王東海

(安徽省合肥市肥東縣城關中學)

直線與圓錐曲線的位置關系問題一直是高考的熱點和難點,在這類考題的命題中往往都是探求一些特殊結論,這些結論看似特殊,實則往往都具有普遍性.我們在解答考題后要深入拓展到一般情況,還要注意探尋其他圓錐曲線的對偶性質.下面以2023年高考全國乙卷(理科)第20題的圓錐曲線試題的變式探究為例進行說明.

1 真題呈現(xiàn)

(Ⅰ)求C的方程;

(Ⅱ)過點(-2,3)的直線交C于P,Q兩點,直線AP,AQ與y軸的交點分別為M,N,證明:線段MN的中點為定點.

【分析】該題考查了學生的邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象等數(shù)學素養(yǎng),具有很好的選拔功能.第(Ⅰ)問求橢圓方程,難度較低.

第(Ⅱ)問證明定點既可用常規(guī)的直曲聯(lián)立處理,又可采取齊次化加以解決,還能使用定比插參的技巧求解.考題簡潔但具有較大探究空間.

圖1 考題曲線圖

2 解法探究

【評注】先設出直線并與橢圓聯(lián)立,再設而不求結合韋達定理表示出M,N中點的縱坐標,最后消去參變量可得中點為定點,這是處理此類問題的通解通法.但對學生計算能力要求較高.

【評注】此解法直曲不聯(lián)立,而是通過巧妙設點,利用點在橢圓上等坐標間的運算處理此題.此解法在設出P,Q兩點的坐標時采取向左平移2個單位的設法,是解題的關鍵.

【評注】考慮到點P,Q在橢圓上,從而設點時采取半角換元的設點方法,可使計算量變少.

【評注】本解法先將整個圖形向右平移,使得兩直線AP,AQ的斜率之和易求,再用齊次化技巧表示出斜率之和,從而與之關聯(lián)的中點坐標可以求出.

【評注】利用過兩條直線的曲線系恰為考題所給橢圓,對比兩者之間系數(shù),從而得中點為定點.

【評注】本解法先將三點共線所得比例設為定比λ,再用λ表示出所求中點縱坐標,后消去λ即可得中點為定點.

3 背景探究

近年來,命題者開始挖掘高等幾何中一些素材來命制高考中的圓錐曲線試題,而這其中被關注的較多的是具有極線背景的圓錐曲線試題.本題有著豐富的射影幾何背景,克萊因曾說:基礎數(shù)學的教師應該站在更高的視角來審視、理解初等數(shù)學問題,只有觀點高了,事物才能顯得簡單明了.為了將原理闡述清楚,下面先共同來探討一下本題涉及的概念和性質:

3.1 調和點列和調和線束

【調和線束定義】如果直線上點列A,B,C,D為調和點列,則此直線外一點M分別與這四點相連接形成的四條直線稱為調和線束.

【定理1】任意一條不經過點M的直線與調和線束中的每一條直線都相交,那么四個交點依然成調和點列.

3.2 極點、極線

【代數(shù)定義】設兩點C,D的連線與圓錐曲線Γ相交于A,B,若線段AB被C,D調和分割,則稱C,D是關于圓錐曲線Γ的一對調和共軛點.而一點P關于圓錐曲線Γ的所有調和共軛點的軌跡為一條直線p,此時稱直線p為點P(關于Γ)的極線,點P稱為直線p(關于Γ)的極點.簡稱極.

【性質2】點P是圓錐曲線G的一個極點,它對應的極線為l,過點P任意引一條直線交l于點Q,交G于點A,B,若點A是位于P,Q間的點,則P,Q必調和分割線段AB.

運用上述背景知識,此題可以高觀點低運算進行處理:

這道高考題是利用直線截調和線束所得交點仍成調和點列這一極點極線的性質,并考慮高中生能力可做來進行命題的.掌握了這一命題背景,還可利用y軸以外的其他直線去截調和線束,從而命制多個考題.比如用x軸、其他直線去截調和線束等.

4 變式探討

4.1 條件變式

簡證：采用下面拓展推廣的結論3證法,得變式1,2,3的線段MN的中點分別為定點A,T,T.

4.2 類比變式

【變式5】過拋物線C:y2=4x外一點B(-2,1)的直線與C交于P,Q兩點,過B點作橢圓C的兩條切線,切點分別為A,T兩點,過T點作平行于AB的直線l,直線AP,AQ與l的交點分別為M,N,證明:線段MN的中點為定點.

【變式6】過點B(-4,3)的直線交圓C:(x-2)2+(y-1)2=1于P,Q兩點,過B點作圓C的兩條切線,切點分別為A,T兩點,過T點作平行于AB的直線l,直線AP,AQ與l的交點分別為M,N,證明:線段MN的中點為定點.

簡證：也采用下面拓展推廣的結論3證法,得變式4,5,6的線段MN的中點分別為定點T.

5 拓展推廣

由上面的分析,可得線段MN的中點為定點T.那么此結果是偶然還是必然呢?考慮將考題第(Ⅱ)問推廣至一般情形,可得下面結論:

若將上面的橢圓變?yōu)榻裹c在x軸上的橢圓,則可得:

若再將截調和線束的直線x,y軸推廣至一般的平行線時,則可得:

圖2 結論3曲線圖

6 逆向探究

若將結論3的條件與結論反過來,考慮其逆命題是否成立?

圖3 結論4曲線圖

圖4 例題1曲線圖

7 類比探究

將橢圓的結論3,4類比到雙曲線及拋物線,可得以下幾個結論:

【結論7】過拋物線C:y2=2px(p>0)外一點B(m,n)的直線與C交于P,Q兩點,B點關于C的極線交C于A,T兩點,過T點作平行于AB的直線l,直線AP,AQ與l的交點分別為M,N,則線段MN的中點為定點T.

【結論8】過拋物線C:y2=2px(p>0)外一點B(m,n)的直線與C交于P,Q兩點,過B點作拋物線的兩條切線,切點分別為A,C,過P點作平行于AB(AC)的直線l,直線AC與l的交點為T,且P關于T的對稱點為N,則直線QN必經過定點A或C.

8 高考溯源

在圓錐曲線的考查中,此類定點問題近幾年經常出現(xiàn),時常會成為學生心中的“痛點”,但如果掌握了極點極線的相關理論,則能夠比較輕松地啃下這個“痛點”.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅰ)求E的方程;

圖5 例題2曲線圖

9 結語

在數(shù)學學習中,時常會遇到各種各樣的問題,這時我們不能滿足于將問題解決了就萬事大吉,而是要進一步進行探究.我們可以將問題一般化,進行拓展研究,還可以進行變式研究,怎么樣能讓學生深刻掌握.總之,探究必須植根于具體問題之中,探究是一個計劃、行動、反思,再計劃、再行動、再反思的過程.探究是一把金鑰匙,能夠幫助我們打開智慧殿堂的大門,教學中要為學生提供探究的機會,讓學生在探究中體會到學習的快樂,讓探究成為一種習慣.