郝 詳

(河北保定外國語學(xué)校 河北 保定 071000)

極值問題在物理教學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn),根據(jù)物理規(guī)律,找到物理量之間的關(guān)系,利用數(shù)學(xué)知識(shí)求解極值,是擺在每個(gè)物理教師面前的問題.

在求解極值問題時(shí),最長用的方法是三角函數(shù)法(在2022 年 1 月浙江省普通高校招生選考科目考試物理試題第5題用到)和二次三項(xiàng)式性質(zhì)法(配方法,比如2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試浙江理綜物理卷第5題用到).但是,這兩種方法對(duì)有的題目效果并不好,比如下面的例題.

【例1】如圖1所示,光滑小球a、b的質(zhì)量均為m,a、b均可視為質(zhì)點(diǎn),a、b用剛性輕桿連接,豎直地緊靠光滑墻壁放置,輕桿長為l,b位于光滑水平地面上,a、b處于靜止?fàn)顟B(tài),重力加速度大小為g.現(xiàn)對(duì)b施加輕微擾動(dòng),使b開始沿水平面向右做直線運(yùn)動(dòng),問:直到a著地的過程中,何時(shí)b的速度最大?

圖1 例1題圖

分析:對(duì)b施加輕微擾動(dòng)使b開始沿水平面向右做直線運(yùn)動(dòng),桿被壓縮,對(duì)a和b均為推力,桿對(duì)a做負(fù)功,桿對(duì)b做正功,當(dāng)桿的推力等于零時(shí),桿對(duì)b做正功最多,此時(shí)b的速度最大,設(shè)桿與水平方向的夾角為θ,對(duì)系統(tǒng)由機(jī)械能守恒有

沿著桿的速度相等,有

vasinθ=vbcosθ

聯(lián)立解得

即

Ekb=mgl(1-sinθ)sin2θ

通過觀察發(fā)現(xiàn),動(dòng)能Ekb是關(guān)于θ的函數(shù),而且是高次函數(shù),所以用三角函數(shù)的方法有些困難.現(xiàn)在作函數(shù)的y-θ圖像,如圖2所示.

圖2 y=(1-sin θ)sin αsin α函數(shù)圖像

通過圖線發(fā)現(xiàn),函數(shù)的最大值在42°左右,并不是一個(gè)特殊值,這就需要用到費(fèi)馬定理.由于高中階段對(duì)此介紹是通過例題出現(xiàn)的,在此簡單介紹一下.

費(fèi)馬定理這樣表述:若函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)有導(dǎo)數(shù),并且在x0的某鄰域內(nèi)恒有f(x)≤f(x0)[f(x)≥f(x0)]成立,則f′(x0)=0[1].費(fèi)馬定理的幾何意義是:如果f(x)在x0的值不小于臨近的函數(shù)值[或f(x0)不大于臨近的函數(shù)值],只要在[x0,f(x0)]點(diǎn)曲線有切線,其切線必為水平.函數(shù)在x0處的切線水平,意味著函數(shù)在此處存在極值(函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)等于零).

例題解法:設(shè)

y=mgl(1-sinθ)sin2θ

對(duì)其求導(dǎo),有

y′=2mglsinθcosθ(2-3sinθ)

求導(dǎo)法不但可以解決三角函數(shù)的極值問題,也可以解決二次函數(shù)的極值問題.

【例2】(2017年高考全國Ⅱ卷第17題)如圖3所示,半圓形光滑軌道固定在水平地面上,半圓的直徑與地面垂直,一小物塊以速度v從軌道下端滑入軌道,并從軌道上端水平飛出,小物塊落地點(diǎn)到軌道下端的距離與軌道半徑有關(guān),此距離最大時(shí),對(duì)應(yīng)的軌道半徑為(重力加速度為g)( )

圖3 例2題圖

分析:設(shè)小物塊運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的速度為vt,半圓形光滑軌道半徑為R,小物塊由最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn),由機(jī)械能守恒定律,有

小物塊從最高點(diǎn)飛出做平拋運(yùn)動(dòng),則

聯(lián)立解得

根式下面是一個(gè)關(guān)于R的二次函數(shù),令

用這種方法比判別式方法求二次函數(shù)極值簡單高效.

通過以上例題可以看出,在求極值問題上,求導(dǎo)法是難得的好方法.