夏曉丹

特色與亮點(diǎn)

①課件中插入視頻直觀呈現(xiàn)筒車運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)實(shí)情境，有利于引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看現(xiàn)實(shí)世界。

②課件中插入繪制好的幾何圖形，學(xué)生通過觀察分析、對(duì)比總結(jié)，將勻速圓周運(yùn)動(dòng)中的物理關(guān)系“翻譯”成幾何關(guān)系，并獲得函數(shù)關(guān)系，培養(yǎng)了學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言描述現(xiàn)實(shí)世界。

③課件中通過超鏈接，直接呈現(xiàn)制作好的各參數(shù)對(duì)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖象影響的動(dòng)畫，通過追蹤點(diǎn)的軌跡繪制函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象，將現(xiàn)實(shí)的關(guān)系用幾何的方法直觀動(dòng)態(tài)地呈現(xiàn)，使得本課件生動(dòng)有趣、圖象變換動(dòng)態(tài)直觀；利用幾何畫板軟件繪制函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖象不僅使“畫圖象”變得簡單，而且使“參數(shù)φ，ω，A的變化”引起相關(guān)對(duì)象的運(yùn)動(dòng)變化也有了更直觀的呈現(xiàn)，有助于理解其內(nèi)在的邏輯關(guān)系。

制作背景

本節(jié)課是典型的數(shù)學(xué)模型探索課程，學(xué)生需要從現(xiàn)實(shí)問題中抽象概括出數(shù)學(xué)模型，對(duì)該數(shù)學(xué)模型的圖象與性質(zhì)進(jìn)行研究，并利用該數(shù)學(xué)模型解決問題。為了實(shí)現(xiàn)較好的課堂教學(xué)效果，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看現(xiàn)實(shí)世界，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語言描述現(xiàn)實(shí)世界，并培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，本課件通過視頻展示、動(dòng)畫演示，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的全過程，通過自己動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，真正體會(huì)數(shù)學(xué)模型是如何建立的。

本課件的制作實(shí)現(xiàn)了生活現(xiàn)象數(shù)學(xué)化，學(xué)生可以通過觀察視頻、動(dòng)畫，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)、物理中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)以及現(xiàn)實(shí)中的筒車運(yùn)動(dòng)之間的內(nèi)在的聯(lián)系。課件從筒車運(yùn)動(dòng)的實(shí)際問題出發(fā)，讓學(xué)生體會(huì)從已知出發(fā)去探索未知、從特殊到一般進(jìn)行提問的研究思路，滲透了數(shù)學(xué)源于生活的本質(zhì)。

設(shè)計(jì)思路及內(nèi)容結(jié)構(gòu)

1.設(shè)計(jì)思路

本單元選自人教A版（2019）第五章第6節(jié)，建議用2課時(shí)完成。第1課時(shí)（如圖1），經(jīng)歷對(duì)筒車運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)建模過程，提出對(duì)數(shù)學(xué)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的研究思路，探究參數(shù)φ，ω對(duì)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的影響。第2課時(shí)（如下頁圖2），在第1課時(shí)的基礎(chǔ)上，繼續(xù)研究參數(shù)A對(duì)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的影響，并歸納總結(jié)出從正弦函數(shù)圖象出發(fā)，通過圖象變換得到函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）圖象的過程與方法；會(huì)用“五點(diǎn)法”和圖象變換的方法畫函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的簡圖，并能應(yīng)用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)解決簡單的實(shí)際問題。

借助筒車這一現(xiàn)實(shí)模型，說明函數(shù)y=Asin（ωx+φ）與現(xiàn)實(shí)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)之間的內(nèi)在聯(lián)系；通過對(duì)筒車運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的觀察分析、抽象概括，獲得函數(shù)模型y=Asin（ωx+φ），能說出參數(shù)φ，ω，A以及變量x，y的物理意義，進(jìn)一步體會(huì)三角函數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的密切聯(lián)系，發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

借助幾何畫板軟件，通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，經(jīng)歷平移變換和伸縮變換獲得函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象，掌握參數(shù)φ，ω，A對(duì)函數(shù)圖象的影響，理解參數(shù)φ，ω，A在圓周運(yùn)動(dòng)中的實(shí)際意義，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理與直觀想象的素養(yǎng)。

在研究參數(shù)φ，ω，A對(duì)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖象的影響時(shí)，參數(shù)多，解析式、圖象中的各要素之間的關(guān)系比較復(fù)雜，相互關(guān)聯(lián)比較隱蔽，準(zhǔn)確作圖也比較困難。課件中利用幾何畫板（如圖3）快速準(zhǔn)確地畫圖，直觀呈現(xiàn)各參數(shù)對(duì)函數(shù)圖象的影響，引導(dǎo)學(xué)生在觀察發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行理性思考，得出一般結(jié)論，進(jìn)而突破教學(xué)難點(diǎn)。

2.內(nèi)容結(jié)構(gòu)

（1）環(huán)節(jié)1：創(chuàng)設(shè)問題情境，提出研究問題

課件中插入視頻（如圖4）呈現(xiàn)筒車運(yùn)動(dòng)過程實(shí)景，引導(dǎo)學(xué)生將其抽象成質(zhì)點(diǎn)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，滲透數(shù)學(xué)源于生活的本質(zhì)，引出本課的核心內(nèi)容。

（2）環(huán)節(jié)2：抽象簡化問題，建立函數(shù)模型

課件通過幾何畫板制作筒車運(yùn)動(dòng)動(dòng)畫（如下頁圖5），將筒車運(yùn)動(dòng)抽象成質(zhì)點(diǎn)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，觀察運(yùn)動(dòng)中的相關(guān)要素，抽象出其中的幾何對(duì)象與幾何關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生分析其中的變量和常量，尋找盛水筒距離水面的相對(duì)高度與時(shí)間的關(guān)系，從而突破數(shù)學(xué)建模這一難點(diǎn)。

結(jié)合筒車的圓周運(yùn)動(dòng)研究函數(shù)y=Asin（ωx+φ），不僅能聯(lián)系實(shí)際，突出參數(shù)φ，ω，A的物理意義，而且能夠聯(lián)系函數(shù)解析式、函數(shù)圖象，并充分揭示它們之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，為提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)提供重要平臺(tái)。

（3）環(huán)節(jié)3：探究φ，ω，A對(duì)函數(shù)圖象的影響

課件中取參數(shù)的初始值A(chǔ)=1，ω=1，φ=0，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)在單位圓上從點(diǎn)Q出發(fā)以單位速度轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)

通過一定量的積累后，學(xué)生形成圖象伸縮變換的感性認(rèn)識(shí)，再進(jìn)一步從物理角度、幾何關(guān)系、函數(shù)關(guān)系、點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系等角度進(jìn)行分析，在此基礎(chǔ)上，得到參數(shù)ω對(duì)

在針對(duì)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的研究過程中，通過一連串的“思考”與“探究”，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、歸納、概括、抽象、聯(lián)想、綜合、總結(jié)。由于參數(shù)φ的變化涉及函數(shù)圖象的平移變換，學(xué)生已有一定的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，建議首先研究；參數(shù)ω的變化涉及函數(shù)圖象的伸縮變換，是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，需要重點(diǎn)突破；有前面學(xué)習(xí)內(nèi)容做鋪墊，對(duì)參數(shù)A對(duì)函數(shù)圖象的影響學(xué)生能夠自主研究完成。每一個(gè)參數(shù)的探索都要遵循從特殊到一般、從具體到抽象的研究思路，一方面結(jié)合筒車運(yùn)動(dòng)模型解釋各參數(shù)的實(shí)際意義，另一方面從相應(yīng)函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)變化看圖象的變換，真正理解圖象變換的本質(zhì)。

（4）環(huán)節(jié)4：畫函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象

通過以上的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究，學(xué)生了解了參數(shù)φ，ω，A對(duì)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖象的影響。通過“思考”要求學(xué)生總結(jié)、提煉出圖象變換規(guī)律，進(jìn)而說明由正弦函數(shù)圖象，經(jīng)過平移變換、橫坐標(biāo)的伸縮變換（周期變換）、縱坐標(biāo)的伸縮變換（振幅變換）三種圖象變換得到函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象的過程與方法：從正弦曲線出發(fā)，先進(jìn)行相位變換，再進(jìn)行周期變換，然后進(jìn)行振幅變換。

通過課件引導(dǎo)學(xué)生從局部的討論過渡到整體的思考，從特殊的例子歸納概括出一般性的結(jié)論，得到從正弦函數(shù)的圖象出發(fā)，通過圖象變換得到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）圖象的過程與方法，并提醒學(xué)生注意比較不同變換順序之間的差異。同時(shí)，引出“五點(diǎn)法”作圖，并從兩種方法的聯(lián)系上來加深學(xué)生對(duì)y＝Asin（ωx+φ）圖象的認(rèn)識(shí)。

（5）環(huán)節(jié)5：小結(jié)

出示以下問題：①概述本單元知識(shí)的基本脈絡(luò)。②如何理解函數(shù)y=Asin（ωx+φ）中參數(shù)φ，ω，A的物理意義？說明各參數(shù)對(duì)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖象的影響。③如何由正弦曲線通過圖象變換得到函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象？④在研究函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖象的過程中，哪些思想方法值得總結(jié)？

關(guān)鍵技術(shù)處理

①使用幾何畫板軟件制作筒車運(yùn)動(dòng)動(dòng)畫和各參數(shù)對(duì)函數(shù)y=sin（ωx+φ）圖象的影響動(dòng)畫，需要使用幾何畫板軟件的功能包括繪制圖形、繪制點(diǎn)、定義新參數(shù)、創(chuàng)建新參數(shù)動(dòng)畫、建立動(dòng)畫操作臺(tái)、構(gòu)造新函數(shù)、繪制函數(shù)圖象、追蹤點(diǎn)的軌跡、隱藏函數(shù)圖象、隱藏點(diǎn)等。

②使用PPT中的屏幕錄制功能錄制筒車運(yùn)動(dòng)模型的動(dòng)畫；采用超鏈接的呈現(xiàn)動(dòng)畫，即點(diǎn)擊鏈接就可以打開制作好的動(dòng)畫GSP文件。想要打開動(dòng)畫GSP文件可以將GSP5chs程序拷貝到U盤里，打開方式是先找到U盤，再找到GSP5chs程序即可。還可以將GSP5chs程序拖拽到計(jì)算機(jī)桌面，打開方式是先找到桌面，再找到GSP5chs程序即可。

③使用花瓣剪輯軟件對(duì)視頻、動(dòng)畫進(jìn)行后期剪輯。

幕前幕后

在制作本課件前筆者提前制作筒車運(yùn)動(dòng)模型的動(dòng)畫、參數(shù)φ，ω，A分別對(duì)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖象影響的動(dòng)畫、函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖象變化的動(dòng)畫。通過本課件的制作，筆者對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)軟件使用的能力有了很大的提高，接下來筆者會(huì)繼續(xù)學(xué)習(xí)多媒體課件制作的相關(guān)知識(shí)，并將信息技術(shù)應(yīng)用到合適的課堂教學(xué)中。