摘" 要：特征值與特征向量是兩個(gè)既抽象又應(yīng)用廣泛的概念，若只專注于理論內(nèi)容的講授，忽視其在實(shí)際應(yīng)用中的背景和意義，會(huì)使學(xué)生對(duì)理論知識(shí)感到難以理解，從而失去學(xué)習(xí)的興趣和熱情，繼而影響到后續(xù)課程的學(xué)習(xí)。以雨課堂教學(xué)平臺(tái)為基礎(chǔ)，采用課程思政融入基礎(chǔ)課教學(xué)的方法，將矩陣的特征值和特征向量與離散動(dòng)力系統(tǒng)聯(lián)系起來(lái)，以捕食者-食餌系統(tǒng)為應(yīng)用案例，引導(dǎo)學(xué)生分析實(shí)際問(wèn)題并建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，然后通過(guò)矩陣特征值與特征向量來(lái)求解數(shù)學(xué)模型，加深了學(xué)生對(duì)基本理論知識(shí)的理解，提高了學(xué)生課堂參與度，達(dá)到了很好的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：特征值" 特征向量" 案例教學(xué)" 雨課堂

中圖分類號(hào)：G642.4;O151.2-4

Research on" Eigenvalue and Eigenvector Teaching Based on Rain Classroom and Case Teaching Method

LI Wen" ZHAO Liyun" CAO Fujun

School of Science， Inner Mongolia University of Science and Technology， Baotou， Inner Mongolia Autonomous Region， 014010 China

Abstract： Eigenvalue and eigenvector are two abstract and widely used concepts. If teachers only focus on teaching theoretical content and ignore their background and significance in practical applications， it will make students feel difficult to understand theoretical knowledge， thereby losing interest and enthusiasm for learning， and ultimately affecting their subsequent course learning. Based on the Rain Classroom teaching platform， this article adopts the method of integrating ideological and political education into basic course teaching. It links the eigenvalues and eigenvectors of matrices with discrete dynamical systems， and takes the predator-prey system as an application case to guide students to analyze practical problems and establish corresponding mathematical models， and then solves the mathematical models through the eigenvalues and eigenvectors of matrices， deepening students' understanding of basic theoretical knowledge， improving students' classroom participation， and achieving good teaching results.

Key Words： Eigenvalue; Eigenvector; Case teaching; Rain Classroom

在矩陣?yán)碚撗芯恐?，特征值與特征向量是兩個(gè)非常重要的概念，也是線性代數(shù)教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)所在。特征值與特征向量的應(yīng)用很廣泛，已滲透到多個(gè)科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域[1]。在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域，人們將其應(yīng)用到視覺與圖像處理、數(shù)據(jù)挖掘和機(jī)器學(xué)習(xí)中。在動(dòng)力系統(tǒng)研究中，常常用特征值的符號(hào)來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。張艷碩等人[2]借助于特征值，提出了一種無(wú)可信中心的門限秘密共享方案。袁馳[3]設(shè)計(jì)出了基于特征向量的非隨機(jī)WSN密鑰預(yù)分配方法。

為了提高教學(xué)質(zhì)量，很多教師從不同的角度介紹特征值與特征向量。如雍龍泉[4]以矩陣的可逆性和對(duì)稱性作為分類原則，給出了矩陣特征值與特征向量的幾何意義。王小春[5]在引出特征值與特征向量時(shí)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，以線性不變量為切入點(diǎn)。朱玲[6]給出了矩陣的特征值和特征向量在谷歌的網(wǎng)頁(yè)排名算法 PageRank 和層次分析法中的應(yīng)用。

線性代數(shù)[7]作為一門核心課程，應(yīng)在課堂教學(xué)中充分挖掘課程的思政元素。在教學(xué)實(shí)踐中，在講授特征值與特征向量時(shí)，通過(guò)介紹其在科學(xué)領(lǐng)域的實(shí)際引用案例，激發(fā)學(xué)生的愛國(guó)情懷和社會(huì)責(zé)任感。

1" 特征值與特征向量的思政元素

在系統(tǒng)與控制科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)，特征值和特征向量對(duì)于系統(tǒng)的穩(wěn)定性有著直接的影響。高機(jī)動(dòng)性戰(zhàn)斗機(jī)控制是系統(tǒng)控制領(lǐng)域的一個(gè)非常重要的分支。殲-20是中國(guó)自主研制的第五代戰(zhàn)斗機(jī)，在高隱身性、高態(tài)勢(shì)感知、高機(jī)動(dòng)性等方面取得了重大突破，提升了中國(guó)空軍的作戰(zhàn)能力和戰(zhàn)略威懾力，為中國(guó)航空工業(yè)的未來(lái)發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

控制系統(tǒng)在深海鉆井平臺(tái)的自動(dòng)定位中發(fā)揮關(guān)鍵作用。我國(guó)“海洋石油981”深水半潛式鉆井平臺(tái)具備極強(qiáng)的穩(wěn)定性和抗干擾性，憑借8個(gè)分列四角的螺旋槳推進(jìn)器通過(guò)控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)自動(dòng)定位，能夠在南海3 000 m的水深作業(yè)區(qū)域內(nèi)穩(wěn)定工作。

課堂上通過(guò)介紹我國(guó)自主研制的第五代戰(zhàn)斗機(jī)和“海洋石油981”深水半潛式鉆井平臺(tái)，不僅使學(xué)生認(rèn)識(shí)到“ 矩陣的特征值和特征向量”這一基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)的重要性，而且使學(xué)生認(rèn)識(shí)到中國(guó)的進(jìn)步和發(fā)展，增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感和責(zé)任感。

2" 基于雨課堂的特征值與特征向量混合式教學(xué)模式設(shè)計(jì)

由于學(xué)生對(duì)抽象的理論知識(shí)缺乏相應(yīng)的學(xué)習(xí)興趣，沒有積極主動(dòng)探索的學(xué)習(xí)習(xí)慣。通過(guò)借助于雨課堂教學(xué)工具，改變以教師為主的傳統(tǒng)教學(xué)模式，開展學(xué)生線上的自主學(xué)習(xí)與教師的線下課堂教學(xué)相結(jié)合的混合式教學(xué)模式，在教學(xué)過(guò)程中讓學(xué)生主動(dòng)積極地參與進(jìn)來(lái)。

2.1" 利用雨課堂課前提升學(xué)習(xí)興趣

利用雨課堂推送功能提前發(fā)布學(xué)習(xí)任務(wù)，要求學(xué)生通過(guò)雨課堂預(yù)習(xí)有關(guān)特征值與特征向量的知識(shí)點(diǎn)并了解相關(guān)實(shí)際應(yīng)用案例，學(xué)生收到學(xué)習(xí)資料后圍繞特征值與特征向量的實(shí)際應(yīng)用進(jìn)行研討。為下一步學(xué)習(xí)特征值與特征向量的實(shí)際應(yīng)用做好準(zhǔn)備工作。

2.2" 基于雨課堂反饋進(jìn)行課堂講授

課堂教學(xué)步驟如下。

（1） 在引入特征值與特征向量時(shí)，可先回顧前面的學(xué)習(xí)內(nèi)容：矩陣變換，線性變換。為引出特征值和特征向量做鋪墊。 通過(guò)下面的例題讓學(xué)生感受矩陣變換，也讓學(xué)生做好接受特征值和特征向量這兩個(gè)概念的準(zhǔn)備。

例1 設(shè)，分別計(jì)算的值

解" ，。

接下來(lái)讓學(xué)生思考和比較的值，通過(guò)比較的值可以看出，是的2倍，但不是的倍數(shù)。接下來(lái)引導(dǎo)學(xué)生思考什么樣的向量經(jīng)過(guò)矩陣變換后能得到其倍數(shù)？如果這樣的向量存在該如何得到？通過(guò)層層發(fā)問(wèn)，學(xué)生在聽課時(shí)就會(huì)緊跟教師的教學(xué)思路，品嘗到學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，樂(lè)于去解答問(wèn)題，最后會(huì)因成功解答問(wèn)題而收獲學(xué)習(xí)信心。當(dāng)觀察到學(xué)生對(duì)接下來(lái)的學(xué)習(xí)有濃厚的學(xué)習(xí)興趣時(shí)，強(qiáng)調(diào)形如這樣的方程就是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，接下來(lái)給出特征值和特征向量的定義。以問(wèn)題為導(dǎo)向引導(dǎo)學(xué)生思考，不但能使學(xué)生更專注于課堂，而且能促使學(xué)生課后去主動(dòng)學(xué)習(xí)，積極尋找課堂上問(wèn)題的答案，從而將知識(shí)內(nèi)化于心，在無(wú)形中培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

如何使學(xué)生在學(xué)習(xí)抽象且難懂的理論知識(shí)時(shí)不產(chǎn)生排斥畏難情緒，不但在于學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)態(tài)度，更在于教師的教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)風(fēng)格，若能通過(guò)巧妙的教學(xué)設(shè)計(jì)，結(jié)合雨課堂的提前預(yù)習(xí)，由問(wèn)題入手，通過(guò)發(fā)問(wèn)引領(lǐng)學(xué)生思考，利用已學(xué)知識(shí)和新知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生體會(huì)到知識(shí)的拓展，使學(xué)生以接受的心態(tài)來(lái)學(xué)習(xí)，那么在講授抽象的理論知識(shí)時(shí)會(huì)產(chǎn)生意想不到的教學(xué)效果。

（2）給出特征值和特征向量的定義。

定義[7]" 設(shè)是一個(gè)階方陣。若存在一個(gè)數(shù)和一個(gè)非零列向量， 使得關(guān)系式成立，則稱數(shù)為方陣的一個(gè)特征值，非零向量稱為的對(duì)應(yīng)于（或?qū)儆冢┨卣髦档奶卣飨蛄俊?/p>

（3）給出特征值與特征向量的計(jì)算方法。

求解階方陣的特征方程， 從而得到個(gè)特征值。當(dāng)時(shí)，求解方程得到的全部非零解即為的特征值的全部特征向量[7]。

以上內(nèi)容已通過(guò)PPT提前在雨課堂發(fā)布，學(xué)生可通過(guò)雨課堂進(jìn)行實(shí)時(shí)反饋，教師提前了解學(xué)生的預(yù)習(xí)情況，對(duì)大部分學(xué)生反映不太理解的內(nèi)容在課堂上重點(diǎn)講授。上述概念和計(jì)算抽象難懂，如果缺少必要的雨課堂預(yù)習(xí)過(guò)程，將導(dǎo)致學(xué)生理解困難，甚至對(duì)此部分內(nèi)容失去興趣。經(jīng)過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，通過(guò)雨課堂提前了解了所學(xué)內(nèi)容的同學(xué)在課堂中能夠緊跟教師的教學(xué)，和沒有在雨課堂進(jìn)行預(yù)習(xí)的同學(xué)相比能夠更快速地抓住學(xué)習(xí)重點(diǎn)。基于雨課堂教師能更清楚地了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，并在課堂中進(jìn)行針對(duì)性講授，引導(dǎo)學(xué)生思考從而掌握所學(xué)內(nèi)容。

2.3" 特征值與特征向量的實(shí)際應(yīng)用案例

通過(guò)雨課堂的課前自主學(xué)習(xí)過(guò)程與課堂的講授內(nèi)容，大多數(shù)同學(xué)已對(duì)特征值與特征向量的實(shí)際應(yīng)用有了一定的了解。接下來(lái)將給出易于理解的應(yīng)用案例，設(shè)計(jì)邏輯清晰的引入過(guò)程，以問(wèn)題為導(dǎo)向抓住學(xué)生的注意力，力爭(zhēng)使每個(gè)學(xué)生都能夠理解特征值與特征向量的基本概念，掌握求解特征值與特征向量的具體方法，了解特征值與特征向量的實(shí)際應(yīng)用。

在實(shí)際課堂教學(xué)中根據(jù)授課班級(jí)不同，所學(xué)專業(yè)不同，選取合適的應(yīng)用案例，可以避免線性代數(shù)理論教學(xué)與學(xué)生的專業(yè)需求脫節(jié)。對(duì)于生物工程專業(yè)的學(xué)生本文將給出捕食者-食餌系統(tǒng)，利用線性動(dòng)力系統(tǒng)來(lái)建立貓頭鷹和老鼠的自然系統(tǒng)模型。此模型容易理解也適合其他專業(yè)的學(xué)生。

實(shí)際應(yīng)用案例設(shè)計(jì)思路：

（1）強(qiáng)化知識(shí)與綜合應(yīng)用：了解特征值與特征向量在離散動(dòng)力系統(tǒng)中的應(yīng)用。

例 2 設(shè)，分析由所確定的動(dòng)力系統(tǒng)的長(zhǎng)期發(fā)展趨勢(shì)。

解 的特征多項(xiàng)式為

所以的特征值為和。通過(guò)求解方程得到的特征向量為的倍數(shù)，的特征向量為的倍數(shù)。接下來(lái)令 ，得到。由此有

代入，得：

從而，當(dāng)時(shí)，，。

從上例可以看出，特征值和特征向量可以分析和預(yù)測(cè)由差分方程描述的動(dòng)力系統(tǒng)的長(zhǎng)期行為。由此，將矩陣的特征值與特征向量與離散動(dòng)力系統(tǒng)聯(lián)系起來(lái)，加深了學(xué)生對(duì)基本理論知識(shí)的理解。

（2）培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力，加強(qiáng)跨學(xué)科融合，讓學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中綜合運(yùn)用多學(xué)科知識(shí)，

以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力和興趣。

接下來(lái)以捕食者-食餌系統(tǒng)為應(yīng)用案例，利用線性動(dòng)力系統(tǒng)來(lái)建立貓頭鷹和老鼠的自然系統(tǒng)模型。引導(dǎo)學(xué)生分析實(shí)際問(wèn)題并建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，然后通過(guò)矩陣特征值與特征向量來(lái)求解上述數(shù)學(xué)模型。最后讓學(xué)生思考問(wèn)題的實(shí)際意義。通過(guò)將所學(xué)知識(shí)成功應(yīng)用到實(shí)際案例可以讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的魅力和價(jià)值。

應(yīng)用案例引入：作為老鼠的主要捕食者，斑點(diǎn)貓頭鷹的食物有是老鼠。如果沒有老鼠為食物，每月僅有一半的貓頭鷹存活下來(lái)，而如果沒有貓頭鷹捕食老鼠，那么老鼠的數(shù)量每月增長(zhǎng)。假如有足夠多的老鼠，貓頭鷹增長(zhǎng)的數(shù)量是老鼠數(shù)量的倍，而由于貓頭鷹的捕食所引起的老鼠死亡數(shù)量是貓頭鷹數(shù)量的倍，這里是一個(gè)指定的正參數(shù)，我們稱它為捕食參數(shù)。應(yīng)首先考慮：當(dāng)時(shí)，預(yù)測(cè)該系統(tǒng)的發(fā)展趨勢(shì)。

根據(jù)以上已有數(shù)據(jù)引導(dǎo)學(xué)生建立第 年和第年貓頭鷹和老鼠數(shù)量之間的關(guān)系模型。 給出下列方程組

其中：是貓頭鷹數(shù)量；是老鼠的數(shù)量（單位是千只）；是捕食參數(shù)。利用矩陣的乘法，可以將方程組（1）改寫成矩陣方程：

其中：

上述數(shù)學(xué)模型實(shí)際是形式為的差分方程，現(xiàn)在求解差分方程（2）。

解" 當(dāng)時(shí)，系數(shù)矩陣的特征值是和，對(duì)應(yīng)的特征向量是，初始向量可表示為，那么對(duì)，。當(dāng)時(shí)，，，有。說(shuō)明當(dāng)捕食參數(shù)時(shí)，貓頭鷹和老鼠的數(shù)目都會(huì)逐漸減少直至滅亡。

引導(dǎo)學(xué)生思考：捕食參數(shù)會(huì)影響系數(shù)矩陣的特征值，當(dāng)?shù)奶卣髦禃r(shí)會(huì)造成貓頭鷹和老鼠的滅亡。若改變捕食參數(shù)，當(dāng)時(shí)會(huì)發(fā)生什么情況？

重復(fù)上述步驟，此時(shí)矩陣的特征值是和，對(duì)應(yīng)的特征向量是， 那么。

當(dāng)足夠大時(shí)，近似等于，即，從而有，這表明貓頭鷹和老鼠的數(shù)量每月大約以的倍數(shù)增長(zhǎng)，即月增長(zhǎng)率為。

2.4" 課后及時(shí)總結(jié)，創(chuàng)造自主學(xué)習(xí)環(huán)境

為檢驗(yàn)教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)踐成效，在兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行了教學(xué)實(shí)踐。課程結(jié)束后以調(diào)查問(wèn)卷的形式來(lái)了解基于雨課堂和案例教學(xué)法講授特征值和特征向量時(shí)學(xué)生的掌握情況，由調(diào)查問(wèn)卷可知，大部分同學(xué)認(rèn)可這種混合式教學(xué)模式設(shè)計(jì)，喜歡這種層層遞進(jìn)式的教學(xué)方式，改變了大家對(duì)線性代數(shù)這門課程的認(rèn)識(shí)。由于大部分同學(xué)以前對(duì)線性代數(shù)的應(yīng)用不太了解，不知該用于何處，所以學(xué)起來(lái)興趣不足。通過(guò)講解不但掌握了基礎(chǔ)的理論知識(shí)，而且對(duì)其應(yīng)用也有了一定的了解?；谟暾n堂通過(guò)案例教學(xué)法講授特征值與特征向量時(shí)確實(shí)改善了教學(xué)效果，能夠得到學(xué)生的認(rèn)可。

基于雨課堂從案例出發(fā)，采用理論知識(shí)與實(shí)際應(yīng)用相融合的教學(xué)手段，通過(guò)雨課堂提起預(yù)習(xí)，以實(shí)際案例吸引學(xué)生的注意力，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考并利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到所學(xué)知識(shí)的重要性，從而排除了學(xué)生的畏難情緒。以上教學(xué)方法的實(shí)施不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和興趣，使他們掌握了特征值與特征向量的學(xué)習(xí)內(nèi)容，也提升了他們解決實(shí)際問(wèn)題的能力，教學(xué)效果得到了大幅提高。為進(jìn)一步提升教學(xué)效果，課后還需利用雨課堂發(fā)布相應(yīng)的試題，考查學(xué)生的知識(shí)掌握情況。根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況靈活地對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行調(diào)整，真正做到以學(xué)生為主體，從根本上提升教學(xué)效果。

3 結(jié)語(yǔ)

本文結(jié)合學(xué)生專業(yè)背景，基于雨課堂將實(shí)際應(yīng)用案例引入特征值與特征向量的教學(xué)環(huán)節(jié)，在一定程度上提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生更積極主動(dòng)地去了解和應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，在學(xué)習(xí)的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，從而提高教學(xué)質(zhì)量。接下來(lái)在為土木工程專業(yè)的學(xué)生講授特征值與特征向量時(shí)，可以嘗試采用層次分析法的應(yīng)用案例。針對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中碰到的決策問(wèn)題，運(yùn)用層次分析法來(lái)進(jìn)行決策，適用于工程項(xiàng)目施工成本間接影響因素的研究等問(wèn)題，是特征值和特征向量的重要實(shí)踐應(yīng)用。盡管已經(jīng)為多個(gè)專業(yè)選取了合適的應(yīng)用案例，但對(duì)大多數(shù)專業(yè)仍然缺乏相應(yīng)的應(yīng)用案例，尋找適合我校各專業(yè)學(xué)生的特征值與特征向量的實(shí)際應(yīng)用案例是我們接下來(lái)要研究的重點(diǎn)。

參考文獻(xiàn)

[1]郭文艷.線性代數(shù)應(yīng)用案例分析[M].北京：科學(xué)出版社，2023.

[2]張艷碩，王澤豪，杜耀剛，等.基于矩陣特征值的可驗(yàn)證無(wú)可信中心門限方案[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2020，66（2）：135-140.

[3]袁馳.基于特征向量的非隨機(jī)WSN密鑰預(yù)分配方法[J].微電子學(xué)與計(jì)算機(jī)，2020，37（11）：6-12.

[4]雍龍泉.矩陣特征值與特征向量的幾何意義[J].陜西理工大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2021，37（5）：80-85.

[5]王小春.特征值與特征向量的教學(xué)研究[J].高師理科學(xué)刊，2019，39（12）：66-69.

[6]朱玲.線性代數(shù)中的特征值和特征向量的教學(xué)應(yīng)用案例[J].蘭州教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2016，32（12）：86-87，90.

[7] 周勇，李繼猛.線性代數(shù)[M].2版.北京：北京大學(xué)出版社，2022.