劉媛媛

知識遷移是指學(xué)習(xí)者把理解的知識、形成的基本技能遷移到不同的情境中，促進(jìn)新知識的學(xué)習(xí)或者解決不同情境中的問題?！盎仡櫯f知，合理遷移”就是自然生成新知識的一種合理有效途徑。教師若能夠在課堂滲透遷移思想，教會學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能夠提高學(xué)習(xí)效率，還可以推廣至其他學(xué)科的自主學(xué)習(xí)，甚至伴隨其終身。

知識理解、知識遷移、知識創(chuàng)新是發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的三級教學(xué)目標(biāo)。其中知識遷移是指學(xué)習(xí)者把理解的知識、形成的基本技能遷移到不同的情境中，促進(jìn)新知識的學(xué)習(xí)或者解決不同情境中的問題，可將知識遷移水平稱為學(xué)科核心素養(yǎng)的二級水平。遷移可分為正遷移（起促進(jìn)作用的遷移）、負(fù)遷移（指起阻礙作用的遷移）、零遷移（指不起任何作用的遷移）。

筆者以前對于知識遷移的理解僅僅停留在解決數(shù)學(xué)題的層面，認(rèn)為題目做得多，知識自然就認(rèn)識全面；題目做的難，知識自然就理解深刻。隨著新課改、新高考的推進(jìn)，筆者越來越強(qiáng)烈地感受到大量刷題效率極低，盲目重復(fù)刷題更加容易迷失方向。在以教師為主導(dǎo)的課堂，必須引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識的產(chǎn)生，探索知識的發(fā)展。筆者認(rèn)為“回顧舊知，合理遷移”就是自然生成新知識的一種合理有效途徑，即人們常說的“溫故而知新”。下面筆者以“解三角形中的范圍”為例具體展開談一談。

一、教學(xué)分析

（一）教學(xué)內(nèi)容

三角形是平面幾何中最基本最常見的圖形，解三角形問題是歷年高考的必考內(nèi)容，求取值范圍問題是其中的一個(gè)難點(diǎn)，在實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用。解三角形中的范圍問題往往體現(xiàn)在長度、角度、周長、面積等方面，解決此問題常和函數(shù)、不等式等其他數(shù)學(xué)分支結(jié)合，需要學(xué)科內(nèi)部知識的綜合應(yīng)用。同時(shí)，解三角形中的范圍問題有助于提升學(xué)生的直觀想象能力、運(yùn)算能力。教學(xué)中應(yīng)作為重點(diǎn)。筆者意圖讓學(xué)生在思考并解答筆者設(shè)計(jì)的四個(gè)問題中逐漸感受到本課要解決的解三角形中的范圍問題是從哪里來？到哪里去？如何解決？即解三角形中的范圍問題和舊問題的關(guān)聯(lián)以及可以帶來的新問題有什么。

（二）教學(xué)目標(biāo)

通過對問題1和問題2的思考，學(xué)生可體會到解三角形問題是從求值到求范圍的變化，進(jìn)而建立起新舊知識的關(guān)聯(lián)。

通過對問題3的思考，學(xué)生能夠利用觀察圖形變化規(guī)律解答解三角形中的取值范圍問題，進(jìn)而提升直觀想象的核心素養(yǎng)。

通過對問題4的思考，學(xué)生能夠鞏固利用觀察圖形變化規(guī)律解答解三角形中的取值范圍問題的方法，能夠利用建立函數(shù)關(guān)系或者不等關(guān)系式解答解三角形中的取值范圍問題，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

（三）學(xué)情分析

學(xué)生初中學(xué)習(xí)過三角形全等、三角形相似以及直角三角形中的邊角關(guān)系。高中學(xué)習(xí)過解三角形中已知邊角六個(gè)量中的三個(gè)量求解其余量的定值問題，此問題與三角形全等存在關(guān)聯(lián)。本節(jié)課是求解三角形問題中邊角的取值范圍問題，此問題與三角形相似存在關(guān)聯(lián)。

二、教學(xué)過程片段

（一）最值問題的引入

問題1：解三角形問題是指已知三角形三條邊、三個(gè)角共六個(gè)量中的三個(gè)量，求解其余量的問題。一般會給出怎樣的三個(gè)量？

學(xué)生1：有幾種可能：邊邊邊、邊角邊、兩角一邊、邊邊角。

教師：具體如何解出其他的三個(gè)量？

學(xué)生2：已知邊邊邊和邊角邊適合用余弦定理解三角形；已知兩角一邊和邊邊角適合用正弦定理解三角形。

問題2：如果三角形的已知條件只有兩個(gè)量，這樣的三角形是不確定的，我們可以研究變化過程中的取值范圍問題?？赡軙o出怎樣的兩個(gè)量？

學(xué)生3：有幾種可能：兩個(gè)角、兩條邊、一個(gè)角和一條邊（相鄰）、一個(gè)角和一條邊（相對）。

教師：哪種情況是我們研究過的？

學(xué)生4：兩個(gè)角已知即為三個(gè)角已知，這是初中研究的三角形相似的一種情況。

教師：相似即三角形對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)周長和面積也成比例，已形成結(jié)論。“已知兩個(gè)角”這種情況我們不再探究。下面先以三角形中兩邊已知為例，探求研究其余量是如何變化的方法。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在對比思考問題1和問題2的過程中可以發(fā)現(xiàn)條件的減少會帶來求定值到求范圍的變化，也會發(fā)現(xiàn)新問題的研究可以和舊知識建立起關(guān)聯(lián)。甚至某些特殊情況在很早之前就已經(jīng)學(xué)習(xí)過，這會大大減少陌生感，也可以充分調(diào)動(dòng)起學(xué)生的積極性和探究欲，從而能夠讓學(xué)生鞏固舊知舊法，進(jìn)而合理遷移至新問題，提升相應(yīng)核心素養(yǎng)水平。

（二）最值問題的研究過程

1.看一看

問題3：△ABC中，已知AB=4，AC=5，試分析其余邊角的取值范圍。

學(xué)生5：先用余弦定理表示出BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA=41-40cosA，再借助于角A的范圍（0，π）得到邊BC的范圍。

學(xué)生6：邊BC的范圍只要利用三角形中兩邊之和大于第三邊且兩邊之差小于第三邊便可知為（1，9），和甲的方法得到的結(jié)論是一致的。

教師：很好，我們還可以直觀想象一下圖形的變化。能否通過想一想、看一看的方式得到取值范圍？

學(xué)生7：先做出邊AC，然后以A為圓心、4為半徑畫圓，可以看作B在圓周上運(yùn)動(dòng)，隨著B的規(guī)律運(yùn)動(dòng)，直接觀察易得角B和角C的取值范圍，B∈（0，π），C∈（0，θ0]，其中θ0是邊BC和圓相切時(shí)候角C的值。

教師：學(xué)生7在感受圖形變化的過程中選擇研究點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)軌跡帶來三角形中其余邊角的相應(yīng)變化，我們可以稱點(diǎn)B為主動(dòng)點(diǎn)。三角形還有周長和面積這兩個(gè)基本信息，利用以上研究方法也容易得出取值范圍。接下來我們自主分析三角形中已知一條邊和一個(gè)角（相對），其余邊角、周長以及面積的取值范圍。

設(shè)計(jì)意圖：解三角形問題本就和圖形密切相關(guān)，其中取值范圍問題是由圖形的變化產(chǎn)生，因此解決此類問題的突破口往往可以從感受圖形的變化入手，選擇合適的主動(dòng)點(diǎn)，分析其運(yùn)動(dòng)軌跡。已知三角形兩邊的情況就可以通過想一想和看一看的方式，直觀觀察感受其余的邊角、周長以及面積的取值范圍，臨界情況往往是在特殊位置處取到。

2.算一算

問題4：△ABC中，已知A=60°，BC=2，試分析其余邊角、周長、面積的取值范圍。

筆者先給一定的時(shí)間讓學(xué)生在課堂練習(xí)本上自主分析，從反饋來看，此問題的解答比較順利，多數(shù)學(xué)生可以想到將B、C看作定點(diǎn)，選擇點(diǎn)A為主動(dòng)點(diǎn)研究其軌跡，點(diǎn)A的軌跡為△ABC外接圓O上的一段弧，因此容易得到線段BC為圓中的一段弦，A則是弦所對的圓周角。

學(xué)生8：先看邊AB，隨著主動(dòng)點(diǎn)A自C逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)至B，邊AB的長度先從2（取不到）變大到外接圓直徑（AB過圓心O時(shí)取到）再變小到0（取不到），即AB∈（0，[433]]；再看∠ABC，隨著主動(dòng)點(diǎn)A自C逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)至B，∠ABC從0（取不到）變大到[2π3]（取不到），即∠ABC∈（0，[2π3]）；同樣可知AC∈（0，[433]]，∠ACB∈（0，[2π3]），也易觀察得面積的范圍為（0，[3]]，最大值[3]是A在點(diǎn)D（OD⊥BC）時(shí)取到。周長的變化好像不太容易直接觀察得出，我就取了幾個(gè)特殊位置比較了一下，分別是當(dāng)點(diǎn)A在C、D時(shí)以及AB過圓心時(shí)，感覺隨著主動(dòng)點(diǎn)A自C逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)至D，周長在變大，范圍為（4，6]。

教師：既然周長不太容易觀察得出，那是否有算一算的方式得出周長的范圍？

學(xué)生9：可以設(shè)法建立關(guān)于周長的函數(shù)關(guān)系或者不等關(guān)系式。

設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)問題的解答有承上啟下的作用。學(xué)生在分析邊角、面積的取值范圍時(shí)，都可以借助于三角形外接圓以“看一看”的方式完成解答，但在分析周長的取值范圍時(shí)，會發(fā)現(xiàn)單純靠直觀想象難以解決問題，自然地過渡到需要靠數(shù)學(xué)運(yùn)算解答。再次起到提升鞏固舊方法，進(jìn)而合理遷移至新問題的核心素養(yǎng)水平。

（三）解三角形取值范圍問題的解決策略總結(jié)

1.直觀想象三角形圖形的變化規(guī)律帶來邊角的變化，同時(shí)結(jié)合三角形的基本要求即兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊、內(nèi)角和為180°，簡單計(jì)算便可解答。

2.三角形圖形的變化規(guī)律不明顯時(shí)，需要借助數(shù)學(xué)運(yùn)算，即建立關(guān)于邊或者角的函數(shù)關(guān)系，此時(shí)將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求值域問題，或者建立不等關(guān)系解不等式。

三、回顧與反思

筆者準(zhǔn)備本節(jié)課時(shí)，在思考如何引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究“解三角形中的范圍問題”這一環(huán)節(jié)考慮許久。雖說取值范圍問題的重要性學(xué)生都知道，即使直接講授也能夠引起學(xué)生的重視，但筆者一直主張學(xué)生要學(xué)會思考“知識從哪里來”、多問問“為什么要學(xué)習(xí)這個(gè)知識？”“為什么要研究這個(gè)新問題？”“這個(gè)新知識新問題和我們的舊知識舊問題有什么關(guān)聯(lián)？”“回顧舊知，合理遷移”對學(xué)生掌握知識之間的關(guān)聯(lián)性、學(xué)生學(xué)習(xí)知識的系統(tǒng)性及綜合性都大有幫助，也能大大增強(qiáng)學(xué)生的探究意識。遷移是一種學(xué)習(xí)對另一種學(xué)習(xí)的影響，學(xué)生正遷移量越大，他們適應(yīng)新的學(xué)習(xí)情境或解決新問題的能力就越強(qiáng)。這需要教師從“傳遞知識”向“建構(gòu)知識”的教學(xué)方式轉(zhuǎn)型。

（一）問題設(shè)計(jì)要精準(zhǔn)

“教學(xué)過程是一種不斷地提出問題和解決問題的活動(dòng)”，教師作為問題的設(shè)計(jì)者，要提出符合教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)對象的問題，要提出符合知識生成的問題，要提出符合學(xué)生思維發(fā)展的問題。學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是順利遷移的關(guān)鍵因素，奧蘇伯爾認(rèn)為：“過去的經(jīng)驗(yàn)影響著有意義的學(xué)習(xí)與保持或者說對這種學(xué)習(xí) 和保持起著積極或消極的作用，因?yàn)樗梢杂绊懻J(rèn)知結(jié)構(gòu)的有關(guān)特征。因此認(rèn)知結(jié)構(gòu)在遷移中起著決定性作用。”筆者一般會從舊知識入手復(fù)習(xí)鞏固，再重點(diǎn)強(qiáng)化和新問題具有密切聯(lián)系的內(nèi)容，接著引導(dǎo)學(xué)生思考舊問題可能帶來的變化，新問題的生成會顯得非常順其自然，有時(shí)學(xué)生甚至能夠提出預(yù)設(shè)之外更有價(jià)值的觀點(diǎn)，教學(xué)相長體現(xiàn)得淋漓盡致。

本節(jié)課提出的問題中，筆者認(rèn)為問題2是亮點(diǎn)，原因在于當(dāng)三角形中三個(gè)條件減少為兩個(gè)條件時(shí)，學(xué)生可以從宏觀上把握四種可能，既然課堂上已經(jīng)學(xué)習(xí)過其中兩種情況的解決策略，之后再碰到未曾研究的情況時(shí)也不至于毫無頭緒。

（二）素養(yǎng)提升要堅(jiān)持

筆者始終堅(jiān)定地認(rèn)為“學(xué)生是課堂的主體，教師是課堂的主導(dǎo)”，因此每節(jié)課前都會問自己“這節(jié)課要達(dá)成的主要目標(biāo)是什么”？而目標(biāo)的主體一定是學(xué)生。一節(jié)課雖說不是培養(yǎng)學(xué)生單一的能力，而是以培養(yǎng)多種能力為目標(biāo)，但一定也有主次之分。長此以往，不同的學(xué)生能夠明確自己的優(yōu)勢和不足，從而更加高效地提升能力不足之處。

本節(jié)課前半場在設(shè)計(jì)時(shí)更加側(cè)重直觀想象能力的提升，這有助于解決選擇填空題，對于解答題可以起到輔助作用，借助于圖形分析能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，但對于學(xué)生直觀想象力也有要求。后半場側(cè)重運(yùn)算表達(dá)，以沉淀平靜收尾，有助于學(xué)生將知識內(nèi)化于心。

（三）教材理解要深刻

不論問題的設(shè)計(jì)，還是素養(yǎng)的提升，都是建立在師生對教材的理解要深刻的基礎(chǔ)上。深刻意味著對于教材整體的把握，意味著對于教材中相同研究對象、研究內(nèi)容的整合，意味著對于教材中相同研究方法的歸納。特別是對于新概念的認(rèn)識不可在學(xué)習(xí)新內(nèi)容時(shí)一帶而過，進(jìn)而通過大量的練習(xí)去感受其本質(zhì)，這是本末倒置的行為。應(yīng)在概念形成的環(huán)節(jié)了解其來源、理解概念深刻的內(nèi)涵（比如從正面與反面進(jìn)行比對）、探究概念的外延（比如相關(guān)概念的比較以及概念的初步應(yīng)用等）。同時(shí)，教師針對不同的學(xué)情，能夠合理調(diào)整教材內(nèi)容的難易，真正做到因材施教。

“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的遷移過程是數(shù)學(xué)知識相互作用、逐漸整合的過程。任何數(shù)學(xué)知識的獲得都不是一蹴而就的，而是在一個(gè)較長的時(shí)間內(nèi)，有層次、螺旋上升、逐漸獲得的?！边w移在學(xué)習(xí)中起著十分重要的作用。教師若能夠在課堂滲透遷移思想，教會學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能夠提高學(xué)習(xí)效率，還可以推廣至其他學(xué)科的自主學(xué)習(xí)，甚至伴隨其終身。