岳程斐 霍 濤 陳雪芹 沈 強(qiáng) 曹喜濱

姿態(tài)控制是一個非線性控制問題,在航空航天、機(jī)器人等領(lǐng)域受到了廣泛關(guān)注和研究[1-2].用于描述剛體姿態(tài)的旋轉(zhuǎn)矩陣構(gòu)成了三維特殊正交群(Three-dimensional special orthogonal group,SO(3)).作為一個無邊界的緊流形,S O(3) 不同胚于任何歐氏空間,這導(dǎo)致在S O(3) 上,不存在能夠使姿態(tài)全局漸近收斂到目標(biāo)姿態(tài)的連續(xù)時不變反饋控制律[3].受此拓?fù)湫再|(zhì)約束,使用光滑的反饋控制律能實現(xiàn)的最好結(jié)果是基于單一勢函數(shù)獲得幾乎全局的收斂性[4-5].而“幾乎全局”意味著該勢函數(shù)在SO(3)上存在一個測度為零的集合.該集合中的點稱為臨界點,當(dāng)航天器初始姿態(tài)是臨界點時,勢函數(shù)無法控制姿態(tài)收斂到目標(biāo)姿態(tài).

為解決上述單一勢函數(shù)存在的臨界點問題,混合控制被引入姿態(tài)控制問題中[6-7].混合控制是一種具有滯回特性的切換控制系統(tǒng),通過設(shè)計一族臨界點互異的勢函數(shù),系統(tǒng)狀態(tài)可在不同的勢函數(shù)之間進(jìn)行切換,從而改變系統(tǒng)狀態(tài)和臨界點的分布情況,實現(xiàn)姿態(tài)控制目標(biāo).具體而言,當(dāng)系統(tǒng)運動到當(dāng)前勢函數(shù)上不期望的臨界點時,會切換到另一個具有更低值且不處于臨界點的勢函數(shù)上進(jìn)行控制.這一類勢函數(shù)被稱為協(xié)同勢函數(shù)族.當(dāng)單位矩陣是公共臨界點時,稱此類協(xié)同勢函數(shù)族為共單位元的協(xié)同勢函數(shù)族.文獻(xiàn)[8]首次通過“角度擾動”方法構(gòu)建了協(xié)同勢函數(shù),但并未給出協(xié)同性的證明.文獻(xiàn)[9]進(jìn)一步給出了協(xié)同性對勢函數(shù)參數(shù)的要求.文獻(xiàn)[10]給出了“角度擾動”方法中,協(xié)同勢函數(shù)族存在的充要條件,并將協(xié)同勢函數(shù)族應(yīng)用到無角速度測量的航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)中.以上文獻(xiàn)均需要對臨界點進(jìn)行復(fù)雜計算.文獻(xiàn)[11]放松了“共單位元”要求,通過選擇固定的參考向量,設(shè)計出一族簡單協(xié)同勢函數(shù)族,但缺點是其物理意義不明確.此外,上述文獻(xiàn)都沒有考慮航天器姿態(tài)機(jī)動中的姿態(tài)約束.

在軌航天器姿態(tài)機(jī)動時,存在多種約束,其中一種典型約束是航天器的禁止或強(qiáng)制指向約束,即要求航天器在機(jī)動中始終避開或始終指向某個方向.例如,航天器光敏感器的指向應(yīng)當(dāng)始終避開明亮天體[12-13].指向約束下實現(xiàn)姿態(tài)機(jī)動的方案大致可分為基于規(guī)劃的跟蹤控制方法[14-15]和基于避障勢函數(shù)方法[13,16]兩種.基于規(guī)劃的跟蹤控制方法將原問題分解成2 個子問題進(jìn)行單獨解決.首先,利用優(yōu)化方法規(guī)劃出合理的姿態(tài)機(jī)動路徑;然后,設(shè)計跟蹤控制器跟蹤所給路徑.文獻(xiàn)[15]整體性地考慮了姿態(tài)約束、機(jī)動過程的指向安全裕度和力矩飽和問題,提出預(yù)設(shè)性能的“規(guī)劃+跟蹤”控制方法,系統(tǒng)性地實現(xiàn)了航天器姿態(tài)受限機(jī)動.此類基于規(guī)劃方法的姿態(tài)機(jī)動路徑具備可預(yù)見性,但缺點是結(jié)構(gòu)復(fù)雜,優(yōu)化算法和控制器性能都會影響到航天器的實際指向.相比之下,基于避障勢函數(shù)方法更加簡單和有效.該方法將目標(biāo)姿態(tài)設(shè)計為極小值點,并將勢函數(shù)的梯度引入控制器設(shè)計,當(dāng)靠近姿態(tài)限制時,勢函數(shù)值和梯度急劇增加,以此規(guī)避姿態(tài)限制.文獻(xiàn)[13]使用分?jǐn)?shù)形式的避障勢函數(shù),處理禁止指向約束問題;文獻(xiàn)[16]使用對數(shù)形式的避障勢函數(shù)解決了同時具有禁止和強(qiáng)制指向約束的姿態(tài)機(jī)動問題.然而,勢函數(shù)方法嚴(yán)重依賴勢函數(shù)的凸性假設(shè),機(jī)動路徑不可預(yù)見且單一勢函數(shù)控制存在臨界點問題,航天器姿態(tài)可能會收斂到勢函數(shù)的極小值,而非目標(biāo)姿態(tài).

為解決上述問題,本文在考慮姿態(tài)約束情形下,基于旋轉(zhuǎn)矩陣設(shè)計用于混合控制的勢函數(shù)族,該勢函數(shù)族能夠?qū)θ我獾某跏甲藨B(tài)保證姿態(tài)收斂到目標(biāo)姿態(tài).本文的主要貢獻(xiàn)如下: 1)建立姿態(tài)禁止指向約束模型,考慮機(jī)動安全裕度,為每個指向約束設(shè)計軟約束區(qū)域.在該區(qū)域內(nèi),將分?jǐn)?shù)/對數(shù)形式排斥勢函數(shù)引入?yún)f(xié)同勢函數(shù)設(shè)計中,設(shè)計保證全局收斂的避障勢函數(shù).2)針對所設(shè)計的勢函數(shù),給出軟約束區(qū)域內(nèi)臨界點分布情況和勢函數(shù)參數(shù)的關(guān)系,指出當(dāng)勢函數(shù)參數(shù)滿足給定不等式組時,航天器不會在避障過程中陷入非期望的臨界點.3)將上述勢函數(shù)引入控制器設(shè)計,實現(xiàn)姿態(tài)受限下的全局收斂.

本文內(nèi)容結(jié)構(gòu)如下: 第1 節(jié)對使用到的符號和性質(zhì)進(jìn)行說明,建立航天器的誤差姿態(tài)運動模型和姿態(tài)約束模型;第2 節(jié)給出基于“角度擾動”構(gòu)建協(xié)同勢函數(shù)族的方法,將該協(xié)同勢函數(shù)與受限制姿態(tài)機(jī)動問題結(jié)合,分別討論分?jǐn)?shù)形式和對數(shù)形式下,勢函數(shù)在軟約束區(qū)域內(nèi)臨界點分布和勢函數(shù)參數(shù)的關(guān)系;第3 節(jié)以比例-微分控制為例,進(jìn)行仿真驗證.

1 相關(guān)理論基礎(chǔ)

1.1 符號說明

本文以旋轉(zhuǎn)矩陣R作為姿態(tài)參數(shù)展開研究,旋轉(zhuǎn)矩陣形成的三維特殊正交群記作SO(3):={R∈R3×3|RTR=RRT=I,det(R)=1}.I∈R3×3是單位矩陣.SO(3) 以矩陣乘法作為群乘法時,是一個李群,其對應(yīng)的李代數(shù)用 so(3) 表示,so(3) 的群元是三階反對稱矩陣,即so(3)={S∈R3×3:ST=-S}.對于任意向量x∈R3,定義線性映射[·]×:R3→so(3) 和它的逆映射 [· ]∨:so(3)→R3為:

對? R1,R2,R3∈SO(3),如果映射Φ:SO(3)×SO(3)→R≥0滿足:

則映射 Φ 被稱為S O(3) 上的度量.如果度量滿足Φ(RR1,RR2)=Φ(R1,R2),?R∈SO(3),則稱之為左不變的;如果滿足Φ(R1R,R2R)=Φ(R1,R2),?R∈SO(3),則稱之為右不變的.本文用到的SO(3)上的度量是角距離度量,即:

角距離度量是一種雙平移不變度量[17].利用平移不變性,角距離度量也可以寫為:

令集合D ?SO(3),如果連續(xù)可微的函數(shù)V:SO(3)→R≥0滿足:

1)? R∈SO(3)D,V(R)＞0;

2)V(D)=0.

則V被稱為S O(3) 上相對于集合D的勢函數(shù).

1.2 性質(zhì)與引理

本節(jié)介紹對后續(xù)分析有幫助的性質(zhì)和引理.令A(yù)是一個實對稱矩陣,定義勢函數(shù):

下面列出在本文中使用的引理.

引理1.令0＜α＜α+Δα＜π/2,x∈(α,α+Δα],則函數(shù)f(x)=2 sinx/(cosα-cosx) 的取值范圍為 [f(α+Δα),+∞).

1.3 問題描述

假設(shè)航天器本體系相對于慣性系的姿態(tài)用Rb∈SO(3) 表示,姿態(tài)機(jī)動的目標(biāo)姿態(tài)用Rd∈SO(3) 表示.令ω表示航天器本體系下的角速度矢量,ω d表示期望角速度.假設(shè)慣性矩陣J是對角陣,則航天器的運動學(xué)和動力學(xué)方程為:

航天器姿態(tài)機(jī)動過程中存在各種限制,本文考慮一種幾何視場約束,即航天器上某個指向需要避開特定區(qū)域.如圖1 所示,圖1 中下標(biāo)B表示本體系,下標(biāo)I表示慣性系.令單位向量r∈R3表示與航天器固連的敏感指向,單位向量v∈R3表示慣性系下固定的不期望指向(例如明亮的星體),航天器在姿態(tài)機(jī)動過程中,單位向量r和v夾角應(yīng)滿足:

圖1 姿態(tài)限制示意圖Fig.1 Illustration of attitude constraint

因此,本文中勢函數(shù)設(shè)計的目標(biāo)是在所設(shè)計的勢函數(shù)指導(dǎo)下,航天器的姿態(tài)誤差Re趨向于I,同時始終滿足式(9).

2 協(xié)同勢函數(shù)設(shè)計

2.1 勢函數(shù)與臨界點

利用內(nèi)積的定義和性質(zhì)2),勢函數(shù)V(R(t)) 對時間的導(dǎo)數(shù)是:

例如,對于勢函數(shù)(4),有下列結(jié)果:

通過解上述方程可知,勢函數(shù)(4)共有4 個臨界點[8]:

式中,E(A) 表示A的所有單位特征向量組成的集合.

對任意的勢函數(shù)V,都存在至少4 個臨界點[20],基于勢函數(shù)梯度的反饋控制律在靠近臨界點時,逐漸減小直至為零.為了實現(xiàn)全局收斂的結(jié)果,本文使用一族協(xié)同的共單位元勢函數(shù)進(jìn)行控制.給定一個有限的指標(biāo)集Q?N,{Vq}q∈Q是一族勢函數(shù),如果單位元I是所有勢函數(shù)公共的臨界點,則稱這樣的一族勢函數(shù)為共單位元的勢函數(shù).對于勢函數(shù)族{Vq}q∈Q,如果存在一個常數(shù)δ＞0,使得:

則稱勢函數(shù)族 {Vq}q∈Q是協(xié)同的.粗略地,“共單位元”意味著在這一族勢函數(shù)控制下,姿態(tài)有相同的收斂方向(單位元I);“協(xié)同”意味著在某個勢函數(shù)臨界時,存在另一個非臨界且取值更低的勢函數(shù),如果切換為非臨界的勢函數(shù)進(jìn)行控制,姿態(tài)將繼續(xù)向目標(biāo)姿態(tài)收斂.

為了說明協(xié)同勢函數(shù)在姿態(tài)控制中的作用和切換邏輯,假設(shè)航天器的一條姿態(tài)軌跡經(jīng)過2 個非期望臨界點的鄰域,這2 個臨界點分別屬于P1,A和P2,A,則勢函數(shù)隨時間變化曲線和切換時各勢函數(shù)與臨界點關(guān)系如圖2 所示,其中狀態(tài)N和M在第3 節(jié)定義.在單一勢函數(shù)P1,A(或P2,A)的控制下,軌跡在t1(或t2)時刻,進(jìn)入勢函數(shù)所屬的非期望臨界點鄰域,此后基于勢函數(shù)梯度的姿態(tài)控制項將減小,甚至為零.為避免該問題導(dǎo)致收斂過慢,將在進(jìn)入時刻進(jìn)行切換.如圖2 所示,在t3時刻,姿態(tài)軌跡處于勢函數(shù)P1,A的非期望臨界點,勢函數(shù)停止收斂,此時存在勢函數(shù)P2,A在該點不臨界且其取值更低.因此,在混合控制中,根據(jù)勢函數(shù)差值在t2時刻提前進(jìn)行控制切換,由P1,A跳轉(zhuǎn)到P2,A;同樣在t1時刻,由P2,A跳轉(zhuǎn)到P1,A,最終混合控制中勢函數(shù)的變化曲線如圖2 橙色粗線所示.

圖3 kPA(R) 取值范圍隨 Φ R 的變化曲線Fig.3 The change curve of the range of kPA(R) with ΦR

為了構(gòu)建協(xié)同勢函數(shù)族,定義映射T:SO(3)→SO(3)為:

式中,k∈R,u∈S2.映射T的作用是對旋轉(zhuǎn)矩陣R左乘“擾動”旋轉(zhuǎn)矩陣,該“擾動”矩陣由指數(shù)映射生成,轉(zhuǎn)軸u和轉(zhuǎn)角kPA(R) 是待設(shè)計的軸角參數(shù).因此,簡記Rc=T(R,k,PA,u)=RT R,其中RT是足時,協(xié)同勢函數(shù)族{Pq,A(R)}q∈Q“擾動”旋轉(zhuǎn)矩陣.令Q={1,2},q∈Q,當(dāng)參數(shù)k滿可以按如下形式構(gòu)建[8]:

2.2 受限制姿態(tài)控制的協(xié)同勢函數(shù)族設(shè)計

假設(shè)航天器初始姿態(tài)位于姿態(tài)障礙以外,航天器誤差運動模型和勢函數(shù)設(shè)計目標(biāo)如第1.2 節(jié)所述.定義SO(3) 的一個子集為:

該子集定義了姿態(tài)限制的軟約束區(qū)域,進(jìn)入該區(qū)域時勢函數(shù)將進(jìn)行避障切換.為在全局收斂情況下完成受限制姿態(tài)機(jī)動,本文設(shè)計了如下形式的勢函數(shù)用于姿態(tài)機(jī)動問題:

式中,α+Δα＜π/2,Δα是待設(shè)計參數(shù),Pq,A(Re)是針對目標(biāo)姿態(tài)的吸引項勢函數(shù),PO(Re) 是待設(shè)計的用于避開姿態(tài)障礙的排斥項勢函數(shù),以分?jǐn)?shù)形式的PO(Re) 為例:

式中,v d=RTdv;a和b是兩個正的參數(shù),文獻(xiàn)[13,21-22]取a=1 或a=2,本文考慮更一般情況即只要求a＞0.在實際的姿態(tài)機(jī)動中,可能存在多個姿態(tài)限制,本文方法適用于單敏感軸多約束問題.具體來說,為每個指向約束設(shè)計了不相交的軟約束區(qū)域,當(dāng)航天器姿態(tài)進(jìn)入軟約束區(qū)域內(nèi),即敏感軸在慣性系下指向Rbr和禁止指向v夾角小于α+Δα?xí)r,切換為避障勢函數(shù),因此只需討論單個約束下如何實現(xiàn)姿態(tài)機(jī)動即可.對于某個給定的姿態(tài)限制有下述引理成立.

引理5.對? Re∈E,ε=arccos〈Rdr,v〉-(α+Δα).

證明.旋轉(zhuǎn)矩陣R作用于單位向量后,會使單位向量發(fā)生旋轉(zhuǎn).角距離的定義指出,旋轉(zhuǎn)前/后向量的夾角不超過旋轉(zhuǎn)矩陣R的角距離.對? Re∈E,敏感軸為了轉(zhuǎn)動到目標(biāo)指向,轉(zhuǎn)角至少是 arccos〈Rdr,v〉-(α+Δα).因此引理5 成立.

集合E在引理5 中的性質(zhì)如圖4 所示.對?Re∈/E,姿態(tài)的全局收斂性已經(jīng)由協(xié)同勢函數(shù)族{Pq,A(Re)}q∈Q保證[23].為保證全局收斂,本文討論避障區(qū)域內(nèi)勢函數(shù)族 {Vq(Re)}q∈Q臨界點分布情況.

圖4 引理5 的圖示Fig.4 Illustration of lemma 5

勢函數(shù)族{Vq(Re)}q∈Q在避障區(qū)域內(nèi)無臨界點.在該勢函數(shù)族控制下,航天器可以避開姿態(tài)障礙從任意的初始姿態(tài)機(jī)動到目標(biāo)姿態(tài).

證明.為簡化書寫,對證明中多次出現(xiàn)的符號簡寫如下:

對? Re∈E,根據(jù)勢函數(shù)求導(dǎo)定義計算,可得:

利用性質(zhì)1)和映射ψ的定義,有:

將Rc和式(28)代入式(26),可得:

1)對? Re∈E,證明‖y‖存在下限.

向量y的2 范數(shù)為:

利用性質(zhì)3),有:

因此,對? Re∈E,勢函數(shù)PA(Rc) 存在最小值,即:

利用引理1,可知:

2)對?Re∈E,證明‖x‖存在上限.

將式(17)代入x,利用ψ(-B)=有:

利用范數(shù)三角不等式,有:

式中,uT[Reψ(ARc)]∈R,并且有:

式(38)可寫為:

利用性質(zhì)4),有:

因此,可得‖x‖的上限為:

3)討論E內(nèi)勢函數(shù)的臨界點.若:

則有:

對于? Re∈E,有:

首先,勢函數(shù)族{Vq(Re)}q∈Q在避障區(qū)域內(nèi)無臨界點;然后,在姿態(tài)機(jī)動過程中,當(dāng)慣性系下敏感軸指向Rbr和禁止指向v的夾角趨于α?xí)r,PO(Re)趨于無窮大,因此姿態(tài)機(jī)動過程可以避開障礙;最后,任給初始姿態(tài)Re(0),若該姿態(tài)是非臨界點,則在勢函數(shù)的控制下向單位元I收斂.若該姿態(tài)是臨界點,則Re(0) ∈/E,在協(xié)同性要求下,利用混合控制可實現(xiàn)向單位元I收斂[23].因此,航天器可以避開姿態(tài)障礙,從任意的初始姿態(tài)機(jī)動到目標(biāo)姿態(tài).

2.3 對數(shù)形式排斥勢函數(shù)的臨界點分析

在基于勢函數(shù)的受限制姿態(tài)機(jī)動問題中,除分?jǐn)?shù)形式排斥勢函數(shù)(21)外,還有對數(shù)形式的排斥勢函數(shù)[16,24]:

式中,a、b、c是常數(shù).在第2.2 節(jié)中,本文得出在考慮姿態(tài)受限情形下姿態(tài)全局收斂的參數(shù)設(shè)計要求(23).本節(jié)將證明對數(shù)形式排斥勢函數(shù)也可以經(jīng)過相似推導(dǎo)得出參數(shù)設(shè)計要求,以此說明本文方法的可拓展性.

對于式(49),利用勢函數(shù)導(dǎo)數(shù)相關(guān)定義計算,可得:

因此,有:

取函數(shù)f(γ) 為:

因此,式(54)有最小值,利用和定理1 類似的推理方式,可得對數(shù)形式排斥勢函數(shù)的參數(shù)設(shè)計要求.

文獻(xiàn)[10,23]利用“角度擾動”方法構(gòu)建協(xié)同勢函數(shù)族,將其應(yīng)用在無約束的姿態(tài)機(jī)動控制中,實現(xiàn)了姿態(tài)全局收斂.本文將這種構(gòu)造方法應(yīng)用到受限姿態(tài)機(jī)動任務(wù)的勢函數(shù)設(shè)計中,實現(xiàn)了帶有禁止指向約束的姿態(tài)全局收斂.與其他處理受限姿態(tài)機(jī)動問題的勢函數(shù)方法[15-16,24]相比,本文方法的優(yōu)點是不依賴勢函數(shù)凸性假設(shè),可避開非期望的臨界點實現(xiàn)全局收斂;缺點是勢函數(shù)切換會造成控制律突變,不能處理強(qiáng)制指向約束.第3 節(jié)將通過仿真分析具體討論本文方法的優(yōu)缺點.

3 方法驗證

本節(jié)將建立航天器姿態(tài)受限情形下的混合控制模型,利用第2.2 節(jié)提出的協(xié)同勢函數(shù)族{Vq(Re)}q∈Q進(jìn)行控制,來驗證方法有效性.

3.1 航天器混合控制模型

基于勢函數(shù)族 {Vq(Re)}q∈Q,定義下列兩個函數(shù):

在混合控制中,系統(tǒng)狀態(tài) (Re,ωe,q) 被分成M,N∈SO(3)×R3×Q兩個集合:

式中,δ為式(14)給定的協(xié)同間隙.令x=(Re,ωe),根據(jù)不同的系統(tǒng)狀態(tài),當(dāng) (x,q)∈M時,式(7)、式(8)航天器模型可寫為連續(xù)模型:

當(dāng) (x,q)∈N時,可寫為切換模型:

即系統(tǒng)狀態(tài)位于集合M中時,勢函數(shù)指標(biāo)不變,航天器的狀態(tài)遵循微分方程式(7)、式(8)連續(xù)變化.文獻(xiàn)[23] 指出,協(xié)同勢函數(shù)族的所有非單位元的臨界點都落在集合N中,此時航天器狀態(tài)不改變,勢函數(shù)指標(biāo)發(fā)生切換,切換到非臨界且值最低的勢函數(shù)進(jìn)行控制.設(shè)計比例-微分反饋控制律如下:

在該控制律下的穩(wěn)定性分析見文獻(xiàn)[23].

3.2 參數(shù)設(shè)計和仿真結(jié)果

為了驗證避障和切換控制,本節(jié)進(jìn)行了3 種仿真案例分析.仿真中,姿態(tài)限制假定為3 個,具體信息如表1 所示.針對這3 個姿態(tài)限制,勢函數(shù)中的參數(shù) Δα分別為10°、5°和8°.假設(shè)航天器的轉(zhuǎn)動慣量矩陣J=diag{4,5,4.5}kg·m2.根據(jù)式(23) 要求,勢函數(shù)參數(shù)設(shè)計為w=[0.3,0.4,0.6]T,u=w/‖w‖,A=diag{0.3,0.4,0.6},k=0.25,a=0.7,b=1/20.在上述參數(shù)下,對于每一個姿態(tài)約束,不等式組(23)都能得到滿足.根據(jù)式(13)、函數(shù)(4),在上述參數(shù)下的奇異點為 CritPA={I}∪R(π,ei),i=1,2,3,其中ei是3 維空間R3的標(biāo)準(zhǔn)正交基.協(xié)同勢函數(shù)族{Pq,A(Re)}q∈Q的 6 個非單位元臨界點可根據(jù)式(17)確定,當(dāng)姿態(tài)誤差處于這些臨界點時,指向r在慣性系下的指向以三角符號表示,見圖5～7.可以看出,這些指向都落在集合E之外.

表1 慣性系下姿態(tài)限制Table 1 Attitude constraints in the inertial frame

圖5 無切換下姿態(tài)機(jī)動仿真Fig.5 Attitude maneuver simulation without switching

控制器參數(shù)設(shè)置如下: 在案例1 中,設(shè)置δ=0.06,k p=1,k d=5,仿真時間為 6 0 s;在案例2 和案例3 中,設(shè)置δ=0.06,k p=1,k d=3,仿真時間為40 s.在3 個案例中,都假定航天器存在力矩飽和,力矩飽和值為0.5 N·m.

案例1.無任何切換

假設(shè)航天器的目標(biāo)姿態(tài)、初始姿態(tài)誤差和航天器在本體下固連的指向分別為:

案例1 使用上述初始條件進(jìn)行2 組仿真實驗,航天器的初始指向位于姿態(tài)約束CZ2 下方,目標(biāo)姿態(tài)位于姿態(tài)約束CZ2 和 CZ3 之間.航天器初始姿態(tài)誤差Re(0) 位于勢函數(shù)P1,A(Re) 的臨界點鄰域內(nèi),2 組仿真沒有進(jìn)行避障切換,分別在勢函數(shù)P1,A(Re)和P2,A(Re) 控制下,繞過CZ3 運動至目標(biāo)姿態(tài).在2 組仿真實驗中,向量r的指向軌跡如圖5(a) 所示,勢函數(shù)值變化曲線如圖5(b) 所示.第1 組仿真實驗從臨界點鄰域開始機(jī)動,機(jī)動路徑更長,在t＜20 s 時,勢函數(shù)基本保持不變;在t=50 s時,完成收斂.相比之下,第2 組仿真實驗從非臨界點鄰域開始姿態(tài)機(jī)動,機(jī)動路徑更短,勢函數(shù)收斂更快,在t=30 s 時,完成收斂.2 組仿真實驗的控制力矩和角速度誤差變化曲線如圖5(c)和5(d)所示.由于第1 組仿真從臨界點鄰域開始,導(dǎo)致收斂緩慢,因此圖5(c)的峰值出現(xiàn)時間晚于圖5(d).案例1 用于說明臨界點問題的極端情況,當(dāng)姿態(tài)靠近勢函數(shù)的臨界點時,收斂變慢.根據(jù)式(10),若恰好處于臨界點,則會完全停止收斂.

案例2.避障切換

在案例2 中,本文進(jìn)行了2 組仿真實驗.在第1 組仿真實驗中,假設(shè)航天器的目標(biāo)姿態(tài)、初始姿態(tài)誤差和航天器在本體下固連的指向分別為:

在第2 組仿真實驗中,假設(shè)航天器的目標(biāo)姿態(tài)、初始姿態(tài)誤差和航天器在本體下固連的指向分別為:

在2 組仿真實驗中,目標(biāo)姿態(tài)下向量r的指向相同,位于CZ2 和CZ3 之間;而位于CZ1 下方的起始指向不同.在第1 組仿真初值下,向量r的指向軌跡如圖6(a)中虛線所示,軌跡由CZ2 下方繞過CZ2,到達(dá)目標(biāo)點.在繞過CZ2 時,存在1 次轉(zhuǎn)折,這是由于勢函數(shù)在t=6 s 時,進(jìn)行了避障切換,規(guī)避姿態(tài)約束CZ2.勢函數(shù)隨時間變化趨勢如圖6(b)中虛線所示,在t=20 s 后,收斂到0,姿態(tài)機(jī)動完成.在第2 組實驗條件下,向量r的指向軌跡如圖6(a)中實線所示,軌跡穿過CZ1 和CZ2,到達(dá)目標(biāo)點,分別在靠近CZ1 和CZ2 時有一次轉(zhuǎn)折.這是因為勢函數(shù)在t=1.6 s 時進(jìn)行避障切換,規(guī)避CZ1;在t=7s 時進(jìn)行避障切換,規(guī)避 CZ2.勢函數(shù)變化趨勢如圖6(b)中實線所示,在t=20 s 后,收斂到0,姿態(tài)機(jī)動完成.2 組仿真的控制力矩和角速度誤差變化曲線如圖6(c)和6(d)所示,每次勢函數(shù)切換都導(dǎo)致了控制力矩和角速度突變,控制力矩在切換時飽和.案例2 說明本文設(shè)計的勢函數(shù)在規(guī)避姿態(tài)約束上的有效性,以及切換控制對航天器狀態(tài)的影響.

圖6 避障切換下姿態(tài)機(jī)動仿真Fig.6 Attitude maneuver simulation when avoiding attitude constraints

案例3.臨界點切換

假設(shè)航天器的目標(biāo)姿態(tài)、初始姿態(tài)誤差和航天器在本體下固連的指向分別為:

如圖7 所示,在上述初始條件下,向量r的初始指向位于CZ1 左下方,目標(biāo)指向位于CZ2 和CZ3 之間.該指向從 CZ2 下方繞過CZ2,到達(dá)目標(biāo)指向.航天器在12 s 前,基于勢函數(shù)P2,A進(jìn)行姿態(tài)控制;在t=12 s 時,姿態(tài)靠近臨界點,滿足切換控制模型式(61)和式(62),勢函數(shù)發(fā)生切換,切換到值更低的勢函數(shù)P1,A進(jìn)行姿態(tài)控制.如圖7(c)所示,控制力矩和角速度誤差在勢函數(shù)切換時突變.在t=25 s 后,勢函數(shù)收斂到0,姿態(tài)機(jī)動完成.案例3 說明本文方法在規(guī)避非期望臨界點時的一般情況,如圖2 所示,在進(jìn)入非期望臨界點某一給定的鄰域時,就通過切換勢函數(shù)避開該鄰域.

圖7 臨界點切換下姿態(tài)機(jī)動仿真Fig.7 Attitude maneuver simulation when avoiding critical points

綜上所述,1)由上述仿真實驗可知,為了規(guī)避非期望的臨界點和姿態(tài)限制,勢函數(shù)的切換會導(dǎo)致控制力矩發(fā)生突變,該突變值上限受勢函數(shù)參數(shù)的影響,在勢函數(shù)參數(shù)選取時,應(yīng)在滿足式(23)基礎(chǔ)上,兼顧力矩突變大小.2)控制器的參數(shù)選取應(yīng)兼顧力矩和機(jī)動時間與最終指向誤差等收斂效果的需求.3)勢函數(shù)非期望臨界點的分布是其固有性質(zhì),僅與勢函數(shù)參數(shù)有關(guān),與動力學(xué)或運動學(xué)的不確定性無關(guān).但不確定性的存在會影響航天器對本文算法所給出的期望控制力矩的執(zhí)行,進(jìn)而影響航天器的實際機(jī)動路徑,此時無法保證航天器能夠規(guī)避姿態(tài)約束和非期望臨界點.

4 結(jié)束語

在姿態(tài)受約束情況下,基于旋轉(zhuǎn)矩陣設(shè)計可規(guī)避臨界點并實現(xiàn)姿態(tài)全局收斂的協(xié)同勢函數(shù).為每一個姿態(tài)約束設(shè)計軟約束區(qū)域,在軟約束區(qū)域內(nèi),避障勢函數(shù)由相對目標(biāo)姿態(tài)的吸引項和相對姿態(tài)約束的排斥項構(gòu)成,當(dāng)航天器姿態(tài)運動到該區(qū)域內(nèi),切換為避障勢函數(shù).針對常見的分?jǐn)?shù)形式和對數(shù)形式排斥項,討論了本文的避障勢函數(shù)的臨界點分布和勢函數(shù)參數(shù)的關(guān)系,給出了避障區(qū)域內(nèi)不存在臨界點的參數(shù)要求.仿真實驗結(jié)果表明,航天器能夠在本文設(shè)計的勢函數(shù)控制下規(guī)避姿態(tài)約束,收斂到目標(biāo)姿態(tài).由于本文進(jìn)行了勢函數(shù)切換,在切換時控制律不連續(xù),未來將考慮如何改善控制律突變對系統(tǒng)的影響.