喬 彤，周 建，張?zhí)祢湥Y熠誠

（浙江大學(xué) 濱海和城市巖土工程研究中心，浙江 杭州 310058）

0 引 言

水下隧道采用“堵水限排”的防排水體系時(shí)，地下水將透過襯砌流入隧道從而形成滲流場，滲流場形成帶來的關(guān)鍵工程問題之一是隧道滲流量，滲流量的準(zhǔn)確計(jì)算對于水下隧道的建設(shè)具有重要意義[1-2]。

國內(nèi)外學(xué)者發(fā)現(xiàn)，影響水下隧道滲流量的因素眾多，其中隧洞開挖后洞周土體的滲透性和襯砌的滲水模式對于隧道滲流量有巨大的影響[3-4]。對于前者，目前學(xué)者大多將地層模型簡化成飽和均質(zhì)且各向同性的多孔連續(xù)介質(zhì)，忽略了自然界土體受地質(zhì)作用及自身重力影響多表現(xiàn)為各向異性這一基本現(xiàn)實(shí)。對于后者，目前襯砌中水的滲流方式主要包括等水壓和等水頭兩種模式：等水壓模式不考慮襯砌內(nèi)襯里及大氣壓作用，襯砌內(nèi)緣水壓力為0；等水頭模式假設(shè)襯砌內(nèi)緣存在不透水襯里時(shí)，總水頭沿著內(nèi)緣表面均勻分布，為恒定值。在洞周土體各向同性假設(shè)的基礎(chǔ)上，EI[5]和GUO等[6]在等水壓滲水模式下采用保角變換法對單層半無限介質(zhì)中的無壓孔洞滲流問題進(jìn)行了研究并給出解析解。國外學(xué)者BATU[7]、KOLYMBAS等[8]，國內(nèi)學(xué)者童磊等[9]、應(yīng)宏偉等[10]、王秀英等[11]也在等水頭滲水模式下分別采用保角映射、鏡像法、豎井法推導(dǎo)了水下隧道滲流場的解析式，并與數(shù)值模擬值對比驗(yàn)證。明冬雨等[12]對不同滲水模式下的水下淺埋無壓圓形隧道進(jìn)行了研究，認(rèn)為等水頭滲水模式能更好地滿足襯砌外水荷載計(jì)算精度的要求。

近些年來，少數(shù)學(xué)者開始考慮滲透各向異性對于隧道滲流場的影響。徐長節(jié)等[13]基于無限含水層豎井理論，通過坐標(biāo)變換及保角映射法，推導(dǎo)了各向異性滲流下深埋圓形隧洞滲流場解析解，但該方法將半無限滲流域簡化為無限滲流域，與實(shí)際情況不符，只能算近似解。LI等[14]采用保角映射及最優(yōu)化技術(shù)推導(dǎo)了考慮滲透各向異性的水下圓形隧道滲流場的解析式，并研究了等水壓和等水頭滲水模式下的隧道滲流量變化情況，但需要利用計(jì)算機(jī)獲取映射函數(shù)，因此只能算一種半解析解。

從上述研究中發(fā)現(xiàn)，目前的研究多數(shù)將水下隧道洞周土體簡化成各向同性的多孔連續(xù)介質(zhì)，對于考慮土體滲透各向異性和襯砌滲水模式聯(lián)合作用下的隧道滲水量的研究未見報(bào)道。基于此，本文采用坐標(biāo)變換和保角映射法，推導(dǎo)了在滲透各向異性下半無限多孔介質(zhì)中水下隧道滲流量的解析式，并初步探究滲透各向異性、襯砌滲水模式對隧道滲流量的影響。

1 水下隧道計(jì)算模型

本文研究對象為考慮滲透各向異性的水下隧道。地層表面以上水頭高度為Hw；水下隧道橫截面為圓形，襯砌外半徑為r1，襯砌內(nèi)半徑為r0，滲透系數(shù)為k1；注漿圈外半徑為rg，滲透系數(shù)為kg；隧道中心到介質(zhì)距離為h，定義為埋深；洞周土水平向滲透系數(shù)為kx，豎直向滲透系數(shù)為kz，與滲透主軸方向一致，且均為常數(shù)；基準(zhǔn)面建立在地層表面，如圖1所示。

圖1 水下隧道模型圖Fig.1 Diagram of underwater tunnel

此外，模型基本假設(shè)如下：

（1）洞周土為滲透各向異性介質(zhì)；

（2）隧道處于穩(wěn)定滲流狀態(tài)；

（3）水流服從達(dá)西定律；

（4）排水以襯砌均勻滲水實(shí)現(xiàn)，注漿圈和襯砌內(nèi)以徑向滲流為主。

本文按照等水壓和等水頭模式模擬隧道襯砌滲水，按照上述假設(shè)，可得：

a）地表滲流邊界條件是：

b）等水壓模式下襯砌內(nèi)緣滲流邊界條件：

c）等水頭模式下襯砌內(nèi)緣滲流邊界條件：

式中：Hw是地表水頭；h0是襯砌內(nèi)部水頭，通常以隧道拱腳線處水頭近似表示。

2 解析解推導(dǎo)

由于隧道洞周土為滲透各向異性介質(zhì)，注漿圈和襯砌為滲透各向同性介質(zhì)，直接求解不易。為方便求解，將洞周土區(qū)域與注漿圈內(nèi)區(qū)域（包括注漿圈和襯砌）分開計(jì)算，再按照滲流連續(xù)理論的流量相等原則聯(lián)立求解[15]。

2.1 等水壓滲水模式的滲流量求解

（1）洞周土域內(nèi)滲流量求解

根據(jù)地下水流的連續(xù)性原理，均質(zhì)、各向異性含水層的二維穩(wěn)定滲流的基本微分方程為：

式（4）為考慮滲透各向異性的穩(wěn)定滲流控制方程，與傳統(tǒng)的各向同性土體中的滲流控制方程拉普拉斯方程不同[16]。拉普拉斯方程在各向同性水下隧道穩(wěn)定滲流場中的求解已經(jīng)非常普遍，因此采用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法將式（4）轉(zhuǎn)化為拉普拉斯方程的形式，再利用現(xiàn)有拉普拉斯方程的求解方法求解水下隧道滲流量。

a）坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，令：

則式（4）轉(zhuǎn)化為式（7）的形式：

式（7）即為拉普拉斯方程形式。

通過式（5）、式（6），原z平面中滲透各向異性滲流場轉(zhuǎn)換為新S平面各向同性滲流場，如圖2（a）到圖2（b）。變換后滲流場的等效滲透系數(shù)為ke，按照不同坐標(biāo)系下滲流場流量不變原則[17]計(jì)算得到ke同時(shí)，上述變換也將z平面中圓形book=10,ebook=17內(nèi)邊界變成S平面中橢圓形內(nèi)邊界，若假設(shè)橢圓形內(nèi)邊界的長、短軸半徑分別為a、b，則：

S平面中的內(nèi)邊界不再是圓形，直接求解困難，可考慮采用保角映射法將S平面中的橢圓形內(nèi)邊界轉(zhuǎn)化為圓形內(nèi)邊界。

b）保角映射過程

由于求解域具有對稱性，取一半進(jìn)行分析，保角映射復(fù)變函數(shù)式如式（9）～（11）所示。

式中：S=X+iZ；t=ξ+iη；R=(a+b)/2；m= (a?b) /(a+b)；u、ν為復(fù)變函數(shù)w1(S)的實(shí)部和虛部；ξ、η分別為復(fù)變函數(shù)w2(t)的實(shí)部和虛部；i為虛數(shù)單位。

利用復(fù)變函數(shù)式（9）～（11）[18-19]可將S平面的橢圓形內(nèi)邊界轉(zhuǎn)變?yōu)棣衅矫鎯?nèi)圓形內(nèi)邊界，地表保持不變，如圖3所示。π平面與原z平面形式類似，求解更加方便。

圖3 保角映射過程Fig.3 Conformal mapping process

將h代入式（9）～（11）中，最終可得π平面中隧道的埋深heq如式（12）所示。

式中：n為隧道洞周土體水平向滲透系數(shù)與豎直向滲透系數(shù)之比，n=kx/ky。

在π平面隧道模型的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步利用式（13）的復(fù)變函數(shù)式[20]將其轉(zhuǎn)化為同心圓環(huán)域，方便極坐標(biāo)下求解。映射函數(shù)如下：

式中：τ、A為復(fù)變函數(shù)w3()τ的實(shí)部和虛部。

式（13）將π平面中的地層表面化為半徑為1的外圓，內(nèi)邊界AB化為一半徑為ε的內(nèi)圓，對應(yīng)水頭不變。

按照上述保角變換的方法，拉普拉斯方程可以在同心圓環(huán)域內(nèi)表示為下式：

極坐標(biāo)下該式的通解為：

式中：H為洞周土域水頭；C1、C2為待定常數(shù)；C3、C4為待定常數(shù)族；ρ為極坐標(biāo)系半徑；θ為極坐標(biāo)系極角；k為常數(shù)。

c）方程求解

代入洞周土域地表面邊界條件：

設(shè)洞周土域內(nèi)邊界水壓力為ps，總水頭：

其傅里葉級數(shù)形式如下：

總水頭在λ平面內(nèi)可表示為：

與式（17）比較兩邊系數(shù)可得：

則洞周土域孔隙水壓力表達(dá)式為：

洞周土域滲流量Qs可表達(dá)為：

（2）注漿圈內(nèi)的滲流量求解

注漿圈和襯砌以徑向滲流為主，則可簡化為徑向軸對稱滲流模式，注漿圈內(nèi)任一點(diǎn)水壓pg滿足拉普拉斯方程形式：

代入邊界條件：

式中：pg為注漿圈外緣水壓力；1p為注漿圈與襯砌交界面水壓，襯砌內(nèi)緣水壓力為0。

解得pg后積分可得注漿圈滲流量Qg：

同理襯砌內(nèi)的滲流量Ql：

（3）水下隧道滲流量的求解

由地下水滲流連續(xù)性原理可知，洞周土域與注漿圈域、注漿圈域與襯砌域滲流量相等，即Qs=Qg=Q1，最終聯(lián)立式（25）、（28）、（29）可得隧道滲流量近似表達(dá)式：

2.2 等水頭排水模式下的滲流量求解

與等水壓滲水模式求解思路一樣，但邊界條件變?yōu)椋?/p>

式中：hg為注漿圈與洞周土域交界面水頭；1h為注漿圈與襯砌交界面水頭；0h為襯砌內(nèi)部水頭。直接求解得隧道滲流量：

3 參數(shù)分析

為反映不同襯砌滲水模式和滲透各向異性對隧道滲流量的影響，假設(shè)某水下隧道地表水頭Hw為20 m，隧道埋深h為15 m，襯砌內(nèi)半徑5 m，厚30 cm，內(nèi)緣孔隙水壓力為0。洞周土體為粉砂土，為反映滲透各向異性的影響，設(shè)豎直向滲透系數(shù)kz=1×10?6m/s，水平向滲透系數(shù)kx為變量，令n=kx/kz，代表滲透各向異性比，比值越大，代表土體滲透各向異性越明顯。目前對于各類土體滲透系數(shù)各向異性的研究還處于定性階段，對于一般滲透性較好的砂土，滲透各向異性比n值可能在1～15之間，而對于滲透性較差的黏土、淤泥質(zhì)土，n值可能在20～100之間，變化差異較大[21]。

此外為反映隧道埋深與隧道孔徑之間的關(guān)系，定義隧道埋深比a=h/r0，本文假設(shè)r0不變，通過改變h來改變埋深比a的值。

為驗(yàn)證解析解，利用COMSOL數(shù)值軟件對不同滲水模式下的滲流量值進(jìn)行驗(yàn)證，并考慮洞周土滲透各向異性對隧道滲流場的影響。為消除邊界影響，模型左右寬度各取10倍埋深，模型深度取6倍埋深。

設(shè)襯砌滲透系數(shù)k1=5×10?8m/s，兩種襯砌滲水模式下的隧道滲流量隨n值的變化規(guī)律如圖4所示。

圖4 不同滲水模式下的隧道滲流量隨滲透各向異性比n值的變化規(guī)律Fig.4 Variation of seepage flow with anisotropic permeability index n under different seepage modes

圖4中橫坐標(biāo)為水平向與豎直向滲透系數(shù)之比n，縱坐標(biāo)為隧道滲流量Q（m3/d/m）。從圖4中看，無論是等水壓還是等水頭滲水模式，解析解都與數(shù)值解擬合較好，整體上解析值大于數(shù)值模擬值，但發(fā)展規(guī)律一致：Q都隨著n值的增大而增大，但增長趨勢漸漸放緩，考慮滲透各向異性對于Q影響巨大。例如在等水壓模式下，n=1（即滲流各向同性）時(shí)Q=6.47 m3/d/m，而當(dāng)n=3、6時(shí)Q=8.21、9.38 m3/d/m，相比n=1時(shí)Q的增量比為26.89%、44.98%。由此可見若不考慮滲透各向異性，水下隧道滲流量會(huì)被低估。

此外，從圖4中還可以觀察到，等水頭滲水模式下的Q略大于等水壓滲水模式下的Q，但整體相差不大。主要原因在于a的影響：等水壓滲水模式假設(shè)襯砌外緣孔隙水壓力沿外緣向相等，忽略了位勢水頭的影響，所以滲流量值小于等水頭滲水模式下的滲流量。當(dāng)a較大時(shí)，襯砌內(nèi)外緣位勢水頭對滲流場水力梯度的影響微乎其微，兩種滲水模式下的滲流量自然相差不大。

為進(jìn)一步探究埋深比a對上述兩種襯砌滲水模式下Q的影響，設(shè)r0不變，h為變量，不同滲透各向異性比n下的隧道滲流量隨h的變化如圖5所示。

圖5 不同n下隧道滲流量隨埋深h的變化Fig.5 Variation of seepage flow with h at different n

觀察圖5，等水頭和等水壓滲水模式下的隧道滲流量之差隨著隧道埋深h的增大而減小。當(dāng)h較小時(shí)，此時(shí)位勢水頭對于Q的作用強(qiáng)烈，兩種滲水模式下Q之間的差異相對較大。但隨著h增大，如當(dāng)n=1，h=16 m時(shí)，兩種襯砌滲水模式下的Q值幾乎一致，說明襯砌滲水模式的選擇對于淺埋隧道的影響相比大埋深隧道來說更顯著。該結(jié)論與PARK等[22]基于土體滲透各向同性下兩種滲水模式對隧道滲流量影響規(guī)律一致，即對于淺埋隧道，無論是否考慮隧道周圍土體的滲透各向異性，不同滲水模式下的隧道滲流量差異都比較大。

此外還可以看到，當(dāng)n=1時(shí)，Q在h＜11 m時(shí)先減小，之后才隨著h的增加而增加。而當(dāng)n=12時(shí)的Q值隨著h的增加而增加，不存在一個(gè)減小的過程。究其原因，當(dāng)隧道埋深很淺時(shí)，隧道接近地表，地下水不再通過土體均勻流入隧道，而是通過隧道上方的薄土層直接進(jìn)入隧道，低于地表水頭Hw，導(dǎo)致隧道滲流量減小。而本例中假設(shè)kz不變，滲透各向異性比n值越大代表kx越大，即水平方向上的滲透性越強(qiáng)，淺埋時(shí)的水流不再僅從隧道上方流入隧道，而是更傾向于從隧道洞周均勻流入，滲流路徑對比如圖6所示。且綜合n=1、6、12來看，n值越大，隧道滲流量“先減后增”效應(yīng)越不明顯，反映了滲透各向異性對于隧道滲流場的重要影響。

圖6 淺埋下n=1與n=12滲流路徑對比圖（紅線左側(cè)為n=1的滲流路徑，右側(cè)為n=12的滲流路徑）Fig.6 Comparison of seepage paths of n=1 and n=12 in shallow tunnel (left: n=1, right: n=12)

襯砌的存在同樣會(huì)對隧道滲流量產(chǎn)生一定的作用。為探究襯砌滲透性的影響，假設(shè)襯砌滲透系數(shù)k1為變量，洞周土豎直向滲透系數(shù)kz=1×10?6m/s，令n1=kz/k1，代表洞周土與襯砌滲透性的差異，n1越大，襯砌滲透性越低。埋深15 m、襯砌內(nèi)徑5 m時(shí)等水壓滲水模式下Q隨n1的變化如圖7所示。

圖7 考慮襯砌滲透性影響的Q隨n1的變化Fig.7 Variation of Q with n1 under different lining permeability

分析圖7可知，等水壓模式下隧道滲流量隨洞周土與襯砌滲透系數(shù)之比n1的增大迅速減小后漸趨于平緩。當(dāng)n1一定時(shí)，不同滲透各向異性比n下的滲流量Q存在一定的差異，說明滲透各向異性是影響隧道滲流量的重要因素之一，且n1越小，襯砌滲透系數(shù)越大，n值對Q的影響越大。而隨著n1的增大，襯砌滲透性越來越差，與洞周土滲透性差異增大，不同n下的Q越接近。本例中，當(dāng)nl＞100時(shí)，n對Q的影響微乎其微，說明當(dāng)洞周土滲透性較好時(shí)，襯砌滲透性對于隧道滲流量的影響相對更大。

上述假設(shè)中，洞周土滲透性為1×10?6m/s，滲透性較好，但在我國沿海地區(qū)（如上海）土體多為軟黏土，滲透系數(shù)在1×10?8～1×10?11m/s之間，滲透性極差，與襯砌滲透性的差異較小。下面本文探究軟黏土中隧道滲流量與圍巖滲透各向異性的關(guān)系。假設(shè)襯砌滲透系數(shù)k1=5×10?9m/s，洞周土滲透系數(shù)kz為變量，令n1=kz/k1，取值0.1～10，即洞周土與襯砌滲透性差異在10倍內(nèi)。軟黏土中等水壓模式下的Q隨n1的變化情況如圖8所示。

圖8 考慮軟土滲透性影響的Q隨n1的變化Fig.8 Variation of Q with n1 under different soil permeability

從圖8中看，隧道滲流量Q隨洞周土與襯砌滲透系數(shù)之比n1的增大而增大，且增長趨勢幾乎是線性的。這說明當(dāng)洞周土與襯砌滲透性較為接近時(shí)，襯砌滲透性對于Q的影響將減弱，而洞周土體滲透性對Q的影響相對加強(qiáng)。如當(dāng)n1=2，n=3、6的Q值相比于n=1的Q值增量比為47.86%、91.57%；n1=8時(shí)的增量比為38.10%、68.31%。說明洞周土與襯砌滲透性越接近，洞周土滲透各向異性對隧道滲流量的影響越大，因此在軟黏土等弱透水土體中滲透各向異性對隧道滲流量有更重要的影響。同時(shí)要注意的是，洞周土滲透性越差，整體上隧道滲流量也越小，但隨著地下水限排規(guī)定越來越嚴(yán)格，當(dāng)土體表現(xiàn)出明顯各向異性時(shí)，還是不能忽略滲透各向異性對滲流量的影響。圖9展示了等水壓滲水模式下地表壓力水頭高度對隧道滲流量的影響。橫坐標(biāo)為地表壓力水頭Hw（m），縱坐標(biāo)為隧道滲流量Q（m3/d/m）。從圖9中看，隧道滲流量隨地表壓力水頭呈線性增加趨勢，即地表壓力水頭越大，隧道滲流量越大。此外，洞周土滲透各向異性對隧道滲流量的影響也隨著地表壓力水頭Hw的增大而增加。例如Hw=0，n=1時(shí)，滲流量Q=2.83 m3/d/m，而當(dāng)n=3、6時(shí)Q=3.60、4.23 m3/d/m，相比n=1時(shí)Q的增量值為0.77、1.4 m3/d/m；Hw=40 m時(shí)，n=3、6相比n=1時(shí)Q的增量值為2.88、5.30 m3/d/m。因此當(dāng)?shù)乇泶嬖诟咚粫r(shí)要更重視滲透各向異性對隧道滲流量的影響，才能準(zhǔn)確計(jì)算隧道滲流量，指導(dǎo)工程建設(shè)。

圖9 隧道滲流量隨地表壓力水頭的變化Fig.9 Variation of seepage flow with surface water head

4 結(jié) 論

（1）本文在假定兩種襯砌滲水模式的基礎(chǔ)上推導(dǎo)了考慮滲透各向異性的水下隧道滲流量的解析解，為水下隧道滲流量的計(jì)算提供了一種方法。

（2）通過參數(shù)分析可知，滲透各向異性比n對隧道滲流量會(huì)產(chǎn)生顯著的影響，不考慮滲透各向異性將低估隧道滲流量。

（3）埋深比a能夠影響襯砌等水壓和等水頭滲水模式下的隧道滲流量，且隧道埋深越小，兩種襯砌滲水模式下的隧道滲流量之差越大，淺埋隧道尤其要重視襯砌滲水模式的選擇。此外滲透各向異性會(huì)改變淺埋隧道的水流滲流路徑，使地下水通過土體均勻流入隧道，不是僅通過隧道上方的薄土層直接進(jìn)入隧道，從而改變隧道滲流場分布。

（4）襯砌的存在對于隧道滲流量有重要的影響，隧道滲流量隨襯砌滲透性的降低迅速減小后趨于平緩。襯砌的存在能夠削弱滲透各向異性比n對隧道滲流量的影響，且襯砌滲透性越低，削弱能力越強(qiáng)，不同n下的隧道滲流量差異越小。軟黏土等弱透水土體的滲透各向異性對隧道滲流量的影響更大，在此情況下考慮土體滲透各向異性對于隧道滲流量的影響更有意義。

（5）隧道滲流量隨地表壓力水頭線性增加，且不同滲透各向異性比下隧道滲流量之間的差值也隨著地表壓力水頭增加而增加，滲透各向異性對于隧道滲流量的準(zhǔn)確反映在地表高水位下更應(yīng)值得關(guān)注。

限于篇幅，本文未分析注漿圈對于滲透各向異性下不同襯砌滲水模式隧道滲流量的影響，將在下一步詳細(xì)研究注漿圈的厚度、滲透性對于隧道滲流量的影響。