非測(cè)地線的漸近線，等距對(duì)應(yīng)到懸鏈面像的方程為式（9），由式（4）、式（16）得曲線的曲率中心軌跡方程為

該曲線為直線。

3 結(jié)論

1）正螺面r={ucosv,usinv,v} 上漸近線是測(cè)地線時(shí)，等距對(duì)應(yīng)到懸鏈面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t}上的像曲線是撓率為零的測(cè)地線；像曲線的測(cè)地?fù)下?、測(cè)地曲率分別與法曲率的比值為常數(shù)。

2）正螺面r={ucosv,usinv,v} 上非測(cè)地線的漸近線等距對(duì)應(yīng)到懸鏈面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t} 上的像曲線既是坐標(biāo)曲線θ-曲線（t≠0）又是曲率為常數(shù)的平面曲線；像曲線的測(cè)地?fù)下?、測(cè)地曲率分別與法曲率的比值為常數(shù)；像曲線的主法線的方向向量與z軸的方向向量垂直；像曲線的曲率中心軌跡是直線。