吳承偉

(大連理工大學(xué) 工程力學(xué)系 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析優(yōu)化與CAE軟件全國重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,大連 116024)

1 引 言

參變量變分原理的基本概念是鐘萬勰院士[1,2]于1985年首次提出,并由鐘萬勰先生指導(dǎo)的博士生張柔雷[3]和孫蘇明[4]較為系統(tǒng)地建立了參變量變分原理的理論框架和提出了相應(yīng)的數(shù)值算法。最初參變量變分原理主要用于解決彈塑性等非線性問題。之后經(jīng)過鐘萬勰先生的眾多弟子以及計(jì)算力學(xué)同行的不斷發(fā)展,參變量變分原理已經(jīng)拓展應(yīng)用到巖土力學(xué)、柔性結(jié)構(gòu)、潤滑力學(xué)、材料損傷與破壞和振動(dòng)結(jié)構(gòu)分析等各個(gè)領(lǐng)域。1993年國際著名計(jì)算力學(xué)家英國普次茅斯大學(xué)Brebbia教授組織編寫了國際計(jì)算工程系列叢書《接觸力學(xué)計(jì)算方法》(Computational Methods in Contact Mechanics),鐘萬勰先生受特別邀請(qǐng)與吳承偉撰寫了第9章(彈塑性接觸的參數(shù)二次規(guī)劃算法)[5],詳細(xì)介紹了參變量變分原理在彈塑性干接觸和潤滑接觸問題中的應(yīng)用。1997年受科學(xué)出版社邀請(qǐng),鐘萬勰先生與張洪武和吳承偉共同完成了參變量變分原理及其在工程中的應(yīng)用一書[6],在此書中參變量變分原理得到較為系統(tǒng)的介紹,形成了一個(gè)較為完整的理論體系。

參變量變分原理是一種求解數(shù)學(xué)物理問題中邊界待定等非線性問題的一種全新方法。其突破了經(jīng)典變分原理的局限性,引入了現(xiàn)代控制論的極值變分思想,將原問題轉(zhuǎn)化為求解由本構(gòu)關(guān)系建立的狀態(tài)方程控制下的泛函極小值問題。其與經(jīng)典變分原理的主要區(qū)別在于,在參變量變分原理中,首先本構(gòu)關(guān)系不再像經(jīng)典變分原理那樣隱含于能量泛函中,而是用狀態(tài)方程控制整個(gè)變分過程;其次參變量變分原理中的宗量分為兩大類,一類是參加變分的狀態(tài)變量,其與經(jīng)典變分原理的宗量完全一樣;另一類是控制變量(亦即參變量),其不參加變分,但是卻通過狀態(tài)方程控制著整個(gè)變分過程,從而使得問題的非線性本構(gòu)關(guān)系得到自動(dòng)滿足。

參變量變分原理具有自己的明顯特色與優(yōu)勢(shì)。(1) 其比經(jīng)典變分原理應(yīng)用范圍更為廣泛。如在塑性流動(dòng)分析中其不受Drucker假設(shè)的限制,能夠很方便解決帶內(nèi)摩擦材料的非關(guān)聯(lián)流動(dòng)、彈塑性耦合材料的不可逆流動(dòng)、摩擦接觸體間的非法向滑動(dòng)等工程問題。(2) 參變量變分原理使得非線性問題的求解更為簡化,數(shù)值求解不需要傳統(tǒng)的反復(fù)冗長的迭代過程。如果把線性方程組求解看成是一次分解過程,那么參變量變分原理最多需要二次分解過程,而且數(shù)值求解精度高。(3) 參變量變分原理的泛函表達(dá)式比經(jīng)典變分原理僅多了一個(gè)變分宗量線性項(xiàng),因?yàn)榭刂谱兞坎粎⒓幼兎?在泛函中可以作為常數(shù)來處理,使得數(shù)值算法可以在常用的線性分析程序上實(shí)現(xiàn)。

本文作者于1989—1990年在大連理工大學(xué)工程力學(xué)研究所做博士后期間,在錢令希先生的鼓勵(lì)下,有幸得到了鐘萬勰先生的指導(dǎo),將參變量變分原理及其參數(shù)二次規(guī)劃算法用于解決潤滑接觸力學(xué)中的固液界面滑移等問題,這是采用其他方法很難求解的非線性問題,使得作者終生受益。在鐘萬勰先生90誕辰之際,倍感當(dāng)年鐘先生悉心指導(dǎo)的價(jià)值珍貴。本文對(duì)參變量變分原理的基本概念、理論框架及其工程應(yīng)用做一個(gè)簡要回顧與綜述。

2 參變量變分原理的建立

2.1 拉壓不等剛度的非線性桿系結(jié)構(gòu)

(1)

Δi=y-θLi

(2)

(3)

對(duì)于這樣的非線性結(jié)構(gòu),本文很難進(jìn)行一步求解,常規(guī)的求解方法就是對(duì)方程組反復(fù)循環(huán)迭代。但是迭代求解技術(shù)有時(shí)無效,常出現(xiàn)反復(fù)跳躍,迭代不收斂(尤其是結(jié)構(gòu)復(fù)雜時(shí),如桿的數(shù)量增多,拉壓剛度變化多樣)。然而,利用參變量變分原理解決這一類問題就簡單多了[6]。

圖1 拉壓不等剛度的非線性桿系結(jié)構(gòu)

(4)

這樣無論對(duì)于受拉和受壓桿,本構(gòu)關(guān)系可以統(tǒng)一表達(dá)式為

(5)

若令函數(shù)fi滿足式(6)

(6)

則有,當(dāng)λi≥0,fi=0, 該根桿處于受拉狀態(tài);當(dāng)λi=0,fi≤0,該根桿處于受壓狀態(tài)。將式(5)代入式(6)整理得

(7)

引入松弛變量νi,可以得到非線性桿系的本構(gòu)關(guān)系方程(又稱為狀態(tài)方程)[5]

fi(y,θ,λi)+νi=0

(8a)

λiνi=0 (λi≥0,νi≥0)

(8b)

式中λi和νi為非負(fù)的互補(bǔ)變量,兩者至少有一個(gè)為零或者同時(shí)為零。當(dāng)λi=0,νi≥0時(shí),fi≤0,第i根桿受壓;當(dāng)λi≥0,νi=0時(shí),fi=0,第i根桿受拉。

現(xiàn)在可以建立以y和θ為狀態(tài)變量的系統(tǒng)總勢(shì)能

(9)

(10)

式中 ∏[λi(·)]表示參變量λi不參加變分,其是一個(gè)正定的二次函數(shù)。式(10)對(duì)y和θ進(jìn)行變分得

(11a)

(11b)

結(jié)合式(5)得到系統(tǒng)的平衡方程為

(12)

證明了參變量最小勢(shì)能原理。于是滿足平衡方程、連續(xù)條件和本構(gòu)關(guān)系的具有不同拉壓剛度的三桿桁架結(jié)構(gòu)問題,可以描述為下列參數(shù)二次規(guī)劃問題

min.∏[λi(·)]

(13a)

s.t.fi(y,θ,λi)+νi=0

(13b)

λiνi=0

(13c)

λi≥0,νi≥0 (i=1,2,3)

(13d)

在二次規(guī)劃問題中,只有狀態(tài)變量y和θ參加變分?？刂谱兞喀薸不參加變分但是滿足代表本構(gòu)關(guān)系的約束,控制著變分過程。實(shí)際上是最優(yōu)控制論中的現(xiàn)代變分思想。至此,本文把參變量變分原理的基本思想通過一個(gè)非線性桿系結(jié)構(gòu)清晰地表達(dá)出來。以上僅舉例一個(gè)簡單的變剛度結(jié)構(gòu),實(shí)際上這個(gè)方法可以推廣到多級(jí)任意變剛度結(jié)構(gòu)[6]。在方程(13)描述的參數(shù)二次規(guī)劃中,狀態(tài)變量、控制變量λi與松弛變量νi會(huì)同時(shí)解出,其在求解層次上處于同一級(jí)別,這是經(jīng)典變分原理無法做到的。

2.2 彈塑性分析的參變量變分原理

2.1節(jié)以非線性桿系結(jié)構(gòu)為例介紹了參變量變分原理的基本概念,本節(jié)將以彈塑性非線性問題為例,展示參變量變分原理求解非線性問題的思路與優(yōu)勢(shì)。

彈塑性問題的參變量變分原理在20世紀(jì)80年代,鐘萬勰先生帶領(lǐng)弟子們做了較為系統(tǒng)的研究,發(fā)表了一系列原創(chuàng)性論文[1-12],奠定了彈塑性問題參變量變分原理的理論基礎(chǔ)。假設(shè)在平衡的結(jié)構(gòu)域Ω上,彈塑性問題的應(yīng)力增量為dσ、體力增量為db、應(yīng)變?cè)隽繛閐ε、位移增量為du,其應(yīng)滿足下列關(guān)系式[6]

E()dσ+db=0

(14)

dε=ET()du=0

(15)

(16)

(17)

同時(shí)系統(tǒng)還要滿足彈塑性本構(gòu)關(guān)系

dσ=D(dε-dεp)

(18)

f(σ,εp,κ)≤0

(19)

dεp=(?g/?σ)λ

(20)

式中κ為硬化參數(shù)向量,λ為在該增量步的比例流動(dòng)因子向量(控制向量),f為屈服函數(shù)向量。當(dāng)λi=0時(shí),fi<0;當(dāng)λi≥0時(shí),fi=0。引入松弛變量向量ν,彈塑性問題的本構(gòu)控制方程(狀態(tài)方程)可以描述為

f(dε,λ)+ν=0 或

(21a)

f(du,λ)+ν=0 或

(21b)

f(dσ,λ)+ν=0

(21c)

νT·λ=0,ν≥0,λ≥0

(21d)

根據(jù)上述定義,參數(shù)最小勢(shì)能原理可以描述為,在滿足應(yīng)變-位移關(guān)系(15)和幾何邊界條件(17)的所有可能解中,真實(shí)解使得下面的總勢(shì)能最小

(22)

式中R=(?g/?σ)TD為與當(dāng)前狀態(tài)無關(guān)的常量矩陣,D為彈性矩陣。因而彈塑性參變量最小勢(shì)能原理可以表示為

(23a)

s.t.f(du,λ)+ν=0

(23b)

νT·λ=0,ν≥0,λ≥0

(23c)

同理,系統(tǒng)的最小余能可以表示為

(24)

式中Q=(?g/?σ)T為常數(shù)矩陣。彈塑性參變量最小余能原理可以描述為

(25a)

s.t.f(dσ,λ)+ν=0

(25b)

νT·λ=0,ν≥0,λ≥0

(25c)

以上為參變量變分原理的最小勢(shì)能原理與最小余能原理。

3 參變量變分原理的發(fā)展與應(yīng)用

3.1 參數(shù)二次規(guī)劃算法

式(23,25)描述的參變量變分問題采用有限元離散化后可以實(shí)現(xiàn)數(shù)值求解。迄今為止,參數(shù)二次規(guī)劃算法是最為成功的算法,可以說參數(shù)二次規(guī)劃算法與參變量變分原理是一對(duì)孿生兄弟。鐘萬勰先生在參變量變分原理經(jīng)典論文中[1]已經(jīng)提出了參數(shù)二次規(guī)劃數(shù)值求解技術(shù),在20世紀(jì)80年代對(duì)于參數(shù)二次規(guī)劃算法做了大量研究[12-15],其基本思想是基于Lemke算法[16]。1988—1989年,鐘萬勰等[14]發(fā)表了連載論文,詳細(xì)介紹了參數(shù)二次規(guī)劃算法的理論與方法。對(duì)于彈塑性問題,如果二次規(guī)劃出現(xiàn)射線解,其力學(xué)意義就是結(jié)構(gòu)發(fā)生了塑性破壞,二次規(guī)劃的加載歷史正好反映了結(jié)構(gòu)的塑性變形狀態(tài)?；谧钚?shì)能原理的彈塑性數(shù)值分析,由于剛度陣的正定性,參數(shù)二次規(guī)劃算法本身便具備了保證在有限步以內(nèi)使得增量解收斂和每個(gè)增量解必為最優(yōu)解的兩大特點(diǎn)。采用二次規(guī)劃法求解時(shí),每進(jìn)行一次換基對(duì)應(yīng)于一個(gè)單元進(jìn)入塑性狀態(tài)。若有n個(gè)單元進(jìn)入加載狀態(tài),則僅需要進(jìn)行n+1次換基運(yùn)算,最后一次換基是把人工變量趕出基底。換一次基相當(dāng)于進(jìn)行一次Gauss-Jordan消元運(yùn)算,因而,參數(shù)二次規(guī)劃算法具有很高的數(shù)值求解效率。用經(jīng)典變分原理離散后的解方程方法是迭代求解,收斂性是最為棘手的問題。采用參變量變分原理,以λ為控制參數(shù),在求解時(shí)與位移增量處于同一級(jí)別,當(dāng)泛函達(dá)到最小時(shí)控制參數(shù)和位移增量同時(shí)給出,這是基于參變量變分原理的參數(shù)二次規(guī)劃算法計(jì)算效率高的主要原因。

3.2 彈塑性變形問題

結(jié)構(gòu)的彈塑性變形問題屬于最常見的力學(xué)三大非線性問題之一,數(shù)值求解的效率與精度一直備受計(jì)算力學(xué)工作者的高度關(guān)注。參變量變分原理最初就是針對(duì)彈塑性與接觸問題提出來的,鐘萬勰等[7,17]在20世紀(jì)80年代,發(fā)表了一系列基于參變量變分原理的彈塑性分析的研究論文,從各個(gè)角度描述了參變量變分原理及其參數(shù)二次規(guī)劃數(shù)值解法在彈塑性分析中的成功應(yīng)用。文獻(xiàn)[6]給出了許多參變量變分原理求解彈塑性問題的經(jīng)典例子,本文僅給出兩個(gè)經(jīng)典數(shù)值算例,揭示參變量變分原理的數(shù)值求解優(yōu)勢(shì)。第一個(gè)算例為無限長厚壁圓筒,內(nèi)半徑為R1=50 mn,外半徑為R2=150 mm,受到內(nèi)壓p的作用產(chǎn)生了彈塑性變形,材料為屈服極限σs=2400 MPa的理想彈塑性材料,彈性模量E=200 GPa,泊松比ν=0.25,假設(shè)材料服從Tresca屈服準(zhǔn)則f=σθ-σr-σs≤0。這是一個(gè)軸對(duì)稱問題,塑性理論專著中有理論解析解。采用參變量變分原理及其二次規(guī)劃數(shù)值求解技術(shù),僅在徑向劃分10個(gè)4節(jié)點(diǎn)單元,即可獲得非常滿意的結(jié)果。表1給出了理論解析解與參變量變分及其二次規(guī)劃數(shù)值解的比較,顯示該方法具有很高的計(jì)算效率與精度。

第二個(gè)算例是利用參變量變分原理考察關(guān)聯(lián)與非關(guān)聯(lián)流動(dòng)差異性。如圖2所示,截面為6 m×6 m的矩形無限長理想彈塑性材料,服從Ducker-Prager屈服準(zhǔn)則,上下受到兩個(gè)寬度為1 m的剛性壓塊作用,最大壓力為7.52kN,按照平面應(yīng)變問題處理[6]。由于問題的對(duì)稱性,僅截取右上角1/4界面劃分有限元網(wǎng)格,研究Ducker-Prager準(zhǔn)則中的材料常數(shù)α和膨脹因子Ψ對(duì)于塑性流動(dòng)的影響。當(dāng)α=0時(shí)首先在靠近壓塊邊緣處發(fā)生屈服,當(dāng)α=0.174時(shí)在壓塊邊緣與中心之間也發(fā)生屈服。非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則下的塑性區(qū)擴(kuò)展速度比相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則下擴(kuò)展速度快。當(dāng)α=0時(shí),Drucker-Prager準(zhǔn)則簡化為Mises準(zhǔn)則,參變量變分原理的計(jì)算精度與Chen[18]的三角形單元計(jì)算精度一致,但是參變量變分原理及其二次規(guī)劃求解僅采用了68個(gè)四節(jié)點(diǎn)單元和10個(gè)增量步;而Chen采用了274個(gè)三角形單元和120個(gè)增量步,進(jìn)一步顯示了參變量變分原理數(shù)值求解效率的優(yōu)勢(shì)。

表1 無限長厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力狀態(tài)[6]

圖2 剛性壓頭作用下材料的塑性變形

參變量變分原理及其參數(shù)二次規(guī)劃算法在結(jié)構(gòu)彈塑性分析方面具有自己的鮮明特色與優(yōu)勢(shì)。在眾多學(xué)者的不斷努力下,目前已經(jīng)可以解決理想彈塑性[17]、塑性硬化和塑性軟化等材料本構(gòu)非線性問題。周太全等[19]將參變量變分原理推廣到研究彈塑性損傷等問題,構(gòu)造了彈塑性損傷的勢(shì)能泛函,建立了彈塑性損傷分析的參變量變分原理,分析了超靜定桿系的彈塑性損傷問題。張洪武等[20]針對(duì)動(dòng)力應(yīng)變軟化與局部化中的網(wǎng)格依賴性問題,在本構(gòu)模型上采用了建立于非局部理論基礎(chǔ)上的梯度塑性模型,有效克服軟化材料在有限元分析中的網(wǎng)格依賴性問題。其基于參變量變分原理,推導(dǎo)了用于求解動(dòng)力軟化問題的參數(shù)二次規(guī)劃有限元方法列式,并構(gòu)造了具體的求解算法。給出的動(dòng)力軟化問題的一維和二維算例,表明參變量變分原理可以有效處理動(dòng)力應(yīng)變軟化問題。劉濤等[21]基于參變量變分原理,研究了材料彈塑性數(shù)值模擬的多尺度分析問題,用漸近分析方法建立了宏-細(xì)觀變量之間的關(guān)系。針對(duì)Von-Mises準(zhǔn)則和Tsai-Hill準(zhǔn)則,提出了一個(gè)基于參變量變分原理的改進(jìn)算法,可以顯著消除傳統(tǒng)方法采用線性展開式構(gòu)造線性互補(bǔ)條件帶來的誤差。羅曉輝等[22]根據(jù)大變形彈塑性理論Lagrangian描述的方法,利用參變量變分原理的思想提出了彈塑性大變形Biot固結(jié)理論的數(shù)值模擬計(jì)算方法。研究發(fā)現(xiàn)大變形條件下的孔隙水壓力比小變形時(shí)明顯增加,對(duì)于坑外地面沉陷,塑性膨脹因子的變化影響較為顯著。顯示了參變量變分原理在巖土材料大變形固結(jié)分析計(jì)算中的數(shù)值求解優(yōu)勢(shì)。

參變量變分原理的研究一直得到錢令希院士的鼎力支持,1992年錢先生還提出了剛性有限元的參變量變分原理及其參數(shù)二次規(guī)劃求解技術(shù)[23]。發(fā)現(xiàn)剛性有限元參變量變分原理可以大大地提高彈塑性分析的效率。同時(shí)參變量變分原理對(duì)增量步長不敏感,因此計(jì)算時(shí)可以取較大的步長以減少計(jì)算時(shí)間。剛性有限元能方便地模擬層狀材料及巖石材料的變形方式和屈服條件,因此,其可用于求解巖體穩(wěn)定性問題。如果將形狀優(yōu)化技術(shù)引入剛性有限元,可以找出邊坡等結(jié)構(gòu)的破壞方式,有利于深入研究其破壞機(jī)理。

3.3 彈塑性接觸問題

接觸問題大量存在于機(jī)械工程、土木工程等各個(gè)領(lǐng)域以及生活的環(huán)境中。旋轉(zhuǎn)機(jī)械工程中力的傳遞主要依靠接觸表面實(shí)現(xiàn)力傳遞,如齒輪、凸輪和軸承等。接觸問題又分為干摩擦接觸和潤滑接觸問題,后者耦合了流體力學(xué)問題使得求解技術(shù)更為復(fù)雜。接觸問題屬于邊界待定的非線性力學(xué)問題,最常用的數(shù)值求解手段就是反復(fù)迭代。同其他非線性問題一樣,迭代的收斂速度與精度一直是計(jì)算力學(xué)關(guān)心的熱點(diǎn)。文獻(xiàn)[24]詳細(xì)介紹了關(guān)于接觸力學(xué)的各種理論與計(jì)算方法,其中第9章詳細(xì)介紹了參變量變分原理及其二次規(guī)劃算法。本文僅介紹用參變量變分原理及其參數(shù)二次規(guī)劃算法處理各種接觸問題的特點(diǎn)與優(yōu)勢(shì)。

(26a)

(26b)

(26c)

(27)

(28)

(29)

(30)

將式(28～30)代入式(26)并引入松弛變量,可以得到接觸問題狀態(tài)控制方程,即

(31a)

(31b)

類似于彈塑性變形問題,可寫出彈塑性接觸問題的總勢(shì)能,即

(32)

假設(shè)系統(tǒng)經(jīng)過有限元離散后,有n1個(gè)常規(guī)單元、n2個(gè)接觸單元,總單元數(shù)n=n1+n2。 現(xiàn)在可以把彈塑性接觸問題的參變量變分原理統(tǒng)一描述為

(33a)

s.t.C(δ+δ*)-Mλ-d+ν=0

(33b)

νT·λ=0,ν≥0,λ≥0

(33c)

式中的向量與矩陣內(nèi)容不同于式(23),其包含了常規(guī)單元與接觸單元的組合信息,各個(gè)矩陣與向量的物理意義參見文獻(xiàn)[6]。對(duì)于某個(gè)非線性力學(xué)問題,建立參變量變分原理的關(guān)鍵是如何建立該問題的狀態(tài)控制方程,良好的狀態(tài)控制方程不但物理意義清晰,而且能夠使得數(shù)值求解效率與可靠性大幅度提高。

以上介紹了二維彈塑性接觸問題的參變量變分原理,對(duì)于空間接觸問題接觸切向應(yīng)力pτ有兩個(gè)相互垂直的切向分量pτ1和pτ2?？梢远x一個(gè)切向應(yīng)力模函數(shù),設(shè)在切向應(yīng)力分量原點(diǎn)處模為零,在任意一條自原點(diǎn)出發(fā)的射線上,模應(yīng)當(dāng)單調(diào)增加,與距離原點(diǎn)的距離成正比。由mod(pτ1,pτ1)=μpn確定的周邊應(yīng)該是凸的,容許切向應(yīng)力的取值范圍與接觸法向壓力有關(guān),可表示為mod(pτ1,pτ1)≤μpn。在可取域內(nèi)部滑動(dòng)不可能發(fā)生,滑動(dòng)只可能發(fā)生在邊界上,其滑動(dòng)方向是垂直于周邊的內(nèi)法線方向。為了提高計(jì)算效率,可行域可以用一個(gè)無限大的無底N邊形棱錐體代替古典Coulomb定律的圓錐體[5],這樣空間三維接觸問題的狀態(tài)控制方程就可以實(shí)現(xiàn)逐次線性化。

接觸問題的參變量變分原理的提出,受到國內(nèi)外學(xué)者的高度關(guān)注與不斷發(fā)展。張洪武等[25,26]基于參變量變分原理采用正交各向異性摩擦定律對(duì)三維彈塑性摩擦接觸問題進(jìn)行分析。對(duì)三維接觸問題滑動(dòng)方向的確定,該文提出了組合規(guī)劃法和迭代法,建立了用于各向異性摩擦接觸分析的二階錐線性互補(bǔ)模型。由于避免了對(duì)摩擦錐的顯式線性化,該方法的變量個(gè)數(shù)比線性互補(bǔ)模型小很多,并且精度高。之后李建宇等[27]提出了增廣Lagrange線性互補(bǔ)表述形式,構(gòu)造出求解摩擦接觸問題的一種增廣Lagrange 線性互補(bǔ)算法。雖然也包含了懲罰參數(shù),但在理論上不需要其趨于無窮大就能得到精確解。廖愛華等[28]針對(duì)某柴油機(jī)渦輪增壓器的壓氣機(jī)設(shè)計(jì)問題,采用參變量變分原理并結(jié)合多重子結(jié)構(gòu)技術(shù),研究了葉輪與軸套、軸套與軸的三維彈塑性接觸問題,獲得了葉輪、軸套與軸之間接觸應(yīng)力的分布規(guī)律,發(fā)現(xiàn)軸套與軸的過盈量是影響渦輪增壓器性能的關(guān)鍵參數(shù)。并提出非均勻初始過盈量設(shè)計(jì)技術(shù),以保證接觸面不發(fā)生相對(duì)位移和接觸應(yīng)力均勻性。張軍等[29]應(yīng)用參變量變分原理及有限元參數(shù)二次規(guī)劃法,研究了機(jī)車車輪與道岔的接觸問題,發(fā)現(xiàn)由于車輪踏面與轍叉的型面不配合輪與轍叉形成兩點(diǎn)接觸,靠近輪緣處踏面和轍叉接觸斑的結(jié)構(gòu)應(yīng)力與接觸力太大,導(dǎo)致了車輪踏面與轍叉的磨耗嚴(yán)重,為改進(jìn)道岔設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。趙偉等[30]利用參變量變分原理和數(shù)學(xué)二次規(guī)劃法研究了輪軌接觸問題,發(fā)現(xiàn)輪對(duì)承受橫向載荷時(shí),輪軌接觸點(diǎn)在粘著區(qū)和蠕滑區(qū)有明顯差異,在粘著區(qū)蠕滑與鋼軌縱向夾角較小,而在蠕滑區(qū)方向與鋼軌縱向夾角較大,這些研究對(duì)于輪軌接觸設(shè)計(jì)具有指導(dǎo)意義。此外,張洪武[31]基于參變量變分原理,建立了彈性接觸顆粒狀組成周期性結(jié)構(gòu)材料力學(xué)分析的均勻化模型,研究了具有周期性構(gòu)造的彈性接觸顆粒材料力學(xué)的微觀與宏觀兩級(jí)均勻化方法,發(fā)展了問題局部微觀尺度分析的有限元求解技術(shù)。

3.4 固液界面滑移問題

數(shù)百年來,在經(jīng)典流體力學(xué)和潤滑力學(xué)的所有教科書和論文中,幾乎都有一個(gè)重要假設(shè),在固體和液體的交界面上沒有滑移,即固體和液體在交界面上沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng),這就是所謂的非滑移邊界條件,已廣泛用于各種工程和實(shí)驗(yàn),幾乎所有的流體粘度和流變學(xué)實(shí)驗(yàn)都是基于這個(gè)假設(shè)。這個(gè)假設(shè)對(duì)于宏觀流體動(dòng)力學(xué)問題是成立的,因?yàn)榻缑婕袅Σ皇呛艽蟆?/p>

假設(shè)固-液交界面上沒有滑移,在物理概念上就是假設(shè)固液交界面上的流體剪應(yīng)力可以達(dá)到無窮大,這個(gè)假設(shè)在近代受到了實(shí)驗(yàn)的嚴(yán)厲挑戰(zhàn)。近年來隨著納米測試技術(shù)的不斷進(jìn)步,對(duì)固液界面滑移問題的納米尺度測試成為可能,近場激光速度儀NFLV、原子力顯微鏡AFM和表面力儀SFA的直接觀測反復(fù)證明了固液界面滑移無可懷疑。除了試驗(yàn)之外,分子動(dòng)力學(xué)數(shù)值模擬也證明固液界面存在滑移現(xiàn)象。但是關(guān)于固液界面的滑移準(zhǔn)則與分析理論研究還比較落后。本文作者在20世紀(jì)90年代初師從錢令希院士做博士后期間,受錢令希先生的鼓勵(lì),開始向鐘先生學(xué)習(xí)參變量變分原理在潤滑力學(xué)中的應(yīng)用。1992年吳承偉與鐘先生和錢令希先生等發(fā)表了第一篇關(guān)于流體力學(xué)間隙流動(dòng)的固液界面滑移論文[32]。潤滑接觸問題分析比干接觸問題復(fù)雜,不但涉及到兩個(gè)固體表面,而且還涉及到流體的流動(dòng)問題。若考慮固體的彈性變形,又屬于流固強(qiáng)耦合問題。固液界面滑移問題的狀態(tài)控制方程要比固體干接觸問題復(fù)雜,本文不再詳細(xì)描述,但是變分泛函經(jīng)過有限元離散后,流固邊界滑移問題的數(shù)學(xué)描述與彈塑性接觸問題非常類似,

(34a)

s.t.CP+Mλ+d-ν=0

(34b)

νT·λ=0,ν≥0,λ≥0

(34c)

圖3 超疏水球流體膜擠壓理論預(yù)報(bào)與實(shí)驗(yàn)比較

吳承偉等[38]把參變量變分原理用于分析金屬板扎制過程中的粘塑性潤滑問題,能夠快速預(yù)報(bào)金屬扎制過程中潤滑油饃的厚度與扎制速度的關(guān)系,為金屬扎制工藝設(shè)計(jì)提供了理論基礎(chǔ)。之后基于潤滑固液界面滑移動(dòng)力學(xué)研究基礎(chǔ),設(shè)計(jì)了一種滑移與非滑移復(fù)合表面滑動(dòng)軸承,使得軸承的摩擦力大幅度減小,承載力大幅度提高[39-43]。如經(jīng)過滑移區(qū)形狀優(yōu)化設(shè)計(jì),滑塊軸承的流體承載力比經(jīng)典軸承提高了159%,摩擦阻力降低了59%[44]。另外,吳承偉等[45]建立了雙線性流變關(guān)系潤滑劑的潤滑力學(xué)本構(gòu)方程與參變量變分原理,使得這類非線性潤滑問題得到解決。當(dāng)?shù)谝患?jí)粘度趨于無窮大時(shí),這個(gè)模型就退化為Bingham流變潤滑問題。顯示了參變量變分原理在潤滑力學(xué)數(shù)值計(jì)算中的明顯特色與優(yōu)勢(shì)。

3.5 巖土力學(xué)問題

自從1986年鐘先生發(fā)表了第一篇關(guān)于土力學(xué)問題的參變量變分原理論文[9],眾多學(xué)者不斷發(fā)展和拓展巖土力學(xué)問題的參變量變分原理,已經(jīng)形成了一套比較完整的理論體系。巖土類材料在受載時(shí)不僅會(huì)產(chǎn)生彈塑性變形,還常伴隨著滲流和固結(jié),是一個(gè)典型的與時(shí)間相關(guān)的動(dòng)態(tài)變形過程。曾攀等[46,47]于1991年建立了巖土滲透固結(jié)過程的參變量變分原理及其參數(shù)二次規(guī)劃算法,可有效處理巖土彈塑性滲透固結(jié)問題。文獻(xiàn)[22,48-50]對(duì)于飽和土等巖土材料固結(jié)滲透動(dòng)力學(xué)問題進(jìn)行了更深入的研究?；趨⒆兞孔兎衷砑捌鋮?shù)二次規(guī)劃算法求解巖土介質(zhì)的固結(jié)滲透非線性問題,求解過程不受Drucker假設(shè)的限制,適用于彈塑性固結(jié)分析的關(guān)聯(lián)或非關(guān)聯(lián)塑性流動(dòng)問題。同時(shí)可以處理固結(jié)分析中的軟化問題,并避免了傳統(tǒng)固結(jié)彈塑性問題求解的反復(fù)的迭代過程。顯示了參變量變分原理處理土力學(xué)若干非線性問題具有自己的明顯特色。

彭華等[51]利用參變量變分原理研究了預(yù)應(yīng)力軌枕的損傷演化和壽命平復(fù)方法,揭示了預(yù)應(yīng)力軌枕在自身徐變與其他疲勞荷載交互作用下的材質(zhì)劣化損傷行為及其損傷失效機(jī)理,對(duì)軌枕損傷過程中的循環(huán)應(yīng)力場進(jìn)行更有效描述。鄭俊杰等[52,53]基于參變量變分原理研究了土的變形模量與壓縮模量之間的關(guān)系,并給出了多元復(fù)合地基的復(fù)合模量在彈性及塑性狀態(tài)下的解析解。朱珍德等[54]采用參變量變分原理,研究了膨脹軟巖的濕度彈塑性問題,濕度引起的膨脹應(yīng)力-塑性流動(dòng)與隨濕度變化的屈服準(zhǔn)則等相互耦合在一起,給問題分析帶來一定的難度。把這類問題用參變量變分原理及其參數(shù)二次規(guī)劃法來處理,物理概念更加清晰,數(shù)值計(jì)算方法簡便,實(shí)用性強(qiáng)。

鄧岳保等[55]基于地基梁模型能量泛函,結(jié)合參變量變分原理和分段線性地基模型中的互補(bǔ)條件,得到了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的線性互補(bǔ)模型,使地基梁位移非線性求解問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題。考慮非線性影響時(shí),地基梁位移曲線非均勻沉降增大,地基梁內(nèi)力增大。荷載大小及梁與地基的相對(duì)剛度均會(huì)影響地基梁位移分布形式。欒茂田等[56]基于參變量變分原理的基本思想,改進(jìn)了多體非連續(xù)變形計(jì)算力學(xué)模型,探討了能夠涵蓋各種變形狀態(tài)和運(yùn)動(dòng)形式的廣義有限單元模式。根據(jù)非連續(xù)變形系統(tǒng)的分區(qū)參變量最小勢(shì)能變分原理,聯(lián)立變分駐值條件與參變量的狀態(tài)控制條件,建立了多體系統(tǒng)非連續(xù)變形的基本控制方程。該模型不僅能夠?qū)Χ囿w系統(tǒng)進(jìn)行靜和動(dòng)力耦合分析,而且還能夠模擬多體系統(tǒng)的變形與應(yīng)力及接觸界面上的接觸應(yīng)力和相對(duì)運(yùn)動(dòng)等復(fù)雜的非線性過程。

3.6 拉壓變剛度結(jié)構(gòu)分析

工程中有很多結(jié)構(gòu)件受拉和受壓時(shí)剛度各異,如鋼索結(jié)構(gòu)與網(wǎng)膜結(jié)構(gòu)等。這類結(jié)構(gòu)受拉時(shí)剛度較大,但是受壓時(shí)幾乎沒有剛度,若大型結(jié)構(gòu)由很多此類構(gòu)件組成,結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出較強(qiáng)的非線性特征,結(jié)構(gòu)分析若采用傳統(tǒng)的迭代求解技術(shù),收斂性一直是比較棘手的問題。然而參變量變分解決此類工程問題卻非常容易。變剛度結(jié)構(gòu)的參變量變分原理與參數(shù)二次規(guī)劃算法的基本理論在2.1節(jié)已經(jīng)做了介紹。錢江等[57]基于參變量變分原理與參數(shù)二次規(guī)劃算法,以上海市浦江大橋工程為設(shè)計(jì)背景,提出了大跨度斜拉橋采用具有單邊約束性質(zhì)的輔助墩設(shè)計(jì)的參數(shù)二次規(guī)劃分析方法,顯示了該方法對(duì)分段線性系統(tǒng)極為有效。高強(qiáng)等[58]在鐘萬勰先生指導(dǎo)下,建立了拉壓剛度不同桿單元組成的桁架結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的參變量變分原理,將非線性動(dòng)力分析問題轉(zhuǎn)換為線性互補(bǔ)問題求解,并結(jié)合時(shí)間有限元方法構(gòu)造了求解此問題的保辛數(shù)值積分方法,此方法不需要迭代和剛度矩陣更新,避免了迭代求解方法的收斂問題,數(shù)值計(jì)算過程穩(wěn)定而高效。索網(wǎng)天線屬于典型的索桿張拉結(jié)構(gòu),具有抗拉不抗壓的材料非線性特性,并與幾何非線性的疊加給大型索網(wǎng)天線結(jié)構(gòu)的力學(xué)建模與分析帶來很大困難。譚述君等[59]研究了桁架式索網(wǎng)天線的本構(gòu)非線性和結(jié)構(gòu)大變形引起的幾何非線性問題,首先針對(duì)含預(yù)應(yīng)力索單元拉壓模量不同分段描述的本構(gòu)關(guān)系,通過引入?yún)⒆兞?導(dǎo)出了基于參變量及其互補(bǔ)方程的統(tǒng)一描述形式。然后利用拉格朗日應(yīng)變描述索網(wǎng)天線結(jié)構(gòu)大變形問題,建立了含有參變量的非線性平衡方程和線性互補(bǔ)方程,給出了牛頓-拉斐遜迭代法與萊姆算法相結(jié)合的求解算法,比傳統(tǒng)算法具有更穩(wěn)定的收斂性和更高的求解精度,此方法適合于大型索網(wǎng)天線結(jié)構(gòu)的高精度變形分析和預(yù)測。劉濤等[60]在索網(wǎng)天線找形分析中使用了類似的方法,證明了參變量變分原理及其參數(shù)二次規(guī)劃算法在解決這一類非線性結(jié)構(gòu)問題的有效性。直升機(jī)在艦船上停留或者在機(jī)庫長期存放時(shí),必須使用系留裝置將直升機(jī)牢固系留在艦船上,需要對(duì)直升機(jī)的系留索具和系留接頭上的載荷進(jìn)行分析,從而給出合理的系留方案,使直升機(jī)和系留設(shè)備上承受的載荷比較均勻和合理。張燕輝等[61]基于參變量變分原理,研究了直升機(jī)的系留結(jié)構(gòu)非線性力學(xué)問題,為提高直升機(jī)系留載荷計(jì)算效率、快速優(yōu)化系留方案等提供了可靠依據(jù)。

3.7 先進(jìn)材料的力學(xué)性能分析

先進(jìn)材料是由各種微納結(jié)構(gòu)組成的針對(duì)各種工程需求而特殊設(shè)計(jì)的新材料。先進(jìn)材料設(shè)計(jì)與性能分析不同于常規(guī)的金屬材料,常涉及到非線性與多尺度分析等問題。先進(jìn)材料種類繁多且性能各異,很難建立一套統(tǒng)一的分析理論與方法。參變量變分原理在這類材料的設(shè)計(jì)與分析中同樣具有自己的特色與優(yōu)勢(shì)。1989年潘敬哲等[62]發(fā)表了一篇關(guān)于纖維增強(qiáng)復(fù)合材料層壓板失效分析的論文,建立了關(guān)于具有逐層失效不連續(xù)本構(gòu)關(guān)系的纖維增強(qiáng)復(fù)合材料層壓板的參變量變分原理,構(gòu)造的受參變量控制的能量泛函的駐值問題可轉(zhuǎn)化為一個(gè)擬二次規(guī)劃問題。該方法的優(yōu)點(diǎn)在于避免了分析層壓板強(qiáng)度的冗長迭代過程,可在一個(gè)加載步內(nèi)求出對(duì)應(yīng)各單層失效的一系列強(qiáng)度比值。張洪武等[63]針對(duì)材料非線性多級(jí)分析的計(jì)算模型與算法問題,采用近似技術(shù)建立非線性分析的本征應(yīng)變矩陣,構(gòu)造了針對(duì)彈塑性材料均勻化分析的一致性算法。將建立的單胞分析過程作為有限元分析的子程序嵌入到總程序系統(tǒng)當(dāng)中完成對(duì)應(yīng)的高斯點(diǎn)應(yīng)力計(jì)算。針對(duì)考慮材料內(nèi)摩擦接觸的顆粒材料多尺度計(jì)算問題,建立了一種基于數(shù)值技術(shù)的多級(jí)分析方法。張洪武等[65]針對(duì)非均質(zhì)材料在小變形下的彈塑性力學(xué)行為進(jìn)行數(shù)值模擬,建立了基于參數(shù)變分原理的多邊形有限元法和Voronoi單元有限元法,給出了多邊形單元的形狀函數(shù),驗(yàn)證了彈塑體系的參數(shù)勢(shì)能原理。針對(duì)碳納米管力學(xué)問題,文獻(xiàn)[66]建立了任意兩個(gè)相鄰非鍵合原子之間范德華力模擬的參數(shù)變分原理,以及相應(yīng)的改進(jìn)二次規(guī)劃方法。與傳統(tǒng)數(shù)值迭代方法相比,該方法僅依賴于標(biāo)準(zhǔn)二次規(guī)劃問題求解中的基交換。在計(jì)算中表現(xiàn)出非常好的收斂性。Zhang等[67-69]利用參數(shù)變分原理,研究了雙模量復(fù)合材料的力學(xué)行為,創(chuàng)建了一個(gè)統(tǒng)一的本構(gòu)方程,以解決局部坐標(biāo)系中應(yīng)變不連續(xù)性引起的問題。通過結(jié)合材料改性的概念,成功地將該方法擴(kuò)展到薄膜材料的起皺分析。在文獻(xiàn)[70]第4章和第6章對(duì)這個(gè)問題的參變量變分原理及其數(shù)值方法進(jìn)行了比較詳細(xì)的介紹。

3.8 其他應(yīng)用

3.1節(jié)～3.7節(jié)介紹了參變量變分原理在處理各種非線性力學(xué)問題中的理論發(fā)展及其應(yīng)用,其實(shí)參變量變分原理能夠處理的非線性問題很多,尤其擅長處理本構(gòu)參數(shù)階躍式變化的非線性問題。同時(shí)也可以有效處理材料的粘塑性、蠕變與損傷等問題。1991年曾攀等[71]用參變量變分原理研究了材料的粘塑性力學(xué)行為,建立了粘塑性問題的參變量變分原理與參數(shù)二次規(guī)劃算法[72]。之后曾攀等[73,74]建立了具有損傷耦合效應(yīng)的彈塑性蠕變問題的參變量變分原理,給出了用于結(jié)構(gòu)損傷失效分析的有限元列式與相應(yīng)的數(shù)值分析方法[75]。曹文街等[76]基于連續(xù)介質(zhì)損傷力學(xué)中有效應(yīng)力的概念,研究建筑結(jié)構(gòu)的熱彈塑性與損傷的耦合問題,建立了熱彈塑性損傷問題結(jié)構(gòu)分析的參變量變分原理。

重大工程結(jié)構(gòu)中存在諸多不確定因素,這些隨機(jī)因素對(duì)工程結(jié)構(gòu)的安全使用或運(yùn)營的影響不可忽略。謝尊[77]基于參變量變分原理,研究了變截面隨機(jī)結(jié)構(gòu)靜力響應(yīng)的精確求解方法,解決了隨機(jī)攝動(dòng)法和隨機(jī)譜方法難以求解具有連續(xù)位移場的隨機(jī)結(jié)構(gòu)靜力響應(yīng)問題。

最優(yōu)控制論是現(xiàn)代控制論的重要組成部分,LQ最優(yōu)控制問題是最優(yōu)控制理論中最基本的核心問題之一。有關(guān)LQ最優(yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)與數(shù)值算法大多都限于系統(tǒng)無約束情況。彭海軍等[78]基于彈塑性接觸力學(xué)的參變量變分原理的基本思想,建立了控制輸入受限的線性二次規(guī)劃最優(yōu)控制問題的物理方程,亦即耦合的Hamilton正則方程與線性互補(bǔ)方程,將連續(xù)時(shí)間離散成一系列等間距時(shí)間段,采用二次規(guī)劃方法求解輸入受限的LQ最優(yōu)控制問題,該方法數(shù)值收斂性好,計(jì)算精度對(duì)于步長不敏感。

4 結(jié) 論

參變量變分原理是一種求解數(shù)學(xué)物理問題中邊界待定等非線性問題的一種全新理論與方法。其突破了經(jīng)典變分原理的局限性,引入了現(xiàn)代控制論的極值變分思想,將原問題轉(zhuǎn)化為求解由本構(gòu)關(guān)系建立的狀態(tài)方程控制下的泛函極小值問題。參變量變分原理具有自己的明顯特色與優(yōu)勢(shì),比經(jīng)典變分原理應(yīng)用范圍更為廣泛,參變量變分原理求解非線性問題時(shí)不需要傳統(tǒng)的冗長迭代過程,因而沒有棘手的收斂性問題。如果把線性方程組求解看成是一次分解過程,那么參變量變分原理最多需要二次分解過程,而且數(shù)值求解精度高。

經(jīng)過幾十年的不斷發(fā)展,參變量變分原理已經(jīng)成功應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域。本文介紹了參變量變分原理的起源與建立過程,闡明了如何針對(duì)特定的非線性問題,建立參變量變分原理理論模型以及實(shí)現(xiàn)數(shù)值參數(shù)二次規(guī)劃求解。詳細(xì)回顧了參變量變分原理的基本理論與相應(yīng)數(shù)值算法在各個(gè)領(lǐng)域的發(fā)展及其工程應(yīng)用,其中包括彈塑性分析、接觸問題、潤滑力學(xué)、巖土力學(xué)、變剛度桿系結(jié)構(gòu)、先進(jìn)材料性能分析、材料的蠕變與損傷、柔性結(jié)構(gòu)力學(xué)和LQ最優(yōu)控制等。展示了參變量變分原理求解各類非線性問題的特色與優(yōu)勢(shì)。

為了便于化歸參數(shù)二次規(guī)劃的成熟算法,目前參變量變分原理的變分泛函多數(shù)都是經(jīng)過線性化處理,然而線性化處理會(huì)帶來一定的計(jì)算誤差。鐘萬勰在文獻(xiàn)[9]中關(guān)于土力學(xué)變分原理提出了不做線性化處理的概念,直接利用原有的參變量變分原理,將原問題化為一般的非線性規(guī)劃問題,找出其有效算法和做出其增量步逐步積分。相信參變量變分原理還有很多的發(fā)展空間,以展示其在求解各類非線性問題的特色與優(yōu)勢(shì)。

謹(jǐn)以本文獻(xiàn)給鐘先生九十誕辰!