劉 楠, 宋 健

(內蒙古工業(yè)大學 理學院, 呼和浩特 010051)

0 引 言

自20世紀80年代以來,位渦(PV)理論是研究大氣海洋學的重要概念,引起大氣海洋學研究者們的廣泛關注．PV理論之所以得到科學界的重視,是由于它是大氣海洋學的一個基本性質,常用于判斷大氣海洋的特性．渦流依賴于平均PV梯度,同樣也適用于PV理論,可以充分表明大氣海洋中的不穩(wěn)定性．PV表示兩鄰近等熵面(等位溫面)之間的大氣柱在被帶到某一規(guī)定緯度并被伸縮到某一規(guī)定厚度時所有的渦度．渦流主要產生于東部邊界上升流系統(tǒng)和巴西洋流區(qū)域,隨著緯度的大幅增長而逐漸減弱[1]．其中渦旋即是渦流遇到緯向及經向誘導速度等外界因素引起的旋渦．中高緯度地區(qū),在大尺度下,大氣海洋運動學中的渦旋在基本緯向流嵌入大規(guī)模垂直切變下的不穩(wěn)定性影響是一個極其重要的研究方向[2]．在斜壓大氣下,基本緯向流通過垂直切變的影響會轉化成渦旋,在絕大多數(shù)大氣海洋系統(tǒng)中均出現(xiàn)類似于雙曲正弦的潛在渦度/流函數(shù),其呈現(xiàn)出雙渦旋狀態(tài)[3]．王爽等在其所研究的流體流動產生的垂直速度分量,同樣導致渦旋的形成[4]．Flierl的線性計算結果表明,渦旋在受到斜壓擾動后,向西移動的同時會輻射 Rossby波,然而不存在衰變的情況．對于渦旋的移動速度, 會呈現(xiàn)色散關系, 發(fā)生色散會使其衰減得很快, 與之相反的是當渦旋受到一個非線性的影響時, 依然可以清晰地顯現(xiàn)出Rossby波的傳播軌跡[5]．Arbic和Flierl提出在質量上將無黏性和自由衰變的流動,擴展成分層、強迫和耗散的流動[3]．通常情況下在Rossby波穩(wěn)定輻射下的斜壓渦旋導致向西或者向東緯向傳播的一個結果[6]．

Flierl通過上層、下層流體分別為淺水和準地轉(quasi geostrophic,QG)模式研究了輻射渦旋[5]．準地轉表示在渦度方程中,除散度項外其他各項引入地轉關系而計算的大氣大尺度運動．Pakyari和Nycander發(fā)現(xiàn),在普遍情況下,渦旋的傳播速度取決于“hetonic”機制,即由上層渦流和下層渦流之間的水平移動,其結果是,渦旋向東行進趨于穩(wěn)定; 而渦旋向西行進則恰好相反,即體現(xiàn)渦流的不穩(wěn)定性[7]．穆穆通過大氣動力學理論證實了大氣運動的基本模式-正壓與斜壓準地轉模式強解存在唯一性[8]．Sutyrin和Dewar發(fā)現(xiàn)渦流是在上下兩層結構不對稱性的偶極相互作用,或作用在兩層之間進行耦合傳播[9]．Held和Larichev在亞熱帶向西流動中發(fā)現(xiàn)壽命最長的海洋渦旋[10],斜壓渦旋在嵌入大規(guī)模垂直剪切流中產生可以與β平面上的慣性Taylor柱(inertial Taylor columns)相關的Rossby波相反符號的渦流[11]．慣性Taylor柱表示在旋轉流體中作緩慢移動的柱體上方,存在一個慣性與此柱體一起移動的流體柱．Sutyrin和Hesthaven等研究了長期演化的單極渦和偶極渦在PV大尺度梯度(β效應)影響下,采用等效氣壓準地轉方程進行了數(shù)值求解[12]．通常情況下,受到輻射的斜壓渦旋向西移動,這些向西傳播的渦流,其較長壽命的特點在緯度帶上占據首要地位[13]．Sutyrin在水平中深度下,研究了地球中物理渦的壽命長短,其研究成果展現(xiàn)出基本渦流參數(shù)之間的另一種聯(lián)系,這種渦旋的強化機制起到相當大的作用[14]．在β平面近似下,陳利國等分析發(fā)現(xiàn),影響非線性Rossby波的重要因素中包含推廣的β效應及切變基本流[15]．然而,這些研究僅限于基本垂直切變中Rossby波的振幅在兩層模型中的簡單演化,仍缺乏完整性[16]．

Flierl[5]和Larichev等[17]進一步推導了在無黏性的情況下,獲得了準地轉上下兩層方程的解析解．Phillips兩層模型中,由于上下兩層之間的平均準地轉PV(QGPV)梯度符號不同,引起斜壓不穩(wěn)定性,而Charney模型的不穩(wěn)定性是由平均表面的溫度梯度以恒定狀態(tài)的內部PV梯度β相互作用帶動的[18]．通過層狀模型繼續(xù)討論大氣海洋的斜壓不穩(wěn)定性[19]．在β效應平面上,基于上下兩層Phillips模型,在大尺度下垂直剪切中,通過對渦流穩(wěn)定流動解析解的數(shù)值模擬,討論了基本流在Rossby波穩(wěn)定輻射下緯向流二次切變的情況,給出了二次切變基本流對穩(wěn)定輻射斜壓PV的影響．

本文描述了穩(wěn)定輻射下的斜壓PV模型,基于Rossby波的產生,渦旋速度逐漸減慢．從而使斜壓下產生的這種波動和渦流效應形成新的位勢現(xiàn)象．渦旋產生的Rossby波,在緯向和經向上穩(wěn)定傳播,還會引起經向渦旋傳播軌跡流以及相干的熱流．基于β效應平面上的兩層模型,討論了Rossby波的穩(wěn)定性,若上層的PV梯度為正,則經向傳播會導致渦旋逐漸減弱．因此,當PV梯度較弱時,渦旋仍能傳播很長一段距離,直到振幅越來越弱,釋放捕獲流體并逐漸使渦旋消亡．證實了上層PV梯度的減少延長渦旋的傳播能力,總結了緯向基本流二次切變下的斜壓PV受擾動情況．利用Bessel函數(shù)找出了數(shù)值解．對于亞熱帶海洋向西流,降低上層PV梯度會持續(xù)延長渦旋的壽命．本文研究了這種變化的其中一種形式,即緯向基本流在二次切變下對穩(wěn)定輻射斜壓PV的主要影響．

1 控 制 方 程

斜壓大氣模式下準地轉模型為[20-21]

(1)

(2)

2 基本緯向流二次切變的斜壓PV色散關系

根據正交模方法,設擾動流函數(shù)為

(3)

由方程(2)獲得色散關系：

ω2[k4+k2+(l2+F1+F2)+l2F1]+ω[k3(2a1+2a2+β1+β2+uF1-uF2)+

k(2a1l2+2a1F2+2a2F1+β2F1+β1F2+β1l2-ul2F1)]+

k2(4a1a2+2a1β2+2a1uF2+2a2β1+β1β2+uβ1F2-2a2uF1-uβ2F1-u2F1F2)=0．

(4)

在不考慮黏性項的兩層基本流中, 采用兩層斜壓模式[22]．緯向二次切變引起上下兩層斜壓流體的不穩(wěn)定性,在向西行進中,考慮u=-1,然后對ω與a1,a2的兩種色散關系進行討論．

首先,a1=0,a2≠0時,ω與a2之間的關系如圖1所示,a2=0,a1≠0時,ω與a1之間的關系如圖2所示．當a1=0或a2=0時,在所選區(qū)間里,圖1與圖2中基本緯向流走向大致相同．緯向切變下的渦旋在二次剪切流中呈現(xiàn)上升趨勢,且在二次切變下,渦旋向西行進的傳播速度逐漸平緩,在一段時間內保持穩(wěn)定狀態(tài)傳播．由于基本流向西行進的同時輻射Rossby波, 但卻不衰減, 斜壓渦旋處于穩(wěn)定輻射下, 為了進一步闡明二次剪切流對斜壓流體不穩(wěn)定性的影響, 基本緯向流在二次切變中, 若其中一層的PV梯度為零時, 則經向傳播導致渦旋呈現(xiàn)上升趨勢, 且上升速度逐漸趨于緩慢, 在上升到一定程度時,會趨于穩(wěn)定狀態(tài)向西行進．這表明在二次切變的影響下, 基本流發(fā)生明顯變化, 深入演化二次剪切流對穩(wěn)定輻射斜壓流體的主要轉換過程．

圖1 當a1=0, a2≠0時,ω與a2的關系

其次,當a1≠0或a2≠0時,基本緯向流在二次切變下先是呈急劇上升趨勢,到達峰值后迅速減弱(圖3、4),上下兩層PV梯度中的擾動流均在平流層中,在渦旋經向峰值處,緯向基本流隨二次切變的影響,渦旋向西行進的傳播速度逐漸加快．由圖中顯示：當a1≠0時(圖3)緯向流向西行進的速度很明顯要滯后于當a2≠0時(圖4)緯向流西進速度,即二次切變擾動后,a2對緯向基本流的傳播具有沖擊力,而a1對緯向基本流傳播的影響相對較弱．這表明斜壓下渦旋在二次切變下是緯向向西傳播的,由于Rossby波穩(wěn)定輻射使其始終向西行進[23]．

圖3 當a1≠0時,a1對ω與a2關系的影響

若不考慮兩層的PV梯度和斜壓流體的變動,二次剪切流中關于y的擾動流ω與渦旋上層渦流a1,下層渦流a2的色散關系如圖5所示．關于二次剪切流對相干具有較長壽命渦流的影響,在基本流緯向切變下,擾動流的氣壓和影響氣壓成分在上下兩層是相互補償?shù)模谛眽合?二次剪切流可以持續(xù)延長渦旋的壽命．上層渦旋的傳播軌跡主要是向南,由于渦旋略微滯后于向西流動的背景流,因此也有向西的成分．而下層渦旋由向東移動的渦流主導,并且為上層相干渦旋的經向傳播提供了有利條件．位于上層PV梯度的氣壓斜渦旋在二次切變下幾乎是不穩(wěn)定的,同時在深海層中增強PV梯度會影響Rossby波的軌跡流．因此,緯向基本流在二次切變下對穩(wěn)定輻射斜壓渦旋的不穩(wěn)定性影響是有跡可循的．

上述數(shù)值模擬充分表明了垂直切變下的斜壓流體存在的不足之處,即不能清晰地刻畫出渦旋在斜壓下的主要變化過程．于是,對于緯向流在穩(wěn)定輻射下的斜壓流體來說,將垂直切變深入轉化為二次切變無疑是一個更加充分的說明．

對于大波數(shù),k2+l2?F1,擾動集中到下層,緯向相速度向西略微靠近,并且低于下層背景流速．對于小波數(shù),k2+l2?F1,緯向相速度大幅度向西,表明正壓下的擾動,上下兩層渦流速度與顆粒位移大致相同,于是緯向相速度處于-∞<ω/k

圖5 ω與a1,a2的三維關系

F1ψ1+(?2-β/c)ψ2=0．

(5)

而在上層,q1必須依賴于坐標系中的流函數(shù),并且隨著渦旋平移,定義F1ψ1+cy-uy≈F1ψ1,令q1=Φ(ψ1),得到

(?2-F1)ψ1+F2ψ2=Φ(ψ1)=q1,

(6)

(7)

(?2-γ2)φ1=q1(r), (?2+γ2)φ2=q1(r)．

(8)

兩層的流線通過式(5)和(6)表示,ψ1和ψ2由下式給出：

(9)

其中

(10)

在無限域中,渦旋向西行進之前,即x→-∞．無黏性的流體受到向西擾動的條件制約．因此在極坐標下容易解出擾動流向西延伸過程中的解析解,通過Bessel函數(shù)解出φ2,φ2可以寫成

(11)

(12)

將其應用于漸近解知

(13)

斜壓流體的經向傳播速度通常從渦旋向西運動過程中獲得,下層Rossby背風波模式的中心最大值相對于上層渦流中心向東平移．推導出式(13)的解析解用作數(shù)值模擬的初始條件．這種方法消除了細尺度β環(huán)流典型的圓形渦流,沒有Rossby背風波．

本文采用理想兩層模型與相關數(shù)值模擬,研究了在大尺度二次剪切流中忽略黏性嵌入斜壓渦旋,分析了二次剪切流對穩(wěn)定輻射斜壓渦旋的不穩(wěn)定性影響以及渦旋的壽命長短．在研究中發(fā)現(xiàn),二次剪切基本流與渦流的色散關系再次證實了基本緯向流切變可以引起斜壓不穩(wěn)定性．利用Bessel函數(shù)的數(shù)值解可以解釋斜壓流體向西運動引起斜壓渦旋,且不斷產生Rossby波．緯向基本流體現(xiàn)出一個有趣的例子,即Rossby波的傳播軌跡由其所在的背景流產生,同時還提供了維持Rossby波傳播所具備的條件．因此,在大尺度大氣海洋中,基本流二次剪切是引起斜壓渦旋不穩(wěn)定性的主要原因,且二次切變下的擾動流影響渦旋壽命的延續(xù),對延長渦旋壽命有重大意義．

3 結 論

本文通過兩層大氣模式,采用上下兩層渦度對Rossby波振幅的色散關系進行了研究．采用Bessel函數(shù)數(shù)值近似解的方法,考慮了中高緯度,緯向基本流在二次剪切下,對穩(wěn)定輻射斜壓PV的不穩(wěn)定性影響．刻畫出二次剪切流中Rossby波振幅與上下兩層渦流的演化及其色散關系．研究發(fā)現(xiàn)：Rossby波隨緯度變化的走向是緯向二次剪切流中誘發(fā)斜壓PV不穩(wěn)定性的因素之一,同時在二次切變下基本緯向流U(y)對斜壓流體的不穩(wěn)定性存在影響,以及對渦旋壽命的延伸起到一定的作用．