吳景珠,樊 舸,邢秀芝,朱曉明

(1.周口師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院,河南 周口 466001;2.周口市實驗學校 中學部,河南 周口 466001)

無論是從理論層面還是實踐層面有關課程思政的成果豐富多彩,研究內容幾乎涉及所有學科。當然,數(shù)學學科也不例外。眾多教師和學者從不同的教育視角給出了課程思政有關成果[1-5]?；诙嗄陙頂?shù)值分析課程教學團隊的教學實踐,挖掘課程思政元素并探索建立數(shù)值分析課程思政教學案例。通過教學案例為青年教師提供力所能及的教學指導和幫助。

1 課程簡介

隨著現(xiàn)代科學技術的飛速發(fā)展,計算數(shù)學作為數(shù)學的一個二級學科,其理論研究與實踐應用已從工程技術應用、氣象預報等傳統(tǒng)領域拓展到了經濟預測、金融管理、醫(yī)藥衛(wèi)生、生態(tài)環(huán)境、生物技術、心理學和語言學等眾多新領域。著名科學家馮康先生說：科學與工程計算已經成為一種基本的科學方法,它與牛頓、伽利略以來發(fā)展起來的兩種傳統(tǒng)的科學方法——科學理論分析和科學實驗——形成了并駕齊驅的科學研究方法,被譽為“第三種科學方法”[6]。

數(shù)值分析作為計算數(shù)學的一個基礎學科,是大學理工科專業(yè)開設的一門基礎課程,其內容主要包括求解科學研究和工程技術領域中常用的數(shù)值計算方法,如插值法、函數(shù)逼近與曲線擬合、數(shù)值積分與數(shù)值微分、求解線性方程與非線性方程的數(shù)值方法、矩陣特征值問題的數(shù)值算法以及常微分方程初值問題的數(shù)值算法等。

數(shù)值分析課程中含有豐富的思政元素。如辯證唯物主義思想,文化自信,家國情懷,科學創(chuàng)新,以及數(shù)學專業(yè)思想教育等。但是這些課程思政元素有待于授課教師進行充分挖掘和提煉。下面我們結合多年來數(shù)值分析課程的教學實踐,給出數(shù)值分析課程思政元素案例僅供讀者參考。

2 課程思政案例教學設計

本文以《數(shù)值分析》(清華大學出版社第五版)“求解非線性方程組的Newton法”為教學內容進行課程思政案例教學設計。

(1)教學理念

在課堂教學中遵循“學生中心、產出導向、持續(xù)改進”的教育教學理念。

(2)教學內容

求解非線性方程組的Newton法。

(3)學情分析

數(shù)值分析是理工科大學各專業(yè)普遍開設的一門非常重要的基礎課程。一般情況下,由于該課程需要微積分、線性代數(shù)、常微分方程以及計算機語言等學科知識作為基礎支撐,因此大部分高校在第三學期開設。處在這一學段的學生,知識的學習更加系統(tǒng)化和專業(yè)化。 與中學相比,學習方法與手段更加多樣化。他們自我學習、自我管理的能力日益增強。 但是,處于此階段大學生的價值觀仍需要我們進行引導和塑造。對于應用型本科高校的教師來講,我們不僅要授好業(yè),指導他們學好專業(yè)知識,而且要傳好道,承擔起弘揚社會主義核心價值觀的育人職能,同時對學生遇到的各種各類問題要解好惑。

(4)教學目標

知識目標：讓學生掌握求解非線性方程組的Newton法。

能力目標：使學生具備應用Newton法解決實際問題的能力。

價值觀目標：在課堂教學中,通過介紹求解非線性方程組的數(shù)值算法產生的背景(衛(wèi)星定位及其導航系統(tǒng)),讓同學們了解：中國的北斗導航系統(tǒng)的設計原理來源于非線性方程組數(shù)值算法。同時,讓同學們知道求解非線性方程組的算法原理在數(shù)學、計算機科學與技術、航天航空工程技術等理工科領域具有廣泛應用。因此,在價值觀目標上,我們要在以下2個方面達成：一是通過介紹中國北斗導航系統(tǒng),弘揚科技興國的愛國情懷。二是通過求解非線性方程的Newton算法導出求解非線性方程組的Newton算法(數(shù)學中的類比思想)。從而培養(yǎng)學生創(chuàng)新性思維能力。

(5)教學重難點

求解非線性方程組的Newton法的理論基礎及其實踐價值。

(6)教學方法與手段

教學方法：綜合運用問題導向法、興趣激發(fā)法、翻轉課堂等多種課堂教學方法。

教學手段：板書以及PPT、超星學習通、雨課堂等智慧教學手段。

(7)教學過程設計

將教學過程分為問題導入、溫故知新、實踐訓練、課堂小結、作業(yè)布置與課外知識拓展等五個教學環(huán)節(jié)開展課堂教學。

問題導入(5分鐘)：

首先拋出問題：現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術的廣泛應用于生產生活實際。例如我們可以通過智能手機打開某個地圖APP進行衛(wèi)星導航,從而選擇最佳行程路線的高效節(jié)能交通出行方式。但是同學們并不太清楚這一高科技的應用技術原理以及實現(xiàn)路徑是什么?(通過日常生活中的高科技應用技術提出關聯(lián)問題激發(fā)學生學習興趣)

然后簡要介紹衛(wèi)星導航技術的數(shù)學建模原理并建立下述非線性方程組。

(3.1)

其中,(x1,y1,z1)表示衛(wèi)星s1在t1時刻所處的空間位置坐標,(x2,y2,z2)表示衛(wèi)星s2在t2時刻所處的空間位置坐標,(x3,y3,z3)表示衛(wèi)星s3在t3時刻所處的空間位置坐標,(x4,y4,z4)表示衛(wèi)星s4在t4時刻所處的空間位置坐標,(x,y,z)表示移動物體M在t時刻所處的空間位置坐標,常數(shù)c表示光速值。

溫故知新(25分鐘)：

由于同學們目前還未掌握求解非線性方程組(3.1)的方法和手段。因此,請同學們思考如何解決這類問題。(通過設問進一步激發(fā)學生探索興趣)

然后簡要回顧復習本章節(jié)前述問題“求解非線性方程的Newton算法”的理論基礎,即對欲求數(shù)值解的非線性方程f(x)=0在根x*的存在區(qū)間I上任取一點x0在x0處做二階Taylor展開(假設f(x)在區(qū)間I上存在二階導函數(shù)f″(x))。

令其線性部分為零即

f(x0)+f′(x0)(x-x0)=0

解得

這就是求解非線性方程的Newton算法。

請同學們思考能否借鑒上述算法思想解決新問題?(創(chuàng)新性思維培養(yǎng))

然后教師帶領學生一起探討求解非線性方程組(3.1)的數(shù)值方法。

為方便起見,將非線性方程組(3.1)改寫成等價形式(化繁為簡便于解決問題)

(3.2)

其中

f1(x,y,z,t)=(x-x1)2+(y-y1)2+(z-z1)2-c2(t-t1)2

f2(x,y,z,t)=(x-x2)2+(y-y2)2+(z-z2)2-c2(t-t2)2

f3(x,y,z,t)=(x-x3)2+(y-y3)2+(z-z3)2-c2(t-t3)2

f4(x,y,z,t)=(x-x4)2+(y-y4)2+(z-z4)2-c2(t-t4)2。

類似于求解非線性方程的Newton算法(數(shù)學中的類比思想),對欲求數(shù)值解的非線性方程組(3.2)在根(x*,y*,z*,t*)的存在區(qū)域U?I1×I2×I3×I4上任取一點M0?(x0,y0,z0,t0),分別對4個四元函數(shù)f1(x,y,z,t)f2(x,y,z,t)f3(x,y,z,t)f4(x,y,z,t),在點M0處做二階Taylor展開(假設fi(x,y,z,t),在區(qū)域U上存在二階偏導函數(shù)i=1,2,3,4)。

分別令其線性部分為零即得

(3.3)

顯然,方程組(3.3)是一個四元線性方程組。若方程組(3.3)的系數(shù)矩陣J0是一個非奇異矩陣,即行列式Det(J0)≠0,則利用求解線性方程組的直接解法便得到方程組(3.3)的解(x1,y1,z1,t1)。

實踐訓練(15分鐘)：

利用Newton法求解方程組{初值點取X0={1.6,1.2}。(突出學生中心,貫徹OBE教學理念)

課堂小結(3分鐘)：

讓學生簡要總結本節(jié)課堂教學內容的重難點(突出學生中心貫徹OBE教學理念)。

作業(yè)布置與課外知識拓展(2分鐘)：

作業(yè)題：P239 17

計算實習題：P240 3

為提升學生的綜合素養(yǎng),布置課外知識拓展任務：

1.查閱資料,了解在國際上目前有哪些國家在全球建立了衛(wèi)星定位系統(tǒng)?

2.從理論上講,4顆衛(wèi)星就能完成空間移動物體的衛(wèi)星定位。但是為什么要發(fā)射20顆以上的導航衛(wèi)星?

(8)課堂教學效果評價與反饋

通過課堂氛圍情況、問題對答情況、實踐訓練情況等多種方式反饋教學效果,并由此進行教學反思,提出改進建議并及時進行反饋,以達到持續(xù)改進的教育教學目的,提升人才培養(yǎng)質量。

3 課程思政案例

案例1緒論中的課程思政

在課程緒論中,通過介紹中國科學家馮康在計算數(shù)學領域取得的輝煌成就,如,獨立于西方創(chuàng)立了有限元方法,堅定中國文化自信,弘揚愛國主義精神。

案例2Lagrange插值與Newton插值中的課程思政

在授課內容中,介紹中國7世紀隋朝數(shù)學家劉焯。由其創(chuàng)造的等間距內插公式以及8世紀唐朝僧人一行創(chuàng)造的二次不等間距內插公式在天文學中的應用,其中的構造思想和原理與Lagrange型插值和Newton型插值幾乎完全一致,卻早于歐洲10個世紀,所以我們一定要樹立中國文化自信。

案例3Hermite插值與分段低次插值中的課程思政

在授課內容中,介紹分段低次插值方法來源于德國數(shù)學家Runge對高次插值函數(shù)進行誤差分析時出現(xiàn)的振蕩現(xiàn)象的思考。由此對低次插值問題作進一步探索,進而得到了一種既能滿足插值條件,又避免出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象的新的數(shù)值逼近方法。 以此弘揚勤于思考、善于創(chuàng)新的科學家精神。

案例4三次樣條插值中的課程思政

在授課內容中,通過分析分段低次Lagrange型插值方法的優(yōu)缺點,并針對其方法缺陷,探討是否可以構造出既能保留分段低次Lagrange型插值方法的優(yōu)勢,又能克服其缺點的一種新的插值法?這樣,通過問題導向法,引導學生發(fā)現(xiàn)問題并解決問題,從而達到既能弘揚科學家的創(chuàng)新精神又能提升學生創(chuàng)新能力之目的。

案例5最佳一致逼近與最佳平方逼近中的課程思政

在課堂教學中,通過引入空間范數(shù)將兩類不同(范數(shù))形式上的函數(shù)逼近,納入到統(tǒng)一理論框架內體現(xiàn)馬克思主義辯證統(tǒng)一原理。

案例6曲線擬合的最小二乘法與求解矛盾方程組的課程思政

在課堂教學中,向學生們介紹矛盾方程組的求解問題,實際上就是將原問題化為等價問題,即將矛盾方程組(超定方程組)的求解問題轉化為恰定方程組的求解問題,以此來突出數(shù)學的轉化思想。從而達到加強創(chuàng)新思想教育,弘揚科技興國精神的教育目的。

案例7數(shù)值積分與數(shù)值微分中的課程思政

在課堂教學中,通過講授一元函數(shù)的微分與定積分兩種互逆運算。數(shù)值積分與數(shù)值微分數(shù)值算法的核心思想是,利用插值法構造滿足條件的插值函數(shù)代替被積函數(shù)。由此闡明馬克主義對立統(tǒng)一原理,以及事物是普遍聯(lián)系原理在數(shù)學中的具體表現(xiàn)。

案例8求解線性方程組的直接算法中的課程思政

在課堂教學中,介紹中國古代數(shù)學專著《九章算術》(成書于東漢)中求解線性方程組的消元法。該雖然與西方高斯消去法相同,但卻比西方早了幾個世紀。另外,簡要介紹Gauss的生平以及在數(shù)學方面取得的巨大成就。以此達到兩個教育目的：一是堅定中國文化自信弘揚愛國主義精神。二是弘揚偉大的數(shù)學家高斯具有的腳踏實地、不求名利、低調行事、勇于創(chuàng)新的科學家精神。

案例9求解線性方程組的迭代算法中的課程思政

在課堂教學中,通過介紹迭代算法的基本思想將分布在不同數(shù)學分支學科中相同思想(壓縮映像原理)關聯(lián)在一起。如利用Picard逐步逼近法證明常微分方程初值問題解的存在唯一性定理等,凸顯馬克思主義基本原理：一般性與特殊性之間的辯證關系。

案例10求解線性方程組的共軛梯度法的課程思政

在課堂教學中,通過介紹系數(shù)矩陣為對稱正定矩陣時,可以考慮將求解線性方程組的原問題轉化為等價的變分問題。通過求解變分問題解決原問題,以此凸顯數(shù)學獨具特色的解決問題思想——轉化思想,實現(xiàn)加強創(chuàng)新思想教育。

案例11求解非線性方程Aitken算法的課程思政

在課堂教學中通過介紹 Aitken算法,讓同學們了解該算法是一個改良算法。在運算量沒有明顯增加的基礎上,其收斂速度大大快于原有算法。該數(shù)值方法的思想具有創(chuàng)新性,能夠達到加強創(chuàng)新思想教育,弘揚科技興國精神的課程思政目的。

案例12求解非線性方程組的Newton法的課程思政

在課堂教學中,通過介紹非線性方程組的數(shù)值算法產生的背景(衛(wèi)星定位及其導航系統(tǒng)),讓同學們了解,中國的北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)是非線性方程組數(shù)值算法在航空航天技術領域的具體應用。 以此達到宣傳貫徹落實習近平總書記在黨的二十大報告中關于教育、科技、人才是全面建設社會主義現(xiàn)代化國家的基礎性、戰(zhàn)略性支撐的重要講話精神之目的。

案例13矩陣特征值問題的數(shù)值算法的課程思政

在課堂教學中,向同學們講述互聯(lián)網(wǎng)技術在生產生活中的應用。例如,百度、谷歌等搜索引擎被網(wǎng)民普遍使用,而其理論算法卻來源于數(shù)學中的矩陣特征值問題。由此,讓同學們了解數(shù)學學科的重要性,努力學好數(shù)學,達到加強專業(yè)思想教育,弘揚愛國主義精神之目的。

案例14常微分方程初值問題的數(shù)值算法的課程思政

在課堂教學中,通過介紹常微分方程初值問題的數(shù)值算法的產生背景,讓同學們了解連續(xù)與離散之間的辯證關系,從中體現(xiàn)馬克思主義辯證統(tǒng)一原理在數(shù)學中的應用。

4 總結與反思

在日常教學中,教師由于各種原因未能充分挖掘所授課程中的思政元素,尤其是對于數(shù)學類課程,授課教師往往感覺到數(shù)學學科與體音美等藝術類學科相比,其思政元素很少,不容易挖掘。實際上,數(shù)學類課程中含有豐富的思政元素,如： 數(shù)的四則運算中的加法和減法、乘法和除法;函數(shù)類型中的對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù);三角函數(shù)與反三角函數(shù);微積分運算中的微分與積分等無不體現(xiàn)出馬克思辯證法思想;一階線性微分方程的求解和可分離變量的微分方程的求解;求解線性方程組的LU分解法和三對角方程組的追趕法等則體現(xiàn)了普遍性與特殊性這一哲學原理。中國古代知名數(shù)學家劉徽首創(chuàng)割圓術,秦九韶提出計算多項式函數(shù)的秦九韶算法,使我們樹立中國傳統(tǒng)文化自信。 現(xiàn)代知名數(shù)學家陳省身、華羅庚、馮康、陳景潤、吳文俊等的家國情懷和科學創(chuàng)新等都是很好的課程思政素材。

所以,大學數(shù)學教師要深度挖掘課程思政元素,并將它們體現(xiàn)在教學設計中。只有這樣,我們才能真正貫徹落實立德樹人根本任務,在“三全育人”體系中發(fā)揮教師的育人功能。