葉婷

在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中，明確定義了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)．其中直觀想象是六大核心素養(yǎng)之一，要求學(xué)生通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，提升數(shù)形結(jié)合的能力，發(fā)展幾何直觀和空間想象能力，增強(qiáng)幾何直觀和空間想象思考問題的能力．同時，課程標(biāo)準(zhǔn)提出了高中數(shù)學(xué)課程的四條主線，其中之一就是數(shù)學(xué)建?；顒优c探究活動．因此，在教學(xué)中借助GeoGebra軟件，適當(dāng)開設(shè)數(shù)學(xué)實驗課，能幫助學(xué)生更好地構(gòu)建形與數(shù)的關(guān)系，培養(yǎng)空間想象能力．

數(shù)學(xué)實驗課可以根據(jù)目的分成檢驗結(jié)論和探究問題兩種類型．對結(jié)論確定或容易直觀感知的問題，可以讓學(xué)生借助電子信息技術(shù)進(jìn)行檢驗，加深對知識點的理解；而對難以想象、通過黑板不易呈現(xiàn)的空間問題，則需要教師對學(xué)生加以引導(dǎo)，設(shè)置遞進(jìn)式的問題，逐步探究，以達(dá)到問題的解決，這個過程中信息技術(shù)的應(yīng)用顯得尤為重要．在各種數(shù)學(xué)軟件中，GeoGebra軟件非常適合高中數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)，也方便學(xué)生自主操作，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣．

空間幾何中截面問題是一個教學(xué)難點，教師在黑板上畫出的圖形可視性不佳，直線與平面相互交錯，部分空間想象力較差的學(xué)生無法感知其中的點線面關(guān)系，GeoGebra軟件的輔助可以很好地解決這個問題．本文以高三“正方體的截面問題”微專題課的教學(xué)實踐為例，闡釋相關(guān)認(rèn)識與做法．

1 GeoGebra輔助下檢驗結(jié)論

課前教師在學(xué)生使用的課堂教學(xué)平板上安裝GeoGebra軟件，并制作了正方體相關(guān)的課件．課堂上教師提出以下問題．

問題1 正方體的截面圖形按照邊數(shù)分類有哪幾種？

教師要求學(xué)生試著拖動正方體棱上的三個動點MNP，，，得到不同形狀的截面圖形（如圖1～4）．

在拖動過程中，學(xué)生通過觀察得出結(jié)論：截面的邊數(shù)與正方體表面的交線條數(shù)相對應(yīng)，即正方體的截面圖形可以是三角形、四邊形、五邊形和六邊形．

問題2 截面圖形的邊之間有何關(guān)系？

學(xué)生通過直觀感知得出：當(dāng)截面與正方體的兩平行平面相交時，交線互相平行（可利用平行平面的性質(zhì)定理證明）；當(dāng)截面與正方體兩相鄰平面均相交時，交線的交點必在正方體兩相鄰平面的公共棱上（可利用基本事實三加以證明）．

由上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)出幾何體截

面圖形的兩種最常見的畫法：

（1）平行線拓展平面法，即已知平面ABC與面α的公共點A，若//BC面α，則在面α內(nèi)過A作BC的平行線AP，根據(jù)基本事實三及線面平行的性質(zhì)定理，可證出AP即為面ABC和面α的交線（如圖5）；

（2）相交線拓展平面法，即當(dāng)延長BC與面α相交于點P時，則AP為面ABC與面α的交線（如圖6）．

問題3 給出正方體1111ABCDABCD?棱上任意三點，如何作出截面圖形？

教師提議學(xué)生分組合作探究解決問題3，并給出一個研究方向的提示，即通過改變動點MNP，，位置進(jìn)行分析，并要求學(xué)生畫出MNP，，三點在不同位置時相應(yīng)的截面圖形．對此，學(xué)生在GeoGebra課件中，通過改變MNP，，三點的位置，合作討論，探究得出以下幾種情況．

（1）當(dāng)三個點MNP，，所在的棱共頂點時（如圖7），此種類型最為簡單，截面圖形即為三角形MNP；

（2）MN，不動，它們所在棱共頂點，將點P移動至底面ABCD的棱上，此時有三種可能．

第一種可能（如圖8），點P在AD上，在面ABCD中過點P作//PQMN交棱CD于點Q．即可以利用平行線拓展平面法，得到與正方體的截面圖形PQNM．

第二種可能（如圖9），點P在AD上，在面ABCD中過點P作//PQMN交棱BC于點Q．利用相交線拓展平面法，延長MN與直線11BC分別交于E，連結(jié)QE交1CC于點R，則五邊形MNRQP即為截面圖形．

其中，學(xué)生按要求畫出MNP，，三點在不同位置時相應(yīng)的截面圖形，這在教學(xué)中是一個難點．因為前面問題1、2的鋪墊，學(xué)生在GeoGebra軟件的

幫助下對正方體中的截面圖形已經(jīng)有直觀的感受，對截面與正方體表面的交線之間的關(guān)系有了一定的認(rèn)識，因此學(xué)生在作圖中可以運用平行線拓展平面或相交線拓展平面做出截面圖形．教師這時候應(yīng)留足時間讓學(xué)生完成自己的探究．

問題4 歸納出過正方體棱上不共線的三點MNP，，作截面圖形的類型．

本問題目的是引導(dǎo)學(xué)生歸納出：只要MNP，，三點的連線中至少有一條在正方體表面上，就可以快速地利用上述兩種方法得出截面圖形．通過這一“直觀感知——歸納方法——實際應(yīng)用——再次直觀感知——歸納檢驗結(jié)論”的過程，學(xué)生對截面問題的理解必定會有一個質(zhì)的提升．

接下來，教師提出最后一個問題．

問題6 滿足問題5的條件且截面圖形為六邊形時，截面圖形的周長與面積是定值嗎？

這個問題從形轉(zhuǎn)到數(shù)，要求學(xué)生通過計算判斷結(jié)果．教師可以先讓學(xué)生思考并猜想結(jié)果，再由學(xué)生自己動手，借助GeoGebra中的計算功能，選定截面圖形，進(jìn)行周長和面積的計算．那么在平面α移動的過程中，可以看到截面圖形為六邊形時，周長保持不變，而面積隨著平面α的移動而發(fā)生變化，并在截面圖形恰好為正六邊形時得到最大值（如圖16）．如果旋轉(zhuǎn)圖形后再平移點E，也可以從另一個視角觀察六邊形的變化（如圖17）．這一過程中，學(xué)生可以真實地感受到GeoGebra軟件呈現(xiàn)出的截面圖形的動態(tài)變化，這是黑板所不能達(dá)到的效果．最后讓學(xué)生通過嚴(yán)密的邏輯推理和計算來獲得結(jié)論．

在這節(jié)微專題的數(shù)學(xué)實驗課中，GeoGebra起到了至關(guān)重要的作用．首先，GeoGebra軟件操作簡便，學(xué)生可以在課堂上自主操作．同時教師通過課件既展示了直觀的空間感知、數(shù)與形之間的關(guān)系，還體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生對空間幾何體有更直觀的感受與理解，提升學(xué)生的空間想象力，獲得解決動態(tài)幾何問題的經(jīng)驗．其次在探究的過程中，教師提出適當(dāng)?shù)膯栴}引導(dǎo)學(xué)生，為學(xué)生探究思考留足時間．學(xué)生通過改變課件中的部分參量進(jìn)行觀察、思考、研究，并猜想結(jié)論，再進(jìn)行嚴(yán)格推理驗證猜想，逐步形成自身的認(rèn)知方法．

GeoGebra軟件是傳統(tǒng)教學(xué)的有力支持．教師根據(jù)教學(xué)課程的特點適當(dāng)借助GeoGebra軟件這一現(xiàn)代信息技術(shù)，幫助學(xué)生突破空間想象的限制，讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)，掌握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，提高學(xué)習(xí)的有效性．

參考文獻(xiàn)

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（本文系福州市教育科學(xué)研究“十四五”規(guī)劃2021年度課題“基于核心素養(yǎng)的GeoGebra數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的實踐研究”（項目編號：FZ2021GH019）的研究成果）