李鑫

摘 要｜《中國財經(jīng)素養(yǎng)教育標準框架》是國內(nèi)首個有關(guān)學生財經(jīng)素養(yǎng)教育的標準架構(gòu)，其中對不同學段學生所具備的財經(jīng)素養(yǎng)作出了明確劃分。本文以“等比數(shù)列的概念”為例，從跨學科的角度出發(fā)進行教學設(shè)計，注重財經(jīng)知識的滲透，旨在促進學生形成跨學科思維，將數(shù)學課堂與生活實際聯(lián)系起來，從而養(yǎng)成良好的財經(jīng)素養(yǎng)。經(jīng)研究得出以下結(jié)論：注重挖掘教材內(nèi)容，恰到好處把握財經(jīng)知識的滲透，強調(diào)數(shù)學與現(xiàn)實生活相融合。

關(guān)鍵詞｜跨學科；財經(jīng)素養(yǎng)；教學設(shè)計；等比數(shù)列

Copyright ? 2024 by author （s） and SciScan Publishing Limited

This article is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License. https：//creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/

1 背景

2022年頒布的《義務(wù)教育課程方案（2022年版）》對跨學科主題學習作出了不少于10%的學習要求［1］。與此同時，《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》中也著重強調(diào)了跨學科學習，提出將跨學科背景下的主題學習作為“綜合與實踐”領(lǐng)域的主要學習方式，并在第二學段規(guī)定了綜合性、實踐性較強的跨學科內(nèi)容的主題活動，引導(dǎo)學生綜合運用數(shù)學學科和跨學科的知識與方法解決問題，完成跨學科實踐活動，形成跨學科的應(yīng)用意識與實踐能力，并能夠從實際情境或跨學科的問題中抽象出核心變量［2］。《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）在學業(yè)質(zhì)量水平與數(shù)學學科核心素養(yǎng)水平劃分部分也要求學生能夠合理地運用數(shù)學語言和思維進行跨學科的表達與交流［3］。

隨著我國基礎(chǔ)教育課程改革推進步伐的加快，跨學科學習方式已經(jīng)成為中小學數(shù)學學習中不可或缺的學習方式，對義務(wù)教育階段和高中階段學生的數(shù)學學習起到重要的作用。

而2018年由中國財經(jīng)素養(yǎng)教育協(xié)同創(chuàng)新中心研制的《中國財經(jīng)素養(yǎng)教育標準框架》是國內(nèi)首個有關(guān)學生財經(jīng)素養(yǎng)教育的標準架構(gòu)，該標準將財經(jīng)素養(yǎng)教育劃分為五個維度，包括收入與消費、儲蓄與投資、風險與保險、制度與環(huán)境、財富與人生，以及三個目標，包括了解知識與事實、獲取方法與技能、形成觀念與態(tài)度，形成了中國財經(jīng)素養(yǎng)教育標準“五維三標”的框架［4］。在該標準框架中，規(guī)定了不同學段學生的財經(jīng)素養(yǎng)的教育標準，包括幼兒園、小學、初中、高中和大學，這個過程貫穿了一個學生教育經(jīng)歷的全程，旨在使學生從走入校園到走出校園的不同階段接受不同的財經(jīng)教育，從而養(yǎng)成良好的財經(jīng)素養(yǎng)，為學生步入社會打下良好的基礎(chǔ)。

目前針對跨學科領(lǐng)域的數(shù)學教育研究成果較多，但針對財經(jīng)素養(yǎng)教育的具體數(shù)學教學設(shè)計及實施的研究相對較少，數(shù)學與生活有著方方面面的聯(lián)系，而生活中有關(guān)的財經(jīng)知識也可運用到數(shù)學中。本文將從跨學科學習的視角出發(fā)，結(jié)合相關(guān)的財經(jīng)知識和具體的現(xiàn)實情境問題，以“等比數(shù)列的概念”為例，對高中數(shù)學教學過程的財經(jīng)素養(yǎng)教育進行研究。

2 教學設(shè)計各環(huán)節(jié)

2.1 教學內(nèi)容分析

“等比數(shù)列的概念”選自人教A版《普通高中教科書·數(shù)學》選擇性必修第二冊“4.3等比數(shù)列”［5］。本節(jié)課位于等差數(shù)列的學習之后，等比數(shù)列作為與等差數(shù)列相對應(yīng)的一種數(shù)列形式，既是等差數(shù)列學習的延伸，又能結(jié)合指數(shù)函數(shù)對等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)進行探究，因此可以采用類比的數(shù)學思想方法進行學習，此外，等比數(shù)列也是解決生活中實際問題的重要數(shù)學工具，可以運用到解決財經(jīng)問題中。

2.2 學生學情分析

在本節(jié)課學習之前，學生已經(jīng)學習了等差數(shù)列的概念、通項公式、求和等內(nèi)容，對數(shù)列的基本概念有了清晰的認識，積累了一定的數(shù)列學習經(jīng)驗，在更早之前學生學習了函數(shù)等知識，數(shù)列是特殊的函數(shù)，函數(shù)思維可以有利于學生加深對數(shù)列的理解，并運用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)來探究等比數(shù)列的性質(zhì)，因此可采用類比的數(shù)學思想方法進行本節(jié)課的學習。但學生并沒有系統(tǒng)學習過等比數(shù)列的相關(guān)內(nèi)容，并沒有關(guān)于等比數(shù)列的知識基礎(chǔ)，缺乏對等比數(shù)列知識的深入思考，不了解其與生活、生產(chǎn)的聯(lián)系。

在財經(jīng)知識方面，由于年齡所限，學生并沒有相關(guān)的生活經(jīng)歷，所以并不了解“年利率”“單利”“復(fù)利”等概念和計算方法，無法將財經(jīng)知識、數(shù)學知識和現(xiàn)實生活融會貫通。

2.3 教學目標確定

依據(jù)《標準》對課程內(nèi)容學習的要求，以“四基、四能”為培養(yǎng)目標，以“核心素養(yǎng)”為導(dǎo)向，與此同時進行財經(jīng)素養(yǎng)教育，確定以下教學目標。

（1）以等差數(shù)列的概念為基礎(chǔ)，通過類比的數(shù)學思想方法理解并掌握等比數(shù)列的概念、通項公式、等比中項等知識，在這個過程中了解等比數(shù)列通項公式的推導(dǎo)過程。

（2）以指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)為基礎(chǔ)，通過類比的數(shù)學思想方法了解等比數(shù)列的性質(zhì)，并通過數(shù)學實驗（GeoGebra軟件）直觀觀察圖象的繪制及動態(tài)演示，加深對等比數(shù)列性質(zhì)的理解。

（3）從現(xiàn)實情境問題出發(fā)，了解單利、復(fù)利等財經(jīng)知識的概念與計算方法，將其與數(shù)學知識和現(xiàn)實生活融會貫通，并運用到現(xiàn)實情境問題的解決之中去。

（4）通過自主探究和小組討論的方式，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，增強學生的交流協(xié)作能力，發(fā)展學生的創(chuàng)新意識。

（5）提升數(shù)學建模、數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象的數(shù)學學科核心素養(yǎng)。

2.4 教學重、難點

教學重點：類比等差數(shù)列的概念與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，理解并掌握等比數(shù)列的概念及性質(zhì)。

教學難點：了解等比數(shù)列通項公式的推導(dǎo)過程；結(jié)合財經(jīng)知識與數(shù)學知識解決現(xiàn)實情境問題。

2.5 教學過程設(shè)計

本節(jié)課采用“問題驅(qū)動式教學”的形式，采取講練結(jié)合的方式，注重現(xiàn)實情境問題的解決，結(jié)合數(shù)學實驗促進學生對知識的理解，并在這個過程中滲透財經(jīng)知識。

2.5.1 復(fù)習導(dǎo)入

問題1：某人到銀行利用零存整取的方式存款，每年年初存入銀行a元，連續(xù)存5年，年利率為r，他5年內(nèi)每年年末得到的利息分別為多少錢？

本題屬于情境問題中的現(xiàn)實情境問題，所涉及的內(nèi)容是等差數(shù)列相關(guān)問題，學生通過前面對等差數(shù)列的學習，不難得出答案：5ar，4ar，3ar，2ar，ar。教師借此機會組織學生觀察該數(shù)列規(guī)律，得出該數(shù)列是等差數(shù)列。

教師借此題向?qū)W生普及單利的概念：單利是指只對本金計算利息，利息部分不再計算利息，在單利方式下，本能生利，而利息不能生利。

觀察圖1，結(jié)合生活實際中的年利率，介紹與單利不同的另外一種利率形式——復(fù)利，在復(fù)利方式下，本能生利，利息在下期轉(zhuǎn)為本金一起計算利息。具體來說，復(fù)利計算方法是指每經(jīng)過一個計息期，要將該期的利息加人本金再計算利息，逐期滾動計算，俗稱“利滾利”。這里所說的一個計息期，是指相鄰兩次計息的間隔，如一年、半年等。除非特別說明，一個計息期一般為年［6］。

問題2：某人存入銀行a元，存期為5年，年利率為r，那么按照復(fù)利，他5年內(nèi)每年年末得到的本利和分別為多少錢？

本題是問題1的一個變式，將零存整取改為整存零取，教師在學生解題之前已經(jīng)向?qū)W生普及了復(fù)利的概念，從而可得出答案：a（1+r），a（1+r）2，a（1+r）3，a（1+r）4，a（1+r）5。

【設(shè)計意圖】

問題1和問題2從現(xiàn)實情境出發(fā)，在拋出問題之前組織學生觀察存折實例并普及單利、復(fù)利的概念，使學生置身于現(xiàn)實生活。從跨學科的角度出發(fā)，結(jié)合單利的概念，使學生求得等差數(shù)列，以此為基礎(chǔ)引出復(fù)利的概念，并繼續(xù)拋出相關(guān)問題，從而引出本節(jié)課的主題——“等比數(shù)列的概念”。學生經(jīng)過這個過程，將現(xiàn)實情境問題抽象為數(shù)學問題，既復(fù)習了過往的知識，又可以更好地體會到現(xiàn)實生活中所面臨的財經(jīng)問題，將數(shù)學融入現(xiàn)實生活，從而激發(fā)學生的學習動機與興趣。

2.5.2 探究新知

觀察問題2所得的數(shù)列以及下面這幾個例子：

例1 兩河流域發(fā)掘的古巴比倫時期的泥版上記錄了下面的數(shù)列：9，92，93，……，910；100，1002，1003，……，10010；5，52，53，……，510。

例2 《莊子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！比绻选耙怀咧ⅰ钡拈L度看成單位“1”，那么從第1天開始，各天得到的“棰”的長度依次是：1/2，1/4，1/8，1/16，1/32，……

例3 在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細菌每20min就通過分裂繁殖一代，那么一個這種細菌從第1次分裂開始，各次分裂產(chǎn)生的后代個數(shù)依次是：2，4，8，16，31，64，……

問題3：類比等差數(shù)列的研究，可以通過怎樣的運算發(fā)現(xiàn)以上數(shù)列的取值規(guī)律？可以發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

問題4：類比等差數(shù)列的概念，從發(fā)現(xiàn)的規(guī)律中，可以抽象出等比數(shù)列的概念嗎？

教師引導(dǎo)學生通過除法運算，使學生觀察出上述四個數(shù)列的規(guī)律：從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于一個定值。結(jié)合等差數(shù)列的概念，可以得出等比數(shù)列的概念：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫作等比數(shù)列，這個常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（顯然q≠0）。

結(jié)合等差中項的形式與上述例子，可以得出等比中項的概念：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫作a與b的等比中項，此時，G2=ab。

問題5：你能根據(jù)等比數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項公式嗎？

教師引導(dǎo)學生進行觀察，以問題2所得數(shù)列為例，令a1=a（1+r），a2=a（1+r）2，a3=a（1+r）3，a4=a（1+r）4，a5=a（1+r）5。將各項用a1和q表示，可得a1=a1，a2=a1q，a3=a1q2，a4=a1q3，a5=a1q4，從而推導(dǎo)出等比數(shù)列通項公式為：an=a1qn-1（n∈N*）。

數(shù)學實驗：利用GeoGebra軟件分別繪制指數(shù)函數(shù)f（x）=a₁/q·qx（x∈R），以及等比數(shù)列an=a1qn-1（n∈N*）的圖象，并進行動態(tài)展示。如圖2、圖3、圖4所示。

問題6：觀察圖2、圖3以及圖4，在q>0且q≠1時，類比指數(shù)函數(shù)f（x）=·qx（x∈R），說說等比數(shù)列an=a1qn-1（n∈N*）的單調(diào)性及圖象，以及等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。

通過圖象學生可以直觀地觀察等比數(shù)列圖象與指數(shù)函數(shù)圖象的關(guān)系。利用GeoGebra進行動態(tài)展示可以通過給a1，q，x，n來賦值，看出等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性變化規(guī)律。

【設(shè)計意圖】

通過探究式的教學方式，采用問題串層層遞進，引導(dǎo)學生得出等比數(shù)列的概念以及通項公式。通過數(shù)學實驗，借助GeoGebra進行繪圖，使學生直觀地感受等比數(shù)列、指數(shù)函數(shù)的圖象及其之間的關(guān)系，通過類比的數(shù)學思想方法，認識到數(shù)列是特殊的函數(shù)，圖象的動態(tài)展示可以使學生觀察圖象單調(diào)性變化，加深對新知識的印象。

2.5.3 新知應(yīng)用

問題7：某人用10000元購買某個理財產(chǎn)品一年：（1）若以月利率0.400%的復(fù)利計息，12個月能獲得多少利息（精確到0.01元）？（2）若以季度復(fù)利計息，存4個季度，則當每季度利率為多少時，按季結(jié)算的利息不少于按月結(jié)算的利息（精確到10-5）？

本題綜合了等比數(shù)列的首項、公比、通項公式的計算，解不等式，以及復(fù)利、本利和等財經(jīng)知識，可以檢驗出學生對于前面等比數(shù)列概念等內(nèi)容的掌握情況，并對剛剛學習的財經(jīng)知識加深印象。

【設(shè)計意圖】

通過習題的方式，可以使剛剛學過的知識進行再鞏固、再認識，并且該題目與導(dǎo)入環(huán)節(jié)的經(jīng)濟問題相呼應(yīng)，是導(dǎo)入環(huán)節(jié)所涉及經(jīng)濟問題的進階版本。在現(xiàn)實情境的大背景下應(yīng)用剛剛學習到的等比數(shù)列概念以及通項公式等相關(guān)內(nèi)容，學生不僅可以加深對數(shù)學知識的印象，還可以更好地將抽象的數(shù)學知識代入到現(xiàn)實生活中去，加深對單利、復(fù)利等財經(jīng)知識的理解，有利于提高學生的財經(jīng)素養(yǎng)。

2.5.4 歸納總結(jié)

本節(jié)課從現(xiàn)實情境問題出發(fā)，介紹兩種不同的利息形式——單利與復(fù)利，這兩種不同的利息形式分別與等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識相對應(yīng)，從現(xiàn)實情境問題中抽象出數(shù)學問題，從而得出等比數(shù)列的概念及通項公式，直觀地通過指數(shù)函數(shù)及等比數(shù)列圖象得到兩者之間的關(guān)系及單調(diào)性，再形成新知后，又結(jié)合財經(jīng)知識，將其應(yīng)用到現(xiàn)實情境問題中。在這過程中，開闊了眼界，養(yǎng)成良好的財經(jīng)素養(yǎng)，形成數(shù)學建模、數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象的數(shù)學學科核心素養(yǎng)。

2.5.5 布置作業(yè)

（1）書后練習第1、3、4題。

（2）普通年金是指每期期末有等額收付款項的年金，所以又稱為后付年金。年金數(shù)額為5萬元，利息率為1.5%，計息期數(shù)為5年，則按復(fù)利計算的年金終值是多少（請同學查找“年金終值”的定義）？

（3）每位同學回家尋找生活中的財經(jīng)知識，下節(jié)課交流討論。

3 結(jié)論與建議

3.1 注重挖掘教材內(nèi)容

在進行財經(jīng)素養(yǎng)教育的教學設(shè)計過程中，作為教師應(yīng)盡量挖掘教材中的內(nèi)容，所選擇的情境問題應(yīng)盡可能地來源于教材之中，因為教材是教師執(zhí)教的依據(jù)，也是學生學習的依據(jù)。從教材本身來看，教材不僅是課程標準的代言人，更是集中了眾多專家、學者的專業(yè)智慧和學科水平，它是學科知識的精華、智慧的結(jié)晶［7］。

在現(xiàn)行高中數(shù)學教材中，包含很多有關(guān)財經(jīng)知識的內(nèi)容，如本文教學設(shè)計中的問題2和問題7，都來源于《普通高中教科書（A版）：數(shù)學（選擇性必修第二冊）》。同時，《標準》中包括的選修B類課程是供有志于學習經(jīng)濟、社會類（如數(shù)理經(jīng)濟、社會學等）和部分理工類（如化學、生物、機械等）專業(yè)的學生選擇的課程［3］，因此在選修B類課程中，也可挖掘出一些有關(guān)財經(jīng)知識的內(nèi)容。

在挖掘教材的過程中，教師可將教科書中涉及的財經(jīng)知識進行適當延伸，將其與日常生活聯(lián)系起來，從相關(guān)專業(yè)書籍中挖掘一些與本節(jié)課學習相關(guān)的簡單的概念，如本文中的“單利”“復(fù)利”，并向?qū)W生普及，有利于學生養(yǎng)成良好的財經(jīng)素養(yǎng)，習得生活技能，也可使學生提前了解相關(guān)專業(yè)知識，為高中畢業(yè)后的專業(yè)選擇甚至是今后的人生道路打下良好的基礎(chǔ)。

3.2 恰到好處把握財經(jīng)知識的滲透

前文提到“將教科書中涉及的財經(jīng)知識進行適當延伸”，這里強調(diào)“適當”一詞。在教學過程中滲透財經(jīng)知識，不要偏離本節(jié)課原有的教學目標。教師要把握好本節(jié)課所教授的數(shù)學知識與財經(jīng)知識的界限，所涉及的財經(jīng)知識專業(yè)性不應(yīng)太強，且要與本節(jié)課相關(guān)，不能生搬硬套，更不要舍本逐末。教師作為知識的傳播者，在課堂中具有主導(dǎo)地位，在此基礎(chǔ)上，教師更不能忽略學生的主體地位，要正確引導(dǎo)學生，在保證完成《標準》對學生基本要求的前提下滲透財經(jīng)知識。

3.3 強調(diào)數(shù)學與現(xiàn)實生活相融合

在滲透財經(jīng)知識時，不僅僅是數(shù)學知識與財經(jīng)知識的展現(xiàn)，更要向?qū)W生介紹生活中有關(guān)該知識在生活中的運用，如本教學設(shè)計中“圖1存折內(nèi)頁示例”的展示，不僅可以向?qū)W生普及“年利率”“單利”“復(fù)利”等概念，還可以使學生將課堂上的知識應(yīng)用到生活之中，在生活中找到課堂的影子。

在實現(xiàn)數(shù)學與生活融合的過程中，情境問題的運用是一個重要的手段，《標準》中將情境分為現(xiàn)實情境、數(shù)學情境、科學情境，問題是指在情境中提出的數(shù)學問題［3］。本文教學設(shè)計中的問題1、問題2和問題7都屬于現(xiàn)實情境問題。將問題1、問題2中的現(xiàn)實情境問題抽象為數(shù)學問題，又將習得的知識應(yīng)用到問題7中，使知識從生活中來又應(yīng)用到生活之中去，形成一個循環(huán)往復(fù)的閉環(huán)，如圖5所示。

上圖中，“現(xiàn)實問題”是指現(xiàn)實生活中所面臨的問題，教師在教學過程中所提出的“現(xiàn)實情境問題”，都是由“現(xiàn)實問題”整理而來的，具有一定的現(xiàn)實背景，再應(yīng)用所學的數(shù)學知識和財經(jīng)知識，將現(xiàn)實情境問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題并加以解決，但此時學習過程并沒有結(jié)束，教師再一次引導(dǎo)學生回到現(xiàn)實問題之中，在這個過程中，學生逐漸形成數(shù)學學科核心素養(yǎng)與財經(jīng)素養(yǎng)。

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部．義務(wù)教育課程方案（2022年版）［S］．北京：北京師范大學出版社，2022：11．

［2］中華人民共和國教育部．義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）［S］．北京：北京師范大學出版社，2022：7-78．

［3］中華人民共和國教育部．普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］．北京：人民教育出版社，2020．

［4］中國財經(jīng)素養(yǎng)教育標準框架［J］．大學（研究版），2018（1）：9-35．

［5］普通高中教科書·數(shù)學（必修第二冊A版）［M］．北京：人民教育出版社，2020：27-32．

［6］財政部會計資格評價中心．財務(wù)管理［M］．北京：經(jīng)濟科學出版社，2019：23．

［7］余文森．正確認識教材在教學中的地位和作用［J］．中小學教材教學，2016（2）：20-22．

Research on Teaching Design of High School Mathematics and Finance Literacy Education from an Interdisciplinary Perspective

—Taking the Concept of Proportional Sequence as an Example

Li Xin

Tianjin Normal University， Tianjin

Abstract： The China Financial Literacy Education Standard Framework is the first standard framework for student financial literacy education in China， which clearly divides the financial literacy possessed by students of different age groups.This article takes the concept of “proportional sequences” as an example to design teaching from an interdisciplinary perspective， focusing on the infiltration of financial and economic knowledge， aiming to promote students to form interdisciplinary thinking， connect mathematics classes with practical life， and cultivate good financial literacy.The following conclusion has been drawn through research： emphasizing the exploration of textbook content， appropriately grasping the infiltration of financial knowledge， and emphasizing the integration of mathematics and real life.

Key words： Interdisciplinary; Financial literacy; Teaching design; Proportional sequence