陳啟明 文青松 郎 恂 謝 磊 蘇宏業(yè)

在一個(gè)飛速發(fā)展的信息社會(huì)中,信號(hào)是無(wú)處不在的,例如人們隨時(shí)可以聽(tīng)到的語(yǔ)音信號(hào)、隨時(shí)可以看到的視頻信號(hào)、伴隨生命始終存在的生理信號(hào)、新冠肺炎感染患者的數(shù)量、工業(yè)生產(chǎn)中的控制監(jiān)測(cè)信號(hào)、黑洞碰撞的引力波信號(hào)等[1].這些信號(hào)是變化的,變化的信號(hào)構(gòu)成了五彩斑斕的世界,如何描述這些變化的信號(hào)以及揭示這些信號(hào)中潛在的信息,是信號(hào)處理研究的重要任務(wù)[1].一般而言,在傳統(tǒng)的信號(hào)處理中,人們會(huì)從時(shí)域或頻域兩個(gè)角度去描述信號(hào).但單純從時(shí)域或頻域角度出發(fā)描述信號(hào)較為片面,無(wú)法刻畫(huà)非平穩(wěn)和非線性信號(hào)的重要性質(zhì).在現(xiàn)實(shí)世界中,所獲得的信號(hào)大部分都是非平穩(wěn)和非線性的,為了滿足現(xiàn)實(shí)信號(hào)處理需求,時(shí)頻聯(lián)合分析方法相關(guān)研究應(yīng)運(yùn)而生[2].

1998 年,Huang 等[3]提出一種自適應(yīng)的非平穩(wěn)非線性信號(hào)分解方法,成為信號(hào)處理發(fā)展的一個(gè)重要里程碑,隨后很快發(fā)展為“后小波”時(shí)代時(shí)頻分析領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[4].信號(hào)分解假設(shè)復(fù)雜的非平穩(wěn)非線性信號(hào)由多個(gè)簡(jiǎn)單的子信號(hào)組成,通過(guò)分析這些子信號(hào)的特征,可以間接或直接揭示原始復(fù)雜信號(hào)的時(shí)頻信息,進(jìn)而為各個(gè)領(lǐng)域的信號(hào)處理任務(wù)提供有力工具.近年來(lái),多元/多變量/多通道信號(hào)分解理論方興未艾,在諸多領(lǐng)域得到了成功應(yīng)用,但目前尚未見(jiàn)到相關(guān)綜述報(bào)道.為了填補(bǔ)這個(gè)空缺,本文從單變量和多變量?jī)蓚€(gè)方面對(duì)主流信號(hào)分解方法及其主要改進(jìn)進(jìn)行綜述,分析比較這些方法的原理和優(yōu)缺點(diǎn),并在最后進(jìn)行了研究展望.

1 傳統(tǒng)信號(hào)分解與時(shí)頻表示

信號(hào)處理的一個(gè)重要任務(wù)就是分析信號(hào)中的頻譜成分,同時(shí)還希望知道不同頻率成分所出現(xiàn)的時(shí)間.傳統(tǒng)的信號(hào)處理方法主要集中于信號(hào)變換,例如通過(guò)傅里葉變換(Fourier transform,FT)及其反變換,人們構(gòu)建起了信號(hào)時(shí)域與頻域之間轉(zhuǎn)換的橋梁.以傅里葉變換為基礎(chǔ)的分析方法已經(jīng)統(tǒng)治了線性時(shí)不變與平穩(wěn)信號(hào)處理領(lǐng)域近200 年,尤其是Cooley 等[5]利用傅里葉算子的周期性和對(duì)稱性,提出了快速傅里葉變換算法,將N點(diǎn)傅里葉變換的乘法計(jì)算量從N2次降為 (N/2×log2N) 次,這成為數(shù)字信號(hào)處理發(fā)展史上的轉(zhuǎn)折點(diǎn)和里程碑.以此為契機(jī),伴隨著超大規(guī)模集成電路和計(jì)算機(jī)領(lǐng)域的迅猛發(fā)展,傅里葉變換不但已成為一個(gè)重要的數(shù)學(xué)分支,而且也成為信號(hào)分析和處理的重要工具,并在眾多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用.但是,在科學(xué)研究與工程應(yīng)用中,研究人員發(fā)現(xiàn),傅里葉變換具有較多不足,主要體現(xiàn)在三個(gè)方面[1]: 1)傅里葉變換缺乏時(shí)間和頻率的定位功能.傅里葉變換得到的結(jié)果是信號(hào)在整個(gè)積分區(qū)間的時(shí)間范圍內(nèi)所具有的頻率特征的平均表示,無(wú)法通過(guò)傅里葉變換知道在某一個(gè)特定時(shí)刻或較短時(shí)間范圍內(nèi)的信號(hào)頻率信息.2)傅里葉變換對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)的局限性.只有時(shí)不變的信號(hào)才能夠展開(kāi)為無(wú)窮多個(gè)復(fù)正弦函數(shù)的和,而且這無(wú)窮多個(gè)復(fù)正弦信號(hào)的幅度、頻率和相位都不隨時(shí)間變化,即取某一特定常數(shù).因此,傅里葉變換只適合于處理平穩(wěn)的時(shí)不變信號(hào),但從實(shí)際過(guò)程中采集到的數(shù)據(jù)往往具有時(shí)變特性[1],屬于非平穩(wěn)信號(hào)[5-6].3)傅里葉變換在分辨率上的局限性.傅里葉變換受到不定原理的制約[1],無(wú)法根據(jù)信號(hào)的特點(diǎn)來(lái)自適應(yīng)調(diào)整時(shí)域分辨率和頻域分辨率.但是,正是傅里葉變換的這些不足成為了幾十年來(lái)推動(dòng)人們尋找新的信號(hào)分析與處理方法的動(dòng)力.

Gabor[7]提出短時(shí)傅里葉變換(Short-time Fourier transform,STFT)進(jìn)行時(shí)域和頻域的聯(lián)合分析.這種方法簡(jiǎn)單易懂,但是不能自動(dòng)調(diào)節(jié)時(shí)域窗口和頻域窗口.Cohen[8]給出了各種時(shí)頻分布的統(tǒng)一表示形式,稱為Cohen 類(lèi)時(shí)頻分布,其中最核心的就是Wigner-Ville 分布(Wigner-Ville distribution,WVD).Wigner 分布是由Wigner[9]在1932年提出的概念,但直到1948 年,Ville 才將其應(yīng)用于信號(hào)分析,因此命名為Wigner-Ville 分布.實(shí)際上,WVD 可理解為在一個(gè)特定區(qū)間上的傅里葉變換,因此它仍然受到不定原理的制約.WVD 的時(shí)頻分析性能也易受交叉項(xiàng)的影響.此外,WVD 的瞬時(shí)頻率是時(shí)間的單值函數(shù),在處理多分量信號(hào)時(shí),只能給出多個(gè)頻率在一個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的均值,這樣就無(wú)法刻畫(huà)多分量信號(hào)的頻率分布.小波變換(Wavelet transform,WT)是過(guò)去20 多年信號(hào)處理領(lǐng)域最重要的進(jìn)展之一[5],它最大的特點(diǎn)是在基本小波中引入了尺度因子,使得小波具有自動(dòng)調(diào)節(jié)時(shí)域和頻域分辨率的能力.然而,在對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波變換前如何選擇小波基函數(shù),仍是一個(gè)未解決的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題,一般需要使用者不斷試用各類(lèi)小波.

2 一元信號(hào)分解

上述傳統(tǒng)信號(hào)處理方法都是基于基函數(shù)展開(kāi)的思路,具有簡(jiǎn)單、唯一和對(duì)稱等優(yōu)點(diǎn)[10],但它們的基函數(shù)都是預(yù)先定義好且固定不變的,缺乏靈活性,而且受到不定原理的制約,其時(shí)頻分析結(jié)果也比較模糊[11].在許多涉及非平穩(wěn)信號(hào)的實(shí)際應(yīng)用中,這些缺陷都是亟待解決的.因?yàn)榛跀?shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的信號(hào)分解與時(shí)頻分析方法對(duì)輸入數(shù)據(jù)很少有或幾乎沒(méi)有先驗(yàn)假設(shè),所以人們對(duì)這些方法產(chǎn)生了極大的興趣.

這一趨勢(shì)始于90 年代末,當(dāng)時(shí)Huang 等[3]提出一種遞歸算法,稱為經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Empirical mode decomposition,EMD).EMD 通過(guò)利用信號(hào)極值的遞歸篩選過(guò)程,將輸入信號(hào)分解為固有的振蕩模式,稱為本征模態(tài)函數(shù)(Intrinsic mode function,IMF).一個(gè)振蕩信號(hào)能夠被稱為IMF 需滿足兩個(gè)條件: 1)在其時(shí)間區(qū)間內(nèi),模態(tài)的極值點(diǎn)數(shù)目和過(guò)零點(diǎn)的數(shù)目應(yīng)當(dāng)相等或最多相差一個(gè);2)在其時(shí)間區(qū)間內(nèi),分別由信號(hào)的局部極大值和極小值確定的上包絡(luò)和下包絡(luò)的均值為零.其中,第1 個(gè)條件保證了IMF 是一個(gè)窄帶信號(hào);第2 個(gè)條件則從信號(hào)局部特征的角度考慮,避免了由于信號(hào)波形不對(duì)稱而引起的瞬時(shí)頻率波動(dòng).圖1 是一個(gè)典型的IMF 波形示意圖,其極值點(diǎn)數(shù)目和過(guò)零點(diǎn)數(shù)目相同,且上包絡(luò)和下包絡(luò)的均值為零[1,5].

圖1 一個(gè)IMF 的波形示意圖Fig.1 Waveform diagram of an IMF

由上述討論和圖1 可以看出,IMF 類(lèi)似于傅里葉變換得到的一個(gè)具有固定幅度和固定頻率的分量,但是IMF 包含了幅度調(diào)制和頻率調(diào)制的特性,因此更具一般性.

EMD 的篩分過(guò)程如圖2 所示[1].首先,對(duì)信號(hào)極值進(jìn)行插值,并對(duì)上包絡(luò)和下包絡(luò)進(jìn)行平均,從而獲得信號(hào)的局部均值,這些局部均值可視為信號(hào)中的低頻成分估計(jì);然后,將低頻成分從輸入信號(hào)中迭代分離出來(lái),得到高頻(快速振蕩)成分.這樣就完成了一次篩分[12].重復(fù)篩分過(guò)程,直到輸入信號(hào)中的所有主要振蕩模態(tài)都被提取出來(lái).由于EMD完全是由數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的,避免了線性時(shí)頻變換方法的很多局限性,如受Heisenberg 不定原理限制而導(dǎo)致的有限時(shí)頻分辨率和由使用固定基函數(shù)而獲得的無(wú)意義的模態(tài)等.因此,EMD 自1998 年問(wèn)世,便在科學(xué)界產(chǎn)生了重大影響,揭開(kāi)了后小波時(shí)代時(shí)頻分析領(lǐng)域的新篇章,并被應(yīng)用到了眾多工程領(lǐng)域,如語(yǔ)音增強(qiáng)[13]、圖像處理[14]、設(shè)備診斷學(xué)[15]、生物醫(yī)學(xué)[16]、氣候?qū)W[17]、地球物理學(xué)[18]等.

圖2 EMD 的篩分過(guò)程示意圖Fig.2 Schematic diagram of sifting process of EMD

雖然EMD 在處理非線性非平穩(wěn)信號(hào)方面具有較多優(yōu)點(diǎn),但是仍然有一些待解決的問(wèn)題[18-20],主要包括迭代停止準(zhǔn)則與樣條函數(shù)的選擇問(wèn)題、端點(diǎn)效應(yīng)與模態(tài)混疊問(wèn)題、Hilbert 變換與分量正交性問(wèn)題等.EMD 的一些改進(jìn)版本,例如集成EMD (Ensemble empirical mode decomposition,EEMD)[21]、互補(bǔ)EMD (Complementary ensemble empirical mode decomposition,MCEEMD)[22]、中值EEMD(Median ensemble empirical mode decomposition,MEEMD)[23]和中值互補(bǔ)EEMD[24]等,在一定程度上修復(fù)了這些問(wèn)題,但 EMD (包括分解算法、IMF的定義以及上述的EMD 算法)的各種改進(jìn)版本都是建立在經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上的,目前仍然缺乏堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)理論分析做支撐.對(duì)此,Huang 等[18,20]指出,目前EMD 的理論水平猶如小波變換在20 世紀(jì)80 年代初的水平,他特別期望能有如Daubechies I.那樣,為小波變換奠定堅(jiān)實(shí)理論基礎(chǔ)的學(xué)者出現(xiàn),能將基于EMD 的時(shí)頻分析方法置于堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)理論之上[5].為了克服EMD 理論分析上的困難,部分學(xué)者嘗試用基于魯棒約束優(yōu)化的方法取代EMD 中包絡(luò)和局部均值估計(jì)[25-26],從理論上保證了算法能收斂到全局最優(yōu),但這些方法會(huì)遇到?jīng)]有可行解的問(wèn)題[27].Lin 等[28]提出迭代濾波分解(Iterative filtering decomposition,IFD),試圖彌補(bǔ)EMD 數(shù)學(xué)理論上的不足.IFD 使用特定的移動(dòng)均值替代EMD篩分過(guò)程中的包絡(luò)均值,實(shí)現(xiàn)了自適應(yīng)濾波,提升了分解穩(wěn)定性,并嚴(yán)格證明了在一定條件下的算法收斂性[29].Cicone 等[30]進(jìn)一步為IFD 設(shè)計(jì)了濾波器長(zhǎng)度自適應(yīng)更新策略,使得濾波器滿足迭代濾波收斂的充分條件,為非線性和非平穩(wěn)信號(hào)處理提供了一個(gè)完整的局部分析工具箱.

還有一些其他相關(guān)方法,例如匹配追蹤[31]這種經(jīng)典的原子分解算法.與常見(jiàn)的正交基函數(shù)相比,原子字典具有過(guò)完備性,因此可以更加靈活地表征復(fù)雜信號(hào).匹配追蹤算法將原子庫(kù)中與當(dāng)前信號(hào)最相關(guān)的原子作為當(dāng)前最優(yōu)原子,經(jīng)過(guò)多次迭代,可將信號(hào)表示成多個(gè)最優(yōu)原子的線性疊加模型.匹配追蹤算法的時(shí)頻分析效果與原子字典復(fù)雜程度密切相關(guān),當(dāng)分析復(fù)雜信號(hào)時(shí),往往需要復(fù)雜原子模型,使得分解結(jié)果不稀疏,降低了算法的效率,也會(huì)導(dǎo)致時(shí)頻特征間斷問(wèn)題[32].文獻(xiàn)[33-36]受EMD 和壓縮感知理論的啟發(fā),在本征模態(tài)函數(shù)組成的字典中,尋找多尺度數(shù)據(jù)的稀疏表示,將信號(hào)分解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非線性L1優(yōu)化問(wèn)題,并提出一種迭代算法遞歸求解該非線性稀疏優(yōu)化問(wèn)題,實(shí)現(xiàn)了稀疏時(shí)頻分析.這些稀疏時(shí)頻分析方法的分解結(jié)果與EMD 較類(lèi)似,但其性能不受EMD 中停止準(zhǔn)則的影響,抗噪聲和抑制端點(diǎn)效應(yīng)的能力也優(yōu)于EMD.此外,Peng等[37]和Guo 等[38]提出基于算子的信號(hào)分解方法,該方法采用零空間追蹤的方式,自適應(yīng)估計(jì)算子和參數(shù),將信號(hào)中的成分分離.這些方法的性能取決于所構(gòu)造的算子,常見(jiàn)的算子有奇異局部線性算子[37]和復(fù)數(shù)微分算子[38]等.

除了EMD 的改進(jìn)版本以外,學(xué)術(shù)界還提出一些類(lèi)似于EMD 迭代篩分過(guò)程的新分解算法,來(lái)嘗試解決這些問(wèn)題.例如 Smith[39]通過(guò)分離調(diào)頻和調(diào)幅成分,提出局部均值分解(Local mean decomposition,LMD)算法.Frei 等[40]通過(guò)分段計(jì)算旋轉(zhuǎn)分量在每一個(gè)局部時(shí)間區(qū)間上的瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)幅值,提出計(jì)算復(fù)雜度較低的本征時(shí)間尺度分解(Intrnsic time-scale decomposition,ITD)算法,可以實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的在線分解與實(shí)時(shí)處理.ITD 的分解過(guò)程[1]如圖3 所示,其中Xk表示輸入信號(hào)x(t) 的極值點(diǎn);虛線L(t) 和虛線H(t) 分別表示基線和旋轉(zhuǎn)分量.需要指出的是,上述分解算法仍然都是基于經(jīng)驗(yàn)的分解算法,分解結(jié)果也會(huì)受到端點(diǎn)效應(yīng)和模態(tài)混疊的影響.另外,這些方法都需要準(zhǔn)確估計(jì)信號(hào)的局部極值或均值,但實(shí)際數(shù)據(jù)往往會(huì)被噪聲干擾,不易準(zhǔn)確估計(jì)這些極值或均值,這使得這些方法的抗噪聲能力較差.

圖3 ITD 分解過(guò)程示意圖Fig.3 Schematic diagram of ITD decomposition process

另一類(lèi)類(lèi)似于EMD 的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)信號(hào)處理方法包括同步壓縮變換(Synchro squeezed transform,SST)[41]和經(jīng)驗(yàn)小波變換(Empirical wavelet transform,EWT)[12].與EMD 不同,SST 是通過(guò)一套合理且方便的數(shù)學(xué)框架,來(lái)提取信號(hào)中的模態(tài),它既可以在STFT 域,也可以在小波域中工作[42].SST首先通過(guò)頻率重整算子[43]銳化信號(hào)的STFT 譜圖或小波譜圖;然后,在模態(tài)總數(shù)已知條件下,采用脊線提取技術(shù),來(lái)估計(jì)瞬時(shí)頻率;最后,通過(guò)在相應(yīng)的脊線附近對(duì)重整STFT 或重整小波變換積分,實(shí)現(xiàn)模態(tài)重構(gòu).需要注意的是,SST 要求模態(tài)在時(shí)頻面上各自獨(dú)立,無(wú)法處理時(shí)頻信息交叉的情況.

EWT 是加州大學(xué)洛杉磯分校的Gilles[12]提出的,這種方法融合了經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解和小波變換的優(yōu)點(diǎn),通過(guò)峰值檢測(cè)機(jī)制對(duì)頻譜進(jìn)行分割,并在每個(gè)分割區(qū)間構(gòu)建小波濾波器,實(shí)現(xiàn)將一個(gè)復(fù)雜信號(hào)分解為一系列具有緊支撐頻譜的調(diào)頻調(diào)幅信號(hào).圖4是EWT 的模態(tài)頻譜分割示意圖[32],其中豎虛線表示檢測(cè)到的模態(tài)邊界頻率.EWT 的效果與基于頻譜分割所構(gòu)造自適應(yīng)的小波濾波器是否精確有很大關(guān)系,但對(duì)實(shí)際信號(hào)進(jìn)行準(zhǔn)確的頻譜分割是一項(xiàng)頗有挑戰(zhàn)性的任務(wù)[44].

圖4 EWT 的模態(tài)頻譜分割示意圖Fig.4 Schematic diagram of modal spectrum division of EWT

同樣來(lái)自加州大學(xué)洛杉磯分校的Dragomiretskiy等[45]在2013 年提出變分模態(tài)分解算法(Variational mode decomposition,VMD).VMD 的目標(biāo)是將輸入信號(hào)分解為一系列具有稀疏特性的模態(tài),這里的稀疏特性指的是所有模態(tài)都是集中在各自中心頻率附近的窄帶信號(hào).為了實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo),VMD 構(gòu)建了一個(gè)帶約束的變分優(yōu)化問(wèn)題,其中目標(biāo)函數(shù)是最小化所有模態(tài)的帶寬,約束條件是分解得到的模態(tài)能夠完全重構(gòu)輸入信號(hào).VMD 目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)造分為3 個(gè)步驟: 1)對(duì)每個(gè)模態(tài)進(jìn)行Hilbert 變換,得到其解析信號(hào);2)將解析信號(hào)的頻譜平移到零中頻,得到基帶信號(hào);3)利用H1高斯平滑度,估算每個(gè)模態(tài)的基帶信號(hào)帶寬,并將這些帶寬的和最小化作為目標(biāo)函數(shù).VMD 所建立的優(yōu)化問(wèn)題可以通過(guò)交替方向乘子法在頻域求解,最終得到輸入信號(hào)中包含的模態(tài)和對(duì)應(yīng)的中心頻率.

與之前基于經(jīng)驗(yàn)的信號(hào)分解方法不同,VMD的目標(biāo)函數(shù)具有較完備的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ),它的求解公式表明,VMD 在本質(zhì)上是一個(gè)自適應(yīng)最優(yōu)Wiener濾波器組,其中心頻率如圖5 中豎虛線所示[32].由于其優(yōu)良的特性,VMD 一經(jīng)提出,就受到了極大的關(guān)注,目前已成功在機(jī)械故障診斷[46]、風(fēng)速預(yù)測(cè)[47]、疾病診斷[48]、金融數(shù)據(jù)分析[49]、新型冠狀病毒肺炎預(yù)測(cè)[50]等領(lǐng)域得到應(yīng)用.

圖5 VMD 原理示意圖Fig.5 Schematic diagram of VMD principle

VMD 的出現(xiàn)是信號(hào)分解領(lǐng)域研究的一個(gè)分水嶺.在此之前,以EMD 為代表的基于經(jīng)驗(yàn)的分解方法雖然得到了廣泛的關(guān)注與應(yīng)用,但在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論方面的進(jìn)展艱難而緩慢,以至于EMD 最開(kāi)始被提出的時(shí)候頗有爭(zhēng)議,甚至受到了質(zhì)疑[51].VMD的出現(xiàn)改變了信號(hào)分解方法研究全憑經(jīng)驗(yàn)的現(xiàn)狀,提供了具有堅(jiān)實(shí)數(shù)學(xué)優(yōu)化理論的研究視角.但是VMD 也有一些不足,例如VMD 的分解性能與模態(tài)數(shù)量K和懲罰系數(shù)α這兩個(gè)參數(shù)密切相關(guān),并且這兩個(gè)參數(shù)無(wú)法自適應(yīng)獲得,需要用戶事先指定.

目前,對(duì)于VMD 的主要改進(jìn)工作也集中在如何確定這兩個(gè)參數(shù)的問(wèn)題上.這些改進(jìn)VMD 參數(shù)依賴性的方法可分為兩類(lèi): 1)固定懲罰系數(shù)α,通過(guò)窮舉法迭代優(yōu)化模態(tài)數(shù)量K.例如Li 等[52]使用近似完全重構(gòu)的判據(jù),來(lái)確定合適的模態(tài)數(shù)量;Lian等[53]通過(guò)判斷提取出來(lái)的模態(tài)特性,來(lái)選取合適的模態(tài)數(shù)量;Cai 等[54]利用傅里葉變換得到的頻譜,作為判斷模態(tài)數(shù)量是否合適的標(biāo)準(zhǔn).上述這類(lèi)改進(jìn)方法雖然簡(jiǎn)單,但由于VMD 的性能受到模態(tài)數(shù)量K和懲罰系數(shù)α的共同調(diào)節(jié)[55],只考慮模態(tài)數(shù)量的作用存在一定的風(fēng)險(xiǎn).2)同時(shí)對(duì)模態(tài)數(shù)量K和懲罰系數(shù)α進(jìn)行優(yōu)化.這類(lèi)方法的思路是,首先,針對(duì)特定的應(yīng)用場(chǎng)景,構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù);然后,使用一些啟發(fā)式智能算法,對(duì)參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu).如人工魚(yú)群算法[56]和蝗蟲(chóng)算法[57]等.盡管這類(lèi)基于智能尋優(yōu)的改進(jìn)方法考慮了模態(tài)數(shù)量K和懲罰系數(shù)α這兩個(gè)參數(shù),但這些改進(jìn)方法沒(méi)有觸及VMD 的本質(zhì),且有效性受限于特定場(chǎng)景下的適應(yīng)度函數(shù)和優(yōu)化算法,難以推廣到其他場(chǎng)景.為了解決VMD 的參數(shù)選取問(wèn)題,Chen等[58]提出一種自整定變分模態(tài)分解算法(Self-tuning variational mode decomposition,SVMD).SVMD 將VMD 的目標(biāo)函數(shù)由同時(shí)提取K個(gè)模態(tài)改進(jìn)為每次只提取一個(gè)模態(tài),且在提取模態(tài)的過(guò)程中,懲罰系數(shù)α不再采用固定值,而是會(huì)根據(jù)信號(hào)特點(diǎn)自適應(yīng)地對(duì)α進(jìn)行更新.

VMD 實(shí)際上只是對(duì)窄帶信號(hào)的分解效果較好,這意味著基于VMD 的方法處理帶寬較大時(shí)變信號(hào)的能力非常有限.為了解決這個(gè)問(wèn)題,2017 年,Chen等[59]提出非線性調(diào)頻模態(tài)分解算法(Nonlinear chirp mode decomposition,NCMD).NCMD 通過(guò)解調(diào)技術(shù)[60],將帶寬較寬的時(shí)變信號(hào)進(jìn)行頻率解調(diào),可以使之轉(zhuǎn)換為窄帶信號(hào).NCMD 頻率解調(diào)過(guò)程如圖6 所示[59],圖中曲線、上方橫線和下方橫線分別表示原信號(hào)、解調(diào)信號(hào)和基帶信號(hào)的時(shí)頻曲線,BW和 B Wmin分別表示原始信號(hào)和解調(diào)信號(hào)的帶寬.利用這一特性,NCMD 將信號(hào)分解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解調(diào)問(wèn)題,并建立了帶約束的非線性調(diào)頻模態(tài)變分優(yōu)化模型.

圖6 NCMD 頻率解調(diào)過(guò)程示意圖Fig.6 Schematic diagram of NCMD frequency demodulation process

與VMD 類(lèi)似,NCMD 亦采用了交替方向乘子法求解所提出的變分優(yōu)化模型.求解所得更新公式表明,NCMD 可以被視為一個(gè)時(shí)頻濾波器組,該濾波器組的中心頻率就是估計(jì)得到的瞬時(shí)頻率.NCMD 的計(jì)算過(guò)程可以概括為: 首先,用當(dāng)前估計(jì)得到的瞬時(shí)頻率對(duì)解調(diào)的正交信號(hào)進(jìn)行迭代更新;然后,通過(guò)反正切解調(diào)技術(shù)[61],利用正交信號(hào)的相位信息進(jìn)一步更新瞬時(shí)頻率;重復(fù)上述兩個(gè)步驟,直到解調(diào)后的信號(hào)具有最窄的頻帶.與VMD 相比,NCMD 的最大優(yōu)勢(shì)在于能夠處理非平穩(wěn)信號(hào),并提供準(zhǔn)確的時(shí)頻信息.雖然NCMD 提出的時(shí)間很短,但是由于其在非平穩(wěn)信號(hào)時(shí)頻分析上的出色性能,目前已被應(yīng)用于碰撞摩擦故障檢測(cè)[62]、生理信號(hào)監(jiān)測(cè)[63]、高速鐵路故障診斷[64]等領(lǐng)域.值得指出的是,雖然NCMD 相比于VMD 有較大優(yōu)勢(shì),但NCMD也具有和VMD 類(lèi)似的不足,即分解性能依賴先驗(yàn)知識(shí),要求使用者預(yù)先指定分解模態(tài)數(shù)量和懲罰系數(shù).

為了解決這個(gè)問(wèn)題,Chen 等[65]提出NCMD 的改進(jìn)版本,稱為自適應(yīng)調(diào)頻模態(tài)分解算法(Adaptive chirp mode decomposition,ACMD),并將其成功應(yīng)用到旋轉(zhuǎn)機(jī)械的碰撞摩擦故障檢測(cè)中[62].ACMD采用一種類(lèi)似于匹配追蹤[31,34]的貪婪算法,對(duì)信號(hào)模態(tài)逐一進(jìn)行遞歸估計(jì),直到提取出信號(hào)中的所有的模態(tài).雖然ACMD 在自適應(yīng)時(shí)頻分析上顯示出重大優(yōu)勢(shì),但Chen 等[66-68]發(fā)現(xiàn),ACMD 算法的停止條件對(duì)旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障信號(hào)比較有效,但在分解工業(yè)過(guò)程振蕩信號(hào)時(shí),頻繁出現(xiàn)難以收斂導(dǎo)致過(guò)分解問(wèn)題,因此改進(jìn)了ACMD 算法的收斂判據(jù),提出快速自適應(yīng)調(diào)頻模態(tài)分解算法[67],緩解了ACMD 過(guò)分解問(wèn)題,并減少了分解用時(shí).

與NCMD 同年,Chen 等[69-70]提出本征調(diào)頻模態(tài)分解算法(Intrinsic chirp mode decomposition,ICMD).考慮到很多應(yīng)用場(chǎng)景采集的信號(hào)模態(tài)的瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)幅值具有連續(xù)光滑的特性,ICMD 采用傅里葉級(jí)數(shù)或多項(xiàng)式函數(shù)逼近模態(tài)的瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)幅值,從而構(gòu)造了一種通用的非線性調(diào)頻模態(tài)參數(shù)化模型,能夠有效刻畫(huà)不同調(diào)制程度的信號(hào)分量.在此模型基礎(chǔ)上,ICMD 利用廣義參數(shù)化時(shí)頻變換方法[71]估計(jì)模態(tài)的瞬時(shí)頻率,進(jìn)而通過(guò)正則化最小二乘法估計(jì)模態(tài)的瞬時(shí)幅值,最終實(shí)現(xiàn)信號(hào)模態(tài)的重構(gòu).ICMD 在非平穩(wěn)信號(hào)的分解效果上,與NCMD 難分伯仲,但由于ICMD 并未采用NCMD所使用的交替方向乘子法這種迭代式的優(yōu)化方法,而是采用簡(jiǎn)單的最小二乘法,即可得到結(jié)果,因此在算法復(fù)雜度上,ICMD 具有顯著優(yōu)勢(shì).目前,ICMD已被成功應(yīng)用于信號(hào)消噪[72]、雷達(dá)信號(hào)處理[73]、機(jī)械故障診斷[74]等領(lǐng)域.

本節(jié)對(duì)眾多單變量信號(hào)分解方法進(jìn)行了介紹和分析,選擇EMD、VMD 和NCMD 作為代表方法進(jìn)行案例驗(yàn)證,其中EMD 是最經(jīng)典的信號(hào)分解方法,已得到廣泛關(guān)注和應(yīng)用,因此選之作為經(jīng)驗(yàn)性信號(hào)分解方法的代表;VMD 是信號(hào)分解研究由經(jīng)驗(yàn)性轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)優(yōu)化建模的標(biāo)志性方法,因此選之作為基于優(yōu)化的信號(hào)分解方法的代表;NCMD 是最近提出的能處理時(shí)變信號(hào)的分解方法,推動(dòng)了基于優(yōu)化的信號(hào)分解方法向縱深發(fā)展,因此選之作為近年提出的有較大影響力的信號(hào)分解方法的代表.本文以單變量信號(hào)(1)為例,它包含3 個(gè)模態(tài),其中2 個(gè)模態(tài)是固定頻率的正弦函數(shù),頻率分別是10 Hz 和30 Hz,最后一個(gè)模態(tài)具有時(shí)變瞬時(shí)頻率(50+20t)Hz,信號(hào)中加入了一定程度的噪聲:

EMD、VMD 和NCMD 的分解結(jié)果如圖7、圖8和圖9 所示,圖中x為原始信號(hào),IMF 為分解所得模態(tài).可以看出,EMD 的第1 個(gè)模態(tài)提取得較好,但第2 個(gè)模態(tài)和第3 個(gè)模態(tài)之間出現(xiàn)了明顯的模態(tài)混疊效應(yīng),這是EMD 的典型問(wèn)題;VMD 由于其原理所限,難以處理帶寬較大的時(shí)變信號(hào),因此其分解結(jié)果受時(shí)變模態(tài)的影響,出現(xiàn)了很大誤差;而NCMD 由于其算法中采用了解調(diào)算子處理時(shí)變瞬時(shí)頻率,能夠做到不受時(shí)變瞬時(shí)頻率的影響,正確提取出了3 個(gè)模態(tài).這些實(shí)驗(yàn)結(jié)果與本文中對(duì)各個(gè)方法的分析是一致的.

圖7 EMD 分解結(jié)果Fig.7 The decomposition results of EMD

圖8 VMD 分解結(jié)果Fig.8 The decomposition results of VMD

圖9 NCMD 分解結(jié)果Fig.9 The decomposition results of NCMD

綜上所述,歷經(jīng)20 余年的發(fā)展,單變量信號(hào)分解研究取得了豐碩成果,已成為現(xiàn)代信號(hào)處理領(lǐng)域的研究熱點(diǎn).本文將常見(jiàn)方法根據(jù)其作用域分為時(shí)域、頻域和時(shí)頻域等多個(gè)類(lèi)別,并在表1 總結(jié)了它們的優(yōu)點(diǎn)和局限性.

表1 常見(jiàn)單變量信號(hào)分解方法歸類(lèi)總結(jié)Table 1 Classification and summary of common univariate signal decomposition methods

3 多元信號(hào)分解

3.1 多元信號(hào)分解方法

雖然基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的非平穩(wěn)信號(hào)分解和時(shí)頻分析工作在蓬勃發(fā)展,但拓展現(xiàn)有的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法來(lái)處理非平穩(wěn)多變量/多通道/多元信號(hào),也引起了學(xué)術(shù)界和工程界的極大興趣[75-76].由于傳感器和計(jì)算機(jī)技術(shù)的進(jìn)步,在現(xiàn)代科學(xué)和工程應(yīng)用中,廣泛存在對(duì)多變量/多通道/多元類(lèi)型的數(shù)據(jù)處理方法的需求[77],例如基于多通道腦電[78]或心電信號(hào)[79]的分類(lèi)、多變量信號(hào)消噪[80-81]、圖像融合[14]等.針對(duì)非平穩(wěn)數(shù)據(jù)的多變量信號(hào)分解與時(shí)頻分析技術(shù)的主要挑戰(zhàn)有以下兩點(diǎn): 1)具有模態(tài)齊整特性.即不同通道中具有相同或相似的頻率的模態(tài)出現(xiàn)在同一尺度[82].2)提取出多通道之間的相關(guān)信息[83].在信號(hào)分解領(lǐng)域的研究中,多元、多通道和多變量表示相同的意思.圖10 給出了多元/多通道/多變量信號(hào)分解領(lǐng)域的一些術(shù)語(yǔ)解釋,以便理解本文后續(xù)內(nèi)容.

圖10 多元/多通道/多變量信號(hào)分解領(lǐng)域術(shù)語(yǔ)的圖形化解釋Fig.10 Graphical interpretation of terms in multivariate signal decomposition

最直接的多變量信號(hào)處理方法是使用單變量的方法,逐一、單獨(dú)分析多變量信號(hào)的每一個(gè)通道.但文獻(xiàn)[75,83-84]指出,對(duì)于多變量信號(hào),如果采用單變量信號(hào)分解技術(shù)逐一處理每個(gè)變量,會(huì)導(dǎo)致信息泄露和變量之間相關(guān)信息缺失等問(wèn)題,且不滿足模態(tài)齊整[75]的要求.因此,需要為單變量信號(hào)分解方法應(yīng)用至多變量情形開(kāi)發(fā)特定的拓展方法,以便直接在多變量信號(hào)所在的多維空間里處理多變量信號(hào).這也是研究者們開(kāi)展多元信號(hào)分解研究的目的.參照文獻(xiàn)[85]的案例,本文以單變量ICMD 和多變量ICMD 處理多變量信號(hào)(2)為例:

單變量和多變量信號(hào)分解方法處理多變量信號(hào)(2)結(jié)果見(jiàn)圖11 和圖12.可以看出,用單變量方法分解多變量信號(hào)時(shí),不僅無(wú)法滿足模態(tài)齊整要求,而且分解誤差也較大;反之,多變量信號(hào)分解方法的性能令人滿意,分解所得模態(tài)的誤差較小,不同通道中具有相似頻率的成分也位于同一個(gè)尺度,滿足模態(tài)齊整性質(zhì)要求.因此,研究多變量信號(hào)分解方法處理多變量信號(hào)是十分必要和有意義的.

圖11 單變量ICMD 分解多變量信號(hào)的結(jié)果Fig.11 The decomposition results of multivariate signals by the univariate ICMD

圖12 多變量ICMD 分解多變量信號(hào)的結(jié)果Fig.12 The decomposition results of multivariate signals by the multivariate ICMD

多變量信號(hào)分解工作是從EMD 應(yīng)用于復(fù)數(shù)信號(hào)處理開(kāi)始的.2007 年,Tanaka 等[86]基于復(fù)數(shù)域的性質(zhì),巧妙地利用了原始的EMD,來(lái)分解二元時(shí)間序列,并把這種方法命名為CEMD (Complex empirical mode decomposition),揭開(kāi)了數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)信號(hào)分解與時(shí)頻分析方法向多變量拓展的序幕.但Tanaka 等[86]的CEMD 僅局限于處理復(fù)數(shù)信號(hào),不適用于三變量以上情況.此外,CEMD 無(wú)法保證復(fù)數(shù)信號(hào)的實(shí)部和虛部分解所得的IMF 數(shù)量一致,因此這種思路的適用性非常有限.隨后,Altaf 等[87]將EMD 中的單變量的“振蕩”與雙變量的“旋轉(zhuǎn)”概念相對(duì)應(yīng),認(rèn)為雙變量信號(hào)是快速旋轉(zhuǎn)和慢速旋轉(zhuǎn)的疊加,并給出了復(fù)數(shù)空間中極值的定義,在此基礎(chǔ)上,提出旋轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)EMD (Rotation complex empirical mode decomposition,RCEMD).

遺憾的是,Altaf 等[87]的工作只將這個(gè)思路應(yīng)用到了復(fù)數(shù)信號(hào)上,并未充分挖掘其潛能.很快,Rilling等[84]受RCEMD 的啟發(fā),將雙變量輸入信號(hào)通過(guò)投影映射到單位圓上,并在此基礎(chǔ)上,清晰明確地給出了在雙變量空間中信號(hào)極值、均值和包絡(luò)的定義,正式提出了雙變量EMD (Bivariate empirical mode decomposition,BEMD).BEMD 的分解原理見(jiàn)圖13,兩種二維包絡(luò)的均值計(jì)算示意圖見(jiàn)圖14[84],圖中曲線上藍(lán)點(diǎn)表示極值點(diǎn),中心紅點(diǎn)表示均值點(diǎn).圖15 進(jìn)一步對(duì)二維局部極值點(diǎn)進(jìn)行了說(shuō)明,根據(jù)微積分中局部極值點(diǎn)的相關(guān)定義,當(dāng)選擇Y軸方向?yàn)橥队胺较驎r(shí),A點(diǎn)將被視為局部極大值點(diǎn);同樣,B點(diǎn)可視為相應(yīng)的局部極小值點(diǎn).因此,以投影方向?yàn)榛鶞?zhǔn),可將多變量數(shù)據(jù)的極值點(diǎn)與投影方向的極值點(diǎn)一一對(duì)應(yīng),構(gòu)成了后來(lái)基于高維空間投影的多變量信號(hào)分解技術(shù)的基礎(chǔ).

圖15 二維局部極值點(diǎn)示例Fig.15 Example of two-dimensional local extreme points

Ur Rehman 等[88]意識(shí)到Rilling 等[84]的雙變量拓展思路可以被推廣到更多變量的情形.Ur Rehman等[88]通過(guò)在高維空間中,建立均勻分布的投影向量集,分別計(jì)算輸入信號(hào)在各個(gè)方向上的投影包絡(luò)線,然后通過(guò)計(jì)算包絡(luò)線的均值,定義多變量信號(hào)的局部均值函數(shù),并在此基礎(chǔ)上,提出三變量EMD (Trivariate empirical mode decomposition,TEMD)[88]、四變量EMD (Quadrivariate empirical mode decomposition,QEMD)[89]和多變量EMD (Multivariate empirical mode decomposition,MEMD)算法[75].Ur Rehman 等[75]提出的MEMD 算法正式開(kāi)啟了多變量信號(hào)分解與時(shí)頻分析的新時(shí)代,迅速受到了來(lái)自各個(gè)領(lǐng)域研究人員的關(guān)注.目前,已被應(yīng)用于腦機(jī)接口[90]、設(shè)備診斷[91]、因果分析[92]、地球物理[93]、生物醫(yī)學(xué)[78]等諸多領(lǐng)域.然而,MEMD 也繼承了原始EMD 的所有局限性,例如對(duì)采樣頻率敏感、噪聲魯棒性差以及EMD 算法的經(jīng)驗(yàn)性.此外,MEMD隨著輸入信號(hào)數(shù)目的增加,計(jì)算量會(huì)出現(xiàn)指數(shù)型增長(zhǎng).為了提高M(jìn)EMD 的計(jì)算效率,Lang 等[94]提出快速M(fèi)EMD 算法(Fast multivariate empirical mode decomposition,FMEMD),重新定義了多變量IMF 的基本概念,并在此基礎(chǔ)上,架構(gòu)了FMEMD與EMD 方法之間的映射關(guān)系,使得FMEMD 計(jì)算量與輸入信號(hào)的數(shù)量無(wú)關(guān).FMEMD 中一個(gè)雙變量信號(hào)及其投影信號(hào)、局部均值和多變量IMF 的示意圖見(jiàn)圖16、圖17、圖18 和圖19.

圖16 雙變量信號(hào)Fig.16 Bivariate signal

圖17 雙變量信號(hào)的投影信號(hào)Fig.17 Projection signal of bivariate signal

圖19 多變量IMFFig.19 Multivariate IMF

Lang 等[95-96]創(chuàng)造性地提出了兩種多變量形式的ITD 算法,分別稱為間接多變量ITD (Indirect multivariate intrinsic time-scale decomposition,IMITD)和直接多變量ITD (Direct multi-variate intrinsic time-scale decomposition,DMITD).IMITD 與FMEMD 的思路相似,即通過(guò)定義多變量與單變量運(yùn)算空間映射關(guān)系,架構(gòu)超定線性方程組,以求解多變量分解結(jié)果.需要指出的是,IMITD 使用Halton-Hammersley 采樣技術(shù)獲得高維空間的采樣點(diǎn).與使用等角度采樣技術(shù)獲得的采樣點(diǎn)相比,Halton-Hammersley 采樣可以使得采樣點(diǎn)對(duì)高維空間的覆蓋更加均勻.

等角度采樣和Halton-Hammersley 序列采樣在三維球體上的采樣點(diǎn)見(jiàn)圖20 和圖21.可以看出,等角度采樣結(jié)果在球體兩極更為集中,不利于后續(xù)的均勻投影操作.IMITD 在局部特征處理上,比MEMD 的效果要好,計(jì)算效率也較低,但如果投影方向選擇不恰當(dāng),會(huì)導(dǎo)致IMITD 不能正確提取出期望的基線,從而引起IMITD 分解產(chǎn)物沒(méi)有物理意義.

圖20 等角度采樣Fig.20 Uniform angle sampling

圖21 Halton-Hammersley 序列采樣Fig.21 Halton-Hammersley sequences based sampling

DMITD 是通過(guò)恰當(dāng)定義多變量極值點(diǎn)、多變量基線節(jié)點(diǎn)和多變量基線算子等概念,直接拓展ITD 算法至多變量情形,實(shí)現(xiàn)ITD 算法在多變量空間的運(yùn)算操作.與IMITD 相比,DMITD 對(duì)投影方向的魯棒性要好一些,但運(yùn)算效率低.上述多變量信號(hào)分解方法都繼承了與之相對(duì)應(yīng)的單變量信號(hào)分解的缺陷,例如模態(tài)混疊與端點(diǎn)效應(yīng).此外,由于這些方法的思路是通過(guò)將多變量輸入信號(hào)投影映射到高維的空間中再分解,因此效果均與投影向量的數(shù)目和方向有關(guān).目前還沒(méi)有明確的依據(jù)來(lái)確定投影方案,相關(guān)研究尚待完善.

多變量SST (Multivariate synchrosqueezed transform,MSST)[97]和多變量EWT (Multivariate empirical wavelet transform,MEWT)[98]放棄了將輸入多變量信號(hào)投影映射到高維空間的做法,開(kāi)辟了基于小波變換的多變量信號(hào)處理新思路.具體地,MSST 首先對(duì)每個(gè)信號(hào)通道分別應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)SST 算法;然后,對(duì)時(shí)頻域進(jìn)行自適應(yīng)劃分,以分離輸入數(shù)據(jù)中的單模態(tài)多變量振蕩;最后,估計(jì)出多變量瞬時(shí)頻率和幅值,并在此基礎(chǔ)上,計(jì)算出一個(gè)多變量同步壓縮變換算子.MSST 可以得到多變量信號(hào)清晰的時(shí)頻譜,對(duì)于探索性的數(shù)據(jù)分析非常有用.但MSST 只給出了時(shí)頻譜表達(dá),不能重構(gòu)模態(tài),因此MSST 的應(yīng)用范圍是有限的[97].MEWT 首先采用模態(tài)估計(jì)過(guò)程來(lái)獲取多變量數(shù)據(jù)中的最優(yōu)信號(hào);然后,對(duì)其相應(yīng)的頻譜進(jìn)行分割,以恢復(fù)出所有輸入信號(hào)通道中的所有模態(tài).這種方法存在EWT 固有的缺陷,即需要基于有效的頻譜分割來(lái)顯式構(gòu)造自適應(yīng)小波濾波器組[98],這個(gè)缺陷對(duì)實(shí)際物理系統(tǒng)中的信號(hào),難以做到頻譜的有效分割.

2019 年,受單變量調(diào)制振蕩信號(hào)推廣至多變量形式的啟發(fā)[99-100],Ur Rehman 等[83]提出多變量VMD算法(Multivariate variational mode decomposition,MVMD).雖然2017 年Wang 等[101]就提出了復(fù)數(shù)VMD (Complex variational mode decomposition,CVMD),但CVMD 遭遇了與CEMD 一樣的問(wèn)題,即僅局限于處理復(fù)數(shù)信號(hào),不適用于三變量以上的情況,且無(wú)法保證復(fù)數(shù)信號(hào)的實(shí)部和虛部分解所得的IMF 數(shù)量一致,因此這種思路的適用性非常有限.MVMD 從輸入多變量信號(hào)中,尋找一組共同的多變量調(diào)制振蕩,這些振蕩在完全重構(gòu)輸入數(shù)據(jù)所有通道的同時(shí),具有最小的帶寬和.MVMD是極具潛力的多變量信號(hào)分解方法,這種拓展形式不僅繼承了標(biāo)準(zhǔn)VMD 的許多理想性質(zhì),還展現(xiàn)出優(yōu)良的模態(tài)齊整特性.MVMD 現(xiàn)已在風(fēng)機(jī)故障診斷[102]、腦電信號(hào)檢測(cè)[103]、基因工程[104]和信號(hào)消噪[105]等領(lǐng)域得到成功應(yīng)用.但 MVMD 直接將模態(tài)頻譜的重心的估計(jì)作為中心頻率,因此不適宜處理帶寬較大的時(shí)變信號(hào).此外,MVMD 也不能直觀地提供時(shí)頻信息.

目前,大多數(shù)多變量信號(hào)處理方法局限于處理窄帶信號(hào),對(duì)時(shí)變信號(hào)的分解能力有限,因此Chen 等[77]受MVMD 的啟發(fā),提出多變量非線性調(diào)頻模態(tài)分解算法(Multivariate nonlinear chirp mode decomposition,MNCMD),解決了連續(xù)時(shí)變條件下多變量信號(hào)分解與時(shí)頻分析問(wèn)題.MNCMD 現(xiàn)已被成功應(yīng)用于過(guò)程控制系統(tǒng)中的復(fù)雜多重廠級(jí)振蕩根因分析[106-107].MNCMD 雖然在時(shí)變多元信號(hào)分解與時(shí)頻表示任務(wù)上性能突出,但是它的計(jì)算復(fù)雜度較高,達(dá)到隨后,Chen等[85,108]進(jìn)一步結(jié)合傅里葉級(jí)數(shù)建模,提出多變量本征調(diào)頻模態(tài)分解算法(Multivariate intrinsic chirp mode decomposition,MICMD),能夠以 O (N) 復(fù)雜度達(dá)到與MNCMD相似的時(shí)變多元信號(hào)分解和時(shí)頻分析效果.

本節(jié)選用MEMD、MVMD 和MNCMD 作為代表性方法,進(jìn)行案例驗(yàn)證實(shí)驗(yàn).其中,MEMD 使用了高維空間投影的方式進(jìn)行多變量拓展,也是第1 個(gè)多變量信號(hào)分解方法,因此選之作為以高維空間投影進(jìn)行多變量拓展的代表方法;MVMD 使用了多元調(diào)制振蕩的方式進(jìn)行多變量拓展,因此選之作為這種多變量拓展方式的代表;MNCMD 是最近提出的能處理時(shí)變多元信號(hào)的分解方法,因此選之以展示對(duì)時(shí)變多元信號(hào)的處理能力.

本文以多變量信號(hào)(3)為例,該信號(hào)由四個(gè)通道組成:x1通道包含一個(gè)時(shí)變模態(tài)和兩個(gè)時(shí)不變模態(tài),x2通道只包含一個(gè)時(shí)變模態(tài),x3通道包含兩個(gè)時(shí)不變模態(tài),x4通道包含一個(gè)時(shí)變模態(tài)和一個(gè)時(shí)不變模態(tài).信號(hào)中加入了噪聲:

MEMD、MVMD 和MNCMD 的分解結(jié)果見(jiàn)圖22、圖23 和圖24,圖中第1 行為原始信號(hào),IMF1～I(xiàn)MF5為分解所得模態(tài).可以看出,在MEMD的分解結(jié)果中,產(chǎn)生了很多冗余模態(tài),雖然在該結(jié)果中,時(shí)不變模態(tài)提取的效果不錯(cuò),但時(shí)變模態(tài)出現(xiàn)了嚴(yán)重的分裂現(xiàn)象;MVMD 雖然避免了MEMD產(chǎn)生冗余模態(tài)過(guò)多問(wèn)題,但由于其原理所限,分解結(jié)果中的時(shí)變模態(tài)誤差很大,尤其是在時(shí)變模態(tài)的高頻部分,有一部分直接泄露到了第2 個(gè)模態(tài)中;而MNCMD 能夠很好地提取出這些時(shí)變和時(shí)不變模態(tài),并且表現(xiàn)出模態(tài)齊整性.這些實(shí)驗(yàn)結(jié)果與本文中對(duì)各方法優(yōu)缺點(diǎn)的分析是一致的.

圖22 MEMD 的分解結(jié)果Fig.22 The decomposition results of MEMD

圖23 MVMD 的分解結(jié)果Fig.23 The decomposition results of MVMD

圖24 MNCMD 的分解結(jié)果Fig.24 The decomposition results of MNCMD

綜上所述,多元信號(hào)分解歷經(jīng)10 余年的發(fā)展,涌現(xiàn)了諸多多元信號(hào)分解拓展方式,例如高維空間投影和多元調(diào)制振蕩等,提出了很多各具特點(diǎn)的多元信號(hào)分解方法.隨著多元信號(hào)分解研究的興起與蓬勃發(fā)展,研究者們?cè)诖诉^(guò)程中發(fā)現(xiàn)了新的問(wèn)題,給出了新的定義,發(fā)展了新的概念,揭示了新的性質(zhì),極大豐富了信號(hào)分解的研究和應(yīng)用范圍.表2總結(jié)了主要多元信號(hào)分解方法的優(yōu)點(diǎn)和局限性.

表2 多元信號(hào)分解方法歸類(lèi)總結(jié)Table 2 Classification and summary of multivariate signal decomposition methods

3.2 多元信號(hào)分解應(yīng)用

多元信號(hào)分解方法已經(jīng)在很多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用.本文以生物醫(yī)學(xué)工程、工業(yè)控制系統(tǒng)、機(jī)械故障監(jiān)測(cè)、時(shí)間序列預(yù)測(cè)等領(lǐng)域的研究為例,進(jìn)行說(shuō)明.

1)在生物醫(yī)學(xué)工程領(lǐng)域,多元信號(hào)分解方法的典型應(yīng)用是心電信號(hào)ECG (Electroen cephalo gram)和腦電信號(hào)EEG 的處理.ECG 信號(hào)是反映心臟基本功能和病理信息的重要參考值.ECG 信號(hào)的采集需要在胸部的右上、左上、左下和右下側(cè)連接多個(gè)導(dǎo)聯(lián),以觀察心電圖的變化,這就構(gòu)成了多個(gè)信號(hào)通道,形成了多變量信號(hào).例如文獻(xiàn)[109-110]使用MEMD 處理ECG 信號(hào),移除了基線漂移的影響,提高了心血管疾病診斷的準(zhǔn)確性.在進(jìn)行腦電數(shù)據(jù)采集時(shí),通常會(huì)根據(jù)需要選取不同數(shù)量的導(dǎo)聯(lián)或電極點(diǎn),在不同的腦區(qū)采集EEG 信號(hào),這就形成了多變量EEG 信號(hào).在腦機(jī)接口研究中,各種復(fù)雜腦電信號(hào)的非穩(wěn)定性和多通道性一直阻礙著常規(guī)基于基函數(shù)信號(hào)處理方法的應(yīng)用及多通道同步分析.文獻(xiàn)[78,111]利用MEMD 提取多通道腦電信號(hào)中的特征,提升了癲癇疾病診斷效果.文獻(xiàn)[112]利用MVMD 分析多通道腦電信號(hào)的時(shí)頻特征,并在人類(lèi)情感識(shí)別任務(wù)中取得了優(yōu)異的性能.

2)在工業(yè)控制系統(tǒng)中,多變量信號(hào)分解方法在性能評(píng)估上也得到了廣泛應(yīng)用.由于控制系統(tǒng)的大規(guī)模、高集成、強(qiáng)耦合的特點(diǎn)[113-114],不同設(shè)備或單元之間會(huì)相互影響,極易在系統(tǒng)的多個(gè)部位表現(xiàn)出相似的故障特征.典型的例子是過(guò)程控制系統(tǒng)中的廠級(jí)振蕩.控制系統(tǒng)規(guī)模龐大、機(jī)理復(fù)雜,使得廠級(jí)振蕩表現(xiàn)出非線性、非平穩(wěn)、多模態(tài)、強(qiáng)噪聲等特征,這影響了廠級(jí)振蕩的檢測(cè)和診斷效果,嚴(yán)重時(shí)甚至威脅整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和安全性[115].文獻(xiàn)[95,116-117]分別使用了MEMD、MITD 和MNCMD,對(duì)不同的工業(yè)控制系統(tǒng)廠級(jí)振蕩數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,一致認(rèn)為,多元信號(hào)分解方法是目前廠級(jí)振蕩檢測(cè)最主流和最有效的手段之一,有利于提升控制系統(tǒng)性能水平.

3)近年來(lái),多變量信號(hào)分解方法在機(jī)械故障監(jiān)測(cè)領(lǐng)域得到了較多關(guān)注.例如文獻(xiàn)[118]將MEMD與Teager 能量譜結(jié)合,獲取信號(hào)的故障特征信息,實(shí)現(xiàn)微小故障特征的提取,并在核主泵軸承外圈早期故障檢測(cè)實(shí)際任務(wù)中的表現(xiàn)優(yōu)于基于EMD 的方法.文獻(xiàn)[119]在改進(jìn)MVMD 自適應(yīng)性的基礎(chǔ)上,實(shí)現(xiàn)了一種具有突出優(yōu)勢(shì)的軸承故障診斷方法.文獻(xiàn)[120]利用MNCMD 能處理時(shí)變多元信號(hào)的特點(diǎn),實(shí)現(xiàn)了對(duì)轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)在非平穩(wěn)過(guò)程(如啟動(dòng)和關(guān)閉)中,瞬時(shí)振動(dòng)狀態(tài)的實(shí)時(shí)分析與監(jiān)測(cè).

4)多變量信號(hào)分解可以用于提升多變量時(shí)間序列預(yù)測(cè)性能.因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)時(shí)間序列數(shù)據(jù)往往具有高度非線性和非平穩(wěn)特征,多變量信號(hào)分解方法不僅能有效處理非線性和非平穩(wěn)因素,還能充分保留變量之間的相關(guān)信息,以提升多變量時(shí)間序列預(yù)測(cè)性能.文獻(xiàn)[121]提出一種基于MEMD 和支持向量回歸的混合預(yù)測(cè)模型,它的新穎之處主要在于MEMD的應(yīng)用,使得多元數(shù)據(jù)分解能夠有效提取不同相關(guān)變量之間的固有信息.在多個(gè)數(shù)據(jù)集上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,基于MEMD 的混合模型是一種很有前景的電力峰值負(fù)荷預(yù)測(cè)方法.除了電力負(fù)荷預(yù)測(cè)之外,多元信號(hào)分解還廣泛應(yīng)用于各種行業(yè)的時(shí)間序列預(yù)測(cè),例如經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的股價(jià)指數(shù)預(yù)測(cè)[122]和原油價(jià)格預(yù)測(cè)[123]、物理學(xué)中的太陽(yáng)輻射預(yù)測(cè)[124-125]、生態(tài)環(huán)境中的空氣質(zhì)量預(yù)測(cè)[126]等.

綜上所述,多元信號(hào)分解方法并不局限應(yīng)用于某一類(lèi)場(chǎng)景,可以與多個(gè)學(xué)科交叉,為各行各業(yè)賦能,從而產(chǎn)生研究?jī)r(jià)值和應(yīng)用價(jià)值.目前,多元信號(hào)分解方法的應(yīng)用仍然在蓬勃發(fā)展中,表3 歸納總結(jié)了幾種常見(jiàn)多元信號(hào)分解方法的適用場(chǎng)景.

表3 常見(jiàn)多元信號(hào)分解方法的適用場(chǎng)景Table 3 Applicable scenarios of common multivariate signal decomposition methods

4 總結(jié)與展望

非線性和非平穩(wěn)是現(xiàn)實(shí)信號(hào)的普遍規(guī)律,時(shí)頻聯(lián)合分析技術(shù)正是應(yīng)現(xiàn)實(shí)科學(xué)研究和工程應(yīng)用需求而產(chǎn)生和發(fā)展的.瞬時(shí)頻率是研究非平穩(wěn)和非線性信號(hào)最有力的工具[127],但對(duì)于實(shí)際的非線性和非平穩(wěn)信號(hào),由于Bedrosian 定理[128]的限制,難以直接求解瞬時(shí)頻率[129].一個(gè)自然的做法是將所研究的信號(hào)分解為一個(gè)個(gè)單分量的信號(hào),每個(gè)單分量信號(hào)只包含一種振蕩模態(tài),這就是基于信號(hào)分解的時(shí)頻分析研究最初的想法.本文從單變量和多變量?jī)蓚€(gè)方面,梳理了信號(hào)分解領(lǐng)域的發(fā)展歷程與研究現(xiàn)狀,比較分析了主流信號(hào)分解方法的優(yōu)缺點(diǎn),在此基礎(chǔ)上,本文認(rèn)為未來(lái)可以從以下五個(gè)方向進(jìn)一步探索:

1)間歇信號(hào)分解理論與技術(shù).雖然Xie 等[130]結(jié)合K均值聚類(lèi)方法,提升了ITD 處理間歇信號(hào)的能力,但對(duì)于大多數(shù)方法,特別是VMD、NCMD、ICMD 等基于優(yōu)化建模的信號(hào)分解方法,均要求瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)幅值都是連續(xù)光滑函數(shù),這意味著間歇信號(hào)并不滿足這些信號(hào)分解方法的假設(shè)條件,因此現(xiàn)有的信號(hào)分解方法處理間歇信號(hào)的能力極為有限.進(jìn)一步地,目前多變量間歇信號(hào)分解理論與技術(shù)是一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題.對(duì)于MEMD、MITD、MVMD、MNCMD 和MICMD 等多元信號(hào)分解方法中出現(xiàn)的模態(tài)齊整特性,在多變量間歇信號(hào)中該如何定義和體現(xiàn),仍然是一個(gè)尚未討論的問(wèn)題.因此,研究復(fù)雜間歇信號(hào)分解理論和開(kāi)發(fā)復(fù)雜間歇信號(hào)時(shí)頻分析技術(shù),對(duì)豐富信號(hào)分解與時(shí)頻分析領(lǐng)域研究具有重要意義,也將極大拓展信號(hào)分解理論方法應(yīng)用范圍[131].

2)自適應(yīng)或無(wú)參化信號(hào)分解理論與技術(shù).雖然SVMD 等方法在一定程度上為特定的信號(hào)分解技術(shù)提供了參數(shù)整定或自適應(yīng)更新方案,但是這些方案依然會(huì)有一些超參數(shù)或閾值需要提前指定.需要注意的是,很多改進(jìn)方案(如EEMD、CEEMD (Complementary ensemble empirical mode decomposition)等),雖然提升了EMD 抗模態(tài)混疊和抗端點(diǎn)效應(yīng)的能力,但也引入了新的超參數(shù);另外,還有一些多變量拓展方式也引入了超參數(shù),例如基于高維空間投影思路的多元信號(hào)分解方法就會(huì)引入投影向量方向和數(shù)量這兩個(gè)超參數(shù).這些超參數(shù)會(huì)影響到信號(hào)分解方法在處理實(shí)際信號(hào)時(shí)的實(shí)用性和便捷性.本文認(rèn)為至少可以從以下兩個(gè)角度來(lái)緩解這個(gè)問(wèn)題: a)將已有分解方法與參數(shù)尋優(yōu)技術(shù)結(jié)合,為特定場(chǎng)景下的應(yīng)用需求提供定制化的參數(shù)整定方案[53,132-134];b)研究新的參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整的或無(wú)參化的信號(hào)分解方法,這具有相當(dāng)?shù)奶魬?zhàn)性.

3)新型多變量拓展技術(shù).多變量/多元/多通道信號(hào)分解與時(shí)頻分析研究方興未艾.對(duì)于現(xiàn)有的多變量信號(hào)分解與時(shí)頻分析技術(shù),目前主要是基于高維空間投影[75,94-95]和多變量調(diào)制振蕩[97,100]兩種多元拓展思路.基于高維空間投影方法會(huì)帶來(lái)投影向量方向和投影向量數(shù)目敏感性的問(wèn)題,基于多變量調(diào)制振蕩方法則有時(shí)會(huì)出現(xiàn)零頻分量波動(dòng)的問(wèn)題.如何解決現(xiàn)有多變量拓展技術(shù)的不足和開(kāi)發(fā)新的多變量拓展方案,是一件富有挑戰(zhàn)而又令人期待的任務(wù).

4)信號(hào)分解方法的理論完備性.對(duì)于經(jīng)典的基于經(jīng)驗(yàn)性的EMD、LMD、ITD 等方法,雖然應(yīng)用領(lǐng)域廣泛、使用效果較好,但是其缺乏嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論支持,亟待能有如Daubechies I.那樣能為小波變換奠定堅(jiān)實(shí)理論基礎(chǔ)的學(xué)者出現(xiàn),能將基于EMD的時(shí)頻分析方法置于堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)理論之上[1].對(duì)于新興的基于優(yōu)化的VMD、NCMD 等方法,雖然具備優(yōu)化模型的理論支持,但其算法收斂性和結(jié)果唯一性的證明仍然是一個(gè)懸而未決的問(wèn)題,這使得在使用這類(lèi)方法時(shí)仍然把握不足.因此,進(jìn)一步完備信號(hào)分解理論基礎(chǔ),明確算法收斂條件,對(duì)該領(lǐng)域的長(zhǎng)期化與實(shí)用化發(fā)展具有重大意義.

5)新領(lǐng)域和交叉領(lǐng)域的探索融合.信號(hào)分解屬于基礎(chǔ)的信號(hào)處理技術(shù),是工程學(xué)科的基礎(chǔ)學(xué)科,是一門(mén)“使能”學(xué)科,它既可以探索新領(lǐng)域,發(fā)現(xiàn)新需求,又可以與傳統(tǒng)學(xué)科領(lǐng)域結(jié)合起來(lái),為其他學(xué)科的傳統(tǒng)需求賦能.例如引力波的時(shí)頻分析研究[135],機(jī)械、工業(yè)控制等領(lǐng)域的故障檢測(cè)與診斷研究[136-137];復(fù)雜系統(tǒng)因果分析研究[106,117]、腦機(jī)接口與生理疾病特征識(shí)別[110]、新型冠狀病毒肺炎相關(guān)問(wèn)題分析與預(yù)測(cè)[50,138]、云計(jì)算集群中的復(fù)雜時(shí)序信號(hào)周期檢測(cè)與分解應(yīng)用[139-141].信號(hào)分解與Transformer[142]結(jié)合提出的新型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),使單變量時(shí)序預(yù)測(cè)和多變量時(shí)序預(yù)測(cè)誤差分別降低了14.8%和22.6%[143-144].諸如此類(lèi)的舊問(wèn)題與新需求廣泛存在,蓬勃發(fā)展的信號(hào)分解理論方法為這些問(wèn)題和需求的解決提供了有效的新途徑,這些新領(lǐng)域和交叉領(lǐng)域的發(fā)展,也啟發(fā)著信號(hào)分解技術(shù)新的突破方向.