王志剛

［摘 要］在初中數(shù)學教學中，運用逆向思維解題能夠使學生從不同角度、不同方向思考問題，探索到合理有效的解題方法，從而拓寬解題思路，提高解題效率。文章結(jié)合案例探討逆向思維在初中數(shù)學解題中的應用，以期為數(shù)學一線教師的解題教學提供參考。

［關(guān)鍵詞］逆向思維；初中數(shù)學；解題；應用

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）29-0004-03

一、問題提出

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》明確提出了發(fā)展學生學科核心素養(yǎng)的要求，其中在闡述“會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”這部分內(nèi)容時，明確指出學生通過數(shù)學課程的學習要能夠合乎邏輯地解釋或論證數(shù)學的基本方法與結(jié)論，分析、解決簡單的數(shù)學問題和實際問題。由此可見，開展思維活動、培養(yǎng)學生的思維品質(zhì)成為新時期數(shù)學課程改革的重要內(nèi)容。在解題過程中，學生常常遇到這樣的困境：從已知條件出發(fā)，順著題目的要求思考問題，解題無從下手，甚至陷入了思維的“死胡同”，而運用逆向思維能很好地解決這一問題。

二、典型例題

［例1］已知a，b，c，d是實數(shù)，且[ad-bc=1]，求證：[a?+b?+c?+d?+ab+cd≠1]。

分析：這類命題的反面并沒有無窮多種情況，所以用反證法來證明是非常簡潔的一種解題思路，即通過假設[a?+b?+c?+d?+ab+cd=1]，并以此證明這一結(jié)論不成立則可以反證原命題成立。

解：假設[a?+b?+c?+d?+ab+cd=1]，把[ad-bc=1]代入上式得[a?+b?+c?+d?+ab+cd-ad+bc=0]，

通過整理代數(shù)式可以得出[（a+b）?+（b+c）?+（c+d）?+（a-d）?=0]。

因為a，b，c，d都是實數(shù)，所以[a+b=b+c=c+d=a-d=0]，所以[a=b=c=d=0]，所以[ad-bc=0]。

這與已知條件[ad-bc=1]相矛盾，所以假設不成立，原命題成立，即[a?+b?+c?+d?+ab+cd≠1]。

［例2］如圖1所示，將矩形ABCD折疊，使點C落在邊AB上的[C']處（不與A、B重合），點D落在D'處，此時C'D'交AD于E，折痕為MN。若[AB=BC=1]，可使[△NBC']≌[△C'AE]的C'存在嗎？若存在，求出C'的位置，若不存在，說明理由。

分析：要想解答這一題目，我們可以從假設出發(fā)，推導出與已知條件相互矛盾的結(jié)論，這樣就可以完成證明。

解：當矩形ABCD的邊長[AB=BC=1]，說明其為正方形，假設存在這樣的[C']，使[△NBC']≌△[C'AE]。

設[AC'=x]，則有[BN=AC'=x]，[BC'=1-x]，此時[NC'=NC=BC-BN=1-x]，即[BC'=NC']，在直角三角形[BC'N]中，[∠B=90°]，直角邊[BC']與斜邊[NC']不可能相等。故若[AB=BC=1]，并不存在這樣的[C']使[△NBC']≌[△C'AE]。

點評：上述兩個例題顯示了反證法在代數(shù)和幾何證明中的應用價值。在兩道題中，都是通過“對結(jié)論進行假設，繼而推導出與題目相關(guān)條件相矛盾的結(jié)論”這一思路完成證明的，這是反證法最基本的思路，對于解答其他證明題有著重要的參考意義。

［例3］如圖2所示，已知[△ABC]中，[∠BAC=45°]，[AD⊥BC]于點[D]，若[BD=2]，[CD=1]，求[△ABC]的面積。

分析：要求三角形的面積，我們通常需要知道三角形的底以及相應的高的長度。在這一題目中，通過兩個線段長度可以知道BC的長度，也知道AD是相應的高，但是要想求得AD的長度卻存在一定難度。題目中有一個關(guān)鍵條件[∠BAC=45°]。這時我們可以將[∠BAC=45°]進行補充，讓其構(gòu)成一個直角，即在AC的右邊作出一個[∠CAE=45°]，并且使[AE=AB]，而且[∠BAD+∠DAE=90°]（如圖3），這樣設計肯定是可以得到三角形全等。以前證明全等的時候，我們通常會用到“兩個相同頂點的角加上相鄰的同一個角的結(jié)果相同，這兩個角相等”，此時我們可以將這個方法倒過來用，即先構(gòu)造全等三角形，再得到“等角+同角的結(jié)果相等”，然后根據(jù)三角形全等的條件構(gòu)建正方形，最后將所求的面積問題進行轉(zhuǎn)化，并通過間接方法完成題目解答。

解：如圖3所示，在AC的右邊作出一個[∠CAE=45°]，并且使[AE=AB]，連接[CE]，根據(jù)“邊角邊”定理可知，[△ABC]和

點評：這道題條件簡單易懂，但是解答起來卻相當有難度。關(guān)鍵在于如何運用45°角，即如何將現(xiàn)有的圖形向擴展圖形這個方向去思考。許多學生并不擅長運用輔助線構(gòu)造圖形。其實這道題的圖形補充完整后，新圖形的特點一目了然。本題的解題思路運用了補集法，這是一種逆向思維，即利用45°角補充出一個正方形，并通過巧妙轉(zhuǎn)化，完成計算。

［例4］如圖4所示，已知[△ABC]中，[∠ABC=45°]，[DC=2BD]，[∠ADC=60°]，[AD⊥CO]，垂足為點[O]，求證：[AC2=CD?CB]。

分析：為證明[AC2=CD?CB]，我們從結(jié)論出發(fā)進行倒推。我們關(guān)注到[AC2=CD?CB]這一結(jié)構(gòu)經(jīng)常在相似三角形中出現(xiàn)，那么只需要證明[∠DAC=45°]就可以得到這一結(jié)論。此外，我們還可以將正向思維和逆向思維相結(jié)合。首先分析題目的基本條件，根據(jù)[DC=2BD]這一關(guān)鍵信息得出兩條線段的比值；然后利用“平行線分線段成比例”對線段的比值加以轉(zhuǎn)化，再結(jié)合結(jié)論進行分析；最后從結(jié)論進行逆推，即要證明[AC2=CD?CB]，只需證明[∠DAC=45°]，也就是證明[AO=OC]。

解法一：如圖5所示，連接BO，令[BD=a]，則[DC=2a]。

∴[BD=DO]，[∠OBD=∠BOD=30°]，∴[∠OBD=∠OCD]，

∵[∠ABC=45°]，∴[∠ABO=15°]，[∠BAD=∠ADC-∠ABC=15°]，

解法2：如圖6所示，過點[B]作[BH]平行[OC]交[AD]的延長線于點[H]，

∵[BH]∥[OC]，∴[∠HBD=∠OCD]，[∠BHD=∠COD]，

∴[△BDH]∽[△CDO]，

∴BH∶[OC=BD]∶[CD]。

∴[AO=OC]，∴[∠DAC=45°]，∴[△ACD ]∽[△BCA]，

點評：兩種方法雖然思路各異，但是都體現(xiàn)了“執(zhí)果索因”這一解題思路。在解題過程中我們可以從結(jié)論入手，探究得到這一結(jié)論所需要的條件，并結(jié)合現(xiàn)有條件以及所學知識進行補充。這樣不斷逆推就可以將證明結(jié)論的條件梳理完整，并達到解題的目的。

三、教學建議

初中階段，學生正處于思維發(fā)展的關(guān)鍵時期。通過不同類型習題的引導，讓學生認識逆向思維的含義，理解逆向解題的思路，并掌握具體的方法，是提高學生解題能力、發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要途徑。

（一）指導學生運用反證法進行解題

在初中數(shù)學解題中，經(jīng)常要求學生說明一個命題是真命題，有些題目難度較大，直接證明比較困難，這時候就需要用反證法來打破僵局。反證法是指從原命題結(jié)論的反面出發(fā)，通過正確的邏輯推理過程，導致矛盾的結(jié)果，從而肯定原命題結(jié)論正確的一種證明方法。這種方法集中體現(xiàn)了逆向思維的運用，在初中數(shù)學的三角、代數(shù)、幾何等都有很廣泛的應用。例1和例2都運用了反證法。在初中數(shù)學解題教學中，教師應將探究與運用反證法的主動權(quán)留給學生，采用啟發(fā)式教學方式，啟發(fā)學生思考，促使其拓寬反證法的運用思路，并為他們留足時間，引導他們?nèi)プ灾魈骄浚顾麄儗⑺鶎W知識綜合運用起來，從而達到舉一反三的效果。同時，在指導學生運用反證法的過程中，教師還應針對學生的特點，將教材的例題和習題重組，盡量滿足不同思維層次學生的需求，豐富學生的解題經(jīng)驗，讓學生跳出機械做題的局限，有效掌握反證法的運用技巧，從而鍛煉學生的逆向思維，提高學生的獨立思考能力和創(chuàng)新能力。

（二）指導學生運用補集法進行解題

補集法就是取集合的補集來解決問題的一種方法。從解題思路來看，這一方法也需要運用逆向思維，即通過證明補集的特點來逆推集合特征與性質(zhì)。從其含義來看，這一方法主要運用于代數(shù)相關(guān)題目的解答。在上述例3中，補集法在幾何題目中就得到了體現(xiàn)，即結(jié)合題目中圖形的特點進行補圖，其目的是讓圖形由抽象變具體，以此降低題目的難度，降低計算難度，提高解題效率。基于此，在初中數(shù)學教學中，教師應適當拓展，進行逆向思維的培養(yǎng)。

（三）指導學生運用執(zhí)果索因法進行解題

“執(zhí)果索因法”是常用的一種推理、思維方法，其主旨是根據(jù)題目已經(jīng)給出的結(jié)論（假定結(jié)論正確，并保持不變），從結(jié)論入手考慮問題，尋找結(jié)論成立的先決條件，從而梳理出證明的邏輯思路。

在初中數(shù)學中，證明題是一類非常典型的習題，這類題目對學生的邏輯思維有著較高的要求。部分學生在證明的過程中一味地從條件入手，或者對復雜的結(jié)論缺乏深入分析，無法迅速找到解題思路，從而影響解題效率。而執(zhí)果索因法則可以在明確結(jié)果的基礎(chǔ)上有的放矢，從結(jié)果出發(fā)進行過程反推，使問題得證，這樣不僅可以迅速找到解題思路，還能夠降低解題的難度。上述例4就是運用了這一方法?；诖?，在初中數(shù)學解題指導中，教師應從問題出發(fā)引導學生分析思考的過程，讓學生逐步學會表達“從問題想起”解決問題策略的一般過程，結(jié)合具體題目幫助學生梳理條件與結(jié)論之間的關(guān)系，分析思考過程，為學生搭建表達、交流的平臺，從而共同探索逆向思維的應用，提高解題效率。

在初中數(shù)學教學中，加強學生逆向思維的培養(yǎng)，有利于提高學生分析問題及解決問題的能力，有利于開闊其視野、活躍其思維。當然，在初中階段，數(shù)學解題中常用的逆向思維方法還有很多，如反例法、逆推法等，不同方法所適用的情況千差萬別。因此，在數(shù)學解題教學中，教師應根據(jù)學生的實際情況做好指導，并將重點放在啟發(fā)學生思維、培養(yǎng)學生學習能力上，進而落實發(fā)展學生核心素養(yǎng)的課程目標。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 黎春.探究初中數(shù)學解題教學中逆向思維的應用［J］.數(shù)理天地（初中版），2023（15）：47-49.

［2］? 王莉蓉.逆向思維：賦能初中數(shù)學解題教學新思路［J］.基礎(chǔ)教育論壇，2023（10）：89-91.

［3］? 劉奎.初中數(shù)學解題教學中逆向思維的應用研究［J］.數(shù)學之友，2023（5）：53-55.

［4］? 謝小兵.逆向思維在初中數(shù)學解題教學中的應用［J］.數(shù)學學習與研究，2022（16）：41-43.