吳學(xué)珂, 劉春燕, 白 羽, 張 艷

(1. 北京建筑大學(xué) 理學(xué)院, 北京 100044;2. 建筑結(jié)構(gòu)與環(huán)境修復(fù)功能材料北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京 100044)

0 引 言

聚合物是經(jīng)聚合反應(yīng)生成的高分子化合物,而熔融的聚合物在力的作用下可以流動(dòng),是一類同時(shí)具有黏性和彈性的黏彈性流體[1]．在聚合物中加入納米顆?？捎行Ц纳凭酆衔锏男阅?提高其韌性和傳熱速率,在工業(yè)和生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用,增加了能源的利用率[2-3]．磁性納米顆粒具有磁性特征且具有納米顆粒的獨(dú)特效應(yīng),常見的磁性納米顆粒有金屬鐵、鈷、鎳、金屬氧化物Fe2O3和Fe3O4等,在熔融聚合物中加入微量的磁性納米顆粒,可以使材料的各種性能如導(dǎo)電性、導(dǎo)熱性、阻隔性等提高．Zainal等[4]應(yīng)用邊界層理論研究了包含電磁流體動(dòng)力學(xué)在拉伸板上復(fù)合納米流體的非穩(wěn)態(tài)常駐點(diǎn)流動(dòng)．Sheikholeslami等[5]研究了非均勻磁場對Fe3O4-水基納米流體強(qiáng)制對流換熱的影響．

對磁性納米流體施加外磁場,可以在非接觸的條件下對其流動(dòng)產(chǎn)生影響．這種非接觸操控方式在實(shí)際操作中更便于實(shí)現(xiàn),且操控范圍廣,不受pH值、離子強(qiáng)度、表面電荷和溫度的影響[6]．在多數(shù)實(shí)際情況下,外加磁場是可變的,近年來,很多研究探討了非均勻磁場對納米流體流動(dòng)的影響．Sheikholeslami等[7]研究了變磁場下磁場力對納米流體傳熱的影響．Shaker等[8]研究了非均勻磁場對磁性納米流體在開腔通道內(nèi)混合對流換熱的影響,發(fā)現(xiàn)腔加熱壁的上角附近產(chǎn)生了渦流．磁流體力學(xué)(MHD)是結(jié)合經(jīng)典流體力學(xué)和電動(dòng)力學(xué)的方法研究導(dǎo)電流體和磁場相互作用的學(xué)科[9],在天體物理、地球物理、宇航工程、電磁學(xué)以及工程技術(shù)中都有廣泛的應(yīng)用．Bég等[10]研究了導(dǎo)電金屬流體在感應(yīng)磁場作用下的流動(dòng),發(fā)現(xiàn)增加磁參數(shù)會(huì)使速度提高、感應(yīng)磁場降低．Hayat等[11]采用有限差分格式數(shù)值計(jì)算了隨時(shí)間變化的黏性納米流體在感應(yīng)磁場中的流動(dòng), 并討論了Brown運(yùn)動(dòng)和熱泳運(yùn)動(dòng)．但在現(xiàn)有的關(guān)于非均勻磁場的數(shù)值模擬研究中, 尚未清楚闡明感應(yīng)磁場的物理機(jī)制．

考慮到黏彈性磁納米流體在流動(dòng)過程中的復(fù)雜特性[12],將分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)引入本構(gòu)關(guān)系能更靈活地描述黏彈性流體的性質(zhì)．楊旭等[13]基于分?jǐn)?shù)階微積分理論,采用空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)建立了圓管內(nèi)分?jǐn)?shù)階非Newton流體本構(gòu)模型,為非Newton流體的記憶特征提供了一種建模方法．Zhao等[14]通過在本構(gòu)關(guān)系中引入分?jǐn)?shù)階Maxwell剪切應(yīng)力和Cattaneo熱流模型,研究了Maxwell流體在平面上的非穩(wěn)態(tài)Marangoni對流換熱．然而上述模型中分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)參數(shù)固定,導(dǎo)致了有限的記憶特性和非局部特性,且無法準(zhǔn)確描述一些復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)過程,例如復(fù)合材料的流變特性[15]．分布階本構(gòu)模型是分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)在參數(shù)值范圍內(nèi)的積分,具有不同的時(shí)間和空間特征[16],作為更有效的工具引起了很多學(xué)者的關(guān)注．Yang等[17]建立了空間分布階本構(gòu)關(guān)系來研究邊界層中的流動(dòng)和傳熱．Long等[18]基于Maxwell流體流動(dòng)和Cattaneo傳熱的傳統(tǒng)本構(gòu)關(guān)系,建立了分布階導(dǎo)數(shù)的非穩(wěn)態(tài)Marangoni對流邊界層流動(dòng)和傳熱模型．Liu等[19]將分布階導(dǎo)數(shù)引入Maxwell流體的本構(gòu)模型,并分析了相關(guān)參數(shù)的影響．

基于上述研究發(fā)現(xiàn),在感應(yīng)磁場作用下,非穩(wěn)態(tài)時(shí)間分布階的Maxwell磁納米流體流動(dòng)的問題很少有人研究．本文將時(shí)間分布階Maxwell本構(gòu)關(guān)系代入動(dòng)量方程,并與磁擴(kuò)散方程建立流動(dòng)和感應(yīng)磁場的控制方程,然后結(jié)合有限差分方法與L1算法獲得控制方程的數(shù)值解,最后分析相關(guān)參數(shù)對流動(dòng)和感應(yīng)磁場的影響．

1 數(shù) 學(xué) 模 型

時(shí)間分布階Maxwell流體的本構(gòu)方程為

(1)

其中,Γ(·)為Gamma函數(shù)．

考慮線性拉伸板上的二維不可壓縮非穩(wěn)態(tài)Maxwell磁納米流體的邊界層流動(dòng)問題,如圖1所示．建立二維直角坐標(biāo)系,其中x軸與平板平行,y軸垂直于平板．施加非均勻磁場He=H0(cos(x/L)+1),假設(shè)(u,v)和(H1,H2)分別是沿著板和垂直于板的速度和感應(yīng)磁場的分量,并假設(shè)感應(yīng)磁場的法向分量H2在壁處消失、平行分量H1在邊界層邊緣接近給定值．則時(shí)間分布階Maxwell磁納米流體的邊界層流動(dòng)和磁擴(kuò)散控制方程為

(2)

(3)

(4)

滿足下列初始條件和邊界條件：

(5)

圖1 物理模型示意圖

納米流體的物理性質(zhì)參數(shù)為

(6)

其中φ是磁性納米顆粒的體積分?jǐn)?shù),μf是流體的黏度,ρf和ρs分別是流體和磁性納米顆粒的密度,σf和σs分別是流體和磁性納米顆粒的電阻率．磁性納米顆粒鐵、鈷、Fe2O3和Fe3O4主要的物理性質(zhì)如表1所示[21-22]．

表1 磁性納米顆粒的物理性質(zhì)

對方程(2)—(5)進(jìn)行無量綱化：

(7)

其中M是磁參數(shù),Pr是磁Prandtl數(shù),Re是Reynolds數(shù),得到無量綱控制方程如下(為了方便,后面將省略標(biāo)記“*”)：

(8)

(9)

(10)

無量綱化后的初值和邊界條件為

(11)

因此,建立了二維非穩(wěn)態(tài)Maxwell磁納米流體的控制方程(8)—(11),方程(11)為相應(yīng)的初始條件和邊界條件．

2 數(shù)值差分格式

采用有限差分法與L1算法[23]相結(jié)合來求解耦合的二維分布階控制方程(8)—(11)．對時(shí)間和空間進(jìn)行網(wǎng)格劃分,設(shè)hx,hy分別為沿x軸和y軸的空間步長,τ為時(shí)間步長．定義

其中Mx,My,N是網(wǎng)格劃分的數(shù)量．

定理1 設(shè)0

稱之為L1算法,其基本思想是將被積函數(shù)中出現(xiàn)的f的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)直接用數(shù)值微分公式逼近,還可改寫為

(12)

其中cj=(j+1)1-α-j1-α,j=0,1,2,…,N．

根據(jù)中點(diǎn)Gauss求積規(guī)則,使用多個(gè)分?jǐn)?shù)項(xiàng)的加權(quán)和變換時(shí)間分布階分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù),可以獲得分布項(xiàng)的數(shù)值離散格式：

(13)

對于離散區(qū)域[0,1]中αr階的時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),利用定理1中的L1數(shù)值離散格式(13),可得到

(14)

(15)

其中

cr,0=1,cr,s=(s+1)1-αr-s1-αr,s=0,1,…,N．

將離散格式(12)、(14)和(15)代入控制方程(8)—(10)和初邊值條件(11),得到求解問題的數(shù)值差分格式．

3 結(jié) 果 分 析

利用第2節(jié)中的有限差分方法得到動(dòng)量方程和磁擴(kuò)散方程的數(shù)值解,并說明相關(guān)參數(shù)對速度和感應(yīng)磁場的影響．構(gòu)造解析解驗(yàn)證了差分格式的收斂性,如圖2所示．

圖2 數(shù)值解和解析解的比較

圖3和圖4描繪了磁性納米顆粒Fe2O3、Fe3O4、Fe和Co對速度和感應(yīng)磁場的影響．從圖3可以看出,密度相近的Fe2O3和Fe3O4納米顆粒對速度的影響幾乎相同,而密度最大的Co使流速受到最大限制,速度邊界層厚度最?。畯奈锢斫嵌瓤?當(dāng)磁性納米顆粒的體積分?jǐn)?shù)相同時(shí),密度越大,顆粒間的間隙越小,從而阻礙了流體的運(yùn)動(dòng)．圖4表明,添加的Fe2O3納米顆粒電阻率最小,則感應(yīng)磁場最大,磁邊界層厚度最厚;對于電阻率相近的Fe和Co,感應(yīng)磁場的分布幾乎相同．由于磁性納米顆粒的電阻率與電導(dǎo)率呈反比,所以當(dāng)電阻率增大時(shí),感應(yīng)磁場減?。?/p>

圖5和圖6為變化的磁參數(shù)M對Fe3O4納米流體速度和感應(yīng)磁場的影響．圖5中的曲線表明流動(dòng)的模式一致,流速值隨著磁參數(shù)的增加而降低．在非均勻磁場作用下,邊界層內(nèi)產(chǎn)生與流體運(yùn)動(dòng)方向相反的磁場力,所以當(dāng)M>0時(shí),磁場力對流體的速度起抑制作用,使得邊界層厚度變?。?dāng)M=0時(shí),無磁場力,Fe3O4納米流體速度由于內(nèi)摩擦阻力作用逐漸減?。鐖D6所示,在邊界層內(nèi)感應(yīng)磁場隨M的增大而增大．因?yàn)镸增大時(shí)磁導(dǎo)率增加,磁擴(kuò)散效應(yīng)顯著,從而感應(yīng)磁場增加．

圖3 不同磁性納米顆粒對速度的影響

圖5 不同M對速度的影響

圖7和圖8顯示了速度和感應(yīng)磁場隨磁性納米顆粒Fe3O4體積分?jǐn)?shù)φ的變化．當(dāng)φ增加時(shí),速度增大,邊界層厚度變厚,感應(yīng)磁場減?。捎诶彀宓倪\(yùn)動(dòng)導(dǎo)致固體顆粒運(yùn)動(dòng)增加,從而速度隨著磁納米顆粒的加入而增加．而在外加磁場的作用下,隨著φ的增加,速度的增大導(dǎo)致磁對流項(xiàng)增大,使得磁擴(kuò)散效應(yīng)減小,從而在邊界層內(nèi)感應(yīng)磁場減小．圖9和圖10顯示了松弛時(shí)間參數(shù)λ1對Fe3O4納米流體中速度和感應(yīng)磁場的影響．當(dāng)選擇權(quán)重系數(shù)ω1(α) =Γ(3-α),無量綱時(shí)間t=1時(shí),可以觀察到λ1越大,速度和感應(yīng)磁場越小,這是由于流體的黏性增加,阻礙了流體的運(yùn)動(dòng)進(jìn)而導(dǎo)致磁場減小,這和應(yīng)力松弛現(xiàn)象是一致的．

圖7 不同φ對速度的影響

圖9 不同λ1對速度的影響

4 結(jié) 論

磁性納米顆?？梢愿纳凭酆衔锏男阅?線性拉伸板上非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)與磁擴(kuò)散的研究為其提供了良好的理論基礎(chǔ)．本文利用分布階本構(gòu)模型,研究了黏彈性基磁納米流體在非均勻磁場下的二維不可壓縮邊界層流動(dòng),并考慮了高Reynolds數(shù)下的感應(yīng)磁場分布．將時(shí)間分布階Maxwell方程引入動(dòng)量方程,建立了速度和磁擴(kuò)散控制方程組．使用有限差分法和L1算法耦合求解偏微分方程組的數(shù)值解,并驗(yàn)證了收斂性,結(jié)合圖像分析了相關(guān)物理參數(shù)對速度和感應(yīng)磁場的影響．所得主要結(jié)論如下：Maxwell流體的速度和感應(yīng)磁場在添加Fe2O3納米顆粒時(shí)達(dá)到最大,此時(shí)速度邊界層和磁邊界層的厚度最厚;由于磁場力的影響,增大的磁參數(shù)阻礙了流體的運(yùn)動(dòng),增強(qiáng)了磁擴(kuò)散;隨著Fe3O4納米流體體積分?jǐn)?shù)增加,速度增大,感應(yīng)磁場減小;此外,較高的松弛時(shí)間參數(shù)會(huì)使Maxwell流體的流動(dòng)和磁場的擴(kuò)散減弱．因此,本文從數(shù)值解的角度研究了添加磁性納米顆粒的熔融聚合物在非均勻磁場下的邊界層拉伸流動(dòng)與磁擴(kuò)散,對制備出高性能的聚合物材料具有重要意義．

致謝本文作者衷心感謝北京建筑大學(xué)金字塔人才培養(yǎng)工程項(xiàng)目(JDYC20220829)、北京建筑大學(xué)促進(jìn)高校內(nèi)涵發(fā)展定額項(xiàng)目(X21027)和北京建筑大學(xué)研究生創(chuàng)新項(xiàng)目(PG2023144)對本文的資助．