劉雪亮

? 江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)育才中學(xué)

在“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”的大單元教學(xué)中,為了有效優(yōu)化教學(xué)效果,筆者以習(xí)題課的形式展開復(fù)習(xí),對(duì)大單元教學(xué)與復(fù)習(xí)進(jìn)行大膽創(chuàng)新與嘗試,具體的教學(xué)設(shè)計(jì)分為四個(gè)環(huán)節(jié).

1 引導(dǎo)回憶,構(gòu)建體系

首先帶領(lǐng)學(xué)生通過回憶的形式,構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系,如圖1所示.

圖1

2 知識(shí)要點(diǎn),技巧方法

2.1 知識(shí)回顧

(1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

(2)導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算法則,求導(dǎo)的常見技巧方法.

(3)導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng)用:與幾何意義、單調(diào)性、極值(或最值)以及實(shí)際應(yīng)用等有關(guān)的問題.要注意的是,導(dǎo)數(shù)常常與不等式、方程等有機(jī)結(jié)合,形成綜合性試題.

(4)利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際應(yīng)用問題時(shí),首先要注意自變量的取值范圍,即考慮問題的實(shí)際意義.在應(yīng)用問題的設(shè)計(jì)上,高考多設(shè)置為單峰函數(shù),以降低要求.

(5)高考對(duì)本單元的考查要求:會(huì)利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)處理導(dǎo)數(shù)的幾類基本應(yīng)用問題.

2.2 技巧方法

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題中,主要涉及求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、可導(dǎo)函數(shù)的極值、函數(shù)的最值等的技巧方法與基本步驟,這里略.

特別在解決問題中,一定要注意正確把握函數(shù)的極值與函數(shù)的最大(小)值之間的聯(lián)系與區(qū)別,不能混淆.函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì),而函數(shù)的最大(小)值是相對(duì)整個(gè)定義域而言的.求在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數(shù)f(x)的最大(小)值時(shí),需要注意開區(qū)間(a,b)內(nèi)極大(小)值與端點(diǎn)函數(shù)值f(a),f(b)的比較.

3 主題串講,綜合提高

3.1 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

導(dǎo)數(shù)運(yùn)算求值問題中,在函數(shù)求導(dǎo)時(shí),應(yīng)仔細(xì)觀察和分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,緊扣導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則以及基本函數(shù)的求導(dǎo)公式,有時(shí)還要適當(dāng)?shù)葍r(jià)變形.

例1已知函數(shù)f(x)=(2x+1)·ex,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則f′(0)的值為______.

分析：利用積的求導(dǎo)法則對(duì)函數(shù)求導(dǎo),代入即可解決相應(yīng)的求值問題.

解析：對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo),得f′(x)=(2x+3)ex.

所以f′(0)=(2×0+3)·e0=3.

故填答案:3.

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題型,熟練掌握對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)公式與運(yùn)算法則是關(guān)鍵.

3.2 導(dǎo)數(shù)的幾何意義

導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)部分的一個(gè)重要考點(diǎn),能夠有機(jī)“串聯(lián)”起函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、平面解析幾何等相關(guān)知識(shí),成為高考中比較常見的一個(gè)基本考點(diǎn),往往涉及與切線有關(guān)的綜合應(yīng)用等.

例2已知f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=e-x-1―x,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為______.

分析：根據(jù)題設(shè)條件,結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì),先確定x>0時(shí)函數(shù)的解析式,再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率.

解析：當(dāng)x>0時(shí),―x<0,則f(―x)=ex-1+x,又f(x)為偶函數(shù),所以f(x)=f(―x)=ex-1+x.

當(dāng)x>0時(shí),f′(x)=ex-1+1,則在點(diǎn)(1,2)處的切線斜率為k=f′(1)=2.

所以切線方程為y―2=2(x―1),即y=2x.

故填答案:y=2x.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性,函數(shù)的解析式,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,直線的方程.此類問題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其綜合應(yīng)用問題,關(guān)鍵在于挖掘問題的本質(zhì)與內(nèi)涵,綜合利用相關(guān)的知識(shí)來(lái)分析與應(yīng)用.其實(shí),本題還可以利用函數(shù)的對(duì)稱性直接求切線斜率.

3.3 函數(shù)的基本性質(zhì)

函數(shù)的基本性質(zhì)問題,往往是基于函數(shù)的單調(diào)性加以拓展與綜合,特別是函數(shù)的極值與最值等,為深入研究函數(shù)的基本性質(zhì)提供條件.

例3(2023年高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷理科·16)設(shè)a∈(0,1),若函數(shù)f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則a的取值范圍是______.

分析：借助導(dǎo)數(shù),將函數(shù)f(x)的單調(diào)性問題有效轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0在區(qū)間(0,+∞)上恒成立問題,通過不等式的求解來(lái)確定參數(shù)的取值范圍.

解析：由函數(shù)f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,可得

f′(x)=axlna+(1+a)xln(1+a)≥0.

①

在(0,+∞)上恒成立.

令函數(shù)g(x)=axlna+(1+a)xln(1+a),可得g′(x)=axln2a+(1+a)xln2(1+a)>0.

所以,函數(shù)f′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

當(dāng)f′(0)=lna+ln(1+a)≥0,即ln [a(1+a)]≥0,亦即a(1+a)≥1時(shí),①式在(0,+∞)上恒成立.

點(diǎn)評(píng)：將函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的不等式恒成立問題,這是解決問題的關(guān)鍵,其中融入函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算等.正確構(gòu)建不等式是解決問題的重點(diǎn)與難點(diǎn),也是問題突破的靈魂之處,要加以靈活掌握,同時(shí)要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化與正確構(gòu)建.

3.4 函數(shù)的綜合應(yīng)用

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問題是歷年高考中的主要考點(diǎn),綜合性強(qiáng),交匯性高,成為全面考查考生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力與基本素養(yǎng)的重要載體之一,要引起高度重視.

例4〔2024年重慶市開州中學(xué)高三(上)月考數(shù)學(xué)試卷〕設(shè)函數(shù)f(x)=2lnx-mx2+1.

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)m=1時(shí),若在f(x)的定義域內(nèi)存在兩實(shí)數(shù)x1,x2,滿足x12.

分析：(1)通過確定函數(shù)的定義域,利用參數(shù)的分類討論,研究導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)取值情況,進(jìn)而判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性.(2)利用函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合對(duì)稱構(gòu)造法構(gòu)建新函數(shù),利用新函數(shù)的單調(diào)性的判斷與性質(zhì)來(lái)分析與證明對(duì)應(yīng)的不等式.

當(dāng)m≤0時(shí),f′(x)>0,則f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增.

(2)證明：當(dāng)m=1時(shí),f(x)=2lnx-x2+1.

由(1)知f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減.

又實(shí)數(shù)x1,x2滿足x1

當(dāng)0

所以F(x)在(0,1)上單調(diào)遞增.

所以?x∈(0,1),都有F(x)

又0

又1<2-x1<2,x2>1,f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,所以x2>2-x1,即x1+x2>2.

點(diǎn)評(píng)：在解決一些涉及函數(shù)與不等式綜合應(yīng)用問題時(shí),或證明不等式成立,或利用不等式恒成立等,都可以很好地把函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用、不等式等相關(guān)知識(shí)合理交匯與融合,進(jìn)而借助導(dǎo)數(shù)思維來(lái)分析與處理,巧妙實(shí)現(xiàn)問題的破解.

4 方法指導(dǎo),提煉思想

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想,涉及一般與特殊、類比等數(shù)學(xué)思維方法:

(1)轉(zhuǎn)化與化歸思想在導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用中主要用來(lái)解決有關(guān)不等式恒成立、函數(shù)的單調(diào)性等問題.

(2)函數(shù)與方程思想在導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用中主要用來(lái)解決生活中的優(yōu)化問題以及構(gòu)造函數(shù)證明等式或不等式.

(3)分類討論思想在導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用中主要用來(lái)求解單調(diào)區(qū)間、參數(shù)范圍、極值、最值以及不等式恒成立問題等.

(4)數(shù)形結(jié)合思想在導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用中主要用來(lái)解決有關(guān)方程的根的問題.