李中奇 周 靚 楊 輝

高速動(dòng)車組 (Electric multiple unit,EMU) 是由拖車和電力機(jī)車組成的動(dòng)力分布式列車,它已經(jīng)成為人們?nèi)粘Ｉ钪凶钪匾慕煌üぞ咧?但隨著動(dòng)車組運(yùn)行速度越來越快、運(yùn)行環(huán)境越來越復(fù)雜多變,其車輛之間的非線性效應(yīng)也越來越顯著[1-2].在這種情況下,僅憑借列車司機(jī)手動(dòng)操作無法保證動(dòng)車組的安全性和其他性能要求.因此,進(jìn)一步開發(fā)列車自動(dòng)駕駛系統(tǒng)以實(shí)現(xiàn)動(dòng)車組高效運(yùn)行是非常必要的[3].可靠性高、跟蹤效果好的控制器是列車自動(dòng)駕駛系統(tǒng)的核心,它是實(shí)現(xiàn)列車安全、準(zhǔn)點(diǎn)、舒適和停車精度等要求的關(guān)鍵.針對動(dòng)車組控制問題,國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)提出了許多先進(jìn)的控制方法,從模型的角度出發(fā),大體上可以分為基于模型和基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的控制方法[4].其中基于模型的控制方法研究大多數(shù)是從牛頓力學(xué)定律出發(fā),通過引入一些假設(shè)條件,推導(dǎo)出列車的機(jī)理模型從而設(shè)計(jì)控制方案[5-7].這種思路對單質(zhì)點(diǎn)列車模型尚且有效,但研究對象是更接近實(shí)際情況的多質(zhì)點(diǎn)動(dòng)車組系統(tǒng)時(shí)則較為困難.同許多復(fù)雜系統(tǒng)一樣,動(dòng)車組實(shí)際運(yùn)行過程具有多變量、強(qiáng)耦合以及非線性等特性,使得機(jī)理模型的建立異常困難.針對多質(zhì)點(diǎn)動(dòng)車組建模難的問題,許多研究開始使用數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)建模的方法[8-13].首先設(shè)立模型結(jié)構(gòu),將采集到的各個(gè)車廂的輸入輸出數(shù)據(jù)通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練[8-9]、聚類分析[10-12]、系統(tǒng)辨識(shí)[13]等方法獲取模型參數(shù),最后對所得模型設(shè)計(jì)控制方案.雖然數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)建模的方法能有效地降低列車系統(tǒng)的非線性和耦合關(guān)系,但是其前提是獲取列車的模型結(jié)構(gòu) (輸入輸出階數(shù)和影響較大的非線性項(xiàng));其次,各個(gè)車廂的輸入輸出數(shù)據(jù)不僅數(shù)量眾多,而且具有較大的偶然性 (由環(huán)境因素、系統(tǒng)內(nèi)擾、執(zhí)行器故障等因素導(dǎo)致).

綜上所述,動(dòng)車組模型中的基本阻力系數(shù)、附加阻力和耦合關(guān)系由于諸多不確定因素的影響,導(dǎo)致精確數(shù)學(xué)模型無法得到;另外,即使建立了簡化過后的多質(zhì)點(diǎn)模型,設(shè)計(jì)控制器時(shí)也必然要考慮到解耦,這無疑增加了計(jì)算量和設(shè)計(jì)難度.因此本文結(jié)合動(dòng)態(tài)線性化 (Dynamic linearization,DL) 技術(shù)、離散積分滑?？刂?(Integral sliding mode control,ISMC) 和模型預(yù)測控制 (Model predictive control,MPC) 的優(yōu)勢,使得它們能共同工作,并更好地應(yīng)用于動(dòng)車組運(yùn)行系統(tǒng),具有重要的理論研究意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.

侯忠生[14]提出的無模型自適應(yīng)控制 (Modelfree adaptive control,MFAC) 拉開了 DL 技術(shù)的序幕.其大體思想是在系統(tǒng)每個(gè)工作點(diǎn)處建立一個(gè)虛擬等價(jià)的數(shù)據(jù)模型,根據(jù)系統(tǒng)復(fù)雜程度可分為緊格式動(dòng)態(tài)線性化(Compact format dynamic linearization,CFDL)、偏格式動(dòng)態(tài)線性化 (Partial format dynamic linearization,PFDL) 和全格式動(dòng)態(tài)線性化 (Full format dynamic linearization,FFDL) 數(shù)據(jù)模型.這些數(shù)據(jù)模型僅依賴被控對象輸入輸出數(shù)據(jù),通過在線估計(jì)系統(tǒng)的偽偏導(dǎo)數(shù) (偽梯度向量或偽雅可比矩陣) 并最優(yōu)化系統(tǒng)超前一步輸出誤差,即可實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)模型參數(shù)的在線更新.隨著相應(yīng)理論的不斷發(fā)展與完善,基于 DL 數(shù)據(jù)模型的控制方法已經(jīng)在許多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[15-18].除了奠基者 MFAC 之外,基于 DL 技術(shù)的離散滑?？刂?(Discrete sliding mode control,DSMC) 方法亦受到大量關(guān)注,學(xué)者們在基于數(shù)據(jù)的建模與優(yōu)化、數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)滑?？刂品椒ǜ倪M(jìn)及參數(shù)優(yōu)化等方面開展了大量的研究.文獻(xiàn)[19] 基于 DL 技術(shù)和 DSMC指數(shù)趨近律,首次提出了無模型自適應(yīng)準(zhǔn)滑模控制方法,并進(jìn)行了對應(yīng)的數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn),但沒有考慮實(shí)際系統(tǒng)中的擾動(dòng)等不確定性的影響.在文獻(xiàn)[19]的基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[20] 利用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來估計(jì)系統(tǒng)的廣義擾動(dòng),提出了基于 CFDL 數(shù)據(jù)模型的自適應(yīng)滑?？刂坡?并將其推廣至多輸入多輸出(Multi-input-multi-output,MIMO) 非線性系統(tǒng),取得了較好的控制效果.但隨著系統(tǒng)階數(shù)的增多,滑?？刂破鲾?shù)量亦會(huì)成倍增多.文獻(xiàn)[21] 基于指數(shù)趨近律的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)離散滑?？刂品椒?對智能汽車的速度和位置進(jìn)行跟蹤控制,響應(yīng)速度和魯棒性均有所提高.文獻(xiàn)[22-23] 充分結(jié)合 MFAC 和 DSMC 方法的優(yōu)點(diǎn)設(shè)計(jì)復(fù)合控制器,其中 MFAC 方法能降低控制器對系統(tǒng)模型信息的依賴,而 DSMC 方法能補(bǔ)償系統(tǒng)未知外界擾動(dòng)和未建模動(dòng)態(tài)等不確定性的影響,但復(fù)合控制器的穩(wěn)定性還有待證明.上述方法中,滑?？刂坡傻脑O(shè)計(jì)均采用了指數(shù)趨近律的處理方法,系統(tǒng)中存在明顯的抖振現(xiàn)象.而且,文獻(xiàn)[20] 中徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有較多參數(shù),加上神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)值取隨機(jī)數(shù),容易導(dǎo)致控制品質(zhì)下降.

MPC 已成功應(yīng)用于過程工業(yè)的各個(gè)領(lǐng)域.然而,對于受連續(xù)干擾的系統(tǒng),僅靠 MPC 無法提供令人滿意的效果.考慮到 DSMC 方法的魯棒性,一些學(xué)者嘗試將這兩種方法結(jié)合起來.文獻(xiàn)[24] 提出了一種基于積分終端滑模控制和 MPC 的控制方案,使系統(tǒng)在外界干擾下依然能保持良好的魯棒性.文獻(xiàn)[25] 采用 MPC 和 ISMC 實(shí)現(xiàn)機(jī)械手運(yùn)動(dòng)的分層控制.ISMC 用于補(bǔ)償系統(tǒng)非線性影響,MPC能對狀態(tài)和輸入進(jìn)行約束.針對受外界干擾的離散時(shí)間多輸入多輸出非線性系統(tǒng),文獻(xiàn)[26] 提出了一種新的基于輸出的離散時(shí)間積分滑模預(yù)測控制 (Integral sliding mode predictive control,ISMPC) 方案,用 MPC 代替了 ISMC 的切換控制.

受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)以及考慮動(dòng)車組實(shí)際運(yùn)行情況,本文首次針對包含外部擾動(dòng)的 MIMO 動(dòng)車組系統(tǒng),提出了一種新的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)離散積分滑模預(yù)測控制算法.所提算法基于更符合列車運(yùn)行特性的FFDL 數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)模型,構(gòu)建了一種新的 ISMC 控制律.為了將系統(tǒng)狀態(tài)驅(qū)動(dòng)到具有最優(yōu)運(yùn)動(dòng)軌跡的滑模面上,用 MPC 代替 ISMC 的切換控制.這使得ISMPC 能夠獲得更高的輸出跟蹤誤差精度.在滿足一些合理假設(shè)的情況下,給出了上述兩種方法的嚴(yán)格證明過程.最后,以實(shí)驗(yàn)室配備的 CRH380A型動(dòng)車組仿真實(shí)驗(yàn)臺(tái)對本文提出的 FFDL-ISMC和 FFDL-ISMPC 方法進(jìn)行仿真測試,比較了兩種控制策略的優(yōu)劣性.

本文的具體貢獻(xiàn)主要體現(xiàn)在 4 個(gè)方面:

1) 提出了新型的 MIMO 離散 ISMC 和 ISMPC算法,相較于文獻(xiàn)[22-23]的方法,系統(tǒng)抖振現(xiàn)象得到了緩解;ISMC 抖振現(xiàn)象良好主要是因?yàn)槠溆星袚Q控制,并使用飽和函數(shù) sat 代替符號函數(shù) sgn;而ISMPC 是因?yàn)槠湓诨：瘮?shù)中存在兩個(gè)誤差積分權(quán)重因子,在跟蹤誤差和抖振現(xiàn)象中做了折中選擇.另外,利用一步延時(shí)估計(jì)動(dòng)車組系統(tǒng)參數(shù)誤差、擾動(dòng)等不確定因素,實(shí)現(xiàn)了較為高效的非線性控制.

2) 為提高控制精度,基于 FFDL 數(shù)據(jù)模型,結(jié)合已設(shè)計(jì)的 ISMC 和 MPC,進(jìn)一步推導(dǎo)出積分滑模預(yù)測控制方案.與現(xiàn)有組合算法相比,本文的算法不依賴動(dòng)車組動(dòng)力學(xué)模型,是一種數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)控制算法.

3) 與文獻(xiàn)[15-17,27]采用的 CFDL 數(shù)據(jù)模型相比,本文采用的 FFDL 方法綜合考慮下一時(shí)刻輸出變化量與固定長度滑動(dòng)時(shí)間窗口內(nèi)的輸入輸出之間的關(guān)系.FFDL 數(shù)據(jù)模型對系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)的時(shí)變性不敏感.

4) 與已有將 DL 技術(shù)運(yùn)用在列車上的文獻(xiàn)[15,28]相比,本文的被控對象為多動(dòng)力單元列車,更符合實(shí)際運(yùn)行要求.本文所提的方法豐富了列車運(yùn)行控制理論,可以推廣到其他型號的列車系統(tǒng)中 (14 動(dòng)2 拖的 CRH380AL、4 動(dòng) 4 拖的 CRH380B、3～5節(jié)編組的 TR08 型磁浮列車).

本文的主要結(jié)構(gòu)如下: 第 1 節(jié)給出動(dòng)車組多動(dòng)力單元模型結(jié)構(gòu) (僅為列車運(yùn)行仿真提供數(shù)據(jù)支持);第 2 節(jié)和第 3 節(jié)分別提出基于 DL 技術(shù)的 ISMC 和 ISMPC 方法,并對其穩(wěn)定性進(jìn)行嚴(yán)格的證明;第 4 節(jié)和第 5 節(jié)分別是仿真分析和總結(jié)展望.

引理 1[26].考慮如下標(biāo)量動(dòng)態(tài)系統(tǒng)

式中,權(quán)值常數(shù) 0 ＜k1,0 ＜k2＜1,0 ＜α＜1;sig 的含義為 sigα(z)=[sgn(z1)|z1|α,···,sgn(zn)|zn|α]T,sigα(zi)=sgn(zi)|zi|α,sgn 為符號函數(shù).如果|g(t)|＜R,R為任意小的正數(shù),則狀態(tài)z i(t) 總是有界的且在有限時(shí)間內(nèi),以下公式始終成立

式中,t*＞0為一個(gè)有界時(shí)間常數(shù);max 表示取最大值.

1 動(dòng)車組運(yùn)行過程動(dòng)力學(xué)分析

動(dòng)車組運(yùn)行系統(tǒng)是由多個(gè)相對獨(dú)立的牽引動(dòng)力單元組成的,每個(gè)動(dòng)力單元又由若干動(dòng)力機(jī)車和拖車分布式組合[2,28].其運(yùn)行過程中各動(dòng)力單元除了受自身控制力的作用外,還受到來自相鄰單元的車鉤影響,動(dòng)車組縱向動(dòng)力學(xué)分析如圖1 所示.圖中,中間車廂為裝備了牽引單元的動(dòng)力機(jī)車 (輪子為黑色的車廂),首尾兩節(jié)車廂為拖車.

圖1 動(dòng)車組運(yùn)行過程動(dòng)力學(xué)描述Fig.1 Dynamic description of EMU operation process

根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)學(xué)定律分析動(dòng)車組的受力情況,各動(dòng)力單元上均受到了牽引力或制動(dòng)力、基本阻力、車間作用力.根據(jù)以上分析,可將列車動(dòng)力單元數(shù)學(xué)模型表示為[2,28]

ui為列車在不同工況下動(dòng)力單元i產(chǎn)生的牽引力或制動(dòng)力;yi和xi分別表示動(dòng)力單元i的速度和位移;εi為加速度系數(shù),αi表示動(dòng)力單元i所受的合力;FNi(t) 為列車運(yùn)行時(shí)動(dòng)力單元i所受到的基本阻力;參數(shù)a i,bi,ci分別表示基本阻力系數(shù),均具有高度不確定性;FZi(t) 為動(dòng)力單元i和動(dòng)力單元i+1 間的車間作用力,k為相鄰動(dòng)力單元的彈性系數(shù),d為阻尼系數(shù).由基本阻力公式可以看出,動(dòng)車組速度越快,非線性項(xiàng)對系統(tǒng)的影響則越明顯[2,28].參考文獻(xiàn)[2],考慮將一階差分算子應(yīng)用于系統(tǒng) (3),得到如下離散時(shí)間非線性模型

式中,f i(·) 為非線性函數(shù).

應(yīng)用常規(guī)方案實(shí)現(xiàn)列車運(yùn)行控制時(shí),首要問題是對所有動(dòng)力單元進(jìn)行特性分析,將采集到的數(shù)據(jù)y(t),u(t),x(t)之間的非線性關(guān)系建立起來,得到可靠準(zhǔn)確的動(dòng)車組運(yùn)行模型.然而動(dòng)車組實(shí)際運(yùn)行中,易受環(huán)境、路段變化的影響,列車模型中質(zhì)量參數(shù)、阻力系數(shù)、彈簧系數(shù)及阻尼系數(shù)都存在不確定性,同時(shí)模型中還存在著非線性項(xiàng),導(dǎo)致精確的模型很難得到.針對上述問題,一些研究考慮對列車的非線性部分和車鉤作用進(jìn)行簡化,得到了理想情況下的列車模型,在此情況下,若采用非數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)控制方法設(shè)計(jì)控制器需考慮各動(dòng)力單元的耦合關(guān)系,計(jì)算量巨大.為此本文設(shè)計(jì)無模型自適應(yīng)滑?？刂破?對動(dòng)車組進(jìn)行速度跟蹤控制.

為方便后續(xù)動(dòng)態(tài)線性化處理,首先將式 (6) 進(jìn)行轉(zhuǎn)換.式中所有動(dòng)力單元的位移項(xiàng)xi都可以用與yi有關(guān)的公式表示,而yi又能轉(zhuǎn)換成形如f(y(t),u(t),x(t))的表達(dá)式.將式(6) 中所有位移項(xiàng)都轉(zhuǎn)換成與速度和控制力相關(guān)的形式,動(dòng)車組的輸入輸出數(shù)據(jù)集合可等效如下 MIMO 離散時(shí)間非線性系統(tǒng)

式中,u(t)∈Rn,y(t)∈Rn分別表示系統(tǒng)t時(shí)刻的輸入和輸出;n u,ny分別為系統(tǒng)輸入和輸出階數(shù);g(·)為一個(gè)非線性且時(shí)變的函數(shù).

2 動(dòng)車組積分滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

2.1 問題描述

首先對列車的輸入輸出數(shù)據(jù)集合進(jìn)行動(dòng)態(tài)線性化處理.常用的 CFDL 方法僅考慮了系統(tǒng)下一時(shí)刻的輸出變化量與當(dāng)前時(shí)刻的輸入變化量之間的關(guān)系[18].然而,動(dòng)車組運(yùn)行系統(tǒng)的輸出不僅僅取決于某一個(gè)時(shí)刻的控制輸入.基于以上考慮,在對數(shù)據(jù)線性化處理時(shí),可將一個(gè)滑動(dòng)時(shí)間窗口內(nèi)的輸入和輸出對下一時(shí)刻輸出的影響都考慮進(jìn)來,這就是FFDL 數(shù)據(jù)處理方法.使用該方法可以很好地捕獲原系統(tǒng)中存在的復(fù)雜動(dòng)態(tài),并且該動(dòng)態(tài)線性化方法可有效地將系統(tǒng)復(fù)雜性分散降低[18].

式中,0 ≤Ly≤ny,0≤Lu≤nu分別為系統(tǒng)輸出和控制輸入線性化的長度常數(shù),也稱為偽階數(shù).

對動(dòng)車組系統(tǒng) (7) 做出如下兩個(gè)假設(shè):

假設(shè) 1[18,29-30].非線性時(shí)變函數(shù)g(·) 對系統(tǒng)所有偏量的偏導(dǎo)數(shù)為連續(xù)的.

假設(shè) 1 是控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中對一般非線性系統(tǒng)的一種典型約束條件,適用于一大類非線性系統(tǒng);假設(shè) 2 是一個(gè)類線性化條件,即系統(tǒng)輸出的變化受一定記憶長度的控制輸入和系統(tǒng)輸出變化的限制[29].

定理1.如果非線性時(shí)變系統(tǒng) (7) 滿足假設(shè) 1和假設(shè) 2,當(dāng)時(shí),一定存在一個(gè)叫做偽分塊雅克比矩陣的參數(shù)矩陣Φ(t),使得系統(tǒng)可以等價(jià)為 FFDL 數(shù)據(jù)模型

定理 1 已被嚴(yán)格證明[18],不同的線性化長度常數(shù)可以得到不同的 FFDL 數(shù)據(jù)模型,合理選擇長度常數(shù)可以提高數(shù)據(jù)模型對原系統(tǒng)描述時(shí)的靈活性.為方便描述,以下令Ly=Lu=1,其他情況類似.

考慮動(dòng)車組運(yùn)行過程中存在未知外界擾動(dòng)、參數(shù)估計(jì)誤差等不確定因素,將動(dòng)車組的輸入輸出數(shù)據(jù)集合重寫為

式 中,y m(t+1)=[ym1(t+1),···,ymn(t+1)]T是系統(tǒng)t+1 時(shí)刻的輸出;d(t)=[d1(t),···,dn(t)]T為包含未知外界擾動(dòng)、參數(shù)估計(jì)誤差等不確定項(xiàng)的有界廣義擾動(dòng).

將式 (7) 代入式 (11) 中,可得

根據(jù)式 (9) 和式 (12),可得到包含廣義擾動(dòng)的列車 FFDL 數(shù)據(jù)模型

由于d(t) 是未知的,因此本文基于擾動(dòng)估計(jì)技術(shù),將式 (13) 中的擾動(dòng)項(xiàng) Δd(t) 通過其一步延時(shí)的值估計(jì)

接下來需要對時(shí)變參數(shù)矩陣Φ(t) 進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì),引入?yún)?shù)估計(jì)準(zhǔn)則函數(shù)[17-18]

根據(jù)極小化參數(shù)估計(jì)準(zhǔn)則函數(shù) (15),可得到以下參數(shù)估計(jì)算法

式中,λ∈(0,2] 為步長因子.

2.2 積分滑?？刂破?/h3>

定義系統(tǒng)輸出誤差為

式中,y r(t) 為期望輸出.

受文獻(xiàn)[26] 中算法的啟發(fā),考慮引入一種新的積分滑模函數(shù),形式如下

式中,積分權(quán)重因子 0 ＜k1＜1,0 ＜k2＜1,可以通過調(diào)節(jié)k1,k2權(quán)衡跟蹤大小與抖振現(xiàn)象;兩個(gè)積分輸出跟蹤誤差項(xiàng)定義如下

隨后,基于以下趨近律設(shè)計(jì)滑模控制策略

結(jié)合式 (17)、式 (18) 和式 (21),不難得到

將數(shù)據(jù)模型 (13) 代入式 (22) 中,可得

由式 (23) 可以推導(dǎo)出等效控制律表達(dá)式

當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)不在滑模面上或者運(yùn)動(dòng)期間出現(xiàn)外部干擾時(shí),獨(dú)立的等效控制不能驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的軌跡到滑模面[26-27].為了減輕滑模抖振現(xiàn)象,提高系統(tǒng)魯棒性,設(shè)計(jì)如下切換控制律

式中,0 ＜γ＜β表示切換增益,γ為一個(gè)無窮小的正數(shù).

綜上所述,MIMO 動(dòng)車組滑模控制方案為

注1.本文的等效控制 Δueq(t) 是由滑模函數(shù)、滑模趨近律和數(shù)據(jù)模型共同推導(dǎo)而成,不僅與系統(tǒng)誤差有關(guān),還與數(shù)據(jù)模型的參數(shù)矩陣有關(guān);切換控制 Δusw(t) 的系數(shù)矩陣與 FFDL 數(shù)據(jù)模型中有關(guān);而文獻(xiàn)[24,26] 中切換控制的系數(shù)矩陣與狀態(tài)空間方程中控制矩陣和輸出矩陣有關(guān).此外,不難看出,本文與文獻(xiàn)[24,26] 最顯著的區(qū)別是,本文方法是一種數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法.

注2.為減輕滑模抖振現(xiàn)象,可以考慮采用如下飽和函數(shù) sat 代替符號函數(shù) sgn

式中,Δ ＞0.當(dāng) |si(t)|＜Δ 時(shí),系統(tǒng)的魯棒性將會(huì)受到影響,因此,參數(shù) Δ 的大小應(yīng)在抑制抖振與魯棒性之間折中選擇.

2.3 算法穩(wěn)定性分析

假設(shè) 3[24,26].當(dāng)采樣時(shí)間足夠小時(shí),相鄰的兩個(gè)采樣間隔廣義擾動(dòng)的變化量不大,即存在一個(gè)任意小的正數(shù)γ使得以下公式成立

式中,o (γ) 表示γ的同階無窮小,以下同理.

注3.本文方法的誤差收斂值與相鄰采樣間隔廣義擾動(dòng)的變化量有關(guān),所以只要噪聲變量有界,誤差收斂值則有界,而噪聲在實(shí)驗(yàn)過程中是人為設(shè)計(jì)的 (可控),不影響誤差的有界性;另外,排除一些極端突發(fā)情況,動(dòng)車組正常運(yùn)行過程中,一個(gè)采樣間隔內(nèi)的環(huán)境因素、系統(tǒng)內(nèi)擾等變化是可以忽略不計(jì)的,所以假設(shè) 3 合理.

定理 2.對于具有外部擾動(dòng)的離散時(shí)間 MIMO非線性系統(tǒng) (11),如果不確定項(xiàng)d(t) 滿足假設(shè) 3,控制方案采用式 (26),則被控系統(tǒng)滿足如下性質(zhì):

2) 系統(tǒng)在有限步驟內(nèi)達(dá)到準(zhǔn)滑模狀態(tài);

3) 輸出跟蹤誤差e(t)=[e1(t),···,en(t)]T收斂到區(qū)域 Ωe,其中

式 (30) 展開可得如下形式

將數(shù)據(jù)模型 (13) 代入式 (31) 中可得

由于時(shí)變參數(shù)矩陣Φ(t) 有界,令‖Φ(t)‖≤v,v為有界常數(shù).對式 (32) 兩邊取范數(shù),可推出

對式 (33) 右側(cè)第 2 項(xiàng)取平方

由于步長因子λ∈(0,2],以及μ＞0,不難得到

通過式 (34) 和式(35) 可推出

由式 (36) 可推出,一定存在一個(gè)0＜M1＜1的數(shù),使以下不等式成立

將式 (37) 代入式 (33) 中可得到如下不等式

證明 2.系統(tǒng)在有限步驟內(nèi)達(dá)到準(zhǔn)滑模狀態(tài).

將式 (13) 代入式 (17) 中,可得

將控制律 (26) 代入式 (39) 中,可得

由假設(shè) 3 不難得出

將式 (40) 代入滑模函數(shù) (18) 中可得

給出式 (43) 的子元素形式

由式 (44) 不難得出

由式 (45) 可推出

綜上所述可知,系統(tǒng)滿足如下滑模存在和到達(dá)條件

因此,s(t) 單調(diào)遞減且在有限數(shù)量步驟內(nèi)達(dá)到準(zhǔn)滑模狀態(tài).

證明 3.以下是對輸出跟蹤誤差有界性的分析.

將滑模函數(shù) (18) 代入式 (43) 中

理同式 (44),可以給出式 (48) 的子元素形式

由假設(shè) 3 可得

根據(jù)引理 1、式 (49) 和式 (50),可得到跟蹤誤差e i(t) 的收斂性表達(dá)式

式中,α,γ,β,k1,k2,b均為有界常數(shù),不難得出系統(tǒng)的跟蹤誤差e(t) 是有界的.

綜上所述,利用控制方案 (26),系統(tǒng) (11) 的輸出能夠成功地跟蹤期望輸出,系統(tǒng) (11) 的輸出也能以期望輸出附近的鄰域?yàn)榻?

3 動(dòng)車組積分滑模預(yù)測控制器設(shè)計(jì)

3.1 積分滑模預(yù)測控制器

為了提高系統(tǒng)的輸出跟蹤控制精度,將所提出的 ISMC 與 MPC 方案相結(jié)合.考慮如下 ISMPC定律

式中,Δueq為已設(shè)計(jì)的等效控制,Δump為 MPC方法生成的最優(yōu)控制.該控制律使用最優(yōu)控制Δump將系統(tǒng)狀態(tài)驅(qū)動(dòng)到滑模面上,等效控制Δueq用于在后續(xù)時(shí)間內(nèi)將狀態(tài)軌跡維持在滑模面上.由式 (24) 中 Δueq可知,ISMPC 總控制量Δu*(t)如下

由于 Δump(t) 是未知的,下一步的目標(biāo)是基于MPC 方法設(shè)計(jì) Δump(t).將數(shù)據(jù)模型 (13) 代入誤差表達(dá)式 (17) 中

將式 (24) 中的等效控制 Δueq(t) 代入式 (54)并整理可得

結(jié)合式 (18) 和式 (55),給出滑模狀態(tài)的一步向前預(yù)測s(t+1)

因此,2,···,N步向前預(yù)測滑模狀態(tài)為

式中,N是預(yù)測長度也是控制長度.對以上N個(gè)方程積分得到

N個(gè)預(yù)測方程可以整理成以下形式

根據(jù)上述格式,引入指標(biāo)函數(shù)J2的矩陣形式[26]

式中,θ為權(quán)重因子,決定了控制量的大小.將式(65) 代入式 (66),性能指標(biāo)函數(shù)可重寫為

極小化性能指標(biāo)函數(shù) (67),可得到如下控制序列

事實(shí)上,式 (68) 中擾動(dòng)估計(jì)誤差的值是未知的,用上一采樣時(shí)刻的擾動(dòng)估計(jì)誤差代替是一種可行的方法.由式 (41) 中定義的p(t) 可得

與第 2.1 節(jié)的處理類似,Δd(t-1) 可以由得到,那么,p(t-1) 可以由下式得到

通過式 (60)、式 (69) 和式 (70),P(t) 也可以用它的估計(jì)代替

所以,控制序列U(t) 可重新寫為

由于只需要將預(yù)測控制序列U(t) 的第一個(gè)控制信號作用到系統(tǒng)中,得到最優(yōu)控制律為

式中

綜合以上,積分滑模預(yù)測控制律整體組合為

注4.與文獻(xiàn)[24,26] 中的算法相比,本文 ISMPC 算法使用基于 FFDL 數(shù)據(jù)模型的 MPC,因此也是數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法.由于參數(shù)矩陣是時(shí)變的,在使用 MPC 時(shí)則需要進(jìn)行參數(shù)預(yù)測處理或者使用向后 (與預(yù)測步數(shù)一致) 的參數(shù)值進(jìn)行等效替代,控制性能提升的同時(shí)復(fù)雜度也相應(yīng)增加.

3.2 算法穩(wěn)定性分析

定理 3.對于具有外部擾動(dòng)的離散時(shí)間 MIMO非線性系統(tǒng) (11),在θ=0 時(shí),當(dāng)不確定項(xiàng)d(t) 滿足假設(shè) 3,采用式 (75) 的控制方案,被控系統(tǒng)滿足如下性質(zhì):

1) 任意初始狀態(tài),s(t)=[s1(t)···sn(t)]T將收斂到區(qū)域 Ωs內(nèi),其中

2) 輸出跟蹤誤差e(t)=[e1(t)···en(t)]T收斂到區(qū)域 Ωe,其中

證明 4.滑模狀態(tài)收斂到區(qū)域 Ωs內(nèi).

首先,當(dāng)θ=0 時(shí),將最優(yōu)控制律 (73) 代入式(56) 中,再根據(jù)式 (70),可得

根據(jù)假設(shè) 3,可得出

綜上所述,滑模狀態(tài)s(t) 將收斂到區(qū)域 Ωs內(nèi).

證明 5.輸出跟蹤誤差e(t) 收斂到區(qū)域 Ωe.

首先,當(dāng)θ=0 時(shí),將最優(yōu)控制律 (73) 代入式(55) 中,可得

將滑模函數(shù) (18) 代入式 (81) 中

式中

根據(jù)定理 3 的性質(zhì) 1),可推出

將式 (82) 重寫為如下的子元素形式

根據(jù)引理 1、式 (84) 和式 (85),可以得到輸出跟蹤誤差e i(t) 的上界為

式中,α,γ,k1,k2,b均為有界常數(shù),不難得出系統(tǒng)的跟蹤誤差e(t) 是有界的.

注5.由本文的系統(tǒng)跟蹤誤差有界性證明可知,系統(tǒng)誤差的最終表達(dá)式只與滑模函數(shù)的形式以及干擾項(xiàng)的估計(jì)誤差有關(guān),與系統(tǒng)的數(shù)據(jù)模型形式無關(guān).當(dāng)系統(tǒng)干擾項(xiàng)的估計(jì)誤差有界以及系統(tǒng)滿足滑模存在和到達(dá)條件時(shí),系統(tǒng)的跟蹤誤差有界.

注6.本文分析了θ=0 時(shí)系統(tǒng)在 ISMPC 方案(75) 下的收斂性.當(dāng)θ0 時(shí),系統(tǒng)的收斂性還有待證明,將作為作者未來的工作.

4 仿真實(shí)現(xiàn)及分析

采用實(shí)驗(yàn)室裝備的 CRH380A 型動(dòng)車組實(shí)驗(yàn)臺(tái)對本文提出的 MIMO 數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng) ISMC 和 ISMPC 算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)和性能評估,實(shí)驗(yàn)裝置如圖2 所示.通過該平臺(tái)預(yù)留的編程接口輸入相應(yīng)的控制策略,可以將列車運(yùn)行效果實(shí)時(shí)顯示在虛擬視景設(shè)備上,同時(shí)記錄列車的運(yùn)行速度、位置、與目標(biāo)點(diǎn)的距離等信息,模擬真實(shí)運(yùn)行環(huán)境.

圖2 CRH380A 型動(dòng)車組模擬實(shí)驗(yàn)臺(tái)Fig.2 Simulation experiment device of CRH380A EMU

CRH380A 動(dòng)車組有 3 個(gè)獨(dú)立的牽引動(dòng)力單元,編組方式如圖3 所示.該動(dòng)車組的各節(jié)車輛的基本信息如表1 所示[10,28].

表1 CRH380A 型動(dòng)車組模型參數(shù)Table 1 The CRH380A EMU model parameters

圖3 CRH380A 型動(dòng)車組動(dòng)力單元分布Fig.3 Distribution of CRH380A EMU power unit

4.1 仿真設(shè)置

車輛模擬運(yùn)行于華東地區(qū)的濟(jì)南西至徐州東路段,速度-位移曲線如圖4 所示,其中青色線為限速曲線,紅色線為期望的速度-位移曲線,包括牽引、惰行和制動(dòng)運(yùn)行模式.勻速段的減速過程表示動(dòng)車組通過中性段時(shí)的滑行模式.圖5 為 CRH380A 型動(dòng)車組牽引/制動(dòng)特性曲線.

圖4 CRH380A 型動(dòng)車組濟(jì)南西至徐州東的實(shí)際曲線Fig.4 The actual curves of CRH380A EMU from Jinan west to Xuzhou east

圖5 CRH380A 型動(dòng)車組牽引/制動(dòng)特性曲線Fig.5 The traction/braking characteristic curves of CRH380A EMU

操作過程中,引入白噪聲模擬列車實(shí)際運(yùn)行過程中遇到的外界干擾,用以驗(yàn)證所提算法的魯棒性.將控制策略以及車輛信息輸入到仿真實(shí)驗(yàn)臺(tái)中,記錄各方法的列車速度、位置、控制力等信息,并與傳統(tǒng) FFDL-MFAC 和廣義預(yù)測控制 (Generalized predictive control,GPC) 方法進(jìn)行對比.

1) FFDL-ISMPC 方法: 系統(tǒng)的初始條件設(shè)置為y1(1)=y2(1)=y3(1)=yr(1),Φ1(1)=Φ2(1)=diag{0.5,0.5,0.5}.控制器參數(shù)設(shè)置為μ=1,λ=0.2,k1=0.5,k2=2,α=0.5,N=10.

2) FFDL-ISMC 方法: 系統(tǒng)的初始條件設(shè)置為y1(1)=y2(1)=y3(1)=yr(1),Φ1(1)=Φ2(1)=diag{0.5,0.5,0.5}.控制器參數(shù)設(shè)置為μ=1,λ=0.2,β=0.05,k1=0.5,k2=2,α=0.65.

3) FFDL-MFAC 方法: FFDL-MFAC 方案可參考文獻(xiàn)[18].系統(tǒng)的初始條件設(shè)置為y1(1)=y2(1)=y3(1)=yr(1),Φ1(1)=Φ2(1)=diag{0.52,0.52,0.52}.控制器參數(shù)設(shè)置為μ=1,λ=0.2,δ=1,ρ=0.85.

4) GPC 方法: GPC 方案可參考文獻(xiàn)[9-10].系統(tǒng)的初始條件設(shè)置為y1(1)=y2(1)=y3(1)=yr(1).控制器參數(shù)設(shè)置為: 預(yù)測時(shí)域和控制時(shí)域分別為Nv=3,Nu=2;遺忘因子λGPC=0.9.

4.2 各種控制方法的速度跟蹤及誤差對比

圖6 為 ISMPC、ISMC、MFAC 和 GPC 的各動(dòng)力單元速度-位移跟蹤曲線,圖7 為對應(yīng)的速度跟蹤誤差曲線.由于存在外界擾動(dòng),ISMC、MFAC和 GPC 方法的性能受到了較大的影響,收斂性難以保證.平穩(wěn)路段中,ISMC 的各個(gè)動(dòng)力單元跟蹤誤差范圍在 [-0.274 km/h,0.228 km/h] 之間,由于切換控制的加入,系統(tǒng)抖振程度較輕;MFAC 和 GPC的各動(dòng)力單元跟蹤誤差范圍分別在 [-0.408 km/h,0.413 km/h] 之間和 [-0.446 km/h,0.438 km/h]之間;在經(jīng)過分相區(qū)等期望速度變化頻繁的路段時(shí),MFAC 和 GPC 方法的跟蹤性能進(jìn)一步惡化,誤差分別只能穩(wěn)定在 [-0.627 km/h,0.548 km/h]之間和 [-0.811 km/h,0.862 km/h] 之間.反觀 ISMPC 方法,采用新型的積分滑?？刂撇呗?同時(shí),為了將系統(tǒng)狀態(tài)驅(qū)動(dòng)到具有最優(yōu)運(yùn)動(dòng)軌跡的滑模面上,用 MPC 代替了 ISMC 的切換控制,進(jìn)一步提升控制性能.各個(gè)動(dòng)力單元跟蹤誤差范圍全程穩(wěn)定在 [-0.121 km/h,0.132 km/h] 之間,受擾動(dòng)影響較小,滿足速度跟蹤精度要求.但相較于 ISMC 方法,系統(tǒng)存在一定的抖振現(xiàn)象,實(shí)際工程過程中可在抑制抖振與收斂性之間折中選擇.

圖6 本文方法與其他方法速度跟蹤曲線對比Fig.6 The velocity tracking curves of the proposed method are compared with those of other methods

圖7 本文方法與其他方法各動(dòng)力單元速度跟蹤誤差對比Fig.7 The velocity tracking errors of the proposed method are compared with those of other methods

圖8 為 ISMPC、ISMC、MFAC 和 GPC 各動(dòng)力單元速度分級誤差,為圖7 的擴(kuò)展,目的是討論 4種方法是否符合列車安全速度運(yùn)行要求.根據(jù) CTCS-3[1-2](中國列車運(yùn)行控制系統(tǒng)三級) 對速度誤差的要求: 當(dāng)速度小于等于30 km/h 時(shí),速度誤差范圍不超過 ±2 km/h;當(dāng)速度大于 30 km/h 時(shí),速度誤差應(yīng)在速度的 2%以內(nèi).圖8 清楚地闡釋了 ISMPC 和 ISMC 方法在所有速度等級都滿足 CTCS-3 速度誤差要求,而 MFAC 和 GPC 在 30 km/h 和50 km/h 等級處超出速度誤差限制,不滿足 CTCS-3 速度誤差要求.在速度等級 50～300 km/h 范圍中,雖然 MFAC 和 GPC 的誤差在要求范圍以內(nèi),但如果出現(xiàn)一些特殊情況 (如過長隧道和長大下坡等特殊路段時(shí)),速度容易超出限制,給列車運(yùn)行帶來了一定的安全隱患.

圖8 本文方法與其他方法分級速度跟蹤曲線對比Fig.8 The proposed method and other methods classify the speed tracking curve

4.3 各種控制方法的控制力和加速度對比

圖9 為各個(gè)控制方案的控制力變化圖,可以看出,在啟動(dòng)、制動(dòng)、惰行時(shí) ISMPC 和 ISMC 的控制方案各動(dòng)力單元給出的單位控制力滿足恒牽引力啟動(dòng)、恒功率運(yùn)行等要求[12],控制力范圍分別為 [-52 kN,42 kN] 和 [-53 kN,43 kN],在工況過渡階段,控制力也能以一定的速率緩和變化.同第 4.2 節(jié)的分析,由于切換控制的加入,ISMC 較 ISMPC 方法系統(tǒng)抖振現(xiàn)象緩解.MFAC 和 GPC 在啟動(dòng)、制動(dòng)時(shí)存在較大的控制力變化,控制力范圍分別為 [-55 kN,47 kN] 和 [-57 kN,58 kN],變化較為頻繁且幅值較大,在不節(jié)能的情況下,還給列車運(yùn)行帶來一定程度的安全問題.

圖9 本文方法與其他方法單位控制力變化對比Fig.9 The variation of unit control force of the proposed method is compared with this of other methods

從圖10 各個(gè)控制方案的加速度變化可得:MFAC 和 GPC 方法加速度變化過快,范圍分別為 [-0.9749 m/s2,0.8687 m/s2] 和 [-1.0124 m/s2,0.8746 m/s2],幅值較大.而采用ISMPC 和ISMC 方法的高速動(dòng)車組加速度過渡階段變化平緩,除了啟動(dòng)階段,范圍分別為 [-0.9249 m/s2,0.8187 m/s2] 和[-0.9432 m/s2,0.8210 m/s2],幅值小于 MFAC 方法的同時(shí),滿足乘客的舒適度要求[5,12](列車運(yùn)行的加速度在 [-1 m/s2,1 m/s2] 范圍內(nèi)時(shí),乘客感覺舒適).

圖10 本文方法與其他方法加速度變化對比Fig.10 The acceleration changes of the proposed method are compared with those of other methods

綜上,本節(jié)引入外界干擾,通過速度跟蹤誤差、控制力變化情況、加速度變化情況驗(yàn)證了 ISMPC和 ISMC 算法的有效性、魯棒性及各自優(yōu)劣性所在.

4.4 各種控制方法的若干性能指標(biāo)對比

進(jìn)一步,為了更直觀分析各個(gè)控制器的控制性能,考慮以下若干性能指標(biāo)對控制器進(jìn)行評價(jià).

1) 均方誤差 (Mean square error,MSE)

2) 積分誤差絕對值 (Integral absolute error,IAE)

3) 最大加速度[5,31](Maximum acceleration,MA)

MSE 指標(biāo)衡量的是觀測值與真值偏差,并且對數(shù)據(jù)中的異常值較為敏感,該值越小,系統(tǒng)跟蹤效果越好,IAE 值類似,MA 值反映系統(tǒng)輸入的穩(wěn)定性.各個(gè)控制方法的性能指標(biāo)值如表2 所示,可以看出,ISMPC 和 ISMC 算法的 MSE 值和 IAE 值均小于 MFAC 和 GPC 方法.使用 ISMPC 和 ISMC 算法的列車,MA 值分別為 0.9249 和 0.9432,變化偏小;MFAC 和 GPC 的 MA 值較大,分別為0.9749 和 1.0124,也意味著 MFAC 和 GPC 不滿足乘客的舒適性要求,而 ISMPC 和 ISMC 算法可以達(dá)到要求.綜上,在有干擾的情況下,ISMPC和 ISMC 算法能控制動(dòng)車組以較小的跟蹤誤差、穩(wěn)定的加速度運(yùn)行.

表2 各個(gè)控制方法的若干性能指標(biāo)對比Table 2 Comparison of several performance indexes of each control method

5 結(jié)論

本文首次針對包含未知外部擾動(dòng)的動(dòng)車組MIMO 系統(tǒng),提出一種新的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)離散積分滑模預(yù)測控制算法.所提算法基于更符合列車運(yùn)行特性的 FFDL 數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)模型,構(gòu)建了一種新的 ISMC控制律.為了將系統(tǒng)狀態(tài)驅(qū)動(dòng)到具有最優(yōu)運(yùn)動(dòng)軌跡的滑模面上,用 MPC 代替了 ISMC 的切換控制.在滿足一些合理假設(shè)的情況下,給出了上述兩種算法的嚴(yán)格證明過程.最后,以實(shí)驗(yàn)室配備的 CRH-380A 型動(dòng)車組仿真實(shí)驗(yàn)臺(tái)對本文提出的 ISMC 和ISMPC 算法進(jìn)行仿真測試.通過與 MFAC 和 GPC對比,仿真結(jié)果表明:

1) ISMPC 實(shí)現(xiàn)了比 ISMC、MFAC 和 GPC方法對給定速度-位移曲線更高精度的跟蹤控制,誤差范圍在[-0.121 km/h,0.132 km/h] 之間,滿足列車速度誤差要求,確保列車安全準(zhǔn)時(shí)運(yùn)行;

2) ISMPC 算法控制力變化更平穩(wěn),各動(dòng)力單元加速度變化范圍均在 [-0.9249 m/s2,0.8187 m/s2]之間,滿足乘客的舒適度要求;

3) 由于用 MPC 代替了 ISMC 的切換控制,ISMPC 相較于 ISMC 算法,系統(tǒng)存在一定的抖振現(xiàn)象,實(shí)際工程中應(yīng)該在抑制抖振與收斂性之間折中選擇;

4) ISMC 相比于 ISMPC,跟蹤性能會(huì)差一些,但是由于切換控制的存在,它的抖振情況又比 ISMPC 要好;ISMPC 所使用的方法是基于 FFDL數(shù)據(jù)模型的 MPC 方法,因此也是數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法.由于參數(shù)矩陣是時(shí)變的,在使用 MPC 時(shí)則需要進(jìn)行參數(shù)預(yù)測處理或者使用向后(與預(yù)測步數(shù)一致)的參數(shù)值進(jìn)行等效替代,控制性能提升的同時(shí)復(fù)雜度也相應(yīng)地增加了;此外它的抖振現(xiàn)象比 ISMC 要明顯.如何使得該算法在跟蹤性能良好的情況下無抖振現(xiàn)象,將作為作者未來的工作重心.

進(jìn)一步,在本文的基礎(chǔ)上,作者將在未來進(jìn)行以下研究:

1) 在引入外部干擾的基礎(chǔ)上,考慮不同車廂類型和延時(shí)影響;

2) 考慮采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法對本文提出的控制算法進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化;

3) 近年來,許多學(xué)者開始關(guān)注列車多智能體系統(tǒng)的協(xié)調(diào)控制和編隊(duì)控制問題.其目標(biāo)是通過系統(tǒng)中各智能體的相互協(xié)作,提高運(yùn)行效率,防止事故發(fā)生[32-33].因此,在未來的工作中,作者將研究具有多智能體的高速列車無模型自適應(yīng)控制.