本刊編輯部

【原創(chuàng)創(chuàng)新試題組】

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圖1

【原創(chuàng)2】將給定的數(shù)列{an}依順序按一定的個(gè)數(shù)用括號(hào)將其分組,可以得到以組為單位的序列(a1,a2,…,ak,…,ap),(ap+1,ap+2,…,ap+k,…ar),(ar+1,ar+2,…,ar+k,…as),…稱(chēng)為數(shù)列{an}的一個(gè)分群數(shù)列(其中k,p,r,s∈N+),稱(chēng)ak為第1群的第k個(gè)數(shù),ap+k為第2群的第k個(gè)數(shù),ar+k為第3群的第k個(gè)數(shù),以此類(lèi)推.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1(n∈N+),將數(shù)列{an}按照2,3,2,3,…的個(gè)數(shù)分組得到分群數(shù)列,則此分群數(shù)列第409群的第2個(gè)數(shù)是________,若此分群數(shù)列第n群的所有的數(shù)之和為2 324,則n=________.

【原創(chuàng)3】“東南西北”是我們小時(shí)候經(jīng)常玩的一種簡(jiǎn)單游戲,從開(kāi)始玩起我們就一直稱(chēng)呼它為“東南西北”,取一張兩面全白的正方形紙,左右對(duì)折然后展開(kāi),再上下對(duì)折然后展開(kāi),這樣形成一個(gè)“田”字型,中間有兩條折痕,將正方形的四個(gè)角對(duì)折進(jìn)去,在中心點(diǎn)匯攏,形成一個(gè)新的正方形,然后整個(gè)兒翻過(guò)來(lái),再將四個(gè)角對(duì)折進(jìn)去,在中心點(diǎn)匯攏,這時(shí)候應(yīng)該有八個(gè)小三角形兩兩拼成一個(gè)大三角形.如圖3構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,則二面角E-AB-F的大小為

圖2

圖3

圖4

圖5

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【原創(chuàng)5】試題:已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+ax+2(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)當(dāng)x∈[0,+∞),f(x)≥0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

【答案詳解及創(chuàng)新點(diǎn)分析】

【原創(chuàng)1】

【命題意圖】本題考查三角函數(shù)、解三角形、基本不等式知識(shí)點(diǎn)

設(shè)四邊形周長(zhǎng)為l=AB+AD+BC+CD,

BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cosα,

∴(AB+AD)2≤400,即AB+AD≤20,當(dāng)且僅當(dāng)AB=AD=10時(shí)取到最大值.

設(shè)∠ADC=β,

在三角形ACD中,AC2=CD2+AD2-2CD·AD·cosβ=125-100cosβ①,

在三角形ABC中,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·(-cosβ)=125+100cosβ②.

【創(chuàng)新點(diǎn)分析】該題將數(shù)學(xué)文化和三角函數(shù)、解三角形及基本不等式有機(jī)結(jié)合在一起,本題利用三角函數(shù)和解三角形列出式子,利用基本不等式求解.難度適中,有一定的綜合性.

(原創(chuàng)命題人:高洪波 新疆哈密市第十五中學(xué))

【試題評(píng)語(yǔ)】本題將生活實(shí)際和三角函數(shù)、解三角形及基本不等式有機(jī)結(jié)合在一起,難度中等,通過(guò)三角函數(shù)和解三角形列出式子,觀(guān)察等式結(jié)構(gòu)形式,利用基本不等式求解.

(評(píng)語(yǔ)老師姓名、單位:魏清泉 青島市教育科學(xué)研究院)

【原創(chuàng)2】

【命題意圖】本題以新定義題型考查數(shù)列的知識(shí),考查數(shù)學(xué)閱讀理解能力與邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

【解題思路】(1)按照分群數(shù)列的定義,數(shù)列{an}為1,3,5,7,9,… (1),數(shù)列{an}的2,3分群數(shù)列為(1,3),(5,7,9),(11,13),(15,17,19)… (2),將數(shù)列(1)重新分群,按每個(gè)群含5個(gè)元素的方式得到分群數(shù)列:(1,3,5,7,9),(11,13,15,17,19)… (3),對(duì)照分群數(shù)列(2)與(3),容易知道分群數(shù)列(3)中的每個(gè)群是分群數(shù)列(2)中的2個(gè)群組成,由409=2×204+1,可知分群數(shù)列(2)的第409群的第2個(gè)數(shù)是分群數(shù)列(3)的第205群的第2個(gè)數(shù),由5×204+2=1 022,可知分群數(shù)列(3)的第205群的第2個(gè)數(shù)是數(shù)列(1)的第1 022個(gè)數(shù),由于等差數(shù)列:1,3,5,7,9,…的通項(xiàng)公式an=2n-1,由2×1 022-1=2 043,所以分群數(shù)列(2)的第409群的第2個(gè)數(shù)是2 043.

(2)對(duì)n分偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況進(jìn)行討論.

若n為偶數(shù),則n=2k,則數(shù)列(2)的第n群的數(shù)是數(shù)列(3)的第k群的第3,4,5個(gè)數(shù),由于數(shù)列(3)的第k群的第5個(gè)數(shù)是10k-1,所以數(shù)列(2)中的第n群的元素之和為(10k-5)+(10k-3)+(10k-1)=30k-9=15n-9,令15n-9=2 324,無(wú)整數(shù)解,不符合題意;

若n為奇數(shù),設(shè)n=2k+1,則數(shù)列(2)的第n群的數(shù)是數(shù)列(3)的第k+1群的第1,2個(gè)元素,由于數(shù)列(3)的第k+1群第1個(gè)元素是10k+1,所以數(shù)列(2)中的第n群的元素之和為(10k+1)+(10k+3)=20k+4=10n-6,令10n-6=2 324,得n=233,符合題意.綜上,n=233.

【創(chuàng)新點(diǎn)分析】本題通過(guò)“分群數(shù)列”的新定義問(wèn)題,旨在回歸數(shù)列問(wèn)題的本質(zhì):即對(duì)一組按一定順序排列的數(shù)的規(guī)律性的認(rèn)識(shí),通過(guò)觀(guān)察、聯(lián)想、歸納、分析、論證,反映了人們對(duì)周?chē)澜绲恼J(rèn)識(shí)過(guò)程,展示了知識(shí)發(fā)生發(fā)展的思維過(guò)程.在考查角度和維度上,一方面考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀理解能力,另一方面拓展了學(xué)生對(duì)數(shù)列的進(jìn)一步認(rèn)識(shí).在題型選擇上,以雙空題的形式,便于學(xué)生的發(fā)揮數(shù)學(xué)直覺(jué),靈活應(yīng)用本題隱藏的數(shù)字排列規(guī)律.在設(shè)問(wèn)上,遵循遞進(jìn)原則,第一問(wèn)是考查數(shù)感,通過(guò)5個(gè)數(shù)的重新組合,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,實(shí)現(xiàn)思維的躍遷;第二問(wèn)分為n是奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況,考查了學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和全面深刻性,對(duì)思維提出了更高的要求.

(原創(chuàng)命題人:師斌 新疆哈密市第十五中學(xué))

【試題評(píng)語(yǔ)】對(duì)數(shù)列進(jìn)行新定義,是數(shù)列題目創(chuàng)新的一種重要方法.雙空題遵循從特殊到一般的出題思想,層層遞進(jìn),符合知識(shí)發(fā)生發(fā)展的思維過(guò)程.

(評(píng)語(yǔ)老師姓名、單位:魏清泉 青島市教育科學(xué)研究院)

【原創(chuàng)3】

【考查維度】考查了數(shù)學(xué)建模、直觀(guān)想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

學(xué)生面對(duì)實(shí)際問(wèn)題不會(huì)分析,缺少數(shù)學(xué)建模能力,平時(shí)課堂落實(shí)數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)有所欠缺,實(shí)際問(wèn)題缺乏合適的素材,課堂時(shí)間緊,不能抽出足夠多的時(shí)間讓學(xué)生參與到對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行建模,從而使得學(xué)生在分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力方面不足,知識(shí)綜合運(yùn)用能力較差,通過(guò)這道題,以試題的考查為導(dǎo)向,引導(dǎo)課堂教學(xué)回歸到新課標(biāo)要求引導(dǎo)學(xué)生多動(dòng)手動(dòng)腦,增強(qiáng)學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

(原創(chuàng)命題人:徐敏 江西省蓮花中學(xué))

【試題評(píng)語(yǔ)】本題以“折紙”為載體,角度新穎,來(lái)源生活,主要考察了直觀(guān)想象能力與數(shù)學(xué)建模能力.考察了二面角的求解,構(gòu)思較為巧妙.

(評(píng)語(yǔ)老師姓名、單位:魏清泉 青島市教育科學(xué)研究院)

【原創(chuàng)4】

【命題意圖】本題以分段函數(shù)為背景,考查函數(shù)與方程,考查學(xué)生邏輯推理核心素養(yǎng),考查轉(zhuǎn)化與化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想.

【創(chuàng)新點(diǎn)分析】函數(shù)較多考查的是單調(diào)性,本題題干簡(jiǎn)潔精練,同樣考查了函數(shù)的單調(diào)性和多變量轉(zhuǎn)換成單變量及數(shù)形結(jié)合思想.但本題還涉及函數(shù)與方程之間的關(guān)系,法一直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切,法二多變量的處理,讓人不易想到,怎么聯(lián)系所求與題干便能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的思考,考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想,|x1-x2|≤2轉(zhuǎn)化成|x1-x2|max≤2.本題是一道難得的好題,對(duì)學(xué)生的思維能力有要求.

(原創(chuàng)命題人:朱冰 江西省瑞金第一中學(xué))

【試題評(píng)語(yǔ)】本題以分段函數(shù)為背景,考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合思想,突出考查函數(shù)的單調(diào)性、邏輯推理能力,試題難度中等.

(評(píng)語(yǔ)老師姓名、單位:魏清泉 青島市教育科學(xué)研究院)

【原創(chuàng)5】

【命題意圖】本題考查了已知不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍、導(dǎo)數(shù)在證明數(shù)列不等式的應(yīng)用、數(shù)列的項(xiàng)和關(guān)系及不等式的同向可加性,突出考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用.考查了抽象概括能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力,考查了函數(shù)與方程思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【解題思路】(1)由f(x)=(x-2)ex+ax+2知f(0)=0,f′(x)=(x-1)ex+a,

要使f(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,至少滿(mǎn)足f′(0)=-1+a≥0,即a≥1.

另一方面,當(dāng)a≥1時(shí),f′(x)=(x-1)ex+a≥(x-1)ex+1.

記g(x)=(x-1)ex+1,則g′(x)=xex,

顯然g′(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,故g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,

故g(x)≥g(0)=0,故f′(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,從而f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,

故f(x)≥f(0)=0.

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1,+∞).

(2)由(1)知(x-2)ex+x+2>0對(duì)一切的x∈(0,+∞)恒成立,

證畢.

【方法技巧】對(duì)于已知不等式恒成立求參數(shù)范圍的題型,常見(jiàn)的方法有兩種:一是最值法,即直接構(gòu)造函數(shù),再研究它的相應(yīng)最值來(lái)解決;二是分離參數(shù)法,即把參數(shù)分離到不等式的一邊,再研究分離后函數(shù)的最值,實(shí)現(xiàn)求解.小技巧是可以用點(diǎn)效應(yīng)對(duì)參數(shù)范圍進(jìn)行限制,但要注意邏輯的完備性.對(duì)于數(shù)列不等式的證明問(wèn)題,一般思路是將不等式的兩邊理解為兩個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和(分別記數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,Tn),要證明Sn

【高考風(fēng)向】本題與2022年全國(guó)新高考Ⅱ卷第22題的設(shè)計(jì)思想類(lèi)似,這類(lèi)題能很好地考查學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.

(原創(chuàng)命題人:謝小平 江西省瑞金第一中學(xué))

【試題評(píng)語(yǔ)】本題以數(shù)列和導(dǎo)數(shù)為載體,考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、不等式恒成立、導(dǎo)數(shù)證明不等式等,考查了抽象概括、推理論證和運(yùn)算求解能力,考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等素養(yǎng),難度較大.

(評(píng)語(yǔ)老師姓名、單位:魏清泉 青島市教育科學(xué)研究院)