吳慧蘭 王麗琴

摘? 要：學(xué)考背景下中職數(shù)學(xué)作為中職教育階段的“老大難”學(xué)科，結(jié)合信息技術(shù)改善教學(xué)手段，促進教學(xué)效果顯得尤為重要。Geogebra軟件是一個集數(shù)學(xué)運算、圖像繪制、動態(tài)演示等特點于一體的數(shù)學(xué)軟件，在課堂操作應(yīng)用中可以很好地將教學(xué)中一直存在的難點和痛點可視化，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增加課堂的活力。文章基于“Z世代”中職學(xué)生的特點，以函數(shù)、幾何、概率等章節(jié)的課堂教學(xué)為例，對Geogebra軟件在中職數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用進行研究，研究表明使用效果顯著。

關(guān)鍵詞：Geogebra軟件；中職學(xué)生；可視化

中圖分類號：TP39；G434? 文獻標(biāo)識碼：A? 文章編號：2096-4706（2023）24-0179-05

Application of Geogebra Software in Mathematics Teaching in Vocational Schools

WU Huilan， WANG Liqin

（Vocational College， The Open University of Fujian， Fuzhou? 350013， China）

Abstract： Under the background of academic examination， secondary vocational mathematics， as a“difficult”subject in the secondary vocational education stage， combining information technology to improve teaching methods and promote teaching effectiveness is particularly important. Geogebra software is a mathematical software that integrates mathematical operations， image rendering， dynamic demonstrations， and other features. In classroom operation applications， it can effectively visualize the difficulties and pain points that have always existed in teaching， stimulate students' interest in learning， and increase the vitality of the classroom. This paper is based on the characteristics of vocational school students in the “Z era”， and takes classroom teaching of functions， geometry， probability， and other chapters as examples to study the application of Geogebra software in vocational school mathematics classrooms. The research shows that the use effect is significant.

Keywords： Geogebra software; students of secondary vocational school; visualization

0? 引? 言

隨著科技的發(fā)展，新課程改革標(biāo)準(zhǔn)中提出了要大力推廣信息技術(shù)與學(xué)科的整合。信息技術(shù)在教學(xué)中的應(yīng)用從最初的PPT課件、微課、各類教學(xué)軟件到現(xiàn)在的各類手機APP平臺，教育信息化已經(jīng)成為教育發(fā)展的一個大趨勢。信息技術(shù)為我們提供了一個充滿活力的學(xué)習(xí)環(huán)境。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中我們一直提倡數(shù)形結(jié)合的思想，將原本枯燥抽象的內(nèi)容形象化生動化，因此數(shù)學(xué)可視化逐漸成為大家關(guān)注的焦點。唐慧榮學(xué)者定義：“將抽象的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象（抽象的概念原理、符號表征、結(jié)構(gòu)關(guān)系、思想方法等）用圖形、圖像、動畫等‘可看得見的、清楚呈現(xiàn)的表征形式表示出來，使人們對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象有一個形象、直觀、整體的認識和理解”[1]。本文借鑒了唐慧榮學(xué)者的觀點，同時借助Geogebra軟件實現(xiàn)數(shù)學(xué)可視化的目標(biāo)，幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題，促進學(xué)生的思維能力發(fā)展，帶領(lǐng)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的美，即借助視覺想象力照亮數(shù)學(xué)的各種事實和問題[2，3]。

1? 中職學(xué)生的特點分析

當(dāng)前中職學(xué)校的在校學(xué)生普遍生于2005年之后，即Z世代。Z世代，別名“互聯(lián)網(wǎng)世代”，是指1995—2009年出生的一代人，具有下面的特點[4]：興趣優(yōu)先，注重實用主義，注重畫面、觀感體驗，依賴科技，追求化繁為簡。Z世代中職生絕大多數(shù)是中考失利進入中職學(xué)校就讀[5]，對選擇的專業(yè)不了解，沒有興趣，在課堂上專注力低，將大部分時間花費在手機網(wǎng)絡(luò)上。結(jié)合Z世代中職生的現(xiàn)狀分析，以教師為核心的傳統(tǒng)中職數(shù)學(xué)課堂很難吸引學(xué)生的注意力，達到預(yù)期的教學(xué)效果。因此，嘗試將課堂主體轉(zhuǎn)向?qū)W生，可能得到更好的效果。軟件Geogebra的出現(xiàn)可以幫助學(xué)生更快、更好地成為課堂的主人，主要原因有[6]：第一，軟件Geogebra是一款結(jié)合幾何、代數(shù)、微積分的動態(tài)數(shù)學(xué)軟件，具有強大的數(shù)學(xué)運算、圖像繪制、動態(tài)演示等功能，彌補了幾何畫板在教學(xué)中的種種缺陷；第二，軟件Geogebra是一款免費的開源軟件，同時擁有手機版APP，界面好操作，對于Z世代中職學(xué)生來說上手簡單，容易掌握，很大程度降低了數(shù)學(xué)知識認知的“門檻”；第三，軟件Geogebra的使用可以進一步加深師生的學(xué)習(xí)交流，實現(xiàn)教學(xué)做合一[7]。

2? Geogebra軟件在中職數(shù)學(xué)的應(yīng)用實例

2.1? 軟件Geogebra實現(xiàn)函數(shù)概念和性質(zhì)可視化

我國清朝數(shù)學(xué)家李善蘭認為“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為之彼之函數(shù)”。函數(shù)的理論表述一般都是抽象的、晦澀難懂的，函數(shù)的圖像性質(zhì)則由于其變化性顯得抽象難以理解，因此對于Z世代中職學(xué)生來說，找到合適的方法來幫助理解函數(shù)的概念和性質(zhì)是非常必要的。軟件Geogebra可以創(chuàng)設(shè)情境、繪制函數(shù)圖像等，化抽象為具象，引導(dǎo)學(xué)生主動參與設(shè)計情境，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)動手能力[3]。

例如，分段函數(shù)：

比較f （240）與f （300）的大小。解析：題目中的數(shù)據(jù)相對中職生來說較大，這種情況下，如果學(xué)生直接代入數(shù)據(jù)計算函數(shù)值，計算量較大容易出錯，借助軟件Geogebra可以更加簡單地解答這個問題。第一步，運用軟件Geogebra繪制這個函數(shù)的圖像，如圖1所示。通過觀察圖像，能夠更加深入了解分段函數(shù)的特點，幫助學(xué)生加深對分段函數(shù)概念的理解：自變量在不同范圍內(nèi)取值，對應(yīng)不同的解析式，對應(yīng)的函數(shù)圖像也不一樣，每個自變量有且只有一個函數(shù)值與之對應(yīng)[8]。第二步，可以看到函數(shù)是一直上升的，得到函數(shù)在區(qū)間[0，+∞）是單調(diào)上升的，很容易根據(jù)圖像得到函數(shù)的單調(diào)性。第三步，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)就可以直接獲得答案。軟件Geogebra可以將隱性數(shù)學(xué)知識顯性化，降低函數(shù)概念和性質(zhì)的學(xué)習(xí)難度，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2.2? 軟件Geogebra實現(xiàn)不等式問題可視化

一元二次不等式是中職數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，對于中職學(xué)生的觀察和計算等能力有較高的要求，通過運用Geogebra繪制一元二次函數(shù)圖像，引導(dǎo)學(xué)生認識不等式的解對應(yīng)的圖像區(qū)域，可以有效地幫助學(xué)生理解圖像法解一元二次不等式，降低一元二次不等式的難度[9]。

例如，探究一元二次不等式x2 - x - 6＞0的解集。解析：第一步，運用Geogebra繪制y = x2 - x - 6函數(shù)圖像，如圖2所示，找到x2 - x - 6 = 0方程的根，即函數(shù)圖像與x軸相交的位置x = -2，x = -3。第二步，對函數(shù)圖像進行分析討論，x軸上方的圖像區(qū)域所對應(yīng)的函數(shù)值都大于零，x軸下方的圖像區(qū)域所對應(yīng)的函數(shù)值都小于零。第三步，驗證上一步的結(jié)論，并寫出不等式的解集，運用Geogebra繪制x2 - x - 6＞0的圖像，發(fā)現(xiàn)與前面分析的對應(yīng)的x的取值范圍是一樣的，結(jié)論得到驗證，最后得到解集（3，+∞）∪（-∞，-2）。學(xué)生可以結(jié)合手機版Geogebra軟件，快速繪制各種不同類型的一元二次函數(shù)，自主探究一元二次不等式的解法，縮短自主探究的時間，降低自主探究的難度，提高了學(xué)生自主探究、合作交流的能力。

2.3? 軟件Geogebra實現(xiàn)平面幾何問題可視化

直線與圓的方程是平面幾何的重要內(nèi)容，也是中職數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)重點。在學(xué)習(xí)時，應(yīng)了解直線和圓的三種位置關(guān)系和會判斷直線與圓的位置關(guān)系，軟件Geogebra可以直觀地幫助學(xué)生理解并掌握這個知識點[10]。

例如：判斷直線y = -x + b（b為常數(shù)）和圓（x - 3）2 + （ y - 4）2 = r2（r＞0，且為常數(shù)）的位置關(guān)系。解析：第一步，運用Geogebra繪制直線和圓，如圖3所示，因為r、b為不確定的常數(shù)值，所以運用滑動條動態(tài)控制其大小，同時繪制圓心到直線的距離線段d。第二步，控制變量，通過動態(tài)實現(xiàn)直線慢慢趨近圓和圓慢慢趨近直線的現(xiàn)象，讓學(xué)生直觀地觀察直線與圓的位置關(guān)系和r、b的相互影響，用最高效的方法，讓學(xué)生明白掌握其中的聯(lián)系。第三步，引導(dǎo)學(xué)生自主總結(jié)直線與圓的位置關(guān)系的判斷依據(jù)。讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)動態(tài)變化的美，領(lǐng)悟代數(shù)和幾何的美妙關(guān)聯(lián)。

2.4? 軟件Geogebra實現(xiàn)動態(tài)函數(shù)問題可視化

含參函數(shù)，因其類型、圖像的不確定性，又稱為動態(tài)函數(shù)。動態(tài)函數(shù)廣泛存在于中小學(xué)各類試題的壓軸題中，同時也存在于中職學(xué)業(yè)水平測試卷中。深入研究動態(tài)函數(shù)問題，掌握動態(tài)函數(shù)的變化規(guī)律，也是中職學(xué)生的重難點之一。Geogebra軟件繪圖區(qū)可動態(tài)顯示動點的運行軌跡，它的代數(shù)區(qū)可以實時更新對應(yīng)問題的代數(shù)式和結(jié)果，這些功能可以很好地幫助中職生理解掌握動點問題[10]。

以2022年福建省中等職業(yè)學(xué)校學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)等級性試卷壓軸題第三小問為例。已知圓C：（x - 3）2 + y2 = 4，AB為圓C上的任意直徑，圓D：（x + 2）2 + y2 = 1，P為圓D的動點，求? 的最小值。解析：這個動態(tài)問題的求解對中職學(xué)生來說難度很大，首先P為動點，確定為動點問題，再者，AB是圓C的任意直徑，不是固定的，在一定程度上給學(xué)生增加了難度。利用Geogebra軟件將問題具象化，如圖4所示，動態(tài)顯示兩個不確定的變量對結(jié)果的影響，直觀的效果展示能夠降低解題的難度。第一步，固定動點P（P為附著在圓D上的點），啟動A點（A為附著在圓C上的點）的動畫功能，改變直徑AB的位置，觀察? 的值的變化，發(fā)現(xiàn)其值不變。第二步，固定直徑AB的位置，啟動點P的動畫功能改變其位置，觀察? 的變化，發(fā)現(xiàn)其值隨著點P的移動而變化。第三步，在前面兩步觀察結(jié)果分析的前提下，再次移動點P，得到? 取得最小值時，P的位置如圖4所示。Geogebra軟件的動態(tài)演示功能，大大降低了幾何中的動點問題的學(xué)習(xí)難度，促使學(xué)生思考，形成解題思路，同時提高了學(xué)生的空間想象能力和發(fā)散思維能力。

2.5? 軟件Geogebra實現(xiàn)簡單幾何體可視化

幾何學(xué)是數(shù)學(xué)學(xué)科最古老的分支之一，對中職學(xué)生的空間想象能力有一定的要求，本階段學(xué)生的形象思維能力和抽象思維能力都處在發(fā)展階段，Geogebra軟件通過將虛擬模型具體化，讓學(xué)生可以實踐操作學(xué)習(xí)對象，既可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也能提升學(xué)生各方面的思維能力[10]。

例如：運用投影原理繪制下面簡單幾何體的三視圖和直觀圖，如圖5所示。解析：第一步，運用Geogebra軟件繪制幾何體，運用其動態(tài)顯示功能，實現(xiàn)幾何體360°旋轉(zhuǎn)，學(xué)生可以直觀地全方位觀察幾何體。第二步，通過對三視圖（主視圖、俯視圖、左視圖）的理解，引導(dǎo)學(xué)生設(shè)置三視圖的方向。第三步，鼓勵學(xué)生實際操作三視圖的效果，俯視圖如圖6所示。Geogebra軟件3D繪圖和全方位旋轉(zhuǎn)顯示功能彌補學(xué)生對物體模型的想象空缺，增強學(xué)生對空間物體的想象能力。

2.6? 軟件Geogebra實現(xiàn)概率試驗課堂可視化

概率與統(tǒng)計是近代數(shù)學(xué)的重要組成部分，其核心是研究隨機變量，對數(shù)據(jù)進行分析，在培養(yǎng)中職學(xué)生的處理隨機現(xiàn)象和數(shù)據(jù)的基本能力上能夠發(fā)揮巨大的作用。Geogebra軟件可以模擬概率中常用的實驗，幫助學(xué)生直觀地理解概率統(tǒng)計的概念思想，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣[11]。

例如：在正方形區(qū)域內(nèi)隨機撒一把豆子，求落在區(qū)域A內(nèi)的豆子數(shù)和總?cè)龆棺訑?shù)的比值如圖7所示。解析：第一步，運用Geogebra軟件繪制正方形區(qū)域和區(qū)域A，如圖8所示，利用滑動條設(shè)置撒豆的數(shù)目n，添加顯示點散布在正方形區(qū)域內(nèi)的功能，并用不同顏色顯示（區(qū)域A內(nèi)和非區(qū)域A內(nèi)的顏色不一樣），通過函數(shù)得到區(qū)域A內(nèi)的豆子數(shù)目a，進而得到比值p = a / n。第二步，拖動滑動條，引導(dǎo)學(xué)生討論探究不同的撒豆數(shù)對應(yīng)的p值，分析p的變化規(guī)律。第三步，在多次重復(fù)實驗中，發(fā)現(xiàn)p值在一個常數(shù)的附近上下浮動，從而引申出概率的概念。Geogebra軟件的概率統(tǒng)計功能可以克服客觀條件的限制，簡化隨機實驗的重復(fù)操作，增強學(xué)生對概率理論的理解驗證，提升學(xué)生的探究能力。

3? 結(jié)? 論

實踐證明，Geogebra軟件在中職數(shù)學(xué)教學(xué)的使用效果顯著。數(shù)形結(jié)合可以激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的感知能力；界面簡單操作可以提高學(xué)生動手實踐、自主探索、合作交流等能力；動態(tài)演示可以提高學(xué)生的空間想象能力和培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。新時代的中職數(shù)學(xué)課堂，不可完全依賴Geogebra軟件，也不可不用Geogebra軟件。應(yīng)用Geogebra軟件輔助教學(xué)時，教師應(yīng)該深入挖掘，創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，合理使用信息技術(shù)，實現(xiàn)教學(xué)做合一。

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作者簡介：吳慧蘭（1993.06—），女，漢族，江西上

饒人，助理講師，碩士研究生，研究方向：中職數(shù)學(xué)；王麗琴（1985.12—），女，漢族，福建閩侯人，講師，碩士研究生，研究方向：中職數(shù)學(xué)。