江蘇省南京市建鄴實(shí)驗(yàn)小學(xué)分校 饒正凱

一、案例背景

學(xué)生在三年級(jí)初步認(rèn)識(shí)了分?jǐn)?shù)，知道把一個(gè)物體、一個(gè)圖形或幾個(gè)物體組成的整體平均分成幾份，其中的一份或幾份可以用幾分之一或幾分之幾來表示。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生在五年級(jí)學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”單元第一課時(shí)時(shí)，進(jìn)一步抽象出單位“1”的概念，概括分?jǐn)?shù)的意義，同步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)單位。實(shí)踐表明，如此教學(xué)容易造成學(xué)生對(duì)“假分?jǐn)?shù)”等概念的理解困難。因此，教材再次激活學(xué)生已有的度量經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生基于度量的視角理解分?jǐn)?shù)，從而自然生成“假分?jǐn)?shù)”，為后續(xù)探究分?jǐn)?shù)序列的其他知識(shí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

度量的核心是度量單位的產(chǎn)生、發(fā)展以及累加的過程。因此，分?jǐn)?shù)的度量意義不僅要強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)也是數(shù)，是數(shù)軸上的一點(diǎn)，還要強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生過程是對(duì)分?jǐn)?shù)單位的計(jì)數(shù)或累加，這在本質(zhì)上與整數(shù)、小數(shù)的計(jì)數(shù)方法是一致的。因此，筆者創(chuàng)設(shè)真實(shí)的問題情境，引發(fā)學(xué)生的度量需求，并在實(shí)際的度量操作中自然生成合適的度量單位，深度建構(gòu)分?jǐn)?shù)的度量意義，豐富學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解。在此基礎(chǔ)上，通過分?jǐn)?shù)單位的累加認(rèn)識(shí)“真分?jǐn)?shù)”與“假分?jǐn)?shù)”，擴(kuò)展“分?jǐn)?shù)”概念的外延，使學(xué)生體驗(yàn)假分?jǐn)?shù)與真分?jǐn)?shù)、整數(shù)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。

二、案例描述

（一）片段一

著名兒童心理學(xué)家皮亞杰說過，智慧從動(dòng)作開始，學(xué)生的多種感官參與認(rèn)知活動(dòng)，可以使信息不斷地刺激細(xì)胞，促使思維活躍，便于儲(chǔ)存和提取信息，同時(shí)易于激發(fā)好奇心和求知欲，產(chǎn)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力。因此，教師要設(shè)計(jì)操作活動(dòng)，通過測(cè)量激活學(xué)生的度量經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生體會(huì)分?jǐn)?shù)單位產(chǎn)生的必要性,深入理解單位“1”的內(nèi)涵。

1.問題引入，激活經(jīng)驗(yàn)

課件出示：

（指名學(xué)生讀一讀）

師：你覺得有什么要提醒其他同學(xué)的？

（在學(xué)生交流的基礎(chǔ)上明確：以粉彩帶為標(biāo)準(zhǔn)）師：以粉彩帶為標(biāo)準(zhǔn)，紫彩帶有多長(zhǎng)？

（學(xué)生交流后，課件演示測(cè)量過程）

師：以粉彩帶為標(biāo)準(zhǔn)，就是把粉彩帶的長(zhǎng)度看作單位“1”。（板書：1）

師（追問）：紫彩帶的長(zhǎng)度可以用哪個(gè)數(shù)表示？如果紫彩帶有3 個(gè)這樣的1 根呢？4 個(gè)這樣的1 根呢？100 個(gè)呢？

師（小結(jié)）：幾個(gè)1 是幾。[板書：幾個(gè)1 是（ ）、結(jié)果、自然數(shù)、單位]

【設(shè)計(jì)意圖：從一個(gè)實(shí)際問題引入，在明確問題實(shí)質(zhì)的基礎(chǔ)上喚醒學(xué)生的度量經(jīng)驗(yàn)——“以粉彩帶為標(biāo)準(zhǔn)”就是把粉彩帶的長(zhǎng)度看作單位“1”，用粉彩帶去量紫彩帶，紫彩帶中包含幾根粉彩帶的長(zhǎng)，就可以用幾表示，從而進(jìn)一步激活學(xué)生的整數(shù)計(jì)數(shù)經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)探究活動(dòng)埋下伏筆?！?/p>

2.基于度量，再認(rèn)分?jǐn)?shù)

（1）設(shè)置沖突，引發(fā)需求

課件出示：

師：我們繼續(xù)以粉彩帶為標(biāo)準(zhǔn)，黃彩帶有多長(zhǎng)？現(xiàn)在還能以這根粉彩帶作單位來量嗎？有什么好辦法？

（同桌討論）

師（小結(jié)）：可以把粉彩帶平均分，用每份的長(zhǎng)度作單位來量。

（2）創(chuàng)生單位，自主測(cè)量

①示范測(cè)量

②創(chuàng)生單位

課件演示：把粉彩帶平均分成3 份、4 份、5 份，得到不同的單位。（板書：

③嘗試測(cè)量

師：選哪個(gè)作單位能量出黃彩帶的長(zhǎng)度呢？

（學(xué)生嘗試測(cè)量，同桌交流）

（指名學(xué)生展示測(cè)量過程）

④再度體驗(yàn)

課件出示：

師：你能像剛才那樣選擇合適的單位量一量藍(lán)彩帶的長(zhǎng)度嗎？

出示小組合作要求：

選：選擇合適的分?jǐn)?shù)單位量一量。

想：藍(lán)彩帶是幾分之幾根粉彩帶的長(zhǎng)？

說：小組內(nèi)交流自己的想法。

（學(xué)生活動(dòng)，匯報(bào)交流）

⑤初步對(duì)比

課件出示：

師（小結(jié)）：它們的分?jǐn)?shù)單位不一樣，分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)也不一樣。

（3）豐富認(rèn)識(shí)，比較分類

①看數(shù)填圖

師：李阿姨去比薩店買了一些比薩回來分給家人（出示：4 個(gè)比薩），小明想吃個(gè)比薩，哥哥想吃個(gè)比薩，爸爸想吃個(gè)比薩，李阿姨會(huì)怎么做？

②看圖寫數(shù)

師：他們?nèi)齻€(gè)人一共吃了多少個(gè)比薩？

課件動(dòng)態(tài)演示：

（指名口答，說明理由）

③比較分類

師：剛才我們認(rèn)識(shí)了這么多分?jǐn)?shù)，你能把它們分分類嗎？

（學(xué)生交流）

師（小結(jié)）：分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫真分?jǐn)?shù)，分子比分母大或者分子和分母相等的分?jǐn)?shù)叫假分?jǐn)?shù)。（板書：真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)）

從一個(gè)實(shí)際問題引入，在明確問題實(shí)質(zhì)的基礎(chǔ)上激活學(xué)生的度量經(jīng)驗(yàn)——“以粉彩帶為標(biāo)準(zhǔn)”就是把粉彩帶的長(zhǎng)度看作單位“1”，用粉彩帶去量紫彩帶，量出紫彩帶中包含幾根粉彩帶的長(zhǎng)。度量單位和度量值是度量的核心要素。因此，從度量角度認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，關(guān)鍵是建立“分?jǐn)?shù)單位”和“數(shù)出分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)”之間的聯(lián)系?；趯W(xué)生已有的度量經(jīng)驗(yàn)，筆者設(shè)計(jì)層次不同的測(cè)量活動(dòng)，讓學(xué)生充分經(jīng)歷分?jǐn)?shù)單位累加得到大小不同的分?jǐn)?shù)的過程。第一層次“半扶半放”，通過課件演示，幫助學(xué)生進(jìn)一步明晰測(cè)量的方法，然后自選合適的單位初步嘗試測(cè)量；第二層次“由扶到放”，學(xué)生基于新生成的測(cè)量經(jīng)驗(yàn)，再次體驗(yàn)測(cè)量的過程，獲得測(cè)量結(jié)果，直觀感知分?jǐn)?shù)單位的累加得到大小不同的分?jǐn)?shù)；第三層次“完全自主”，在既有的單位無法準(zhǔn)確測(cè)量的情況下，學(xué)生嘗試尋找新的單位來測(cè)量。學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中體會(huì)到分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生是實(shí)際測(cè)量的需要，并進(jìn)一步從度量的角度豐富了對(duì)分?jǐn)?shù)的意義的認(rèn)識(shí)。

（二）片段二

小學(xué)生并未進(jìn)入形式運(yùn)算階段，還不能在頭腦中很好地將形式和內(nèi)容分開，不能進(jìn)行較抽象的邏輯推理。因此，總體而言，對(duì)于小學(xué)階段的分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)，教師應(yīng)該結(jié)合學(xué)生的年齡特征，從多個(gè)方面幫助他們加強(qiáng)對(duì)分?jǐn)?shù)不同意義的理解。

1.數(shù)形結(jié)合，深化理解

（1）簡(jiǎn)單應(yīng)用，發(fā)展數(shù)感

課件出示：

師：仍然把粉彩帶看作單位“1”，你覺得綠彩帶的長(zhǎng)度是真分?jǐn)?shù)還是假分?jǐn)?shù)？誰來估一估，你覺得用哪個(gè)單位來量最合適？

（學(xué)生估計(jì)，指名驗(yàn)證、交流）

（2）適度抽象，直觀感知

師：剛才我們都以粉彩帶為標(biāo)準(zhǔn)，若干根這樣的粉彩帶前后連接，并在一起，再壓縮就成了我們熟悉的數(shù)線（演示：兩根粉彩帶并在一起，再隱去粉彩帶最終出現(xiàn)數(shù)線）。那么，在哪呢？

（請(qǐng)學(xué)生指一指，說明理由）

課件相機(jī)出示：

師：在數(shù)線上，你還能找到哪些分?jǐn)?shù)？在這些分?jǐn)?shù)中，真分?jǐn)?shù)有幾個(gè)？假分?jǐn)?shù)又有幾個(gè)？

（指名交流）

師（小結(jié)）：分?jǐn)?shù)單位為

（3）關(guān)聯(lián)小數(shù)，溝通聯(lián)系

課件出示：

師：如果把1 平均分成10 份，你想到哪個(gè)數(shù)？還可以用哪個(gè)數(shù)來表示？師：當(dāng)把1 平均分成10 份時(shí)，每份不僅可以用這樣的分?jǐn)?shù)來表示，還可以用0.1 這樣的小數(shù)來表示。（板書：小數(shù)0.1）

師（追問）：2 個(gè)0.1 是幾？7 個(gè)0.1 呢？14 個(gè)0.1 呢？

（學(xué)生交流回答）

師（小結(jié)）：幾個(gè)0.1 是幾點(diǎn)幾。（板書：0.2，0.7，1.4）

【設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生從度量的角度充分感知分?jǐn)?shù)的意義后，教師將彩帶抽象成數(shù)線，借助數(shù)線引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)分?jǐn)?shù)單位的累加得到大小不同的分?jǐn)?shù)，并直觀比較真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)的大小，同時(shí)與小數(shù)的認(rèn)識(shí)關(guān)聯(lián)，有效溝通分?jǐn)?shù)和整數(shù)、小數(shù)計(jì)數(shù)方法之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。】

2.回顧反思，統(tǒng)整認(rèn)識(shí)

師：同學(xué)們，通過今天的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？

（學(xué)生自由交流）

師：以前，我們是把單位“1”平均分，然后用分?jǐn)?shù)來表示部分與整體的關(guān)系。今天，我們認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的角度發(fā)生了一些變化，你覺得和以前比，我們現(xiàn)在更關(guān)注什么？

師（小結(jié)）：無論是自然數(shù)、分?jǐn)?shù)還是小數(shù)，在計(jì)數(shù)的時(shí)候，都是數(shù)有幾個(gè)這樣的計(jì)數(shù)單位，累加起來結(jié)果就是幾。（板書：累加）今天，我們對(duì)分?jǐn)?shù)的意義有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。（板書課題：分?jǐn)?shù)的意義）關(guān)于分?jǐn)?shù)的知識(shí)遠(yuǎn)不止于此，今后我們還要繼續(xù)研究。

新知的學(xué)習(xí)離不開必要的練習(xí)。練習(xí)從最基本的“在圖形中涂色，表示它下面的分?jǐn)?shù)”開始，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)分?jǐn)?shù)進(jìn)行分類，進(jìn)而認(rèn)識(shí)真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)，在此基礎(chǔ)上再用“看圖寫數(shù)”及時(shí)鞏固學(xué)生對(duì)真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)。“單位”是貫穿“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”兩大領(lǐng)域的核心，在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域關(guān)注的是計(jì)數(shù)單位，在“圖形與幾何”領(lǐng)域強(qiáng)調(diào)的是計(jì)量單位，但兩者的道理是一致的。課尾，在學(xué)生系統(tǒng)回顧一節(jié)課的學(xué)習(xí)收獲的同時(shí)，教師進(jìn)一步引發(fā)學(xué)生溝通計(jì)數(shù)單位與計(jì)量單位之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生整體建構(gòu)小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識(shí)。

三、案例分析

“分?jǐn)?shù)的意義”作為“數(shù)的認(rèn)識(shí)”系列知識(shí)的核心內(nèi)容，一直是教學(xué)研究的熱點(diǎn)。為幫助學(xué)生精準(zhǔn)建構(gòu)分?jǐn)?shù)的度量意義，筆者力求打通不同學(xué)段、不同領(lǐng)域內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)，充分凸顯數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整體性與一致性。

（一）聚焦：把握核心與本質(zhì)

分?jǐn)?shù)的度量單位即分?jǐn)?shù)單位，分?jǐn)?shù)單位在本質(zhì)上與自然數(shù)的計(jì)數(shù)單位是一致的。不過，它隨著單位“1”被平均分成的份數(shù)的變化而變化，因而，學(xué)生理解起來感到抽象、困難，但這并不妨礙分?jǐn)?shù)單位在建構(gòu)分?jǐn)?shù)意義時(shí)的核心地位。

課中，筆者創(chuàng)設(shè)簡(jiǎn)潔明了的問題情境，以粉彩帶的長(zhǎng)度為標(biāo)準(zhǔn)，引導(dǎo)學(xué)生表示其他幾種彩帶的長(zhǎng)度。學(xué)生充分調(diào)動(dòng)已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)造不同的分?jǐn)?shù)單位，并選擇合適的分?jǐn)?shù)單位，通過度量描述各種彩帶的長(zhǎng)度，從而創(chuàng)生出大小不同的分?jǐn)?shù)，真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)便水到渠成，有效改善了以往單一地從“部分—整體”角度理解分?jǐn)?shù)的困境?？梢?，突出分?jǐn)?shù)單位便抓住了分?jǐn)?shù)序列知識(shí)教學(xué)的核心和本質(zhì)，唯有這樣，才能事半功倍。

（二）打開：歷練思維與經(jīng)驗(yàn)

“分?jǐn)?shù)的意義”有許多經(jīng)典的設(shè)計(jì)“深入人心”，這導(dǎo)致不少教師上課時(shí)受到許多有形、無形的束縛，課堂相對(duì)封閉。理想的課堂應(yīng)向四面八方打開！課堂向四面八方打開意味著給予學(xué)生更為廣闊的活動(dòng)空間，激活學(xué)生思維，積累豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，既要理解它的內(nèi)涵，又要認(rèn)識(shí)它的外延。因此，在學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的意義”時(shí)，認(rèn)識(shí)真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)是教學(xué)的應(yīng)有之義。本節(jié)課，對(duì)于真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)，筆者利用長(zhǎng)短不同的彩帶這種簡(jiǎn)約的學(xué)材，放手讓學(xué)生自主表達(dá)。學(xué)生在已有計(jì)數(shù)經(jīng)驗(yàn)的同化下，生長(zhǎng)出“幾個(gè)幾分之一就是幾分之幾”的新經(jīng)驗(yàn)，從而在不經(jīng)意間認(rèn)識(shí)了假分?jǐn)?shù)。如此教學(xué)，沒有囿于教材靜態(tài)的編排和過往陳舊的經(jīng)驗(yàn)，而是提供適合的學(xué)習(xí)材料，營(yíng)造適宜的學(xué)習(xí)氛圍，充分發(fā)掘?qū)W生的潛能，讓學(xué)生在真實(shí)發(fā)生的學(xué)習(xí)過程中歷練思維、習(xí)得方法、豐富經(jīng)驗(yàn)、積淀素養(yǎng)。

（三）融通：凸顯結(jié)構(gòu)與方法

數(shù)學(xué)知識(shí)邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，在日常教學(xué)中，教師要幫助學(xué)生建立起知識(shí)之間的聯(lián)系，使新知識(shí)與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的舊知識(shí)相互發(fā)生作用，實(shí)現(xiàn)新舊知識(shí)意義的同化，從而使原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生積極變化?；诖?，學(xué)生要更好地理解分?jǐn)?shù)序列知識(shí)，而有效的途徑就是以分?jǐn)?shù)的意義為核心構(gòu)建一個(gè)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，融通所學(xué)知識(shí)。

本課在分?jǐn)?shù)“份數(shù)定義”的基礎(chǔ)上從分?jǐn)?shù)單位累加的角度再認(rèn)分?jǐn)?shù)，這樣便將分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)與自然數(shù)的認(rèn)識(shí)融為一體了，學(xué)生從中也充分感受到認(rèn)數(shù)方法的一致性。不僅如此，課尾，筆者還將“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的“計(jì)數(shù)單位”和“圖形與幾何”領(lǐng)域的“計(jì)量單位”適度勾連，引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步的思考。這無形中增進(jìn)了學(xué)生對(duì)知識(shí)整體的理解。因此，在日常教學(xué)中，教師不僅要關(guān)注知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，還應(yīng)注重相關(guān)知識(shí)的連接點(diǎn)與延伸點(diǎn)。這樣不僅有利于學(xué)生理解所學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵，還能更好地揭示數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，有利于學(xué)生從整體上理解數(shù)學(xué)，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。

總之，為適應(yīng)基于核心素養(yǎng)的教學(xué)，備課之初，教師應(yīng)基于單元視角，提升教學(xué)立意；教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)聚焦核心知識(shí)，適度打開課堂，融通關(guān)聯(lián)內(nèi)容，從而有效凸顯數(shù)學(xué)課程的整體性與一致性。